aula 18

Vamos às progressões!
Pré-requisitos 
ob
jet
ivo
s
Meta da aula 
18AULA
Instrumentalizar o ensino de progressões.
Para o desenvolvimento desta aula, é 
necessário que você saiba o conceito 
de função e o de progressões. Além 
disso, usaremos alguns contextos 
explorados na Aula 10.
Ao fi nal desta aula, você deverá ser capaz de:
 Reconhecer uma seqüência como uma função de domínio discreto.
 Aplicar diferentes contextos no ensino de seqüências.
 Reconhecer e discutir as seqüências aritméticas e geométricas.
Instrumentação do Ensino da Aritmética e da Álgebra | Vamos às progressões! 
 
C E D E R J206
INTRODUÇÃO O ensino da Matemática deve proporcionar ao aluno mais do que a simples 
memorização, relacionando o ensino da Ciência à compreensão de signifi ca-
dos. Nesse contexto, a busca de regularidades e a generalização de padrões 
são importantes tanto à compreensão do conhecimento matemático quanto 
à aplicação da Matemática em outras áreas de conhecimento.
Lembre-se de acessar a disciplina na Plataforma cederj. Lá você encon-
trará diferentes animações e recursos que auxiliarão sua aprendizagem 
na aula.
!
Dentre os objetivos do ensino da Matemática no Ensino Médio, 
concluímos que, ao fi m do Ensino Médio, o aluno deve ser capaz de:
“estabelecer conexões entre diferentes temas matemáticos e entre 
esses temas e o conhecimento de outras áreas do currículo” (BRASIL. 
MEC. PCN, 1998, p. 42).
O aluno no Ensino Médio deve entender que a Matemática tem 
seu próprio contexto de investigação, por ser uma ciência, mas também é 
uma linguagem e um instrumento para outras áreas de conhecimento. 
O ensino de funções é importante para que ele compreenda essa 
característica do ensino da Matemática. Este deve ser feito de manei-
ra integrada, tanto com outras áreas de conhecimento quanto com o 
próprio conhecimento matemático. As progressões, muitas vezes, não 
são estudadas como funções, mas como uma teoria isolada de outros 
contextos da Matemática.
Outro aspecto importante do ensino de seqüências é o enfoque 
muito restrito nas progressões aritmética e geométrica. Estas são alvo de 
atenção especial, mas não devem ser as únicas seqüências exploradas.
Afi nal, o que é uma seqüência?
Mesmo sem defi nir formalmente o conceito matemático de seqü-
ência, a idéia de ordenar com “certa harmonia”, ou de algo que tem 
continuação já está presente nos alunos desde as séries iniciais. Verifi que 
na atividade.
A
U
LA
 
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 M
Ó
D
U
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Se modifi carmos uma só dessas operações, os números obtidos 
podem ser outros. A idéia de ordem modifi ca a “harmonia” dos números 
formados. 
Uma seqüência é uma função cujo domínio é IN* ou um 
subconjunto A não-vazio de IN* e o contradomínio é um conjunto B ≠ 
∅. Em outras palavras, a: A → B defi nida por a(n) = b, onde n ∈ A, 
b ∈ B.
Quando o conjunto A = IN* , dizemos que a seqüência é infi nita. 
Entretanto, se o domínio for um subconjunto {1, 2, 3, ...., n} ⊂ IN *, a 
seqüência é fi nita, e possui n termos.
ATIVIDADE
1. Inventei uma máquina com 4 teclas: ♣, ♦, ♥, e ♠.
As funções das teclas são as seguintes:
♣ - multiplica por 2.
♦ - divide por 2.
♥ - adiciona 2.
♠ - subtrai 2.
(a) Se eu digitar o número 5 e apertar a tecla ♥ 10 vezes, que 
número encontro?
(b) Se eu digitar o número 10 e apertar a tecla ♦ 5 vezes, que 
número encontrarei?
(c) Digitei um número diferente de zero e apertei as teclas da 
seguinte forma: 
♣ ♣ ♥ ♦ ♥ ♠ ♦ ♦ ♥ ♥ ♣ ♠.
A partir do número que encontrei, devo voltar ao número que 
digitei e apertar as teclas:
(I) ♥ ♦ ♠ ♠ ♣ ♣ ♥ ♠ ♣ ♠ ♦ ♦
(II) ♠ ♣ ♥ ♥ ♦ ♦ ♠ ♥ ♥ ♣ ♣ ♣
(III) ♣ ♣ ♦ ♥ ♥ ♠ ♦ ♦ ♥ ♥ ♣ ♠
(IV) ♣ ♣ ♥ ♦ ♥ ♠ ♦ ♦ ♥ ♥ ♣ ♠
 
COMENTÁRIO
Na atividade, a seqüência numérica é obtida a partir das operações feitas 
pelos comandos. Por exemplo, se a partir do número 10, digitamos as 
teclas ♣ ♥ ♦ ♥ ♦ ♥ ♥ ♣ ♠, formaremos a seguinte seqüência:
10 ♣ 20 ♥ 22 ♦ 11 ♥ 13 ♦ 6,5 ♥ 8,5 ♥ 10,5 ♣ 21 ♠ 19.
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Costuma-se indicar a(n) = an para o termo que ocupa a enésima 
posição na seqüência. Essa simplifi cação de notação pode ser um dos 
motivos pelos quais os alunos não relacionam o ensino das seqüências ao 
ensino de funções.
Uma das maneiras de expressar elementos de uma seqüência é 
colocá-los entre parênteses, separados por vírgulas:
(1, 7, 9, 23, ...) → seqüência infi nita onde são dados os quatro 
primeiros termos;
(2, 4, 6, 7) → seqüência fi nita de quatro termos.
!
Se substituirmos, acrescentarmos, retirarmos ou trocarmos de lugar qual-
quer termo de uma seqüência, obteremos uma nova seqüência!
Por exemplo:
(0, 3, 6, 9, 12) e (12, 9, 6, 3, 0) são seqüências diferentes que são formadas 
pelos mesmos elementos.
ATIVIDADE
2. Observe a seqüência a: IN* → B, onde B ⊂ Z:
(−4, 1, 5, 4, −1, −5, −4, 1, 5, 4, −1, −5, ...).
Nesta seqüência, cada número é obtido pela subtração dos números 
anteriores.
Responda:
(a) Qual é o décimo termo dessa seqüência?
(b) Determine a23.
(c) Determine a234.
(d) Qual a soma dos termos da seqüência até o vigésimo quarto termo?
(e) Qual a soma dos termos da seqüência até o termo que ocupa a posição 
2541?
(f) Construa o gráfi co dessa seqüência considerando o domínio {1, 2, 3, 4, 5, 
6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}.
(g) Sendo uma seqüência (a, b, ...) formada com o mesmo padrão da 
seqüência dada, qual será o conjunto-imagem desta?
A
U
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 M
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Algumas seqüências importantes...
A seqüência dos números primos é (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 
...). Sobre esses números, que se caracterizam por uma propriedade tão 
simples, ainda existem muitas questões “em aberto”, as quais a Ciência 
não conseguiu validar. 
Entretanto, durante anos pensou-se não existir uma fórmula de 
determinar números primos. Mas ela existe e é “relativamente” simples. 
Ela determina todos os números primos e tão-somente eles. O incrível 
deste fato é que o conjunto dos números primos é infi nito!
Essa fórmula é a seguinte:
Considere x e y números naturais e y ≠ 0.
Calcule .
A fórmula que dá todos os números primos (e somente esses) é:
f x y
y
a a( , ) | ( ) .=
−
− − −  +
1
2
1 1 22 2
!
A demonstração da validade dessa fórmula você encontra na Revista do 
Professor de Matemática, número 37, página 19.
Essa fórmula é um pouco diferente das que estamos habituados 
a usar. Ela não é uma função porque nem todos os valores de x e y 
resultam em f(x, y) inteiro.
Mas, observe a fórmula f x y
y
a a( , ) | | .=
−
− − −( )  +12 1 1 22 2
 Quando a ≠ 0, a2 também o será, e a2−1 será maior ou igual a zero.
Isso acarreta que | |a a2 21 1− = − , o que faz:
f x y
y
a a
y
a a
y
( , ) | | ( )=
−
− − −  + =
−
− − +  + =
− [ ]1
2
1 1 2
1
2
1 1 2
1
2
02 2 2 2 ++ =2 2.
Neste caso, o 2 aparecerá repetida e infinitamente.
 Quando a = 0, vamos gerar os outros primos.
Se a x y y temos x y y= + − + = + = +( ) ( ! ) , : ( ) ( ! ).1 1 0 1 1
Logo, x
y
y
=
+
+
!
.
1
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Veja a tabela:
y
1
2
3 não serve porque x não é inteiro
4
5 não serve porque x não é inteiro
6
.
.
.
.
.
.
.
.
.
x =
+
+
=
1 1
1 1
1
!
x =
+
+
=
2 1
2 1
1
!
x =
+
+
=
3 1
3 1
7
4
!
x
y
y
=
+
+
!
.
1
1
x =
+
+
= =
4 1
4 1
25
5
5
!
x =
+
+
=
5 1
4 1
121
6
!
x =
+
+
= =
6 1
6 1
721
7
103