181 PE Petr p2 resolu+º+úo

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UFRJ - Departamento de Engenharia Industrial - 2018/1. 
EEI201 Probabilidade e Estatística. Turma 12406 (EPT). 
Professor José Miguel Bendrao Saldanha. 
Resolução da 2ª prova parcial, realizada em 3/7/18. Cada questão vale 2,5 pontos. 
1ª questão: Dados históricos mostram que o intervalo de tempo entre a chegada de um navio e a 
chegada do navio seguinte a um determinado porto pode ser representado por uma variável 
aleatória com distribuição normal, com média e desvio-padrão iguais, respectivamente, a 9,7 e 3,1 
dias. 
a) Qual é a probabilidade do intervalo entre duas chegadas consecutivas de navios ultrapassar 11 
dias? 
Experimento: chegada de um navio ao porto. 
VA: X = tempo decorrido desde a chegada do navio anterior, em dias. 
Queremos achar P�X > 11�. É dado que X~N�9,7; 3,1��. 
Logo, ��� > ��� = P ����,��.� > ����,��,� � = P�Z > 0,42� = 0,5 − VT�0,42� = 0,5 − 0,162757 ≅ ��, 	%. 
[Observação: VT�z� = P�0 < 
 < ��, onde Z~N�0,1�, é o "valor tabelado" de z.] 
b) Suponha que não chega nenhum navio ao porto há 1 dia. Qual é a probabilidade do próximo 
navio chegar ao porto daqui a mais de 11 dias? 
O experimento é o mesmo. Queremos agora calcular P�X > 12|� > 1�. 
A definição de probabilidade condicionada dá-nos ��� > �
|� > �� = P�X > 12 e X > 1�P�X > 1� = P�X > 12�P�X > 1� = P �X − 9,73.1 > 12 − 9,73,1 �P �X − 9,73.1 > 1 − 9,73,1 � = P�Z > 0,74�P�Z > −2,81� = 
= 0,5 − VT�0,74�0,5 + VT�2,81� = 0,5 − 0,270350,5 + 0,497523 = 0,229650,997523 ≅ 
�, �%. 1 
c) A quantidade de navios que chega ao porto numa semana tem distribuição de Poisson? Por quê? 
Não, porque o tempo entre duas chegadas consecutivas não tem distribuição exponencial. 
2ª questão: Os livros publicados por uma editora têm, em média, 4 erros tipográficos a cada 26 
páginas. Suponha que os elementos tipográficos (letras, sinais etc) apresentam erros de forma 
totalmente aleatória e independentemente uns dos outros. 
a) Qual é a probabilidade de uma página escolhida ao acaso ter pelo menos um erro? 
Experimento: Escolher uma página ao acaso. 
VA: X = Quantidade de erros tipográficos encontrados. 
Queremos encontrar P�X ≥ 1�. Sabemos que E�X� = 4 26⁄ = 2 13⁄ . Considerando cada elemento 
tipográfico uma "tentativa" e cada erro um "sucesso", e supondo que há n elementos tipográficos na 
página e que a probabilidade de qualquer um deles apresentar um erro é a mesma e igual a p, então 
X é a quantidade de sucessos em n tentativas independentes, em cada uma das quais a 
probabilidade de sucesso é constante e igual a p. Portanto, X~Bi�n, p�. Os parâmetros n e p são 
desconhecidos, mas o produto n ∙ p = E�X� = 2 13⁄ é conhecido. Como n é muito grande, podemos 
assumir para X a distribuição de Poisson. Logo, X~Po�2 13⁄ � e P�X = k� = e�� ��⁄ ∙ �2 13⁄ �	 k!⁄ . 
Portanto, ��� ≥ �� = 1 − P�X = 0� = 1 − e�� ��⁄ ≅ ��, 
�%. 
 
1 O fato desta probabilidade ser diferente da probabilidade encontrada no item anterior mostra que a distribuição do 
tempo que decorre desde um instante arbitrário até a chegada do navio seguinte depende de há quanto tempo passou o 
navio anterior. O intervalo entre chegadas não tem, portanto, a propriedade alcunhada de falta de memória. Isso apenas 
aconteceria se a sua distribuição fosse exponencial, e não normal, como é o caso presente. 
 
b) Qual é a probabilidade de um livro de 200 páginas ter mais de 36 erros? 
Experimento: Escolher 200 páginas ao acaso. 
Variáveis aleatórias: X
 = Quantidade de erros na página i, onde i = 1, 2, 3, … , 200, e 
 T = Quantidade total de erros encontrados = ∑ X
���
�� . 
Queremos calcular P�T > 36�. Do item anterior sabemos que X
~Po�2 13⁄ �. 
Logo, supondo os X
′s independentes, T é a soma de 200 variáveis aleatórias com distribuição de Poisson e por isso também tem distribuição de Poisson, com parâmetro α = E�T� = 200 × E�X
� =
200 × 2 13⁄ ≅ 30,77, podendo, portanto, ser convenientemente aproximada por uma variável com 
distribuição normal. Seja T′~N�μ, σ�� essa variável, onde 
μ = E�T′� = E�T� = 30,77 e σ� = V�T′� = V�T� = 30,77 ≅ 5,547�. 
Teremos então, lembrando de fazer a correção de continuidade, ��� > ��� ≅ P�T′ > 36,5� = 
P �
′���,���,��� > ��,����,���,��� � = P�Z > 1,03� = 0,5 − VT�1,03� = 0,5 − 0,348495 ≅ ��, ��%. 
c) Que suposições não indicadas no enunciado você precisou fazer para resolver cada um dos itens 
anteriores desta questão? 
item a: a probabilidade de erro num elemento tipográfico é sempre a mesma e a quantidade 
de elementos tipográficos numa página é grande o suficiente para que a distribuição 
binomial da quantidade de erros nesses elementos possa ser aproximada por uma 
distribuição de Poisson 
item b: as quantidades de erros em páginas distintas são independentes e a soma de 200 
variáveis independentes com distribuição de Poisson pode ser aproximada por uma 
distribuição normal. 
3ª questão: Um equipamento será utilizado numa atividade composta por 10 operações distintas. 
Em cada uma destas operações, peças do tipo T, que compõem o equipamento em grande 
quantidade e são idênticas, poderão, embora com baixa probabilidade, sofrer avarias 
irrecuperáveis, de forma aleatória e independentemente umas das outras. Caso as peças avariadas 
não sejam substituídas imediatamente, a atividade será interrompida em definitivo. Para evitar tal 
interrupção, é necessário ter disponível, antes do início da atividade, certa quantidade de peças 
sobressalentes do tipo T. Dados históricos indicam que, em média, ficam avariadas 0,18 peças do 
tipo T em cada uma das primeiras 5 operações, e 0,27 peças deste tipo em cada uma das 5 
operações seguintes. 
a) Qual é a probabilidade de se avariarem mais de duas peças do tipo T ao longo da realização da 
atividade completa? 
Experimento: Realizar uma atividade composta por 10 operações. 
Variáveis aleatórias: Q	 = quantidade de peças do tipo T avariadas na k-ésima operação (k =1, 2, ...,10), e 
 T = quantidade total de peças avariadas = ∑ Q	��	�� . 
Queremos obter P�T > 2�. 
Foram dados E�Q
� = 0,18, para i = 1, 2, 3, 4 e 5, e E�Q�� = 0,27, para j = 6, 7, 8, 9, 10. 
Suponhamos, a exemplo de situações semelhantes, que as quantidade de peças avariadas em cada 
operação têm distribuição de Poisson e que elas são independentes. Nestas condições, T terá 
também distribuição de Poisson, e E�T� = ∑ E�Q	���	�� = 5 × 0,18 + 5 × 0,27 = 2,25. 
Logo, T~Po�2,25� e P�T = k� = e��,�� ∙ 2,25	 k!⁄ . Logo, ��� > 
� = 1 − P�T = 0� − P�T = 1� − P�T = 2� =1-e��,�� ∙ �1 + 2,25 + 2,25� 2⁄ � ≅ ��, �	%. 
b) Quantas peças sobressalentes do tipo T devem ser providenciadas para que a probabilidade da 
atividade fracassar por falta de peças do tipo T seja inferior a 5%? 
Seja x a quantidade de peças sobressalentes a providenciar. A atividade fracassará quando a 
quantidade de peças avariadas do tipo T for maior do que x. Queremos portanto determinar que 
valor de x implica P�T > �� < 5%, ou, o que é o mesmo, P�T ≤ x� > 95%. Resolvemos o problema 
calculando sucessivamente os valores da função de distribuição de T, até encontrar o primeiro que 
ultrapasse 95%: 
 
k P�T = k� P�T ≤ k� 
0 e��,�� ≅ 0,10540 0,10540 
1 0,23715 0,34255 
2 0,26679 0,60934 
3 0,20009 0,80943 
4 0,11255 0,92198 
k P�T = k� P�T ≤ k� 
5 0,05065 0,97263 > 95% 
... ... ... 
Portanto, deverão ser providenciadas 5 peças sobressalentes do tipo T. 
4ª questão: A função densidade de probabilidade (fdp) da altura, em centímetros, de uma pessoa 
escolhida ao acaso na arquibancada de um estádio de futebol é dada por ���� = �M. x − 120. M, para 120 ≤ x ≤ 175− 2,2 . M . x + 440. M, para 175 ≤ x ≤ 200, e
0, para outros valores de x,
� 
a) Esboce o gráfico de f(x). 
 
b) Prove que M = 1/2200. 
Neste caso, pela simplicidade da forma triangular do gráfico da função densidade de probabilidade 
(fdp) de X, é fácil chegar ao valor de M a partir do fato de que a área sob a fdp é igual à unidade.Teremos �200 − 120� × 55M ÷ 2 = 1 ⇒ � = � 
��⁄ . 
O mesmo resultado obtém-se integrando a fdp de 120 até 200 e igualando à unidade: � f�x�dx = 1 ⇒ � �Mx − 120M�dx���
���
+ � �−2,2Mx + 440M�dx = 1���
���
⇒
�∞
�∞
 
M � x�2 − 120x!������ + "−1,1x� + 440x#������$ = 1 ⇒ 
175�
2 − 120 × 175 −
120�
2 + 120
� − 1,1 × 200� + 440 × 200 + 1,1 × 175� − 440 × 175 = 1M ⇒ 
15.312,5 − 21.000 − 7.200 + 14.400 − 44.000 + 88.000 + 33.687,5 − 77.000 = 1 M ⇒⁄ � = � 
��⁄ . 
 
c) Obtenha a função de distribuição (fd) de X e esboce o seu gráfico. 
A função de distribuição (fd) de X é definida por F�x� = P�X ≤ x� = % f�u���∞ du. Logo, &�'� = % 0. dx��∞ = �, para ' ≤ �
�; &�'� = F�120� + � �Mu − 120M��
���
du = 0 + M u�2 − 120u!���� = 
M ���� − 120x − ����� + 120�� = ����� ���� − 120x + 7200� = ������ − ���� + ����, para �
� ≤ ' ≤ �	�; &�'� = F�175� + � �−2,2Mu + 440M�du�
���
= 0,6875 + "−1,1u� + 440u#���� = 
= 0,6875 + M�−1,1x� + 440x + 1,1 × 175� − 440 × 175� = 
= 0,6875 + ����� �−1,1x� + 440x − 43.312,5� = − ������ + �� − ��, para �	� ≤ ' ≤ 
��, e &�'� = �, para ' ≥ 
��. 
 
Esboço do gráfico: 
 
d) Calcule a probabilidade da altura de uma pessoa escolhida ao acaso na arquibancada ficar entre 
161 e 190 centímetros. 
Queremos obter P�161 < X < 190�. Como já temos a função de distribuição, esta probabilidade 
pode ser obtida pela diferença entre os valores da fd nos extremos do intervalo, ou seja, ����� < � < ���� = F�190� − F�161� = �− �������� + ���� − 19� − ��������� − �×����� + ����� = 
= 0,95 − 0,38205 ≅ ��, (%