GeometriaBasica Aula10 Volume1

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Semelhanc¸a de triaˆngulos
MO´DULO 1 - AULA 10
Aula 10 – Semelhanc¸a de triaˆngulos
Objetivos
• Introduzir a noc¸a˜o de semelhanc¸a de triaˆngulos
• Determinar as condic¸o˜es mı´nimas que permitem dizer que dois triaˆngulos
sa˜o semelhantes.
Introduc¸a˜o
Vimos na aula 3 a noc¸a˜o de congrueˆncia de triaˆngulos. Intuitivamente
falando, dois triaˆngulos sa˜o congruentes quando apresentam o mesmo tama-
nho e a mesma forma. Veremos, nesta aula, a noc¸a˜o de semelhanc¸a entre
dois triaˆngulos que, intuitivamente falando, significara´ que os mesmos teˆm a
mesma forma.
Definic¸a˜o 30
Dizemos que dois triaˆngulos sa˜o semelhantes se existe uma correspondeˆncia
entre seus ve´rtices de modo que aˆngulos correspondentes sejam congruentes
e lados correspondentes sejam proporcionais.
O que a definic¸a˜o anterior quer dizer e´ que ABC e DEF sa˜o semelhan-
tes (segundo a correspondeˆncia A↔ D, B ↔ E e C ↔ F ) se BÂC ≡ ED̂F ,
AB̂C ≡ DÊF , BĈA ≡ EF̂D e
m(AB)
m(DE)
=
m(AC)
m(DF )
=
m(BC)
m(EF )
.
Usaremos a notac¸a˜o ABC ∼ DEF para indicar que ABC e DEF
sa˜o semelhantes segundo a correspondeˆncia A ↔ D, B ↔ E e C ↔ F .
Como na congrueˆncia de triaˆngulos, a ordem em que as letras esta˜o escritas
e´ importante (veja figura 185).
A
B C
D
E F
Fig. 185: ABC ∼ DEF .
121 CEDERJ
Semelhanc¸a de triaˆngulos
A raza˜o comum entre os lados e´ chamada raza˜o de semelhanc¸a. E´ claro
que dois triaˆngulos congruentes sa˜o semelhantes, com raza˜o de semelhanc¸a
igual a 1. Mas existem triaˆngulos semelhantes que na˜o sa˜o congruentes:
considere dois triaˆngulos equila´teros em que a medida do lado de um deles
seja o dobro da medida do lado do outro. Como os treˆs aˆngulos dos dois
triaˆngulos medem 60o, conclui-se que eles sa˜o semelhantes com raza˜o de
semelhanc¸a 1/2 (ou 2). Obviamente os dois triaˆngulos na˜o sa˜o congruentes.
Veja figura 186.
A
B C
D
E F
Fig. 186: Triaˆngulos equila´teros semelhantes, mas na˜o congruentes.
E´ claro que todo triaˆngulo e´ semelhante a si mesmo (propriedade refle-
xiva) e que se ABC ∼ DEF enta˜o DEF ∼ ABC (propriedade sime´trica).
Ale´m disso, se ABC ∼ DEF e DEF ∼ GHI enta˜o ABC ∼ GHI (proprie-
dade transitiva).
Analogamente a` congrueˆncia de triaˆngulos, em que determinamos condic¸o˜es
mı´nimas (casos de congrueˆncia) para garantir a congrueˆncia entre dois triaˆngulos,
existem tambe´m condic¸o˜es mı´nimas que garantem que dois triaˆngulos sa˜o se-
melhantes. Essas condic¸o˜es mı´nimas sa˜o os casos de semelhanc¸a de triaˆngulos.
Comec¸aremos com a seguinte proposic¸a˜o:
Proposic¸a˜o 23
Se um triaˆngulo tem dois de seus aˆngulos correspondentemente congruen-
tes a dois aˆngulos de outro triaˆngulo, enta˜o os dois triaˆngulos sa˜o semelhantes.
A
B C
D
E F
Fig. 187: Proposic¸a˜o 23.
Prova:
Sejam ABC e DEF triaˆngulos tais que AB̂C ≡ DÊF e BĈA ≡ EF̂D
(figura 187). Queremos provar que BÂC ≡ ED̂F e
m(AB)
m(DE)
=
m(AC)
m(DF )
=
m(BC)
m(EF )
.
CEDERJ 122
Semelhanc¸a de triaˆngulos
MO´DULO 1 - AULA 10
Como a soma dos aˆngulos internos de qualquer triaˆngulo e´ 180o, segue
da hipo´tese que tambe´m se tem BÂC ≡ ED̂F . Se os segmentos BC e EF
forem congruentes, segue que ABC ≡ DEF pelo caso de congrueˆncia A.L.A..
Logo, ABC e DEF sa˜o semelhantes (com raza˜o de semelhanc¸a igual a 1).
Suponha agora que os segmentos BC e EF na˜o sejam congruentes. Por
exemplo, suponha que BC < EF . Marque um ponto G no segmento EF de
modo que BC ≡ EG e por G trace uma reta paralela a` reta ←→DF . Seja H o
ponto em que essa reta corta o segmento ED (Figura 188).
A
B
 C
 E
H
G
D
F
Fig. 188: Proposic¸a˜o 23.
Segue da proposic¸a˜o 10, da aula 5 que HĜE ≡ DF̂E. Mas os aˆngulos
AĈB e DF̂E sa˜o congruentes por hipo´tese. Enta˜o HĜE ≡ AĈB e obtemos
do caso de congrueˆncia A.L.A. que ABC ≡ HEG. Consequ¨entemente, os
segmentos AB e HE sa˜o tambe´m congruentes. Usando o Teorema de Tales,
conclui-se que
m(HE)
m(DE)
=
m(EG)
m(EF )
. Mas m(EG) = m(BC) e m(HE) =
m(AB). Logo,
m(AB)
m(DE)
=
m(BC)
m(EF )
. (I)
Para completar a prova, considere um ponto I ∈ EF tal que IF ≡ BC
e, por I, trace uma reta paralela a DE. Seja J o ponto em que essa reta
corta DF (figura 189).
A
B
 C
 E
D
F
I
J
Fig. 189: Proposic¸a˜o 23.
Raciocinando como antes, obte´m-se JÎF ≡ DÊF ≡ AB̂C e ABC ≡
JIF . Segue que AC ≡ JF e
m(AC)
m(DF )
=
m(JF )
m(DF )
=
m(IF )
m(EF )
=
m(BC)
m(EF )
(II)
123 CEDERJ
Semelhanc¸a de triaˆngulos
Juntando (I) e (II) conclu´ımos finalmente que
m(AB)
m(DE)
=
m(BC)
m(EF )
=
m(AC)
m(DF )
Portanto, ABC ∼ DEF .
Q.E.D.
Voceˆ seria capaz de descobrir
como Tales determinou a
altura da piraˆmide?
(Veja a primeira nota lateral
da aula 9.)
A pro´xima proposic¸a˜o traz mais um caso de semelhanc¸a de triaˆngulos.
Proposic¸a˜o 24
Se dois triaˆngulos ABC e DEF sa˜o tais que AB̂C ≡ DÊF e m(AB)
m(DE)
=
m(BC)
m(EF )
, enta˜o ABC e DEF sa˜o semelhantes.
Prova:
Se AB e DE forem congruentes, enta˜o m(AB) = m(DE) e
m(BC)
m(EF )
=
m(AB)
m(DE)
= 1. Segue que BC e EF tambe´m sa˜o congruentes.
Como AB̂C ≡ DÊF por hipo´tese, conclui-se por L.A.L. que ABC
e DEF sa˜o triaˆngulos congruentes. Assim, ABC e DEF sa˜o semelhantes
(com raza˜o de semelhanc¸a igual a 1). Suponha agora que AB e DE na˜o
sejam congruentes. Por exemplo, suponha que AB < DE. Nesse caso tem-se
tambe´m BC < EF (pela nossa hipo´tese). Marque um ponto G no segmento
DE de modo que AB ≡ GE. Pelo ponto G trace uma reta paralela a` reta
DF e seja H o ponto em que essa reta corta o segmento EF (figura 190).
A
B
 C
 E
G
H
D
F
Fig. 190: Proposic¸a˜o 24.
Usando o Teorema de Tales obte´m-se que
m(GE)
m(DE)
=
m(EH)
m(EF )
.
Mas m(AB) = m(GE) por construc¸a˜o do ponto G. Assim,
m(AB)
m(DE)
=
m(EH)
m(EF )
.
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Semelhanc¸a de triaˆngulos
MO´DULO 1 - AULA 10
Como
m(AB)
m(DE)
=
m(BC)
m(EF )
por hipo´tese, segue que m(EH) = m(BC), ou seja, BC e EH sa˜o tambe´m
congruentes. Como ja´ temos que AB ≡ GE e AB̂C ≡ DÊF , segue do
caso L.A.L. de congrueˆncia de triaˆngulos que ABC e GEH sa˜o triaˆngulos
congruentes. Em particular tem-se GĤE ≡ AĈB. Mas GĤE ≡ DF̂E pois
GH//DF , donde se conclui que AĈB ≡ DF̂E. Enta˜o os triaˆngulos ABC e
DEF sa˜o tais que AB̂C ≡ DÊF e AĈB ≡ DF̂E. A semelhanc¸a entre os
triaˆngulos ABC e DEF segue agora da proposic¸a˜o 23.
Q.E.D.
A hipo´tese da proposic¸a˜o anterior significa que os lados AB e BC do
triaˆngulo ABC sa˜o proporcionais aos lados DE e EF do triaˆngulo DEF .
O que a proposic¸a˜o 24 diz enta˜o e´ que, se dois lados de um triaˆngulo sa˜o
proporcionais a dois lados de outro triaˆngulo e os aˆngulos inclusos a esses
lados sa˜o congruentes, enta˜o esses triaˆngulos sa˜o semelhantes.
Podemos relacionar
semelhanc¸a com a reduc¸a˜o
ou ampliac¸a˜o de fotos ou
imagens.
Encerraremos os casos de semelhanc¸a com a seguinte proposic¸a˜o:
Proposic¸a˜o 25
Se dois triaˆngulos ABC e DEF sa˜o tais que
m(AB)
m(DE)
=
m(AC)
m(DF )
=
m(BC)
m(EF )
,
enta˜o ABC e DEF sa˜o semelhantes.
Prova:
Se BÂC ≡ ED̂F , AB̂C ≡ DÊF ou AĈB ≡ DF̂E, obtemos a seme-
lhanc¸a entre os triaˆngulos ABC e DEF a partir da proposic¸a˜o 24. Caso
contra´rio, teremos dois aˆngulos de um dos triaˆngulos menores que os seus
correspondentes do outro triaˆngulo. Suponha, por exemplo, que tenhamos
AB̂C < DÊF e AĈB < DF̂E. Nesse caso, trac¸amos semi- retas
−−→
EG e
−−→
FH
de forma que AB̂C ≡ GÊF e AĈB ≡ HF̂E. Sejam I o ponto em que a
semi-reta
−−→
EG intersecta o segmento DF , J o ponto em que a semi-reta
−−→
FH
intersecta o segmento DE e K o ponto de intersec¸a˜o entreas semi-retas
−−→
EG
e
−−→
FH. Trace o segmento DK (figura 191).
125 CEDERJ
Semelhanc¸a de triaˆngulos
A
B C
D
E F
H
J
K
I
G
Fig. 191: Proposic¸a˜o 24.
Os triaˆngulos ABC e KEF sa˜o semelhantes pela Proposic¸a˜o 23. Tem-
se portanto que
m(AB)
m(KE)
=
m(AC)
m(KF )
=
m(BC)
m(EF )
.
Mas
m(AB)
m(DE)
=
m(AC)
m(DF )
=
m(BC)
m(EF )
por hipo´tese. Portanto, m(KE) = m(DE) e m(KF ) = m(DF ), ou seja,
KE ≡ DE e KF ≡ DF . Mas o exerc´ıcio 8 da aula 2 diz que essa situac¸a˜o
na˜o pode ocorrer (compare com a prova do caso L.L.L. de congrueˆncia de
triaˆngulos). Essa contradic¸a˜o prova que devemos ter BÂC ≡ ED̂F , AB̂C ≡
DÊF ou AĈB ≡ DF̂E, o que implica, como vimos no in´ıcio desta prova,
que ABC e´ semelhante a DEF .
Q.E.D.
O que a proposic¸a˜o 25 diz e´ que, se os treˆs lados de um triaˆngulo sa˜o
proporcionais aos treˆs lados de outro triaˆngulo, enta˜o esses triaˆngulos sa˜o
semelhantes.
Resumo
Nesta aula voceˆ aprendeu...
• O que significa dizer que dois triaˆngulos sa˜o semelhantes.
• Que, se dois aˆngulos de um triaˆngulo sa˜o congruentes a dois aˆngulos
de outro triaˆngulo, enta˜o esses triaˆngulos sa˜o semelhantes.
• Que, se dois lados de um triaˆngulo sa˜o porporcionais a dois lados de
outro triaˆngulo e os aˆngulos inclusos a esses lados sa˜o congruentes,
enta˜o esses triaˆngulos sa˜o semelhantes.
• Que, se os treˆs lados de um triaˆngulo sa˜o proporcionais aos treˆs lados
de outro triaˆngulo, enta˜o esses triaˆngulos sa˜o semelhantes.
CEDERJ 126
Semelhanc¸a de triaˆngulos
MO´DULO 1 - AULA 10
Exerc´ıcios
1. Determine os valores de x e de y na figura 192.
3
x
4
6
8
y
Fig. 192: Exerc´ıcio 1.
2. Determine o valor de x na figura 193.
4
6
3
8
12
x
Fig. 193: Exerc´ıcio 2.
3. Na figura 194, ABCD, EFGC e HIJG sa˜o quadrados. Determine o
valor de x.
A B
CD
E F
G
H
J
x9 6
I
Fig. 194: Exerc´ıcio 3.
4. Na figura 195, ABCD e´ um retaˆngulo, m(BC) = 12 e M e´ o ponto
me´dio de AB. Determine m(EF ).
A B
CD
E
FM
Fig. 195: Exerc´ıcio 4.
127 CEDERJ
Semelhanc¸a de triaˆngulos
5. (U.F.SE - 1984) Na figura 196, m(AC) = 8 cm e m(CD) = 4 cm.
A
B CD
Fig. 196: Exerc´ıcio 5.
A medida de BD, em cm, e´:
(a) 9 (b) 10 (c) 12 (d) 15 (e) 16
6. (Poteˆncia de um ponto em relac¸a˜o a um c´ırculo.) Em qualquer
uma das figuras 197, prove que m(PA).m(PB) = m(PC).m(PD).
A
B
C
D
P
A
B
C
 D
P
Γ
 Γ
Fig. 197: Exerc´ıcio 6.
O valor comum do produto m(PA).m(PB) e´ chamado de poteˆncia do
ponto P em relac¸a˜o ao c´ırculo Γ.
7. Determine o valor de x na figura 198
10
x
8
4
6
7
Fig. 198: Exerc´ıcio 7.
8. Na figura 199, PA e´ tangente ao c´ırculo.
A
C
D
P
Fig. 199: Exerc´ıcio 8.
Prove que m(PA)2 = m(PC)m(PD).
CEDERJ 128
Semelhanc¸a de triaˆngulos
MO´DULO 1 - AULA 10
9. Na figura 200, m(AB) = 4, m(BC) = 6, m(AC) = 8 e o per´ımetro de
DEF vale 27.
A
B
C D
E
F
Fig. 200: Exerc´ıcio 9.
Determine as medidas dos lados de DEF .
10. Calcule o raio do c´ırculo da figura 201, sabendo que BC e´ tangente ao
c´ırculo.
A
 B
C
D
O
16
9
Fig. 201: Exerc´ıcio 10.
11. (FATEC-1978) Dado o triaˆngulo ABC na figura 202, constru´ımos a
poligonal L = BCB1C1B2C2B3C3 . . ..
A
 B
C
p
n
 m
C
3
C
2
C
1
B
3
B
2
B
1
60
o
 60
o
60
o
60
o
Fig. 202: Exerc´ıcio 11.
O comprimento de L e´:
(a) 2p (b) m+n+ p (c) 2(m+n) (d) 2(m+ p) (e)
m+ n
2
+ p
129 CEDERJ
Semelhanc¸a de triaˆngulos
12. (UFF, 1994) O hexa´gono regular da figura 203 possui lado medindo L.
M
1
M
2
M
3
M
4
M
5
M
6
M
7
M
8
M
9
N
1
N
2
N
3
N
4
N
5
N
6
N
7
N
8
N
9
Fig. 203: Exerc´ıcio 12.
Sabendo que os 9 segmentos M1N1,M2N2, . . . ,M9N9 sa˜o todos para-
lelos e dividem o segmento M1M9 em 8 partes iguais, pode-se afirmar
que a soma m(M1N1) +m(M2N2) + . . .+m(M9N9) e´ igual a:
(a) 11L (b) 12L (c) 13L (d) 14L (e) 15L
13. Determine o raio do c´ırculo circunscrito ao triaˆngulo ABC da figura
204, sabendo que m(AB) = 4, m(AC) = 6 e m(AH) = 3.
A
B
 C
H
Fig. 204: Exerc´ıcio 13.
14. (UFF, 1996) O quadrila´tero MNPQ, esta´ inscrito no c´ırculo de centro
O e raio 10 cm, conforme a figura 205.
Q
M
N
P
O
Fig. 205: Exerc´ıcio 14.
Sabendo que a diagonal MP passa por O, QM = 8 cm e MN = 12 cm,
pode-se afirmar que o valor do segmento MH, em cm, e´:
(a) 4, 0 (b) 4, 5 (c) 4, 8 (d)5, 0 (e) 5, 3
CEDERJ 130
Semelhanc¸a de triaˆngulos
MO´DULO 1 - AULA 10
15. (FUVEST - 1979) Na figura 206, ABC e´ um triaˆngulo retaˆngulo em
A, ADEF e´ um quadrado, m(AB) = 1 e m(AC) = 3.
B
D
E
A F
C
Fig. 206: Exerc´ıcio 15.
Pode-se afirmar que o lado do quadrado mede:
(a) 0,70 (b) 0,75 (c) 0,80 (d) 0,85 (e) 0,90
16. (UFF, 1993) Considere o triaˆngulo iso´sceles PQR da figura 207, de
lados congruentes PQ e PR, cuja altura relativa ao lado QR e´ h.
M
P
Q
K
R
1
 2
M
Fig. 207: Exerc´ıcio 16.
Sabendo que M1 e M2 sa˜o, respectivamente, os pontos me´dios de PQ
e PR, a altura do triaˆngulo KM1M2, relativa ao lado M1M2 e´:
(a)
2h
3
(b)
h
6
(c)
h
√
3
2
(d)
h
√
3
3
(e)
h
√
3
6
131 CEDERJ