Aula 14

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Resolvendo equações e 
inequações: para além 
da álgebra
Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta 
aula, você seja capaz de:
 Utilizar software de construção de gráfi cos para 
resolver equações e inequações.
 Estudar equações e inequações sob o ponto 
de vista geométrico.
 Identifi car e aprender a representar grafi camente 
as soluções de equações e inequações.
Pré-requisitos 
Para acompanhar esta aula, é necessário que você revise funções 
que aprendeu nas aulas anteriores, principalmente no que se refere 
ao gráfi co de cada uma delas. É importante também saber resolver 
equações do 1º e do 2º graus.
ob
jet
ivo
s
Meta da aula 
Instrumentalizar o trabalho 
com equações e inequações.
14AULA
Instrumentação do Ensino da Aritmética e da Álgebra | Resolvendo equações e inequações: 
 para além da álgebra
C E D E R J84
As equações aparecem com certa freqüência nas resoluções de problemas 
matemáticos, e torna-se fundamental reconhecê-las e resolvê-las. Durante seu 
curso de Licenciatura em Matemática, você deve ter tido a oportunidade de estudar 
vários tipos de equações: as polinomiais, as trigonométricas, as exponenciais, as 
logarítmicas, as diferenciais ou algumas em que se misturam mais de um tipo 
de equação. Dentre estas, o estudo das equações polinomiais do 1º e do 2º 
grau se faz presente nas grades curriculares do Ensino Fundamental e Médio. 
Por isso, nesta aula voltaremos nossa atenção para o estudo dessas equações. 
Freqüentemente, observamos que a resolução de equações e inequações não é uma 
tarefa simples para os alunos. Estes reproduzem os procedimentos de resolução sem 
uma preocupação com a representação gráfi ca. Isso acontece porque as práticas 
pedagógicas de grande parte dos professores de matemática ainda se pautam 
numa concepção fragmentada da construção do conhecimento. 
INTRODUÇÃO
Esperamos que você, futuro professor de Matemática, proporcione junto a 
seus alunos atividades que explorem as diferentes representações: algébrica, 
tabelas (tábulas) e gráfi ca.
!
Nesta aula, daremos ênfase na construção de soluções gráfi cas para as 
equações e inequações. Utilizaremos um software, chamado Graphmática, 
que possui acesso gratuito na internet. As soluções da equação ou inequação 
serão visualizadas por meio de uma interpretação gráfi ca. 
Em muitas das escolas em que atuará, é provável que você não tenha acesso 
a computadores para desenvolver atividades com seus alunos. Nesse caso, 
um material que você poderá utilizar é o papel quadriculado ou milimetrado.
!
Não deixe de acessar as aulas desta disciplina na Plataforma. Lá você encontrará 
diferentes animações e recursos que auxiliarão sua aprendizagem.
!
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Acesse a página e clique primeiro em download (Versão 2003 P) e a seguir 
em setup.exe. Pronto! Você já tem o Graphmática instalado no computador. 
Agora, é só aprender a usá-lo! 
Figura 14.1: Tela inicial do Graphmática.
CONHECENDO O SOFTWARE GRAPHMÁTICA
Para facilitar a construção de gráfi cos, podemos usar alguns 
tipos de ferramentas computacionais, que são softwares especialmente 
elaborados para o uso na Matemática. 
Como exemplos de softwares matemáticos para computadores, podemos citar 
o Maple, o Mathematica, o MATLAB, o Derive e o Graphmática. Além disso, 
você ainda pode optar pelas calculadoras gráfi cas. 
!
Nesta aula, usaremos apenas gráfi cos gerados pelo Graphmática, 
de autoria de Carlos Malaca e Keith Hertzer, um programa gratuito de 
desenho para gráfi cos que é facilmente encontrado na internet e apresenta 
facilidade de acesso.
Você pode obter este programa por meio da internet, acessando 
o endereço www107.pair.com/cammsoft/graphmática.html. Mesmo que 
o software não esteja instalado no seu computador ou no computador 
do seu pólo, você poderá baixá-lo. É muito simples! Veja as instruções 
a seguir (que também são dadas na própria página).
A tela que faz a interface com você está representada a seguir.
Neste espaço em branco, 
você deverá digitar as 
leis das funções que você 
deseja traçar os gráfi cos.
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Utilizando um software para esboçar gráfi cos, você não perde 
tempo na construção de tabelas, no cálculo de imagens e de derivadas e na 
resolução de equações, ao invés, você otimiza seu tempo para investigar 
outras questões.
É importante que você fi que atento aos gráfi cos. Analise sua 
construção e seu comportamento. Caso você tenha dúvidas, o próprio 
software constrói tabelas no intervalo que você deseja. 
Veja, a seguir, a simulação do gráfi co da função y = 2x, com a 
tabela ao lado. 
Para construir o gráfi co da função y = 2x, você deve digitar 
y = 2^x, pois a potenciação é representada pelo símbolo “^”, o acento 
circunfl exo. Para aparecer a tabela que está ao lado do gráfi co clique 
onde está mostrando a seta na ilustração a seguir.
Figura 14.2: Gráfi co da função y = 2x no Graphmática.
Clicando aqui, aparecerá 
a tabela com alguns 
pontos utilizados na 
construção do gráfi co.
Aqui foi digitada a lei da 
função, y=2^x.
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Alguns símbolos de operações matemáticas têm códigos diferentes neste 
software e em programas como o Excel. No Graphmática, você tem acesso 
a esse código clicando em ajuda e depois em tabela de operadores. 
Veja a tabela a seguir com as operações mais usuais.
Operação Símbolo
multiplicação *
divisão /
potenciação ^
radiciação sqrt
REPRESENTANDO EQUAÇÕES GRAFICAMENTE
No Ensino Fundamental e Médio, grande parte dos problemas 
em Matemática recai em equações de 1º e 2º graus. Quando começamos 
a trabalhar com os alunos os problemas em que buscamos algebrizar a 
Aritmética, estamos introduzindo, mesmo de forma informal, o estudo 
de equações. 
Muitas vezes, esse estudo começa antes da 5ª série. Nesta etapa, 
os alunos habitualmente não usam letras, mas símbolos, como o 
famoso “quadradinho”. O objetivo é buscar generalizar o pensamento 
de problemas como: Qual o número que somado com 5 dá 8?
A partir da 5ª série, começamos a introduzir o uso de letras 
buscando uma generalização mais complexa do pensamento algébrico. 
Paralelamente, o universo de números que o aluno trabalha é ampliado 
ao longo do Ensino Fundamental: números naturais, racionais positivos, 
inteiros, racionais, irracionais e reais. As difi culdades dos problemas que 
envolvem equações também se tornam mais complexas.
Resolvemos algebricamente as equações do 1º grau, nas quais 
buscamos encontrar uma incógnita, que é um número em um universo 
defi nido: natural, inteiro, racional, irracional ou real.
Assim, a título de ilustração, a solução da equação 5x – 10 = 0, 
tomando como universo, por exemplo \ , é x = 2.
E qual a representação gráfica da solução dessa equação? 
A resposta é: depende! 
Quando consideramos o universo como \ , a representação será 
a abscissa x = 2 representada sobre a reta.
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Figura 14.3: Solução da equação 5x–10 = 0 em \ .
-1 0 1 2 3 4 x
Neste caso, a solução pertence a um conjunto de dimensão 1.
Quando consideramos o universo como \2, como será essa 
representação? 
Analise e perceba que agora temos dois valores envolvidos, x e y, 
abscissa e ordenada, respectivamente.
A equação 2x – 10 = 0 nos diz que x = 5 e y é qualquer, isto é, 
pode possuir qualquer valor.
Vamos tomar alguns valores de y e verifi car quanto vale x.
y vale x vale (x,y)-5 5 (5,-5)
-1,5 5 (5,-1,5)
0 5 (5,0)
2
5
(5, 2 )
3 5 (5,3)
20 5 (5,20)
Isso nos dá, geometricamente, em \2, uma reta paralela ao eixo 
y que tem abscissa igual a 5. Veja:
Figura 14.4: Solução da equação 2x–10 = 0 em \2.
-30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30
-5
-10
-15
5
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Resolver a equação 2x – 10 = 0 em \2 é o mesmo que encontrar 
todos os pontos do \2 em que x = 5, ou seja, todos os pares da forma 
(5, y) em que y é um número real.
Dessa forma, é importante fi car atento na dimensão na qual se está 
resolvendo a equação. A mesma equação 2x – 10 = 0 no \3 nos dá como 
solução ternos ordenados da forma (5, y, z), pois, como não temos restrição 
alguma sobre as variáveis y e z, somente temos a condição de que 2x – 10 = 0, 
ou seja, x = 5. Neste caso, o conjunto solução é um plano paralelo ao 
plano OYZ afastado cinco unidades à direita desse plano. Você consegue 
visualizar tal situação? Observe o conjunto solução a seguir.
Figura 14.5: Solução da equação 2x–10 = 0 em \3.
4
3
2
1
5
plano de equação x = 5
plano YZ
Nesta aula, quando nada for dito sobre o conjunto universo na resolução 
de equações e inequações, convencionamos que o conjunto solução é um 
subconjunto de \.
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 para além da álgebra
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ATIVIDADE 
1. Você acabou de ver que a mesma equação possui diferentes soluções, 
isso vai depender da dimensão em que se está trabalhando. Pensando 
agora na equação x2–9 = 0, resolva-a quando o conjunto universo for:
a. \
b. \2
c. \3
RESOLVENDO A EQUAÇÕES GRAFICAMENTE
Para encontrar uma solução gráfi ca de uma equação, usaremos 
a representação da equação em \2. 
Para isso, aplicaremos como recurso a interpretação de cada 
membro da equação como uma função de x.
Primeiro trabalharemos com a equação 2x – 10 = 0.
2x – 10 = 0
 y1 y2
As duas funções envolvidas (y1 e y2) são, respectivamente, a função 
polinomial do 1º grau e a função constante, cujos gráfi cos são retas. 
A interseção dessas duas funções acontece no ponto (5, 0). 
Como queremos descobrir apenas o valor de x, temos a solução da 
equação para x = 5. Veja na Figura 14.6.
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Figura 14.6: Representação de y1 = 2x–10 e y2 = 0.
-30 -25 -20 -15 -10 -5
0
5 10 15 20 25 30
-5
-10
-15
5
10
15
A igualdade 
acontece para x=5
Quando modifi camos a equação por uma equação equivalente, 
a solução é a mesma, mas a representação gráfi ca não. Para que você 
visualize esse fato, vamos trabalhar com a equação 2x = 10. Observe 
como mudam as leis das duas funções.
2x = 10
 y1 y2
Nos dois casos, estamos igualando duas funções. Isso indica que 
pretendemos encontrar o valor de x que torna iguais essas funções, 
isto é, o valor das duas funções que possui imagens iguais.
Quando a equação considerada é 2x–10=0, as funções 
que esboçamos no gráfico são y1=2x–10 e y2=0, como você viu 
na Figura 14.6; já no caso em que a equação que se toma é 2x=10, 
os gráficos que iremos traçar são das funções y1=2x e y2=10, 
conforme é apresentado na Figura 14.7.
Figura 14.7: Representação de y1 = 2x e y2 = 10.
-30 -25 -20 -15 -10 -5
0 5 10 15 20 25 30
-5
-10
-15
5
10
15
A igualdade 
acontece para x=5
Em outras palavras, estamos procurando 
o elemento do domínio que possui imagens 
iguais; nos dois casos é o 5.
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UMA DIFERENÇA IMPORTANTE
É importante registrar a diferença entre as equações y= f(x) e f(x)= 0.
Quando consideramos y=f(x), temos uma relação entre duas 
grandezas, representadas pela lei que rege essas duas grandezas, é a lei 
de uma função.
Já quando temos f(x)=0, referimo-nos aos valores de x que anulam 
uma determinada função.
Veja o que acontece quando digitamos no software as duas 
equações y = 5x–10 e 5x–10 = 0.
Figura 14.8 Figura 14.9
y = 5x–10 5x–10 = 0
-30 -25 -20 -15 -10 -5
0 5 10 15 20 25 30
-5
-10
-15
5
10
15
-6 -4 -2 2 4 6
2
4
-2
-4
0
A equação da Figura 14.8 representa uma reta cuja lei é y=5x–10; 
já a equação 5x–10 = 0, identifi cada na Figura 14.9, representa todos os 
pontos que possuem abscissa 2, isto é, x=2. Observe que nos dois casos 
o programa desenha os gráfi cos no \2. Mais adiante, resgataremos a 
discussão sobre o universo onde resolvemos as equações.
Também é fácil visualizar a solução pela representação gráfi ca da equação. 
Como vimos, a solução da equação 2x–10 = 0 em\ 2 é {(2, y) | y ∈\}, assim, 
como queremos apenas o valor da abscissa, a solução em\ será x = 2.
!
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RESOLVENDO INEQUAÇÕES GRAFICAMENTE
Vamos analisar geometricamente a solução das inequações do 1º grau. 
Para isso, considere a inequação 2x–10 > 0. Desejamos observar grafi camente 
que valores reais de x tornam verdadeira a sentença 2x –10 > 0.
Tomando como referência as funções y1= 2x – 10 e y2=0, vamos 
analisar para que valores de x a função y1 será maior que a função y2. 
Observe na Figura 14.10 que isto acontece a partir de x = 5, pois neste 
intervalo, o gráfi co da função y1 está acima do gráfi co da função y2. 
-15 -10 -5 5 10 15
5
10
5
10
Figura 14.10: Representação gráfi ca da inequação 2x – 10 > 0.
x>5
Se, em contrapartida, queremos representar a inequação 
equivalente a 2x > 10, as funções envolvidas serão y1=2x e y2=10. 
Da mesma maneira que observamos na Figura 14.10, o gráfi co da função 
y1 está acima do gráfi co da função y2 para valores de x maiores que 5.
Figura 14.11: Representação gráfi ca da inequação 2x > 10.
x>5
-30 -25 -20 -15 -10 -5
0
5 10 15 20 25
5
10
15
-5
-10
-15
Instrumentação do Ensino da Aritmética e da Álgebra | Resolvendo equações e inequações: 
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Ao manipularmos a inequação, mas continuando com inequações equivalentes, 
modifi camos as funções envolvidas, porém não alteramos o conjunto-solução.
!
Não se esqueça de que a solução da inequação x > 5 em \2 é um conjunto 
infi nito de pares ordenados com abscissa x maior que 5 e ordenada qualquer. 
Isso representa a região do plano esboçada na ilustração a seguir. Podemos 
escrever esse conjunto da forma {(x,y)/x e y∈R e x > 5}. 
!
Figura 14.12: Solução da inequação x > 5 em\2.
-15 -10 -5 0 5 10 15
5
-5
RESOLVENDO GRAFICAMENTE EQUAÇÕES DO 
2º E 3º GRAUS
Vamos resolver agora a equação polinomial do segundo grau 
x2 – 4 = 0. Primeiramente, quando trabalhamos com as funções y1 = x
2 –4 e 
y2 = 0, observamos seus pontos de interseção que, conforme nos mostra 
a Figura 14.13, ocorre nas abscissas dos pontos destacados que são os 
valores 2 e –2. 
Manipulando a equação original e chegando à igualdade 
x2= 4, consideramos agora as funções y1 = x
2 e y2 = 4. Seus gráfi cos estão 
representados na Figura 14.14. Observe que os pontos de interseção têm 
abscissas 2 e –2, da mesma forma que na Figura 14.13.
Na Figura 14.13, os pontos de interseção têm coordenadas (-2, 0) e (2, 0), pois 
estamos interceptando pela reta de equação y = 0, que é o eixo x; já na Figura 
14.14, os pontos de interseção são (-2, 4) e (2, 4), pois, nesse caso, a função que 
intercepta a parábola é uma reta de equação y = 4. 
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Figura 14.13 Figura 14.14
y1=x2-4 e y2=0 y1=x
2 e y2=4
-6 -4 -2 2 4 6
2
4
-2
-4
0
-6
-8
-6 -4 -2 2 4 6
2
4
-2
-4
0
-6
ATIVIDADE 
2. Resolva algebricamente a equação x2–3x+2 = 0 e mostre que a solução 
encontrada pode ser visualizada por meio dos gráfi cos das funções envolvidas 
na igualdade, utilizando para isso os pares de funções a seguir.
a. y1 = x
2 – 3x + 2 e y2 = 0.
b. y1 = x
2 – 3x e y2 = 2.
c. y1 = x
2 e y2 = 3x - 2.
d. y1 = -3x + 2 e y2 = -x
2. 
 COMENTÁRIO 
Utilize nas construções dos gráfi cos o software Graphmática ou algum 
outro que construa gráfi cos. Esta atividade faz com que você visualize 
sempre a mesma solução, trabalhando com duplas de funções diferentes, 
desde que essas duplas representem equações equivalentes à original. 
A resposta encontra-se na fi nal da aula.
Instrumentação do Ensino da Aritmética e da Álgebra | Resolvendo equações e inequações: 
 para além da álgebra
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Vamos fazer um exemplo de equação polinomial do terceiro grau. 
Por exemplo, resolver a equação x3–x2= 0.
Algebricamente, encontramos duas soluções. São elas 0 e 1. Observe 
a resolução da equação, em que usamos a fatoração para resolvê-la.
x3–x2= 0 x2 (x – 1)= 0 x2= 0 ou x–1= 0 x= 0 ou x= 1
 Lembre-se de que uma equação polinomial do terceiro grau tem 
exatamente três raízes complexas. Então, por que encontramos duas? 
A solução x= 0 é uma raiz dupla, já que na equação envolvida 
o polinômio p(x) = x aparece elevado ao quadrado. 
Vamos aos gráfi cos. Para isso, analisaremos dois pares de funções: 
y1= x
3 – x2 e y2 = 0 e y1= x
3 e y2= x
2
Para construí-las, utilizamos o software Graphmática. Observe 
na ilustração a seguir os pontos de interseção das funções. Na Figura 
14.15, vemos mais facilmente que são dois pontos, o de abscissa 0 e 
o de abscissa 1. Já na Figura 14.16, visualizamos o ponto de abscissa 
0, e o ponto de abscissa 1 fica mais difícil, observe o tracejado. 
A reta tracejada possui equação x= 1, mas como acreditar nisso?
Nesse caso, a comprovação pode ser feita substituindo x= 1 nas funções 
y1= x
3 e y2= x
2 e verifi cando que para esse valor de x as imagens são 
iguais, isto é, 13= 12= 1.
Figura 14.15 Figura 14.16
y1= x
3-x2 e y2= 0 y1=x
3 e y2= x
2
-3
2
4
-2
-4
0
-2 -1 2 4 6
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RESOLVENDO AS INEQUAÇÕES DO 2º GRAU
Vamos resgatar a função y= x2– 4 e resolver a inequação x2– 4 > 0
 utilizando, para isso, o mesmo enfoque dado às equações. 
Caso 1: Considerando as funções y1= x
2 – 4 e y2= 0, devemos 
observar para que valores de x a função y1 é maior que a função y2. Veja 
na Figura 14.17 que isso acontece para x > 2 ou para x< –2.
Caso 2: Transformando a inequação x2– 4> 0 em x2> 4, devemos 
analisar agora as funções y1= x
2 e y2= 4. Verifi que, na Figura 14.18, 
que a função y1 é maior que a função y2 para os mesmos valores de x 
encontrados no caso 1.
O conjunto solução da inequação x2– 4 > 0 pode ser escrito pelo 
menos de duas formas diferentes:
S = {x ∈R / x > 2 ou x < –2} ou S = ]-∞ , -2[ ∪ ]2, + ∞ [
Figura 14.17
y1= x
2 – 4 e y2= 0
-6
2
4
-2
-4
0-4 -2 2 4 6
Figura 14.18
y1= x
2 e y2= 4
x< –2 x> 2
-6
-8
-6
2
4
-2
-4
0
-4 -2 2 4 6
x< –2 x> 2
-6
Instrumentação do Ensino da Aritmética e da Álgebra | Resolvendo equações e inequações: 
 para além da álgebra
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ATIVIDADE 
3. Observe o gráfi co das funções f(x) = 2x e g(x) = 3
2
x+1 a seguir e 
responda:
-6
2
4
-2
0-4 -2 2 4 6
f g
6
a. O gráfi co sugere que as funções f e g são iguais para x = 0 e para x = 2. 
Isto é verdade? Justifi que.
b. Para que valores de x temos f(x) ³ g(x), isto é, para que valores de x o gráfi co 
da função f está acima do gráfi co da função g? 
c. Para que valores de x temos f(x) £ g(x), isto é, para que valores de x o gráfi co 
da função f está abaixo do gráfi co da função g?
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UM POUCO DE EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS...
Vamos resgatar a trigonometria e mostrar um pouco mais a importância 
da análise do gráfi co, usando como ferramenta o software Graphmática.
Vamos começar construindo os gráfi cos das funções f(x)= cos x 
e g(x)= sen x e fazer alguns comentários baseados no gráfi co.
Figura 14.19: Gráfi cos de f(x)= cos x e g(x)= sen x.
-6
2
4
-2
-4
0-4 -2 2 4 6
Observando apenas o gráfi co apresentado, você consegue saber 
quais as raízes dessas funções? O gráfi co não nos fornece, pois nos eixos 
estão indicados somente números inteiros, e as raízes das funções seno 
e cosseno são números irracionais. Você se lembra quais são elas?
Este problema pode ser resolvido. Para isso, clique no ícone opções 
e a seguir em papel do gráfi co, conforme ilustração a seguir.
Figura 14.20: Modifi cando o papel do gráfi co.
Instrumentação do Ensino da Aritmética e da Álgebra | Resolvendo equações e inequações: 
 para além da álgebra
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Aparecerá a tela “Defi nições para os gráfi cos”: nela você poderá 
modifi car alguns aspectos do gráfi co. Na primeira, você escolhe o sistema 
de coordenadas que deseja usar (retangulares, trigonométricas, polares 
ou logarítmicas) e na segunda você modifi ca o layout do plano onde fi ca 
o traçado do gráfi co. Para o gráfi co das funções trigonométricas, escolha 
a opção Trigonométricas.
Figura 14.21: Escolhendo o sistema de coordenadas.
Um outro recurso muito útil é modifi car os pontos destacados no 
eixo x e no eixo y. Vá ao ícone Ver, Intervalo da grelha, onde aparecerá 
a seguinte janela:
Figura 14.22: Escolhendo os intervalos do gráfi co.
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Nessa janela, é só escolher o intervalo do domínio e da imagem 
que você deseja que apareça no seu gráfi co.
Veja, agora, o gráfi co das funções f(x) = cos x e g(x) = sen x, 
onde passamos para coordenadas trigonométricas e alteramos o plano.
Figura 14.23: Gráfi cos de f(x)= cos x e g(x)= sen x no sistema de coordenadas trigonométricas.
2
4
-2
-4
0
-0,5π-π-1,5π-2π-2,5π 0,5π π 1,5π 2π 2,5π
Ficou bem melhor, não é?
ATIVIDADE 
4. Aproveitando os gráfi cos da Figura 14.23, responda às perguntas sobre 
algumas equações e inequações trigonométricas. 
a. Para que valores de x, entre 0 e 2π, temos cos x= 0?
b. Para que valores de x, entre –2 e 2, temos sen x= 0?
c. Resolva a equação cos x= sen x, para x real.
d. Resolva a inequação cos x > 0, para x entre –2 e 2.
 COMENTÁRIO 
Os itens a e c serão respondidos a seguir; já as respostas dos itens b e d estão 
no fi nal da aula. É importante fi car bem atento ao gráfi co que está trabalhando 
e à restrição sobre o domínio das equações e inequações.
Instrumentação do Ensino da Aritmética e da Álgebra | Resolvendo equações e inequações: 
 para além da álgebra
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Para responder ao item a, vamos nos fi xar na função cosseno, cujo gráfi co 
veremos separadamente.
2
4
-2
-4
0-0,5π-π-1,5π-2π-2,5π 0,5π π 1,5π 2π
2,5π
O conjunto-solução deve pertencer ao intervalo ]0, 2[, indicado na fi gura pela 
seta. A equação cos x = 0 representa a interseção da função y = cos x com a 
função y = 0, ou seja, estamos encontrando as raízes da função y = cos x. 
Essa interseção acontece nos pontos indicados no gráfi co, que são os pontos 
A= (0,5π; 0) e B= (1,5π; 0).
Portanto, o conjunto solução da inequação cos x= 0 é S= {0,5π; 1,5π}.
O item c é uma equação de domínio real, isto é, devemos encontrar todas 
as soluções reais que atendem à equação cos x= sen x.
Em primeiro lugar, devemos observar no gráfi coonde acontecem os pontos 
de interseção das funções envolvidas.
1
2
-1
-2
0-0,5π-π-1,5π-2π-2,5π 0,5π π 1,5π 2π 2,5π
A
U
LA
 
14
 M
Ó
D
U
LO
 1
C E D E R J 103
Os valores de x, identifi cados no gráfi co onde as funções possuem imagens 
iguais, são -7
4
-3
4
1
4
5
4
9
4
π π π π π, , , , . Será que são somente estes ou existem 
outros?
Como as funções seno e cosseno são funções periódicas de domínio real, 
temos infi nitas soluções que se repetem num determinado período. Observe 
que os valores observados, -7
4
-3
4
1
4
5
4
9
4
π π π π π, , , , , formam uma seqüência
aritmética de razão π, portanto, uma forma de escrever todas as soluções é 
segundo a expressão 1
4
kπ π+ , em que k é um número inteiro. Dessa forma, 
o conjunto solução da equação f(x)= g(x) é S =
1
4
k kπ π+ ∈
/ Z .
CONCLUSÃO
Esta aula apresentou uma alternativa didática na resolução de 
equações e inequações e que é possível de ser implementada no currículo 
do Ensino Médio para explorar principalmente o conceito de função, 
tão enfatizado neste segmento. O uso de softwares, aliado às atividades 
elaboradas pelo professor, é um importante recurso ao trabalho de sala de 
aula, favorecendo a realização de atividades investigativas e diminuindo 
o tempo de construção de gráfi cos.
As tarefas matemáticas devem favorecer o desenvolvimento 
constante das diferentes representações algébrica e geométrica, 
e neste sentido é o gráfi co que favorece essa relação. Utilizar o plano 
cartesiano é imprescindível, uma vez que permite desenvolver conceitos 
importantes tais como domínio e imagem de uma função. 
Neste sentido, interpretar grafi camente a resolução de uma 
equação faz com que você conecte vários tópicos da Matemática 
numa só atividade.
Instrumentação do Ensino da Aritmética e da Álgebra | Resolvendo equações e inequações: 
 para além da álgebra
C E D E R J104
R E S U M O
O estudo da Álgebra não deve estar reduzido ao uso de letras e equações. 
A visualização geométrica contribui signifi cativamente no desenvolvimento do 
pensamento matemático, especifi camente no pensamento algébrico. A investigação 
gráfi ca é um processo importante, e deve ser bastante trabalhado no Ensino Médio. 
Além disso, a resolução de equações e inequações contribui como uma aplicação de 
conceitos importantes, tais como variável e função, pois no trabalho com funções 
estabelecemos relações entre variáveis. Outro ponto importante é aprender a utilizar 
softwares gráfi cos, principalmente os de domínio público, pois a informática está 
cada vez mais presente em nossas vidas.
Na maneira como resolvermos equações e inequações, foi necessário, em primeiro 
lugar, que as funções trabalhadas sejam visualizadas. É importante enfatizar também 
que equações equivalentes têm o mesmo conjunto solução, mas suas representações 
gráfi cas são diferentes. 
ATIVIDADE FINAL
1.Utilizando o Graphmática, construímos o gráfi co das funções f(x) = 2x e g(x) = x2. 
Baseado no gráfi co, responda:
a. Determine os valores positivos de x, para os quais f(x)= g(x).
b. Para que valores positivos de x f(x) ≥ g(x)?.
c. Para que valores positivos de x f(x) ≤ g(x)?
A
U
LA
 
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 M
Ó
D
U
LO
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d. Quantas raízes reais possui a equação 2x–x2= 0?
e. O que você pode afi rmar sobre a raiz negativa da equação f(x)= g(x)? Existe 
alguma forma de encontrá-la?
AUTO-AVALIAÇÃO
Durante a aula, você conheceu algumas possibilidades de construção gráfi ca 
no software Graphmática. Refl ita sobre seu uso, quando ele é válido ou não e 
em que momentos ele pode ser utilizado.
Liste e justifi que pontos positivos e negativos do uso de softwares educativos 
e pense sobre os objetivos das atividades propostas ao longo da aula.
É relevante você entender que a abordagem feita para o estudo de equações 
e inequações requer mais cuidados por parte do professor, pois ela envolve 
conceitos que ainda não foram amadurecidos pelos alunos. 
Se entendeu que equações equivalentes têm representações gráfi cas diferentes, 
mas que chegam à mesma solução, você alcançou um dos nossos principais 
objetivos desta aula. Caso contrário, você deve refazer novamente a Atividade 2. 
É importante também que você tenha percebido que há momentos em nossas 
aulas que a utilização de tabelas e de papel quadriculado esteve aliado ao uso 
de softwares, ou seja, utilizamos um conjunto de recursos importantes para 
o trabalho de sala de aula. 
A Atividade Final mostra a importância gráfi ca na resolução de uma equação. 
Grafi camente, essa equação pode ser resolvida no Ensino Médio, mas para a resolução 
algébrica, é necessário mais conhecimento do que é usualmente ensinado.
Instrumentação do Ensino da Aritmética e da Álgebra | Resolvendo equações e inequações: 
 para além da álgebra
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INFORMAÇÕES SOBRE A PRÓXIMA AULA
Na próxima aula, faremos um passeio pelas equações do 2º grau. É importante 
você saber que precisaremos de régua e compasso.
RESPOSTAS
Atividade 1
a. x2 – 9 = 0 x2 = 9 x = 3 ou x = -3. S = {-3,3}
b. Os valores encontrados para a abscissa são os mesmos –3 e 3, mas a ordenada 
é livre, não temos nenhuma restrição à ela. Logo, todos os pares da forma (-3, y) 
ou (3, y) são soluções desta equação no \2. O conjunto dos pontos (-3, y) representa 
uma reta paralela ao eixo y afastada 3 unidades à esquerda, e o conjunto (3, y) 
é também uma reta paralela ao eixo y, só que afastada 3 unidades à direita.
S={(x, y) | x = 3 ou x = -3 e y ∈ \} representa um par de retas paralelas.
c. Em \3, temos que x = -3 ou x = 3 e y e z livres, logo, o conjunto solução é 
S= {(x, y, z) | x = 3 ou x = -3, y ∈ \ e z ∈ \}, que representa grafi camente um par 
de planos paralelos ao plano OYZ.
A
U
LA
 
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 M
Ó
D
U
LO
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Atividade 2
a. y1= x
2-3x+2 e y2= 0
1
b. y1= x
2-3x e y2= 2
2 3 4-1-2
1
2
0
-1
01 2 4-2-4-6 6 8
2
4
-2
-4
c. y1= x
2 e y2= 3x-2 d. y1= -3x+2 e y2= -x
2
0 2 4-2-4-6 6
2
4
-2
0 2 4-2-4-6 6
2
4
-2
-4
-6
3
5
x
y
x
y
x
y
6
x
y
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 para além da álgebra
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Atividade 3
a. Sim, pois f(0) = 20= 1 e g(0)= 
3
2
.0+1= 1 e f(2) = 22 = 4 e g(2) = 
3
2
 .2 +1 = 4.
b. Observe no gráfi co, na indicação feita pelas setas, que isso acontece quando 
x ≤ 0 ou quando x ≥ 2.
0 2 4-2-4-6 6
2
4
-2
6
8
c. Aproveitando o gráfi co anterior, veja que o gráfi co da função f está abaixo do 
gráfi co da g para valores entre 0 e 2, incluindo esses valores, isto é, 0 ≤ x ≤ 2, ou 
utilizando intervalo [0, 2].
Atividade 4
b. Observando os pontos destacados, interseção com o eixo x, temos que os valores 
de x que tornam sen x = 0, no intervalo ] -2π, 2π[ são - π, 0 e π.
0-0,5π-π-1,5π-2π-2,5π 0,5π π 1,5π 2π 2,5π
2
4
-2
-4
x
y
f g
A
U
LA
 
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D
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d. Devemos observar onde cos x > 0, somente no intervalo indicado pela seta. 
A função y = cos x possui imagens positivas nos intervalos indicados na fi gura pelos 
segmentos tracejados. Logo, o conjunto solução dessa inequação é 
S = ]-2π, -1,5π[ ( ]-0,5(, 0,5([ ( ]1,5(, 2([.
0-0,5π-π-1,5π-2π-2,5π 0,5π π 1,5π 2π 2,5π
2
4
-2
-4
Atividade Final
a. 2 e 4, pois f(2)= g(2)= 4 e f(4)= g(4)= 16.
b. [0,2] ∪ [4,+∞ [.
c. [2,4].
d. Possui três raízes reais, pois a equação 2x – x2 = 0 é equivalente à 2x= x2. Dessa 
forma, basta olhar no gráfi co quantos pontosem comum têm as funções f e g.
e. É um número que está entre –1 e – 0,5. 
Um bom método para um valor aproximado da equação é um método numérico 
chamado Método de Newton-Rapson. Pesquise mais sobre isso!
5
10
15
20
0-2-4-6 2 4 6 8
y
x
y