119 AD2 CIV 2008 1 prova

Prévia do material em texto

Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Ca´lculo IV - AD2
Nome: Matr´ıcula:
Po´lo: Data:
Questa˜o 1 [2,0 pts]: Seja g : R → R uma func¸a˜o diferencia´vel e h : R → R uma primitiva de g
tal que h(1) = 2, h(2) = 4. Calcule
I =
∫
C
xg
(
x2 + y2 + z2
)
dx + yg
(
x2 + y2 + z2
)
dy + zg
(
x2 + y2 + z2
)
dz ,
onde C e´ a intersec¸a˜o no primeiro octante, das superf´ıcies x2 + y2 = 1, y = z, percorrida no sentido
anti-hora´rio quando vista do semi-eixo positivo.
Questa˜o 2 [2,0 pts]: Ache o trabalho que realiza a forc¸a
−→
F (x, y) =
(
2x cos(xy)− x2y sen(xy)− y,−x3 sen(xy)
)
para transladar uma part´ıcula desde o ponto (pi, 0) ate´ a origem ao longo da curva C : y = 1−|cos x|.
Sugesta˜o: Feche a curva e use o Teorema de Green.
Questa˜o 3 [2,0 pts]: Mostre que o campo vetorial
−→
F (x, y) =
[
cos
(
xy2
)
− xy2 sen
(
xy2
)]−→
i − 2x2y sen
(
xy2
)−→
j
e´ conservativo. Calcule
∫
C
−→
F · d−→r para a curva C dada por γ(t) = (et, et+1), com −1 ≤ t ≤ 0.
Sugesta˜o: Prove que a integral na˜o depende do caminho e escolha um caminho adequado.
Questa˜o 4 [2,0 pts]: Seja S a porc¸a˜o do cone limitado pela esfera x2 + y2 + z2 = 1.
a) Parametrize S usando coordenadas cartesianas como paraˆmetros.
b) Parametrize S usando coordenadas polares como paraˆmetros.
c) Calcule a a´rea de S.
Questa˜o 5 [2,0 pts]: Calcule o centro de massa da parte esfe´rica x2 + y2 + z2 = 16, que esta´
abaixo do plano z = 2 e acima do plano xy, supondo a densidade constante.
Sugesta˜o: Use coordenadas esfe´ricas para parametrizar S.