Convecção Livre em Superfícies

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Terças e Quintas de 15:00 às 17:00 hs 
prof. Tania S. Klein 
tania@eq.ufrj.br 
Lab CFD 
 
Aula 17 
 Convecção Livre 
 Introdução 
 Equações da Convecção Livre 
 Solução por Similaridade de Convecção Livre Laminar em Superfície Vertical 
 Efeitos da Turbulência 
 Correlações Empíricas para Convecção Livre em Escoamentos Externos 
 Placa Vertical, Placas Inclinadas e Horizontais, Cilindro Horizontal Longo, Esferas 
 Correlações Empíricas para Convecção Livre em Escoamentos Internos 
 Canais Verticais e Inclinados 
 Correlações Empíricas para Convecção Livre em Escoamentos Confinados 
 Cavidades Retangulares, Cilindros Concêntricos e Esferas Concêntricas 
 Convecção Combinada Livre e Forçada 
Exercícios do capítulo 9: 9, 21, 30, 34, 38, 43, 57, 58, 62, 64, 71, 79, 85, 96, 97, 105 
2 
Introdução 
3 
A convecção livre ou natural é o mecanismo de transferência de calor que ocorre 
quando forças de campo atuam em um fluido onde há diferença de massa específica, 
fazendo assim o fluido se movimentar, devido à força de empuxo, o que então 
caracteriza a convecção. 
 
Normalmente, a diferença de massa específica no fluido ocorre devido a gradientes de 
temperatura no fluido. 
Introdução 
4 
A massa específica de gases e líquidos, normalmente, decresce com o aumento da 
temperatura (devido à expansão do fluido). Assim, as forças de empuxo fazem com 
que os leves tendam a subir e os pesados, a descer. 
 
Dessa forma, nem sempre quando há gradiente de temperatura e massa específica 
haverá convecção natural. 
 
Se, por exemplo, duas placas horizontais paralelas são mantidas a temperaturas 
diferentes, tal que a placa de baixo tenha temperatura menor que a de cima, a porção 
do fluido de baixo terá massa específica maior que a porção do fluido de cima, 
fazendo o sistema estável, e assim a transferência de calor se dará apenas por 
condução. Mesmo para a situação oposta (placa inferior com temperatura maior que 
a superior), só haverá convecção livre se as forças de empuxo forem maiores que as 
viscosas. 
 
Como não há velocidade forçada, a velocidade do fluido na convecção livre é 
normalmente menor que na convecção forçada, gerando taxas de transferência de 
calor também menores. Por isso, em problemas de convecção natural, a radiação é 
normalmente significativa. 
Introdução 
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A convecção livre pode ocorrer na presença ou não de uma superfície que limite o 
escoamento. Quando não há limites, o escoamento é na forma de plumas (velocidade 
inicial nula) ou jatos (velocidade inicial não nula). Na presença de uma superfície, há a 
formação das camadas limite hidrodinâmica e térmica. 
Pluma Jato 
Introdução 
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No exemplo clássico de convecção natural, uma placa vertical aquecida a temperatura 
Ts é imersa em um fluido extenso quiescente (infinito e com velocidade nula) a 
temperatura T∞ < Ts. 
 
O fluido próximo à placa (mais quente) possui menor massa específica que o afastado 
e forças de empuxo então induzem o desenvolvimento de uma camada limite de 
convecção livre. 
O fluido aquecido 
ascende verticalmente, 
sendo preenchido pelo 
fluido quiescente. 
 
A grande diferença 
dessa camada limite 
para a de convecção 
forçada é que nessa, 
u∞=0. 
Equações da Convecção Livre 
7 
A equação de momento na direção do escoamento, dadas as simplificações da 
camada limite, é: 
 
 
 
A equação de momento na direção perpendicular ao escoamento reduz-se a: 
 
 
 
 
Se a variação em ρ deve-se apenas ao gradiente de temperatura, ela pode ser 
relacionada à uma propriedade termodinâmica do fluido chamada coeficiente de 
expansão térmica volumétrico β: 
 
 
 
 
Assim, temos: 
 
Essa aproximação é conhecida por aproximação de Boussinesq. 
Para gases ideais: 
Equações da Convecção Livre 
8 
O conjunto de equações que então descrevem a camada limite laminar em uma 
superfície vertical sujeita à convecção livre é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cuja forma adimensional é: 
condições de contorno 
variáveis adimensionais 
Equações da Convecção Livre 
9 
Como u∞=0, u0 é uma velocidade de referência arbitrária, não conhecida, portanto 
não conveniente. 
 
O número de Grashof foi então definido de modo a eliminar u0 : 
 
 
 
e representa a razão entre as forças de empuxo e viscosas. 
 
Como Re representa a razão entre forças de inércia e viscosas, 𝐺𝑟𝐿/𝑅𝑒𝐿
2 representa a 
razão entre as forças de empuxo e inércia: 
 
𝐺𝑟𝐿/𝑅𝑒𝐿
2 >> 1  convecção forçada desprezível  𝑁𝑢 = 𝑓(𝐺𝑟, 𝑃𝑟) 
 
𝐺𝑟𝐿/𝑅𝑒𝐿
2 << 1  convecção livre desprezível  𝑁𝑢 = 𝑓(𝑅𝑒, 𝑃𝑟) 
 
𝐺𝑟𝐿/𝑅𝑒𝐿
2 ≈ 1  convecção livre e forçada  𝑁𝑢 = 𝑓(𝑅𝑒, 𝐺𝑟, 𝑃𝑟) 
 
No sentido estrito, um escoamento em convecção livre é um escoamento que é 
induzido apenas por forças de empuxo (forças de inércia → 0) ⇒ 𝐺𝑟𝐿/𝑅𝑒𝐿
2 → ∞. 
 
Solução de Similaridade 
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Parâmetro de similaridade: 
 
 
 
 
Função de corrente: 
 
 
 
 
Reduz-se então o sistema a: 
 
 
 
 
 
Com condições de contorno: 
 
 
 
 
Solução de Similaridade 
11 
Solução numérica: 
Solução de Similaridade 
12 
O número de Nusselt local pode então ser definido como: 
 
 
 
 
onde: 
 
 
logo: 
 
 
com: 
 
 
Como 
 
 
Temos: 
 
 
Logo: 
Efeitos da Turbulência 
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Apesar de na convecção natural as velocidades 
serem baixas, escoamentos turbulentos podem 
ocorrer devido a instabilidades hidrodinâmicas. 
 
A transição na camada limite de convecção livre 
depende da grandeza relativa das forças de 
empuxo e viscosas no fluido. 
 
Na convecção livre, o número de Rayleigh é 
utilizado para caracterizar a natureza do 
escoamento. Para placas verticais, a transição 
ocorre em: 
Correlações Empíricas – Placas Verticais 
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Forma comumente adotada para convecção livre em escoamentos externos 
(diferentes condições de escoamento – laminar e turbulento – e geometria): 
 
 
 
Onde n=1/4 pra laminar e n=1/3 pra turbulento 
Placas Verticais 
Para qualquer Ra, preferencialmente escoamento turbulento: 
Para maior precisão em escoamentos laminares: 
Para Ts=cte: 
propriedades na 
temperatutra de filme e 
𝑞𝑠
" 𝑥 = ℎ(𝑥)(𝑇𝑠 − 𝑇∞) 
 
Para 𝑞𝑠
"=cte: 
 
Esses resultados também se aplicam a cilindros longos se 
Correlações Empíricas – Placas Inclinadas e Horizontais 
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Com 𝑔 = 𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃 em RaL para 0 ≤ 𝜃 ≤ 60
𝑜 
Correlações Empíricas – Placas Inclinadas e Horizontais 
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Superfície Inferior da Placa Aquecida ou 
Superfície Superior da Placa Resfriada 
Superfície Superior da Placa Aquecida ou 
Superfície Inferior da Placa Resfriada 
RaL com 
Correlações Empíricas – Cilindro Horizontal Longo 
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Correlações Empíricas – Esferas 
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Correlações Empíricas – Canais Verticais e Inclinados 
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Placas com 𝑇𝑠 = 𝑐𝑡𝑒  
Placas com 𝑞𝑠
" = 𝑐𝑡𝑒  
Canais Verticais 
Correlações Empíricas – Canais Inclinados 
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Canais Inclinados 
Placas Isotérmicas Simétricas ou 
Isotérmica-Adiabática: 
 
 
 
 
Nas condições 
 
 
 
 
Com propriedades dos fluidos 
avaliadas em: 
 
Correlações Empíricas – Cavidades Retangulares 
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𝑞" = ℎ 𝑇1 − 𝑇2 = 𝑓(𝐻/𝐿, 𝜏) 
𝑤/𝐿 alto  condução 1D 
𝑞" 𝑇1 
𝑇2 
𝜏 = 0𝑜 
𝑅𝑎𝐿 > 5 × 10
4 → fluido turbulento 
𝑅𝑎𝐿 < 1708 → 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢çã𝑜 
1708 < 𝑅𝑎𝐿 < 5 × 10
4 → 𝑐é𝑙𝑢𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎çã𝑜 
𝑞" 
𝑇1 𝑇2 
𝜏 = 90𝑜 
𝑅𝑎𝐿,𝑐 ≈ 1000 
Correlações Empíricas – Cilindros Concêntricos 
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Escoamento caracterizado por células de 
recirculação simétricas em relação ao 
plano médio vertical. 
 
A transferência decalor por convecção 
natural é dada por: 
Onde a condutividade térmica efetiva keff é a condutividade térmica que um fluido 
estacionário deve ter para transferir a mesma quantidade de calor que o fluido que 
está se movendo, dada por: 
 
 
 
 
Onde Rac é calculado com o comprimento característico: 
propriedades do fluido 
em: 
Correlações Empíricas – Esferas Concêntricas 
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A idéia para esferas concêntricas é similar. 
 
A taxa de transferência de calor é dada por: 
 
 
 
 
Com a condutividade térmica efetiva dada por: 
 
 
 
 
Onde Ras é calculado com o comprimento característico: 
 
 
 
 
 
Com propriedades do fluido avaliadas em: 
Convecção Combinada Livre e Forçada 
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g u∞, T ∞ 
T 1>T∞ 
g 
u∞, T ∞ 
T 1>T∞ 
g 
u∞, T ∞ T 1>T∞ 
𝐺𝑟𝐿/𝑅𝑒𝐿
2 ≈ 1