4 - Desconto Simples (continuação) - Marcia Rebello da Silva

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UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 4: DESCONTO SIMPLES 
MARCIA REBELLO DA SILVA 
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U.A. 4: DESCONTO SIMPLES 
 
 
 
 
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 MARCIA REBELLO DA SILVA 
 
 
 
 
OBJETIVOS: 
 Ao final desta unidade, você será capaz de: 
 
1- Compreender a relação entre taxa efetiva de juros e taxa de desconto comercial; 
 
2- Entender a aplicação da equivalência de capitais; 
 
3- Calcular taxa efetiva no desconto simples comercial; 
 
4- Aplicar a equivalência capitais no regime em desconto simples; 
 
5- Calcular as variáveis que envolvem as questões referentes a UA4; e 
 
6- Interpretar e resolver os exercícios propostos na UA4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1- TAXA EFETIVA DE JUROS. 
 A taxa efetiva de juros é a taxa de juros que aplicada sobre o valor descontado comercial gera 
no período considerado um montante igual ao valor nominal. 
A taxa de juros efetiva será aquela que conduz, pelo desconto racional, ao mesmo valor 
calculado pelo desconto comercial. 
 
 
NOTA: 
� No Desconto Racional a taxa de desconto é a própria taxa efetiva. 
 
 
Ex. 1: Uma duplicata que foi descontada "por fora", nove meses antes de seu vencimento, o valor do 
desconto foi $ 21.680, e a taxa de desconto simples foi 36% a.s. Calcular a taxa de juros efetiva 
cobrado nesta operação? 
 
 Dc = $ 21.680 n = 9 meses i = 36% a.s. ief = ? 
Solução: .Dc = (N) (i) (n)]. 
 21.680 = (N) (0,36) (9) (1/6) 
 N = (21.680) (6) 
 (9) (0,36) 
N = $ 40.148,15 
.Dc = N – Vc. 
 21.680 = 40.148,15 − Vc 
 Vc = 40.148,15 − 21.680 
Vc = $ 18.468,15 
Solução 1: .Dr = (Vr) (i) (n)]. 
 Dc = (Vc) (ief) (n) (Taxa de Juros Efetiva ⇒ Desc. Com. = Desc. Rac.) 
 21.680 = (18.468,15) (ief) (9) (1/6) 
 . (21.680) (6) = ief 
 (18.468,15) (9) 
ief = 0,7826 a.s. = 78,26 % a.s. 
Solução 2: .N
 
= (Vr) [1 + (i) (n)]. 
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 N = Vc [(1 + (ief) (n)] 
 40.148,15 = 18.468,15 [(1 + (ief) (9) (1/6)] 
 40.148,15 − 1] (6) (1/9) = ief 
 18.468,15 
ief = 0,7826 = 78,26% a.s. 
Resposta: 78,26% a.s. 
 
 
Ex. 2: Uma letra de câmbio de $ 24.000 foi descontada em uma instituição financeira, dez meses antes 
de seu vencimento. Se a taxa de desconto simples comercial foi 36% a.a, qual foi a taxa efetiva de 
juros? 
 
 N = $ 24.000 n = 10 meses i = 36% a.a ief = ? 
Solução: .Vc = N [1 – (i) (n)]. 
 
 
 Vc = 24.000 [1 − (0,36) (10) (1/12)] 
 Vc = (24.000) (1 − 0,30) 
Vc = (24.000) (0,70) 
Vc = $ 16.800 
Solução 1: .N
 
= (Vr) [1 + (i) (n)]. 
N = Vc [(1 + (ief) (n)] 
 24.000 = 16.800 [(1 + (ief) (10) (1/12)] 
24.000 − 1] (12) (1/10) = ief 
 16.800 
ief = 0,5143 a.a. = 51,43% a.a. 
Solução 2: .Dc = (N) (i) (n)]. 
Dc = (Vc) (ief) (n) (Taxa de Juros Efetiva ⇒ Desc. Com. = Desc. Rac.) 
Dc = (16.800) (ief) (10) (1/12) 
.Dc = N – Vc. 
 24.000 − 16.800 = (16.800) (ief) (10) (1/12) 
 (24.000 − 16.800) (12) = ief 
 (16.800) (10) 
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ief = 0,5143 = 51,43% a.a. 
Resposta: 51,43% a.a. 
 
 
Ex. 3: Qual o valor descontado "por fora" de um título de crédito de valor nominal $ 5.490 que foi 
descontada cento e dezessete dias antes do vencimento a uma taxa efetiva de juros simples igual a 
8,45% a.m.? 
 
 N = $ 5.490 n = 117 dias ief = 8,45% a.m. Vc = ? 
Solução: .N
 
= (Vr) [1 + (i) (n)]. 
N = Vc [(1 + (ief) (n)] (Taxa de Juros Efetiva ⇒ Desc. Com. = Desc. Rac.) 
 5.490 = Vc [(1 + (0,0845) (117) (1/30)] 
 5.490 = Vc (1 + 0,3296) 
5.490 = Vc (1,3296) 
Vc = $ 4.129,06 
Resposta: $ 4.129,06 
 
 
Ex. 4: Qual o valor de face de uma nota promissória que sofreu um desconto simples no valor de $ 
6.235, descontada um semestre e meio antes do vencimento, a uma taxa efetiva de juros simples 16,5% 
a.t.? 
 
Dc = $ 6.235 n = 1,5 sem. ief = 16,5% a.t. N = ? 
Solução 1: .Dr = (N) (i) (n) [1 + (i) (n)]−1. 
Dc = (N) (i ef) (n) [1 + (ief) (n)]−1 (Taxa de Juros Efetiva ⇒ Desc. Com. = Desc. Rac.) 
 6.235 = (N) (0,165) (1,5) (2) 
 1 + (0,165) (1,5) (2) 
 6.235 = (N) (0,4950) 
 1 + 0,4950 
(6.235) (1,4950) = N 
 0,4950 
N = $ 18.830,96 
Solução 2: .Dr = (Vr) (i) (n) 
 Dc = (Vc) (ief) (n) 
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6.235 = (Vc) (0,165) (1,5) (2) 
 6.235 = Vc 
 (0,165) (1,5) (2) 
Vc = $ 12.595,96 
.Dc = N – Vc. 
 6.325 = N − 12.595,96 
N = 12.595,96 + 6.235 
 N = $ 18.830,96 
Solução 3: .N
 
= (Vr) [1 + (i) (n)]. 
N = Vc [(1 + (ief) (n)] 
 N = 12.595,96 [1 + (0,165) (1,5) (2)] 
 N = (12.595,96) (1 + 0,4950) 
N = (12.595,96) (1,4950) 
 N = $ 18.830,96 
Resposta: $ 18.830,96 
 
 
Ex. 5: Regina descontou em um banco um título de crédito de valor de face igual a $ 13.700; cento e 
vinte e cinco antes do vencimento. Se a taxa de juros efetiva cobrada pelo banco foi 5,5% a.m., qual foi 
a taxa de desconto simples comercial anual cobrada? 
 
 N = $ 13.700 ief = 5,5 % a.m. n = 125 dias 
i = ? (a.a.) 
Solução: .N
 
= (Vr) [1 + (i) (n)]. 
N = Vc [(1 + (ief) (n)] 
 13.700 = Vc [(1 + (0,055) (125) (1/30)] 
13.700 = Vc (1 + 0,2292) 
13.700 = Vc 
1,2292 
Vc = $ 11.145,46 
 .Vc = N [1 – (i) (n)]. 
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 11.145,46 = 13.700 [1 − (i) (125) (1/360)] 
 i = [1 − 11.145,46] (360 ÷ 125) 
 13.700 
i = 0,5370 = 53,70% a.a. 
Resposta: 53,70% a.a. 
 
 
Ex. 6: Uma duplicata de emissão $ 9.650 foi descontada a uma taxa de desconto simples de 102% a.a. 
Qual foi a taxa efetiva de juros cobrada, se o valor recebido ao descontar a nota promissória foi $ 
6.140? 
 
 N = $ 9.650 Vc = $ 6.140 i = 102% a.a. 
 ief = ? 
Solução: .Vc = N [1 – (i) (n)]. 
 6.140 = 9.650,00 [1 − (1,02) (n)] 
 [1 − 6.140] (1/1,02) = n 
 9.650 
n = 0,36 anos 
 
.N
 
= (Vr) [1 + (i) (n)]. 
 N = Vc [(1 + (ief) (n)] 
 9.650 = 6.140 [1 + (ief) (0,36)] 
 [9.650 −1] (1/0,36) = ief 
6.140 
 ief = 1,5879 = 158,79% a.a. 
Resposta: 1,5879 ou 158,79% a.a. 
 
 
Ex. 7: Um título no valor de $ 7.800 foi descontado em um banco por $ 6.200; a uma taxa de juros 
efetiva de 19,5% a.t. Calcular quantos dias antes do prazo foi descontado o título se o regime foi de 
capitalização simples. 
 
 N = $ 7.800 ief = 19,5% a.t. Vc = $ 6.200 n = ? (dias) 
Solução: .N
 
= (Vr) [1 + (i) (n)]. 
N = Vc [1 + (ief) (n)] 
 7.800 = (6.200) [1 + (0,195) (1/90) (n)] 
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 [7.800 − 1] (90) (1/0,195) = n 
 6.200 
n = 119 dias 
Resposta: 119 
 
 
Ex. 8: Um comerciante descontou uma duplicata "por fora" três trimestres antes do vencimento. Se o 
valor descontado foi de $ 8.495 e a taxa efetiva de juros simples cobrada foi 6,8% a.m., qualfoi a taxa 
de desconto ao semestre? 
 
 Vc = $ 8.495 n = 3 trim. ief = 6,8 % a.m i = ? (a.s.) 
 
Solução: .N
 
= (Vr) [1 + (i) (n)]. 
N = Vc [(1 + (ief) (n)] 
 N = 8.495 [(1 + (0,068) (3) (3)] 
 N = 8.495 (1 + 0,6120) 
N = 8.495 (1,6120) 
 N = $ 13.693,94 
 .Vc = N [1 – (i) (n)]. 
 8.495 = 13.693,94 [1 − (i) (3) (1/2)] 
(i) (3) (1/2)] = 1 − . 8.495 . 
 13.693,94 
(i) (3) (1/2) = 0,3797 
i = (0,3797) (1/3) (2) 
i = 0,2531 = 25,31% a.s. 
Resposta: 0,2531 ou 25,31% a.s. 
 
 
Ex. 9: Uma letra de câmbio de $ 6.000 foi descontada em um banco, sete meses antes de seu 
vencimento. Sabendo-se que a letra que o valor de resgate foi $ 2.500; qual foi a taxa efetiva de juros 
simples cobrada; e qual seria a taxa de desconto comercial? 
 
 N = $ 6.000 n = 7 meses Vc = $ 2.500 
ief = ? i = ? 
Solução: .N
 
= (Vr) [1 + (i) (n)]. 
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 N = Vc [1 + (ief) (n)] 
 6.000 = 2.500 [1 + (ief) (7)] 
 [6.000 − 1] (1/7) = ief 
 2.500 
ief = 0,2000 = 20,00% 
 Vc = N [1 − (i) (n)] 
 2.500 = 6.000 [1 − (i) (7)] 
[1 − 2.500] (1/7) = i 
 6.000 
 i = 0,0833 = 8,33 % 
Resposta: 20% a.m. e 8,33% a.m. 
 
 
 
2- RELAÇÃO ENTRE TAXA DE JUROS EFETIVA E TAXA DE DESCONTO 
COMERCIAL 
 Como a taxa de juros efetiva é aquela que conduz, pelo desconto racional, ao mesmo valor 
calculado pelo desconto comercial, portanto, os dois descontos são iguais, então: 
 
Dr = Dc 
 N (ief) (n) = N i n 
 1 + (ief) (n) 
 (ief) (n) = (i) (n) 
1 + (ief) (n) 
 (ief) (n) = [1 + (ief) (n)] (i) (n) 
 (ief) (n) = (i) (n) + (ief) (i) (n)2 
Dividindo por n ambos os membros da equação fica: 
 (ief) = (i) + (ief) (i) (n) 
 ief - ief (i) (n) = i 
 Colocando ief em evidência fica: 
ief [1 − (i) (n)] = i 
.ief = (i) [1 − (i) (n)]−1. 
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Onde: 
 ief : taxa de juros efetiva 
 i : taxa de desconto comercial 
 n : número de períodos antes do vencimento 
 
 
Ex. 10: Uma nota promissória foi descontada sete meses antes do vencimento sendo que a taxa de 
desconto simples comercial foi 30% a.a. Calcular a taxa de juros efetiva mensal cobrada? 
 
 n = 7 meses i = 30% a.a ief = ? (a.m.) 
Solução: .ief = (i) [1 − (i) (n)]−1. 
ief = . (0,30) (1/12) . 
 1 − (0,30) (1/12) (7) 
 
ief = . (0,0250) . 
 1 − 0,1750 
ief = 0,0250 
 0,8250 
ief = 0,0303 = 3,03% 
Resposta: 3,03% 
 
 
Ex. 11: Um título de crédito de valor de face $ 19.230; foi descontado em uma instituição financeira, 
cento e quarenta e cinco dias antes do vencimento. Se a taxa do desconto foi de 24% a.s, qual foi a taxa 
de juros simples efetiva cobrada nesta operação? 
 
N = $ 19.230 n = 145 dias i = 24% a.s. ief = ? 
Solução 1: .ief = (i) [1 − (i) (n)]−1. 
 ief = . (0,24) (1/180) . 
 1− (0,24) (1/180) (145) 
 ief = 0,0017 = 0,17% a.d. 
Solução 2: .Vc = N [1 – (i) (n)]. 
Vc = 19.230 [1 − (0,24) (145) (1/180)] 
 Vc = $ 15.512,20 
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 .N
 
= (Vr) [1 + (i) (n)]. 
 N = Vc [1 + (ief) (n)] 
 19.230 = 15.512,20 [1 + (ief) (145)] 
[19.230 − 1] (1/145) = ief 
15.512 
ief = 0,0017 = 0,17% a.d. 
Resposta: 0,17% a.d. 
 
 
Ex. 12: Que taxa anual de desconto simples “por fora” exigirá uma entidade financeira em uma 
antecipação de oito meses, se ela deseja ganhar uma taxa de juros efetiva de 25% ao mês? 
 
 ief = 25% a.m. n = 8 meses. i = ? (a.a.) 
Solução: .ief = (i) [1 − (i) (n)]−1. 
 0,25
 
= . i . 
 1 − (i) (8) 
 (0,25) (1 − 8 i) = i 
Usando a propriedade distributiva fica: 
(0,25) (1) − (0,25) (8 i) = i 
 0,25 − 2 i = i 
0,25 = i + 2 i = 3 i 
 i = . 0,25 . 
 3 
 i = 0,0833/mês. 
 Taxa = (0,0833) (12) = 100,00% a.a. 
Resposta: 100% 
 
 
Ex. 13: Se numa operação de desconto comercial simples de um título de valor de emissão igual a $ 
13.500; a taxa de juros efetiva for 20% a.m, e a antecipação for de meio semestre, qual será o valor 
recebido? 
 
 N = $ 13.500 n = 0,5 sem. ief = 20% a.m. Vc = ? 
Solução 1: .ief = (i) [1 − (i) (n)]−1. 
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 0,20
 
= . i . 
 1 − (i) (0,5) (6) 
 (0,20) [(1 − (i) (0,5) (6)] = (i) 
 0,20 − 0,6 (i) = i 
 i = 0,20/1,6 
 i = 0,125 a.m. 
 .Vc = N [1 – (i) (n)]. 
 Vc = 13.500 [1 − (0,125) (0,5) (6)] 
 Vc = $ 8.437,50 
Solução 2: .N
 
= (Vr) [1 +(i) (n)]. 
 N = Vc [1 +(ief) (n)] 
13.500 = Vc [1 + (0,20) (0,5) (6)] 
 Vc = $ 8.437,50 
Resposta: $ 8.437,50 
 
 
Ex. 14: Calcular o valor de face de uma nota promissória que sofreu um desconto simples no valor de 
$ 1.500, descontada cento e quarenta dias antes do vencimento, a uma taxa efetiva de juros simples 
120% a.a. 
 
Dc = $ 1.500 n = 140 dias ief = 120% a.a. N = ? 
Solução 1: 
.Dr = (N) (i) (n) [1 + (i) (n)]−1. 
Dc = (N) (ief.) (n) [1 + (ief.) (n)]−1. 
 1.500 = (N) (1,20) (140) (1/360) 
 1 + (1,20) (140) (1/360) 
 
(1.500) [1 + (1,20) (140) (1/360)] = N 
(1,20) (140) (1/360) 
N = $ 4.714,29 
Solução 2: .Dr = (Vr) (i) (n)]. 
 Dc = (Vc) (ief) (n) 
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1.500 = (Vc) (1,20) (140) (1/360) 
 Vc = $ 3.214,29 
 .Dc = N – Vc. 
 1.500,00 = N − 3.214,29 
 N = $ 4.714,29 
Solução 3: .N
 
= (Vr) [1 + (i) (n)]. 
N = Vc [1 + (ief) (n)] 
 N = 3.214,29 [1 + (1,2) (140) (1/360)] 
 N = $ 4.714,29 
Resposta: $ 4.714,29 
 
 
 
 
3- EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS. 
O Capital (1) será igual ao Capital (2) em uma data e a uma determinada taxa de juros, se os 
respectivos Valores Atuais forem iguais. 
 
P1
 
= P2
 
se somente V1
 
= V2
 
 
As equivalências podem ser com Desconto Comercial ou Racional. 
 
 
Aplicação: 
A aplicação da equivalência de capitais pode ser na substituição de um ou mais títulos de 
crédito, por outro ou outros, com vencimentos diferentes. 
 
 
Equivalência entre Grupos de Capitais: 
 
V1
 
+ V2
 
+ … + Vn
 
= V1'
 
+ V2'
 
+ … + Vn'
 
 
 
Ex. 15: Após quantos dias devo pagar uma duplicata de $ 6.700 que substitui outra de $ 4.200, com 
vencimento para três meses e, se a taxa de desconto simples “por fora” for 7% a.m.? 
 
 N1
 
= $ 6.700 i = 7% a.m. n1
 
= ? (dias) 
 N2
 
= $ 4.200 n2
 
= 3 meses 
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Solução: P1
 
= P2
 
se V1
 
= V2
 
 
.Vc = N [1 – (i) (n)]. 
 N1
 
[1 – (i) (n1)] = N2
 
[1 – (i) (n2) 
 (6.700) [1 – (0,07) (n1)] = 4.200 [1 – (0,07) (3)] 
(6.700) [1 – (0,07) (n1)] = 4.200 [1 – (0,07) (3)] 
 4.200 4.200 
(1,5952) [1 – (0,07) (n1)] = 1 – 0,21 = 0,79 
Aplicando a propriedade distributiva, fica: 
1,5952 – (1,5952)(0,07 n1) = 0,79 
 1,5952 – 0,79 = 0,1117 n1 
 0,8052 = 0,1117 n1
 
n1 = (7,211 meses) (30 dias/1 mês) 
n = 216 dias 
Resposta: 216 
 
 
Ex. 16: Uma letra de câmbio de valor de emissão de $ 10.300 com vencimento para um mês e quinze 
dias; foi substituída por outra letra com vencimento para dois meses e cinco dias. Calcule o novo valor 
de face da letra a uma taxa de desconto simples “por dentro” de 96% a.a. 
 
 N1 = $ 10.300 n1
 
= 1 mês e 15 dias = 45 dias 
 N2 = ? n2
 
= 2 meses e 5 dias = 65 dias i = 96% a.a. 
Solução: P1
 
= P2
 
se V1
 
= V2
 
.N
 
= (Vr) [1 + (i) (n)]. 
 N1 
 = N2 . 
1 + i n1
 
 1 + i n2
 
 
 10.300 = N2 . 
1 + (0,96) (45) (1/360) 
 
1 + (0,96) (65) (1/360) 
(10.300) [ 1 + (0,96) (65) (1/360)] = N2
 
 
 1 + (0,96) (45) (1/360) 
 
 
(10.300) ( 1 + 0,1733) = N2
 
 
 1 + (0,96)(45)(1/360) 
 
 
 N2
 
= $ 10.790,17 
Resposta: $ 10.790,17 
 
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 14
Ex. 17: Quero substituir uma nota promissória de valor nominal de $ 8.000, com vencimento em dois 
meses por outra com vencimento em cem dias. Calcular o valor nominal da nova nota promissória, a 
uma taxa de desconto simples comercial de 24% a.t. 
 
N1 = $ 8.000 n1 = 2 meses 
N2 = ? n2 = 100 dias i = 24% a.t. 
Solução: P1
 
= P2
 
se V1
 
= V2
 
 .Vc = N [1 – (i) (n)].
 
 
 8.000 [1 − (0,24) (2) (1/3) = N2 [1 − (0,24) (100) (1/90)] 
 6.720 = N2 (0,733) 
N2 = $ 9.163,64 
Resposta: $ 9.163,64 
 
 
Ex. 18: Se uma duplicata de $ 10.235 com vencimento para um semestre e oito dias; for substituída 
por outra duplicata de valor $ 10.400 com vencimento para duzentos e quinze dias, qual será a taxa de 
desconto simples racional ao ano usada nesta operação? 
 
N1 = $ 10.235 n1 = 1 sem e 8 dias = (1) (180) +8 = 188 dias 
N2 = $ 10.400 n2 = 215 dias i = ? (a.a) 
Solução: P1
 
= P2
 
 se V1
 
= V2
 
.N
 
= (Vr) [1 + (i) (n)]. 
1 + (i) (215) (1/360) = . 10.400 [1 + (i) (188) (1/360)] 
 10.235 
1+ 0,60 (i) = 1,02 + 0,52 (i) (No mínimo duas casas decimais) 
 0,60 (i) − 0,52 (i) = 1,02 – 1 
0,08 (i) = 0,02 
 i = 0,02 
 0,08 
i ≈ 25% 
Resposta: 25% 
 
 
Ex. 19: Dois títulos de crédito; um com vencimento em três meses no valor de $ 3.100; e outro de $ 
2.300 para ser pago dentro de dois meses, são substituídos por um único título para ser pago em cento 
e cinqüenta dias. Calcular o valor do novo título, sabendo-se que a taxa de desconto simples comercial 
é 2% a.m. 
 
UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 4: DESCONTO SIMPLES 
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 15
 N1
 
= $ 3.100 n1
 
= 3 meses 
 N2 = $ 2.300 n2 = 2 meses 
 N3 = ? n3 = 150 dias = 5 meses i = 2% a.m. 
 
Solução: P1
 
+ P2 = P3 se V1 + V2 = V3
 
.Vc = N [1 – (i) (n)]. 
 N1
 
(1 − i n1) + N2
 
(1 − i n2) = N3 (1 − i n3) 
3.100
 
[(1 − (0,02) (3) + 2.300 [(1 − (0,02) (2) = N3
 
[(1 − (0,02) (5)] 
3.100
 
(1 − 0,06) + 2.300 (1 − 0,04) = N3
 
(1 − 0,10) 
 5.122 = 0,90 N3
 
N3
 
= $ 5.691,11 
Resposta: $ 5.691,11 
 
 
Ex. 20: Supondo um regime de capitalização simples e uma taxa de desconto “por fora” de 72% a.a, 
calcule o valor de face de duas duplicatas iguais, uma com vencimento para um semestre, e a outra 
com vencimento para um ano, que foram substituídas por três outras duplicatas; a primeira de $ 5.000 
para trinta dias; a segunda de $ 7.000 para um trimestre; e a última de $ 10.000 para cinco meses. Os 
valores de face das duplicatas que foram substituídas eram. 
 
 i = 72% a.a = 6% a.m. 
 
N1
 
= ? n1
 
= 1 sem. N1
 
= N2 
 N2
 
= ? n2
 
= 12 meses 
 N3
 
= $ 5.000 n3
 
= 1 mês 
 N4
 
= $ 7.000 n4
 
= 1 trim. = 3 meses 
 N5
 
= $ 10.000 n5
 
= 5 meses 
 
Solução: P1
 
+ P2 = P3 + P4 + P5 se V1 + V2 = V3
 
+ V4 + V5 
 
.Vc = N [1 – (i) (n)]. 
 N1
 
(1 − i n1) + N2
 
(1 − i n2) = N3
 
(1 − i n3) + N4
 
(1 − i n4) + N5
 
(1 − i n5) 
 N1
 
[(1 − 0,06) (6)] + N2
 
[(1 − (0,06) (12)] = 5.000 [(1 − (0,06) (1)] + 
 + 7.000 [(1 − (0,06) (3)] + 10.000 [1 − (0,06) (5)] 
 
0,64 N1 + 0,28 N2 = 4.700 + 5.740 + 7.000 
 0,64 N1
 
+ 0,28 N2 = 17.440 (1) 
 N1
 
= N2 (2) 
Substituindo a equação (2) na equação (1) fica: 
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 16
 0,64 N1
 
+ 0,28 N2 = 17.440 
 0,92 N1
 
= 17.440 
N1
 
= $ 18.956,52 = N2 
Resposta: $ 18.956,52 
 
 
Ex. 21: Se uma nota promissória de valor de face de $ 25.500; com vencimento para dois semestres e 
meio for substituída por outra de valor de face de $ 28.815, a uma taxa de desconto simples real de 
4,5% a.m, qual será o prazo de vencimento da nova nota promissória? 
 
N1 = $ 25.500 n1 = 2,5 sem. = 15 meses 
N2 = $ 28.815 n2 = ? i = 4,5% a.m 
Solução: P1
 
= P2 se V1 = V2 
 
 .N
 
= (Vr) [1 + (i) (n)]. 
. N1 . = N2 . 
1 + (i) (n1) 1 + (i) (n2) 
. 25.500 . = 28.815 . 
1 + (0,045) (15) 1 + (0,045) (n2) 
 1 + (0,045) (n2) = 28.815 [1 + (0,045) (15)] 
 25.500 
1 + (0,045) (n2) = (1,13) (1,68) 
0,045 n2 = 1,90 − 1 
n2 = (0,90) (1/0,045) 
n2 = 20 meses 
Resposta: 20 meses 
 
 
Ex. 22: Um empresário deve duas letras de câmbio: uma de $ 20.000 e a outra de $ 50.000, vencíveis 
respectivamente, em dois meses e quatro meses. Desejando renegociar suas dívidas, o empresário 
propõe e o credor aceita substituir esse esquema de pagamento por outro equivalente, constituído por 
três prestações de igual valor, vencíveis respectivamente, em um semestre, nove meses e um ano. 
Determinar o valor do pagamento no esquema substituto, sabendo-se que a taxa de juros simples 
negociada foi de 96% a.a. 
 
N1
 
= $ 20.000 n1
 
= 2 m. N2 = $ 50.000 n2
 
= 4 m. 
N3
 
= ? n3
 
= 1 sem. = 6 m. N4
 
= ? n4
 
= 9 m. 
N5
 
= ? n5
 
= 1 ano = 12 m. 
N3
 
= N4 = N5
 
i = 96% a.a = 8% a.m. 
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 17
� Desconto a Taxa de Juros => Desconto Racional 
Solução: P1
 
+ P2 = P3 + P4 + P5 se V1 + V2 = V3
 
+ V4 + V5 
 
.N
 
= (Vr) [1 + (i) (n)]. 
 
 N1 
 + N2 . = N3 + N4 + N5 . 
1 + i n1
 
1 + i n2
 
1 + i n3
 
1 + i n4
 
1 + i n5
 
 
 
 20.000 + 50.000 = N + N + N . 
1 + (0,08) (2) 
 
1 + (0,08) (4) 
 
1 + (0,08) (6) 
 
1 + (0,08) (9) 
 
1 + (0,08) (12) 
 
 
 20.000 + 50.000 = N + N + N . 
 
 1,16 1,32 1 + 0,48 1 + 0,72 1 + 0,96 
17.241,38 + 37.878,79 = N + N + N . 
 
 
1,48 
 
1,72 
 
1,9655.120,17 = N (1 ÷ 1,48) + N (1 ÷ 1,72) + N (1 ÷ 1,96). 
55.120,17 = 0,68 N + 0,58 N + 0,51 N 
 
55.120,17 = 0,68 N + 0,58 N + 0,51 N 
 55.120,17 = 1,77 N 
 N = $ 31.141,34 
Resposta: $ 31.141,34 
 
 
Ex. 23: Um atacadista deseja substituir duas duplicatas, uma de $ 15.000; com vencimento para dois 
bimestres, e a outra de $ 23.000 com vencimento para sete meses; por duas outras letras, uma de valor 
nominal $ 17.000 e vencimento para um semestre e a outra de valor nominal $ 86.000 e vencimento 
para três trimestres. Se o desconto for comercial simples, qual deverá ser a taxa de desconto? 
 
N1 = $ 15.000,00 n1 = 2 bim. = 4 m. N2 = $ 23.000,00 n2 = 7 m. 
N3 = $ 17.000,00 n3 = 1 sem. = 6 m. N4 = $ 86.000,00 n4 = 3 trim. = 9 m. 
i = ? 
Solução: P1
 
+ P2 = P3 + P4 se V1
 
+ V2
 
 = V3
 
+ V4
 
.Vc = N [1 – (i) (n)]. 
 N1
 
(1 − i n1) + N2
 
(1 − i n2) = N3
 
(1 − i n3) + N4
 
(1 − i n4) + N5
 
(1 − i n5) 
15.000,00 [1 − (i) (4)] + 23.000,00 [1 − (i) (7)] = 17.000,00 [1 − (i) (6)] + 86.000,00 [1 − (i) (9)] 
Dividindo a equação por 1.000,00 fica: 
 15,00 [1 − (i) (4)] + 23,00 [1 − (i) (7)] = 17,00 [1 − (i) (6)] + 86,00 [1 − (i) (9)] 
 15,00 − 60 i + 23,00 − 161 i = 17,00 − 102 i + 86,00 − 774 i 
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 18
 102 i + 774 i − 60 i − 161 i = 17,00 + 86,00 − 15,00 − 23,00 
655 i = 65 
i = 0,0992 a.m. 
Resposta: 9,92% a.m. 
 
 
Ex. 24: Dois títulos; um com vencimento em um trimestre no valor de $ 3.100 e o outro de $ 2.300 
para ser pago dentro de dois meses, são substituídos por um único título vencível no prazo de oito 
meses. Calcular o valor do novo título, sabendo-se que a taxa de desconto simples usada nesta 
operação foi 10% a.q? 
 
N1 = $ 3.100 n1 = 1 trim. = 3 m. N2 = $ 2.300 n2 = 2 m. 
N3 = ? n3 = 8 m. i = 10% a.q 
Solução: P1
 
+ P2 = P3 se V1
 
+ V2
 
 = V3
 
 
 
LEMBRETE: 
� Como não foi explícito no problema se é desconto comercial ou desconto racional, 
portanto, na prática em se tratando de desconto simples será sempre o desconto comercial. 
 
 
.Vc = N [1 – (i) (n)]. 
 
N1
 
(1 − i n1) + N2
 
(1 − i n2) = N3
 
(1 − i n3) 
3.100 [1 − (0,10) (3) (1/4)] + 2.300 [1 − (0,10) (2) (1/4) = N3
 
[1 − (0,10) (8) (1/4) 
3.100 (1 − 0,075) + 2.300 (1 − 0,05) = N3
 
(1 − 0,20) 
 2.867,50 + 2.185 = 0,8 N3 
5.052,50 = 0,8 N3
 
N3
 
= $ 6.315,63 
Resposta: $ 6.315,63 
 
 
Ex. 25: Três títulos, um de $ 5.000 para um mês; outro de $ 7.000 para um trimestre; e um terceiro de 
$ 10.000 para cinco meses; são substituídos por dois novos títulos de mesmo valor nominal, sendo que 
os vencimentos destes títulos são respectivamente um semestre e um ano. Se a taxa de desconto 
simples “por dentro” for 8% a.m, qual será o valor nominal dos novos títulos? 
 
N1 = $ 5.000 n1 = 1 mês 
N2 = $ 7.000 n2 = 1 trim. = 3 m. 
N3 = $ 10.000 n3 = 5 meses 
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MARCIA REBELLO DA SILVA 
 19
N4 = ? n4 = 1 sem. = 6 m 
N5 = ? n1 = 1 ano = 12 m. 
N4 = N5 = N i = 8% a.a. 
 
Solução: V1
 
+ V2
 
+ V3
 
= V4
 
+ V5
 
 .N
 
= (Vr) [1 + (i) (n)]. 
 5.000 . + 7.000 + 10.000 = N + N . 
1+ (0,08) (1) 1 + (0,08) (3) 1 + (0,08) (5) 1 + (0,08) (6) 1 + (0,08) (12) 
 5.000 . + . 7 .000 + 10.000 = N + N . 
 1+ 0,08 1 + 0,24 1 + 0,40 1 + 0,48 1 + 0,96 
5.000. + 7.000 + 10.000 = N + N . 
 1,08 1,24 1,40 1,48 1,96 
4.629,63 + 5.645,16 + 7.142,86 = N (1/1,48) + N (1/196) 
17.417,65 = N (0,6757) + N (0,5102) 
N = N4 = N5 = $ 14.687,58 
Resposta: $ 14.687,58 
 
 
Ex. 26: Uma letra de câmbio de valor de face de $ 8.000 vencível em setenta e dois dias foi 
substituída por outra de valor de face de $ 11.200 à uma taxa de desconto simples “por fora” de 25% 
a.b. Calcular o prazo de vencimento da nova letra de câmbio? 
 
N1 = $ 8.000 n1 = 72 dias i = 25% a.b. 
N2 = $ 11.200 n2 = ? 
Solução: P1
 
= P2 se V1
 
= V2
 
 
 .Vc = N [1 – (i) (n)]. 
N1
 
(1 − i n1) = N2
 
(1 − i n2) 
8.000 [1 − (0,25) (72) (1/60) = 11.200,00 [1 − (0,25) (n2)] 
 8.000 (1 − 0,30) = 11.200,00 (1 − 0,25 n2) 
5.600 = 11.200,00 − 2.800,00 n2 
2.800 n2 = 5.600,00 
 n2 = 2 bim. 
Resposta: 2 bim. 
 
 
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 20
Ex. 27: Se uma letra de câmbio de valor de face de $ 14.000, com vencimento para um trimestre, for 
substituída por outra de valor de face de $ 17.500 com vencimento para cinco meses; qual será a taxa 
semestral de desconto simples verdadeiro? 
 
 N1
 
= $ 14.000 n1
 
= 1 trim. = 3 meses 
 N2
 
= $ 17.500 n2
 
= 5 meses i = ? ( a.s.) 
 
Solução: P1
 
 = P2 se V1 = V2
 
.N
 
= (Vr) [1 + (i) (n)]. 
 N1 
 = N2 . 
 1 + i n1
 
1 + i n2 
 14.000 = 17.500 . 
1 + (i) (3) 
 
1 + (i) (5) 
14.000 [1 + (i) (5)] = 1 + (i) (3) 
17.500 
 (0,80) [1 + 5 (i)] = 1 + 3 (i)] 
 
0,80 + 4 (i) = 1 + 3 (i) 
4 (i) − 3 (i) = 1 − 0,80 
i = 0,20 = 20% 
Taxa = (20%) (6) = 120% a.s. 
Resposta: 120% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 4: DESCONTO SIMPLES 
MARCIA REBELLO DA SILVA 
 21
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS: U.A.4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FORMULÁRIO 
 
 
S = P + J J = P i n S = P (1 + i n) D = N − V 
 
N = (Vr) (1 + i n) Dr = (Vr) (i) (n) Dr = .N i n Dc = N i n 
 1 + i n 
 
Vc = N (1 − i n) ief = . i S = P (1 + i)n J = P [(1 + i)n − 1] 
 1 − i n 
 
S = R [(1 + i)n − 1] = R (sn┐i) S = R [(1 + i)n − 1] (1 + i) = R (sn┐i ) (1 + i) 
 i i 
 
A = R [1 − (1 + i)− n] = R (an┐i) A = R [1 − (1 + i)− n] (1 + i) = R (an┐i) (1 + i) 
 i i 
 
A = R A = R (1 + i) 
 i i 
 
Cn = . In . − 1 Cac = . In −1 
 In−1 I0 
 
Cac = [(1 + C1) (1 + C2)…(1 + Cn)] − 1 (1 + i) = (1 + r) (1 + θ) 
 
 
 
O uso do formulário abaixo é útil: 
 (1) Para resolver os exercícios propostos, 
 (2) Para desenvolver as questões das avaliações, pois o mesmo será 
anexado as mesmas e 
 
 (3) Porque não serão aceitas as questões nas avaliações em que o 
desenvolvimento foram pelas teclas financeiras de uma calculadora. 
 
UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 4: DESCONTO SIMPLES 
MARCIA REBELLO DA SILVA 
 22
Lembrete: 
1- Façam sempre os cálculos usando a calculadora científica que irão usar nas avaliações. 
2- Não será permitido o uso de celular para efetuar as contas nas avaliações. 
3- Os arredondamentos se forem feitos terão que ser no mínimo duas casas decimais. O ideal 
seria usar a memória da calculadora. 
 
 
 
1) Qual o valor de face de emissão de uma nota promissória que sofreu um desconto simples comercial 
no valor de $ 1.500,descontada cento e quarenta dias antes do vencimento, a uma taxa efetiva de juros 
simples 120% a.a? 
 
2) Calcular o valor atual comercial de um título de crédito de valor nominal $ 17.400 que foi 
descontada quatro bimestres antes do vencimento a uma taxa efetiva de juros simples igual a 3,5% a.m.
 
3) Uma letra no valor de $ 45.600 foi descontada a uma taxa de juros simples efetiva de 8,4% a.b. 
Quantos dias antes do prazo foi descontada a letra, se o valor descontado “por fora” foi $ 39.800? 
 
4) Uma duplicata de $ 35.700 foi descontada a uma taxa de desconto simples comercial de 21% a.s. 
Qual foi a taxa efetiva mensal de juros simples cobrada, se o valor recebido ao descontar a nota 
promissória foi $ 31.200? 
 
5) Uma letra de câmbio foi descontada um ano antes de seu vencimento, o desconto foi $ 35.000, e a 
taxa de desconto simples foi 1,5% a.m. Calcular a taxa de juros simples efetiva cobrado nesta 
operação? 
 
6) Uma duplicata de $ 84.000 foi descontada em uma instituição financeira, cinco trimestres antes de 
seu vencimento. Se a taxa de desconto simples “por fora” foi 5% a.s., qual foi a taxa efetiva de juros? 
 
7) Foi descontado um título de crédito de valor de nominal igual a $ 28.300, sete meses antes do 
vencimento. Se a taxa de juros simples efetiva cobrada foi 10% a.q, qual foi a taxa de desconto simples 
“por fora” ao trimestre cobrada? 
 
8) Um lojista resgatou uma duplicata oito meses antes do vencimento. Se o valor de resgate foi $ 
16.700 e a taxa efetiva de juros simples foi 54% a.a., qual foi a taxa de desconto simples? 
 
9) Um varejista descontou um título de crédito com valor nominal igual a $ 12.000, quatro meses antes 
do vencimento, mediante uma taxa de desconto simples igual a 3% ao mês. Sabendo-se que o varejista 
pagará ainda uma tarifa de 8% sobre o valor nominal, quanto deverá a empresa receber? 
 
10) Uma letra foi descontada quatro quadrimestres antes do vencimento sendo que a taxa de desconto 
simples comercial foi 48% a.a. Calcular a taxa de juros efetiva trimestral cobrada? 
 
UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 4: DESCONTO SIMPLES 
MARCIA REBELLO DA SILVA 
 23
11) Um título de crédito de valor de emissão $ 32.000; foi descontado em um banco; meio ano antes do 
vencimento. Se a taxa do desconto simples “por fora” foi de 10,5% a.t, qual foi a taxa de juros simples 
efetiva mensal cobrada nesta operação? 
 
12) Que taxa semestral de desconto simples comercial exigirá uma entidade financeira em uma 
antecipação de onze meses, se ela deseja ganhar uma taxa de juros simples efetiva de 15% ao 
bimestre? 
 
13) Duas duplicatas, uma de $ 3.100 com vencimento um trimestre e a outra de $ 2.300 para ser paga 
dentro de dois meses, são substituídas por uma única duplicata vencível no prazo de oito meses. qual o 
valor de face da nova duplicata, sabendo-se que a taxa de desconto simples “por fora” for 10% a.q.? 
 
14) Se um título de crédito de valor de face de $ 25.238,53, com vencimento para dois semestres e 
meio for substituído por outro de valor face de $ 28.900 à taxa de juros simples de 4,5% a.m, qual o 
prazo de vencimento do novo título de crédito? 
 
15) Um jovem deve dois títulos: um de $ 8.000 com vencimento em meio ano, e o outro de $ 5.000 
com vencimento para dois bimestres. Ele deseja substituí-lo por um único título no valor nominal de $ 
14.094,12. Se a taxa de desconto simples comercial for 1,5% a.m, qual será o prazo de vencimento do 
novo título? 
 
16) Uma letra de câmbio de valor de face de $ 8.000, vencível para setenta e dois dias, foi substituída 
por outra de valor de face de $ 11.200 com vencimento em quatro meses. Qual foi a taxa ao bimestre 
de desconto simples “por fora” empregada na transação? 
 
17) Uma empresa deve duas notas promissórias; uma de $ 13.800 com vencimento para meio ano; e a 
outra de $ 39.600 com vencimento para seis trimestres. Ela deseja substituí-las por duas notas 
promissórias de mesmo valor face uma com vencimentos para três meses; e a outra para dois anos. 
Qual será o valor da duplicata com vencimento para dois anos, se for cobrada nesta transação uma taxa 
de desconto simples racional de 3,5% a.m? 
 
 
 
SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS: U.A.4. 
 
 
1) Dc = $ 1.500 n = 140 dias ief = 120% a.a. N = ? 
 
Solução 1: Dr = (N) (i) (n) 
 . 1 + (i) (n) 
Dc = (N) (ief) (n) 
 1 + (ief) (n) 
 
1.500 = (N) (1,20) (140) (1/360) 
 1 + (1,20) (140) (1/360) 
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N = $ 4.714,29 
 
Solução 2: Dr = Vr i n Dc = (Vc) (ief) (n) 
1.500 = Vc (1,20) (140) (1/360) 
Vc = $ 3.214,29 
 N = Dc + Vc 
 N = 1.500 + 3.214,29 
N = $ 4.714,29 
Solução 3: Dr = Vr i n Dc = [(Vc) (ief) (n)] 
 1.500 = Vc (1,2) (140) (1/360) 
Vc = $ 3.214,29 
 N = Vr [1 + (i) (n)] N = Vc [1 + (ief) (n)] 
 N = 3.214,29 [1 + (1,2) (140) (1/360)] 
N = $ 4.714,29 
Resposta: $ 4.714,29 
 
2) N = $ 17.400 n = 4 bim ief = 3,5% a.m. Vc = ? 
Solução: N = Vr [(1 + (i) (n)] 
N = Vc [1 + (ief) (n)] 
 17.400 = Vc [(1 + (0,035) (4) (2)] 
Vc = $ 13.593,75 
Resposta: $ 13.593,75 
3) N = $ 45.600 ief = 8,4% a.b. Vc = $ 39.800 n = ? (dias) 
Solução: N = Vr [1 + (i) (n)] 
N = Vc [1 + (ief) (n)] 
 45.600 = 39.800,00 [1 + (0,084) (n) (1/60) 
n = 104 
Resposta: 104 
4) N = $ 35.700 Vc = $ 31.200 i = 21% a.s ief = ? (a.m) 
 
Solução: Vc = N [1 − (i) (n)] 
 31.200 = 35.700 [1 − (0,21) (n) ] 
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n = 0,60 sem. 
 N = Vr [(1 + (i) (n)] 
N = Vc [(1 + (ief) (n)] 
 35.700 = 31.200 [1 + (ief) (0,60) (6)] 
ief = 4,01% 
Resposta: 4,01% 
 
5) Dc = $ 35.000 n = 1ano i = 1,5% a.m. ief = ? 
Solução: Dc = N i n 
 35.000 = N (0,015) (12) 
N = $ 194.444,44 
 Vc = N − Dc 
 Vc = 194.444,44 − 35.000 
Vc = $ 159.444,44 
Solução 1: Dr = Vr (i) (n) 
 Dc = Vc (ief) (n) (Taxa de Juros Efetiva * Desc Com. = Desc. Rac.) 
 35.000 = 159.444,44 (ief)(12)] 
ief = 1,83 % a.m. 
Solução 2: N = Vr [(1 + (i) (n)] 
 N = Vc [(1 + (ief) (n)] 
 194.444,44 = 159.444,44 [(1 + (ief) (12)] 
ief = 1,83% a.m. 
Resposta: 1,83% a.m. 
6) N = $ 84.000 n = 5 trim. i = 5% a.s ief = ? 
Solução: Vc = N [1 − (i) (n)] 
 Vc = 84.000 [1 − (0,05) (5) (1/2)] 
 Vc = $ 73.500 
Solução 1: N = Vr [(1 + (i) (n)] 
N = Vc [1 + (ief) (n)] 
 84.000 = 73.500 [(1 + (ief) (5)] 
ief = 2,86% a.t. 
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Solução 2: Dc = N i n Dr = Vr (i) (n) 
Dc = Vc (ief) (n) 
Dc = N − Vc 
 84.000 − 73.500 = 73.500 (ief) (5) 
ief = 2,86% a.t. 
Resposta: 2,86% a.t. 
7) N = $ 28.300 ief = 10 % a.q. n = 7 meses i = ? (a.t.) 
Solução: N = Vr [1 + (i) (n)] 
N = Vc [(1 + (ief) (n)] 
 28.300 = Vc [(1 + (0,10) (7) (1/4)] 
Vc = $ 24.085,11 
 Vc = N [1 − (i) (n)] 
 24.085,11 = 28.300 [1 − (i) (7) (1/3)] 
i = 6,38% 
Resposta: 6,38% 
8) Vc = $ 16.700 n = 8 meses ief = 54 % a.a. i = ? 
Solução: N = Vr [1 + (i) (n)] N = Vc [(1 + (ief) (n)] 
 N = 16.700 [(1 + (0,54) (8) (1/12)] 
N = $ 22.712 
 Vc = N [1 − (i) (n)] 
 16.700 = 22.712 [1 − (i) (8)] 
i = 3,31% a.m. 
Resposta: 3,31% a.m. 
9) N = $ 12.000 n = 4 meses i = 3% a.m. h = 8% Vc = ? 
Solução: Dc = N i n + h N 
 Dc = 12.000 (0,03) (4)+ (0,08) (12.000) 
Dc = R$ 2.400 
Dc = N − Vc 
Vc = 12.000 − 2.400 
Vc = $ 9.600 
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Resposta: $ 9.600 
10) n = 4 quad. i = 48% a.a ief = ? (a.t.) 
Solução: ief = . i . 
 1 − (i) (n) 
ief = . (0,04) . 
 1 − (0,04) (16) 
 ief = 11,11% a.m. = 33,33% a.t. 
Resposta: 33,33% a.t. 
11) N = $ 32.000 n = 6 meses i = 10,5% a.t ief = ? (a.m.) 
Solução 1: ief = . i . 
 1 − (i) (n) 
 ief = . (0,105) (1/3) . 
 1− (0,105) (6) (1/3) 
ief = 4,43% 
 
Solução 2: Vc = N [1 − (i) (n)] 
 Vc = 32.000 [1 − (0,105) (6) (1/3)] 
Vc = $ 25.280 
 N = Vr [1 + (i) (n)] 
N = Vc [1 +(ief) (n)] 
 32.000 = 25.280 [1 + (ief) (6)] 
ief = 4,43% 
Resposta: 4,43% 
12) ief = 15% a.b. n = 11 meses. Taxa = ? (a.s) 
Solução: ief = . i . 
 1 − (i) (n) 
 (0,15) (1/2) = . i . 
 1 − (i) (11) 
 (0,15) (1/2) − (0,15) (1/2) (i) (11)] = i 
 0,075 − 0,825 (i) = i 
i = 4,11% a.m. 
Taxa = (4,11%) (6) = 24,66% 
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Resposta: 24,66% 
 
13) N1 = $ 3.100 n1 = 1 trim. 
N2 = $ 2.300 n2 = 2 meses i = 10% a.q. 
N3 = ? n3 = 8 meses 
Solução: Vc1 + Vc2 = Vc3 
Vc = N [1 – (i) (n)] 
 3.100 [1 − (0,10) (3) (1/4)] + 2.300 [1 − (0,10) (2) (1/4) = N3 [1 − (0,10) (8) (1/4) 
 0,8 N3 = 5.052,50 
N3 = $ 6.315,63 
Resposta: $ 6.315,63 
14) N1 = $ 25.238,53 n1 = 2,5 sem i = 4,5% a.m. 
N2 = $ 28.900,00 n2 = ? 
Solução: Vr1 = Vr2 (A taxa de juros => desc. racional) 
 N = Vr [1 + (i) (n)] 
 
. 25.283,53 . = . 28.900,00 . 
1 + (0,045) (15) 1 + (0,045) (n2) 
 1 + (0,045) (n2)] = (1,14) (1,68) 
n2 = 20,34 meses 
Resposta: 20,34 meses 
15) N1 = $ 8.000 n1 = 0,5 ano 
N2 = $ 5.000 n2 = 2 bim. 
N3 = $ 14.094,12 n3 = ? i = 1,5% a.m. 
Solução: Vc1 + Vc2 = Vc3 
Vc = N [1 – (i) (n)] 
 8.000 [1 − (0,015) (6)] + 5.000 [1 − (0,015) (4)] = 14.094,12 [1 − (0,015) (n3)] 
 7.280 + 4.700 = 14.094,12 − 211,41 n3 
n3 = 10 meses 
Resposta: 10 meses 
 
16) N1 = $ 8.000 n1 = 472 dias 
N2 = $ 11.200 n2 = 4 meses i = ? (a.b.) 
 
Solução: Vc1 = Vc2 
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Vc = N [1 – (i) (n)] 
 8000 [1 − (i) (72) (1/60) = 11.200 [1 − (i) (4) (1/2)] 
 8 − 9,60 (i) = 11,20 − 22,40 (i) 
i = 25% 
Resposta: 25% 
17) N1 = $ 13.800 n1 = 0,5 ano 
N2 = $ 39.600 n2 = 6 trim 
N3 = ? n3 = 3 meses 
N4 = ? n4 = 2 anos 
N3 = N4 i = 3,5% a.m. 
Solução: Vr1 + Vr2 = Vr3 + Vr4 
N = Vr [1 + (i) (n)] 
 . 13.800 + . 39.600 = . N . + . N . 
 1 + (0,035) (6) 1 + (0,035) (18) 1 + (0,035) (3) 1 + (0,035) (24) 
 35.699,44 = N 1 . + N . 1 . 
 1 ,11 1,84 
35.699,44 = (0,90 + 0,54) N 
N4 = $ 24.791,28 
Resposta: $ 24.791,28