181 PE pf resolu+º+úo

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UFRJ - Departamento de Engenharia Industrial - 2018/1. 
EEI201 Probabilidade e Estatística. Turmas 12406 (EPT) e 12407 (EP1). 
Professor José Miguel Bendrao Saldanha. 
Resolução da prova final, realizada em 10 e 12/7/18. 
1ª questão (2,5 pontos): Um jogador recebe quatro cartas escolhidas ao acaso de um baralho 
de 30 cartas no qual há 12 cartas do naipe de espadas. O jogador troca todas as cartas 
recebidas que não forem de espadas por igual quantidade de cartas escolhidas ao acaso dentre 
as cartas restantes do baralho. As cartas trocadas não retornam ao baralho. Qual é a 
probabilidade do jogador ficar, após a troca, com quatro cartas de espadas na mão? 
Experimento: Escolher 4 cartas ao acaso de um baralho de 30 cartas no qual há 12 cartas de espadas, 
e trocar as cartas recebidas que não forem de espadas por igual quantidade de cartas escolhidas ao 
acaso dentre as cartas restantes do baralho, observando os naipes das cartas escolhidas, tanto na 
distribuição inicial quanto na troca. 
Eventos: E� ="jogador recebe i cartas de espadas na distribuição inicial"�i = 0,1,2,3 ou 4�. 
 X = "jogador obtém quatro cartas de espadas até o final do jogo".1 
Uma vez que os eventos E� formam uma partição, o teorema da probabilidade total nos dá: 
P�X� = P�E�� ∙ P�X|E�� + P�E�� ∙ P�X|E�� + P�E�� ∙ P�X|E�� + P�E�� ∙ P�X|E�� + P�E�� ∙ P�X|E�� 
As probabilidades das parcelas são calculadas facilmente pela definição clássica. Na distribuição 
inicial, há C��� = 27.405 maneiras distintas possíveis de se escolherem 4 cartas do baralho de 30, 
todas igualmente prováveis, já que a escolha é ao acaso. Para que nestas 4 cartas haja i de espadas (e, 
portanto, 4 − i de outros naipes), há C��� maneiras de escolher i cartas de espadas dentre as 12 de 
espadas, e, para cada uma destas, C����� maneiras de escolher�4 − i� cartas de outro naipes. Logo, 
P�E�� = 	��� ×	�����	��� , e teremos: 
P�E�� = 11,17%; P�E�� = 35,73%;P�E�� = 36,85%; P�E�� = 14,45%, e P�E�� = 1,81%. 
Caso ocorra E�, também ocorre X e o jogo termina. Caso contrário (i < 4), o jogador escolherá 4 − i 
cartas das 26 cartas restantes do baralho, podendo fazer isso de C�
��� maneiras distintas, igualmente 
prováveis. Destas, C������� darão ao jogador as 4 − i cartas de espadas que lhe faltam para atingir o seu 
objetivo, uma vez que no baralho haverá então 12−i cartas de espadas. Logo, P�X|E�� = 	�������	�	��� , e 
P�X|E�� = 3,31%; P�X|E�� = 6,35%; P�X|E�� = 13,85%, e P�X|E�� = 34,62%. 
Substituindo estes valores na fórmula da probabilidade total, encontramos ���� = ��,��%. 
As probabilidades calculadas e as relações entre os eventos estão na árvore de probabilidades a 
seguir, para melhor visualização. 
 
 
1 Interpretamos assim o texto do enunciado que diz "ficar, após a troca, com quatro cartas de espadas na mão", admitindo, 
porém, que este texto poderia ser interpretado de forma a não considerar parte do evento cuja probabilidade se pede a 
possibilidade de já serem recebidas quatro cartas de espadas na escolha inicial (evento E4), porque neste caso não haveria 
propriamente uma "troca". 
 
 
 
 
2ª questão (0,5 ponto): Se P(A) = 75% e P(B) = 55%, quais os valores mínimo e máximo 
possíveis de P(AB)? 
Sabemos que P�A + B� = P�A� + P�B� − P�AB� ≤ 1, quaisquer que sejam os eventos A e B. 
Logo, P�A + B� = 0,75 + 0,55 − P�AB� ≤ 1 ⇒ P�AB� ≥ 0,3. 
Além disso, AB ⊂ B e AB ⊂ A, o que implica P�AB� ≤ P�A� e P�AB� ≤ P�B�. 
Portanto, P�AB� ≤ 0,75 e P�AB� ≤ 0,55. 
Consequentemente, �	% ≤ ��
�� ≤ ��%. 
 
 
3ª questão (2 pontos): X, Y e Z são cidades de uma região montanhosa, ligadas entre si 
diretamente por três estradas. Às vezes, nos dias em que chove muito, as estradas ficam 
intransitáveis. As probabilidades de cada estrada permanecer transitável quando chove muito 
estão na tabela a seguir. 
 
Estrada X - Y Y - Z X - Z 
Probabilidade 80% 70% 50% 
 
As estradas ficam transitáveis ou não de forma independente umas das outras, com exceção 
das duas estradas que saem de X, que quando chove muito ficam simultaneamente transitáveis 
com probabilidade igual a 50%. 
 
a) Uma pessoa está em X e precisa viajar de carro para Z, num dia em que chove muito. Para 
ter uma chance maior de completar a viagem, ela deve ir diretamente para Z ou passar 
primeiro por Y? 
Experimento: "Observar as condições de trânsito das estradas da região num dia em que chove muito" 
Eventos: A = "estrada X - Y transitável" 
 B = "estrada Y - Z transitável" 
 C = "estrada X - Z transitável" 
 D = "caminho X - Y - Z transitável" 
Queremos descobrir qual dos eventos C ou D tem a maior probabilidade ("chance"). As probabilidades 
dadas são P�A� = 80%, P�B� = 70% e P�C� = 50% 
Obviamente, D = AB. Como as estradas ficam ou não transitáveis de forma independente umas das 
outras, conclui-se que A e B são dois eventos independentes e, portanto, 
P�D� = P�A� × P�B� = 0,8 × 0,7 = 56%. 
Logo, D é mais provável do que C e, portanto, a pessoa deve passar primeiro por Y para ter uma 
chance maior de completar a viagem de X a Z. 
b) Qual é a probabilidade de ser possível viajar de X a Z num dia em que chove muito? 
Experimento: o mesmo do item anterior 
Eventos: os mesmos do item anterior, e ainda E = "é possível viajar de X a Z", cuja probabilidade se 
quer calcular. 
Para ser possível viajar de X a Z, basta que um dos caminhos [X→Z] ou [X→Y→Z] esteja transitável. 
Logo,E = C + D = C + AB, e, consequentemente, 
 P�E� = P�C� + P�AB� − P�ABC�. 
Como os eventos A, B e C são coletivamente independentes com exceção do par de eventos A e C, cuja 
probabilidade conjunta foi dada e é igual a 50%, vem 
 ���� = P�C� + P�A� ∙ P�B� − P�AC� ∙ P�B� = 0,5 + 0,8 ∙ 0,7 − 0,5 ∙ 0,7 = 
�%. 
 
4ª questão (2,5 pontos): Um equipamento será utilizado em várias realizações de uma 
determinada operação, durante as quais pode apresentar defeitos de três tipos distintos, A, B e 
C. Com base em registros anteriores, sabe-se que, em média, ocorre um defeito do tipo A a cada 
5 realizações da operação, um defeito do tipo B a cada 8 realizações e um defeito do tipo C a 
cada 10 realizações. Suponha que em cada realização da operação só pode ocorrer, no máximo, 
um defeito de cada tipo, mas podem ocorrer defeitos de vários tipos. 
a) Qual é a probabilidade do 2º defeito do tipo A ocorrer na 10ª realização da operação? 
Experimento: Realizar operações sucessivamente, até ocorrer o 2º defeito do tipo A.2 
Variável aleatória: X = quantidade de operações realizadas. 
Queremos calcular P�X = 10�. Supondo que as realizações da operação são independentes, a VA X 
refere-se precisamente à quantidade de tentativas de Bernoulli (realizações da operação) necessárias 
para que ocorre o 2º sucesso (defeito do tipo A). Tem, portanto, distribuição de Pascal, com 
parâmetros iguais à quantidade de sucessos pretendidos (r = 2) e à probabilidade de sucesso em 
cada tentativa (p = 1 5⁄ , já que o defeito do tipo A ocorre, em média, uma vez a cada cinco realizações 
da operação). Ou seja, X~Pa �2; 1 5⁄ �, e, portanto, 
P�X = k� = C������p��1 − p���� ⇒ ��� = �	� = C
��1 5⁄ ���4 5⁄ �� = �,	�%. 
 
2 Estão implícitas, na definição do experimento, as frequências médias com que ocorrem os vários tipos de defeitos, 
informadas no enunciado. 
b) Qual é a probabilidade do 1º defeito (de qualquer tipo) ocorrer na 3ª realização da 
operação? 
Experimento: Realizar operações sucessivamente, até ocorrer o 1º defeito de qualquer tipo. 
Variável aleatória: Y = quantidade de operações realizadas. 
Queremos calcular P�Y = 3�. Mantendo a suposição de independência das realizações, Y é a 
quantidade de tentativas de Bernoulli necessárias para a ocorrência do primeiro sucesso, sendo este 
"sucesso" um defeito de qualquer tipo. Y tem, portanto, distribuição geométrica, e o seu único 
parâmetro é a probabilidade de ocorrer umdefeito qualquer em uma determinada realização da 
operação. 
Para calcular esta probabilidade, definamos 
Experimento: Utilizar o equipamento para realizar uma determinada operação 
Eventos: A = "defeito do tipo A"; B = "defeito do tipo B"; C = "defeito do tipo C", e Q = "defeito de 
qualquer tipo". 
Precisamos então calcular P�Q�. São facilmente dedutíveis, a partir das frequências informadas sobre 
as ocorrências dos defeitos, P�A� = 1 5⁄ , P�B� = 1 8 e P�C� = 1 10⁄⁄ . 
Obviamente, Q = A + B + C. Como os eventos A, B e C não são mutuamente excludentes3, vem 
P�Q� = P�A� + P�B� + P�C� − P�AB� − P�AC� − P�BC� + P�ABC�. 
Para calcular as probabilidades das ocorrências conjuntas, suporemos coletivamente independentes 
os eventos A, B e C. Teremos então 
P�AB� = P�A� × P�B� = 1 40;⁄ P�AC� = P�A� × P�C� = 1 50;⁄ P�BC� = P�B� × P�C� = 1 80,⁄ e 
P�ABC� = P�A� × P�B� × P�C� = 1 400⁄ . 
Portanto, 
P�Q� = 15 +
1
8 +
1
10 −
1
40 −
1
50 −
1
80 +
1
400 =
80 + 50 + 40 − 10 − 8 − 5 + 1
400 =
37
100 = 0,37. 
Logo, Y~Ge�0,37� e, por conseguinte, P�Y = k� = �1 − 0,37���� × 0,37, e, finalmente, 
P�Y = 3� = �1 − 0,37�� × 0,37 = ��,��%. 
c) Obtenha o valor esperado e a variância da quantidade total de defeitos, seja qual for o tipo, 
que ocorrem nas 20 primeiras realizações da operação. 
Experimento: Realizar a operação 20 vezes. 
Variáveis aleatórias: TA = Quantidade total de defeitos do tipo A; TB = Quantidade total de defeitos do 
tipo B; TC = Quantidade total de defeitos do tipo C, e T = Quantidade total de defeitos de qualquer tipo. 
Queremos obter E�T� e σ�. Evidentemente, T = TA + TB + TC e E�T� = E�T�� + E�T�� + E�T	�, e, se TA, 
TB e TC forem independentes, σ� = �V�T� = �V�T�� + V�T�� + V�T	�. 
TA é a quantidade de sucessos (defeito do tipo A) em 20 tentativas de Bernoulli (realizações da 
operação). Portanto, tem distribuição binomial, com parâmetros iguais a 20 (quantidade de tentativas) 
e 1/5 (probabilidade de sucesso numa tentativa). Isto é, T�~Bi�20; 1 5⁄ �. Pelo mesmo raciocínio, 
concluímos que T�~Bi�20; 1 8⁄ � e que T	~Bi�20; 1 10⁄ �. Portanto, 
E�T�� = 20 × 1 5 = 4;⁄ E�T�� = 20 × 1 8⁄ = 2,5; E�T	� = 20 × 1 10⁄ = 2; 
V�T�� = 20 × 1 5⁄ × 4 5⁄ = 3,2; V�T�� = 20 × 1 8⁄ × 7 8⁄ = 2,1875, e V�T�� = 20 × 1 10⁄ × 9 10⁄ = 1,8. 
Finalmente, 
���� = 4 + 2,5 + 2 = �,�. 
�� = �V�T� = �3,2 + 2,1875 + 1,8 = �7,1875 ≅ �,��. 
 
 
3 O enunciado é explícito a esse respeito ("em cada realização da operação... podem ocorrer defeitos de vários tipos"). 
 
d) Indique, para cada um dos itens anteriores, que suposições, além das informadas no 
enunciado, foi preciso fazer para resolvê-los? 
item a: realizações da operação independentes; 
item b: operações independentes e defeitos dos vários tipos independentes em cada realização da 
operação, e 
item c: as mesmas do item b. 
 
5ª questão (2,5 pontos): Uma longa estrada tem defeitos na pista, distribuídos de forma 
aleatória ao longo da sua extensão. Suponha que, ao percorrer a estrada num determinado 
sentido, a distribuição de probabilidade da distância que falta até o próximo defeito é sempre 
a mesma, a qualquer instante, independentemente da localização do último defeito 
encontrado. Suponha também que a cada 5 defeitos encontrados, em média um deles 
encontra-se a menos de 1 km de distância do anterior. 
a) Qual é a distribuição de probabilidade da distância entre dois defeitos consecutivos? Diga o 
nome da distribuição e o(s) valor(es) do(s) seu(s) parâmetro(s) e/ou escreva a expressão da 
sua função de probabilidade ou da sua função densidade de probabilidade, conforme for o 
caso. 
Experimento E: percorrer a estrada, a partir de um defeito, até encontrar o defeito seguinte. 
Variável aleatória: D = distância percorrida, em quilômetros. 
A propriedade mencionada (probabilidades independentes da distância já percorrida) é, em outras 
palavras, a chamada "falta de memória", exclusiva da distribuição exponencial, dentre as distribuições 
contínuas. Logo, D~Exp�α�. Portanto, a função densidade de probabilidade e a função de distribuição 
de D são dadas, respectivamente, por f�d� = α ∙ e�α� e F�d� = 1 − e�α�, para d > 0. 
Para determinar o valor do parâmetro α, observemos que o enunciado da questão informa que "a 
cada 5 defeitos encontrados, em média um deles encontra-se a menos de 1 km de distância do 
anterior". Ora, isso é o mesmo que dizer que a probabilidade da distância entre dois defeitos 
consecutivos ser inferior a 1km é igual a 1 5⁄ , isto é, que P�D < 1� = F�1� = 0,2, e, portanto, 
F�1� = 1 − e�α∙� = 0,2 ⇒ e�α = 0,8 ⇒ α = − ln 0,8 = 0,223 
Logo, �~����	,���� e a função densidade de probabilidade de D é 
���� = 	,��� ∙ ���,����,���� � > 0. 
b) Quantos defeitos há, em média, num trecho de 100 km da estrada? 
A distância média entre defeitos consecutivos é o valor esperado da variável aleatória D. Da teoria da 
distribuição exponencial, sabemos que E�D� = 1 α⁄ = 1 0,223⁄ = 4,4814 km. Portanto, a quantidade 
média de defeitos num trecho de 100km será igual a 100 4,4814⁄ = ��,� defeitos. 
c) Qual é a probabilidade de distância entre dois defeitos consecutivos não ultrapassar 3 km? 
Queremos calcular P�D ≤ 3�, que é igual a F�3� = 1 − e��,���×� = 1 − e��,
 = ��,�%.