Gab SegChamada 2012.2

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Universidade Federal de Pernambuco
CCEN - Departamento de F´ısica
Gabarito da Segunda Chamada de F´ısica Geral 2 - 2012/2
Questa˜o 1: a) (1,0) Pela lei da gravitac¸a˜o universal, temos que
F = −G
mM ′
r2
em que M ′ e´ uma frac¸a˜o da massa da Terra. Por outro lado, a densidade da Terra vale
ρ =
M
4
3
piR3
=
M ′
4
3
pir3
,
ou seja
M ′ =
Mr3
R3
.
Portanto,
F = −G
mM
R3
r
b) (1,0) Pela segunda lei de Newton, segue que
m
d2r
dt2
= −G
mM
R3
r
que constitui a equac¸a˜o do oscilador harmoˆnico simples, de frequ¨eˆncia angular
ω =
√
GM
R3
c) (1,5) O tempo para se chegar ao centro e´ exatamente tc = T/4, em que T e´ o
per´ıodo do movimento oscilato´rio. Portanto,
tc =
2pi
4
1√
4
3
pi
√
4
3
piR3
GM
ou seja,
tc =
pi
2
1√
4
3
pi
√
1
Gρ
.
Assim, se as densidades dos planetas forem as mesmas, os tempos sa˜o os mesmos.
Questa˜o 2: (3,0) O colapso dos pre´dios se deveu a um efeito de ressonaˆncia. Edif´ıcios
com alturas em torno de h = 50 m se encontraram ressonantes com a frequeˆncia de os-
cilac¸a˜o associada ao terremoto, igual a νT = vT/λT = 10 Hz. Supondo um edif´ıcio como
estrutura alta e delgada, com altura y, sua frequeˆncia fundamental de oscilac¸a˜o ν(y) para
1
perturbac¸o˜es transversais e´ encontrada impondo-se como condic¸o˜es de contorno que sua
base seja um no´ de onda estaciona´ria e que sua cobertura seja um ventre. Assim, a
onda estaciona´ria deve possuir comprimento de onda λ(y) tal que λ(y)/4 = y, ou seja,
ν(y) = v/λ(y) = v/(4y). Para edif´ıcios com y = h, tem-se ν(h) = v/(4h) = 10 Hz, e
portanto estes se encontram ressonantes com a frequeˆncia de vibrac¸a˜o da terra; ja´ edif´ıcios
altos apresentam ν(H) = v/(4H) = 5 Hz, ficando mais distantes da ressonaˆncia exata.
Estruturas baixas possuem frequeˆncias de oscilac¸a˜o maiores que ν(h), encontrando-se
tambe´m mais distantes da ressonaˆncia. Como a amplitude de oscilac¸a˜o na ressonaˆncia e´
ma´xima, edif´ıcios com h = 50 m sofreram maior dano estrutural do que outros, apresen-
tando maior probabilidade de colapso.
Questa˜o 3: a) (2,0) Consideremos que o relo´gio, funcionando sem atrasar ou adiantar,
execute N oscilac¸o˜es dia´rias. Para uma temperatura T1=15
◦C, o peˆndulo de nosso relo´gio
realiza N oscilac¸o˜es em (n-5) segundos, onde n=86.400 e´ o nu´mero de segundos em um
dia. Da mesma forma, a uma temperatura T2=30
◦C, o peˆndulo oscila N vezes em (n+10)
segundos. Assim, os respectivos per´ıodos de oscilac¸a˜o sera˜o τ1=(n-5)/N e τ2=(n+10/N).
Desta forma,
N =
n− 5
τ1
=
n+ 10
τ2
,
τ1
τ2
=
1− 5/n
1 + 10/n
≈ (1− 5/n)(1− 10/n) = 1−
10
n
−
5
n
+
15
n2
≈ 1−
15
n
.
Mas sabemos que τ = 2pi
√
L/g. Assim, τ1
τ2
=
√
L1/L2. Sabemos que Li = L0 +
αL0∆Ti. Desta forma,
τ1
τ2
=
√
1 + α∆T1
1 + α∆T2
≈
√
(1 + α∆T1)(1 + α∆T2) ≈
√
1 + α(T1 − T2) ≈ 1 +
α(T1 − T2)
2
.
Igualando ao resultado anterior,
1−
15
n
= 1 +
α(15◦C − 30◦C)
2
,
tal que 15/n = 15α/2, de modo que
α = 2/n = 2/86.400 = 1/43.200 ≈ 2, 3× 10−5/◦C.
b) (1,0) Os comprimentos L1, L2 e L3 das barras devem ser escolhidos de forma que
o comprimento do conjunto de barras na˜o varie (peˆndulo mantenha seu comprimento
constante). Com a dilatac¸a˜o das barras tipo 1 e 2, os planos ligados pelas barras do tipo
3 se afastam por ∆L′ = (L1 + L2)αp∆T . Esta e´ a dilatac¸a˜o que as barras do tipo 3
teˆm que sofrer para compensar a separac¸a˜o anterior: ∆L′′ = L3αg∆T . Assim, impondo
∆L′ = ∆L′′,
(L1 + L2)αp∆T = L3αg∆T,
o que leva a
(L1 + L2)αp = L3αg.
2