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aula 19

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Movendo discos, formando 
torres e pensando 
indutivamente
Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta aula, 
você seja capaz de:
 Utilizar as Torres de Hanói como recurso de aprendizagem.
 Estudar regularidades.
 Aplicar o conceito de função na análise de movimentos 
de peças das Torres de Hanói
 Refl etir criticamente sobre a avaliação em Matemática.
Pré-requisitos 
Para o bom desenvolvimento desta aula, é aconselhável que você revise 
o princípio da indução fi nita (ou matemática), na Aula 4 
da disciplina Álgebra I.
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Meta da aula 
Instrumentalizar o trabalho 
com as Torres de Hanói.
19AULA
Instrumentação do Ensino de Aritmética e Álgebra | Movendo discos, formando torres e pensando 
 indutivamente
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Conforme você identifi cou nos objetivos desta aula, revisaremos o conceito 
de função e de indução fi nita utilizando um jogo: Torres de Hanói. Apesar 
de a importância do uso de jogos em aulas de Matemática ser sempre ressaltada, 
muitos professores não o incluem em seus planejamentos. É comum utilizarem 
jogos e situações lúdicas apenas como passatempos. Esta não é nossa proposta, 
conforme você perceberá nesta aula. 
INTRODUÇÃO
Além de promover a socialização e despertar o espírito investigativo, 
importantes no processo de matematizar, o jogo provocará mudanças de 
atitude em relação ao erro. Assim, professor e aluno passarão a reconhecer 
o erro como potencial no processo de matematização. 
!
O JOGO E A PRÁTICA EM SALA DE AULA
Por ser o jogo uma atividade inata às crianças, o professor pode 
aproveitar o lúdico para fazer com que o processo ensino-aprendizagem, 
em especial o de Matemática, seja mais motivador e divertido, sem que 
a prática pedagógica seja confundida com falta de proposta educativa. 
Segundo Giménez e Rosich (1998), um jogo possui as características 
de vertente lúdica, fator de azar, tempo limitado e conteúdo curricular 
implícito. Como componente lúdico, o jogo confere um valor motivacional 
de atitudes e de predisposições ao livro didático. No mais, fomenta 
o processo de socialização, uma vez que tem um componente social 
indubitável, na medida em que estabelece efetivas reações de aceitação, 
cumprimento de regras etc. O azar é um dos principais elementos sociais 
do jogo, por desenvolver no aluno o hábito de ganhar ou perder como 
inerente ao processo. O tempo e o número limitado de movimentos 
de um jogo fazem com que seja possível utilizá-lo também como base de 
situações didáticas, e o conteúdo curricular (conceitos, procedimentos e 
atitudes) do jogo não pode fi car em segundo plano. 
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O MITO (FERRERO, 1991; MACHADO, 1992) DO TEMPLO DE BENARES, no qual 
Deus, no momento da criação, colocou 64 discos de ouro puro, todos de tamanhos 
diferentes, em uma das três agulhas de diamante fi xadas numa placa de cobre. 
O maior disco seria a base da torre, e o menor, seu topo: era a Torre de Brahma. 
A tarefa dos sacerdotes do templo seria transportar a torre para outra agulha 
de diamante, movendo um disco de cada vez, nunca colocando um disco maior 
sobre outro menor. 
Ainda segundo o mito, quando a tarefa fosse cumprida, o mundo desapareceria.
Como você viu, o jogo também nos permite matematizar. 
Consideramos matematizar como um processo construtivo, fortalecido 
pela interação pessoa/grupo, na qual as idéias matemáticas constituem 
e são constituídas de signifi cações e sentidos, a partir do que “falam” 
(gesticulam, desenham ou qualquer outra maneira de representar 
e comunicar suas idéias) os alunos. Complementa Powell (1996): 
matematizar é um processo natural, inerente ao ser humano, devendo 
ser propiciado desde a infância; depende da capacidade que todos os seres 
humanos têm de tomar consciência de um evento ou acontecimento. 
Propor diferentes jogos como detonadores do processo de matematização 
e refl etir continuamente sobre a prática avaliativa em Matemática devem ser 
objetivos constantes do professor.
!
Vejamos, então, o jogo Torre de Hanói (ou Torres de Hanói), 
bastante conhecido pelos professores.
O JOGO TORRE DE HANÓI
Este jogo foi construído a partir de um interessante MITO INDIANO 
DO TEMPLO DE BENARES. 
O jogo Torre de Hanói tem caráter motivador e aspecto 
investigativo que se adaptam a diferentes séries. Sua regra: mover um 
disco de cada vez e sempre impedir que um disco maior fi que sobre 
um menor. O desafi o é descobrir o número mínimo de movimentos que 
podem ser realizados para deslocar determinada quantidade de discos 
de uma torre a outra. Veja, a seguir, a ilustração de um jogo com seis 
discos e três torres.
Instrumentação do Ensino de Aritmética e Álgebra | Movendo discos, formando torres e pensando 
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Figura 19.1: Exemplo de um jogo com seis discos.
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O jogo é encontrado facilmente em lojas de materiais pedagógicos, mas 
também pode ser construído utilizando-se madeira, cartolina, papelão ou 
até mesmo moedas.
Supomos que você esteja muito empolgado e interessado em 
conhecer melhor o jogo, fazendo-o você mesmo.
ATIVIDADE
1. Consiga ou construa um jogo Torres de Hanói e jogue-o.
 COMENTÁRIO 
Inicialmente, não se preocupe em encontrar o número mínimo de movimentos. 
Este primeiro contato exploratório, jogando livremente, é importante no 
processo de reconhecimento e familiarização com o recurso. Lembre-se 
das regras: (1) mover um disco de cada vez, e (2) um disco maior não 
pode fi car sobre um menor. Não se esqueça de anotar suas descobertas e 
questionamentos.
Como você sabe, a internet pode ser uma grande aliada do professor em 
suas aulas, seja na busca de informações para elaborar planejamentos, seja 
como recurso para desenvolver atividades matemáticas. Assim, caso tenha 
possibilidade de acesso à rede, realize a atividade seguinte.
Lembre-se de que o desafi o é 
descobrir o número mínimo 
de movimentos que podem 
ser realizados para mover 
determinada quantidade de 
discos de uma torre a outra.
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ATIVIDADE COMPLEMENTAR 
1. Acesse http://www.fortalnet.com.br/jogos/hanoi/hanoi.htm e jogue. 
Este site também está disponível na Plataforma CEDERJ. 
Acesse-a constantemente!
!
 COMENTÁRIO 
Jogar na internet ou utilizar o programa do jogo salvo num arquivo 
específi co e comparar suas descobertas, após manipular o jogo, podem 
ser ricas experiências de aprendizagem. Anote suas observações sobre esta 
comparação num quadro como o seguinte.
Torre de Hanói Observações: facilidades, difi culdades, 
curiosidades, diferenças etc.
Manipulando o jogo
Jogando na internet ou 
no programa salvo
Quadro 19.1: Respostas da Atividade Complementar 1
Converse com o tutor e com os colegas. Caso não consiga realizar 
a atividade complementar, por problemas de conexão ou quaisquer 
outros, não se preocupe: se fez a Atividade 1 e registrou suas descobertas 
e questionamentos, podemos continuar, sem problemas.
Supomos que você tenha feito várias observações sobre o seu primeiro contato 
com o jogo. Pela experiência que temos com nossos alunos, encontrar o 
número mínimo de movimentos não é tão simples nas primeiras tentativas. 
No entanto, todo este processo é imprescindível para o desenvolvimento crítico 
do pensamento algébrico.
!
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ATIVIDADE
2. Com base em suas anotações feitas na Atividade 1, tente responder ao 
desafi o do jogo, construindo e preenchendo a tabela seguinte:
 COMENTÁRIO 
Você deve ter percebido que tentar descobrir o número
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