Lista Provas Antigas 1

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Universidade Federal do Rio de Janeiro
Teoria do Risco
Prof. Tha´ıs C O Fonseca Lista de exerc´ıcios - Provas antigas
1. Assuma que uma pessoa tem o risco de sofrer uma perda aleato´ria X. Assuma adicional-
mente que esta pessoa possui uma riqueza de dois reais e tem func¸a˜o de utilidade lin-
ear. Por outro lado, uma seguradora tem riqueza de 100 reais, e func¸a˜o de utilidade
u(w) = −αe−αw onde α > 0.
(a) Obter o preˆmio ma´ximo P+ que a pessoa esta´ disposta a pagar para se proteger
contra o risco X.
(b) Obter o preˆmio mı´nimo P− que a seguradora quer receber para proteger esta pessoa
contra o risco X.
(c) As duas partes podera˜o entrar em um acordo? Justifique.
2. Considere um decisor averso ao risco, que possui riqueza w, e que esta´ disposto a pagar
um preˆmio P para se proteger de um risco X. Enta˜o, para esse decisor temos
u(w − P ) ≥ E(u(w −X)).
Interprete a desigualdade acima.
3. Joa˜o comprou um bem no valor de 100. Um imprevisto pode ocorrer com seu bem e ele
pode sofrer uma perda aleato´ria X que tem distribuic¸a˜o Ga(6,1), se um imprevisto na˜o
ocorre ele na˜o perde nada. Um imprevisto ocorre com probabilidade 0.2.
(a) Qual a me´dia e variaˆncia da perda?
(b) Joa˜o esta´ disposto a pagar um seguro para se proteger desse risco, qual o preˆmio
ma´ximo que ele pagaria se sua func¸a˜o de utilidade e´ u(w) = −αe−αw onde α = 0.1?
4. Uma empresa de seguros possui 1000 apo´lices de seguro de ve´ıculo. Suponha que a empresa
cobre somente perda total, e se isso ocorre o contrato termina. De experieˆncia passada o
segurador sabe que a probabilidade de perda total e´ 0.05. Se o sinistro ocorre, o valor da
indenizac¸a˜o e´ 1. Assuma que os contratos sa˜o independentes.
(a) Qual a probabilidade do total pago de indenizac¸o˜es ser maior que 70?
(b) Calcule (a) de forma aproximada usando o Teorema Central do Limite.
5. Uma carteira e´ constituida de 2 tipos de contratos, tipos 1 e 2, com as seguintes carac-
ter´ısticas:
• Sa˜o n1 contratos do tipo 1, com probabilidade p1 de gerar sinistro, e dado que houve
sinistro, o seu valor e´ 1 c.p. p(1) ou 2 c.p. p(2).
• Tipo 2: sa˜o n2 contratos, com probabilidade p2 de gerar sinistro, e dado que houve
sinistro, o seu valor e´ 3.
Assumimos todos os contratos independentes.
(a) Calcule me´dia e variancia do risco total S desta carteira.
(b) Obtenha uma expressa˜o para a probabilidade P (S ≥ s) em func¸a˜o de s e de Φ (a fda
da normal padra˜o).
6. Suponha que a probabilidade de ocorrer um dado sinistro em um ano e´ q, e dado que
houve sinistro, o valor deste sinistro segue uma distribuic¸a˜o Exp(λ).
(a) Se escrevemos o risco correspondente como X = IB onde I e B sa˜o duas v.a.’s
independentes. Explicitar as distribuic¸o˜es s de I e B.
(b) Mostrar que a func¸a˜o geradora dos momentos de X vale
mX(α) = 1 + q
α
λ− α , para α < λ.
7. Voceˆ possui um bem no valor de 5000 reais. Para se previnir de uma perda aleato´ria
que pode ocorrer com esse bem voceˆ decide pagar um preˆmio a um segurador. A perda
aleato´ria tem distribuic¸a˜o Exp(1/10) e sabe-se de experieˆncias passadas que a perda ocorre
com probabilidade 0.05. Se a perda na˜o ocorre voceˆ na˜o perde nada.
(a) Descreva o modelo de risco para o problema acima.
(b) Calcule a me´dia e variaˆncia da perda?
(c) Qual o preˆmio ma´ximo que voceˆ pagaria ao segurador se sua func¸a˜o de utilidade e´
u(w) = −αe−αw onde α = 0.2?
(d) Se o segurador possui func¸a˜o de utilidade linear, voc¸eˆs fariam nego´cio?
8. Uma empresa de seguros possui 100 apo´lices de seguro de vida. Suponha que a empresa
faz um u´nico pagamento em caso de sinistro, e se isso ocorre o contrato termina. De
experieˆncia passada o segurador sabe que a probabilidade de sinistro e´ 0.01. Se o sinistro
ocorre, o valor da indenizac¸a˜o e´ 10. Assuma que os contratos sa˜o independentes.
(a) Qual a probabilidade do total pago de indenizac¸o˜es ser maior que 80?
(b) Calcule (a) de forma aproximada usando o Teorema Central do Limite.
9. Suponha que um risco tem distribuic¸a˜o exponencial com me´dia 5 se o sinistro ocorre e 0
caso contra´rio. A probabilidade de sinistro e´ 0.1. Qual o preˆmio ma´ximo a ser pago, se o
segurado tem func¸a˜o de utilidade exponencial com paraˆmetro α = 0.1 ?