Lista Provas Antigas 2

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Universidade Federal do Rio de Janeiro
Teoria do Risco
Prof. Tha´ıs C O Fonseca Lista de exerc´ıcios - Provas antigas 2
1. Considere uma carteira de seguros com ocorreˆncias de sinistros que seguem uma dis-
tribuic¸a˜o de Poisson com me´dia λ, cujos pagamentos X tem distribuic¸a˜o exponencial com
me´dia 1/β e capital inicial do segurador u.
(a) Calcule o coeficiente de ajustamento em func¸a˜o de β, λ e da arrecadac¸a˜o c.
(b) Como podemos diminuir a cota superior da probabilidade de ru´ına?
2. Considere a aproximac¸a˜o do modelo para risco individual usando o modelo para risco
coletivo para a varia´vel S, total de pagamentos de uma carteira. Seja λi = pi mostre que
(a) os dois modelos levam a mesma me´dia para a varia´vel S.
(b) o modelo para risco coletivo leva a uma maior variaˆncia de S do que o modelo de
risco individual.
(c) Interprete o resultado em (b).
3. Considere interesse na varia´vel S, total de pagamentos de uma carteira tal que S =
X1 + . . .+XN e N ∼ Pois(λ). Suponha que λ e´ desconhecido com distribuic¸a˜o Ga(α, β).
(a) Qual a me´dia e variaˆncia de N?
(b) Encontre a func¸a˜o geradora de momentos de N .
(c) Voceˆ reconhece a distribuic¸a˜o em (b)? Interprete.
4. Uma Seguradora possui uma carteira de apo´lices que produz indenizac¸o˜es agregadas anuais
que sa˜o independentes e identicamente distribu´ıdas como uma Poisson Composta com
λ, com distribuic¸a˜o de pagamentos fx(1) = 1/4 e fx(2) = 3/4. Se o coeficiente de
ajustamento e´ log(3) e λ = 1, qual deve ser o preˆmio anual a ser arrecadado nesta
carteira?
5. Num processo de ru´ına, as indenizac¸o˜es tem distribuic¸a˜o Gama(1,2). Determine o coefi-
ciente de ajustamento como func¸a˜o do carregamento de seguranc¸a θ. Discuta o compor-
tamento do probabilidade de ru´ına como func¸a˜o de θ para um capital inicial u = 1.
6. Considere o modelo de Poisson composto para o total pago S com taxa λ.
(a) Mostre que o preˆmio a ser arrecadado e´ dado por
c =
1
R
log(MS(R)).
(b) Mostre que o preˆmio em (a) pode ser aproximado por
c ≈ E(S) + R
2
V ar(S).
(c) Descreva como reduzir a cota superior da probabilidade de ru´ına pela metade neste
modelo? Considere capital inicial fixo u = 1.
7. Considere dois riscos S1 e S2 tais que S1 ∼ U(0, 20) e S2 ∼ Exp(1/10). Compare os VaRs
(Value at risk) desses dois riscos.