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1 O que é o fluxo de caixa   
Ao falarmos sobre transações financeiras, é comum pensarmos em fórmulas e equações diversas, mas também em planilhas e tabelas que registram os valores envolvidos nas transações e cálculos. Mas, essa não é a única forma de representar essas transações: elas podem ser representadas por meio dos fluxos de caixa, ou seja, representações gráficas que indicam diversas operações ao longo do tempo, o que facilita a visualização e, consequentemente, as análises e cálculos a serem efetuados.
Os conceitos dos fluxos de caixa representam, junto ao conceito de juros; a base fundamental de estudo da Matemática Financeira. Tais conceitos fundamentam atividades que englobam análise de investimentos, empréstimos, financiamentos e tantas outras atividades financeiras. O conhecimento dessa ferramenta auxilia pessoas, famílias e empresas a analisar sua situação e a tomar as melhores decisões sobre finanças. 
Figura 1 - Movimentações de dinheiro, na forma de transações financeiras, devem ser registradas e analisadas. Fonte: isak55, Shutterstock, 2018. 
 E é isso que você vai estudar neste tópico: a lógica que relaciona valores monetários com o tempo, representados por meio dos fluxos de caixa, e os tipos de análises e cálculos que podem ser feitos.  
3.1.1 Representação de um fluxo de caixa
Se você toma um empréstimo de R$1.000,00 e paga, um mês depois, R$1.030,00 (ou seja, o valor emprestado mais R$30,00 de juros ao longo de um mês), é possível representar as duas transações (o recebimento dos R$1.000,00 e o pagamento de R$1.030,00) em uma tabela (ou planilha). Mas, registrar somente os valores de R$1.000,00 e R$1.030,00 não é suficiente para explicar de forma completa o que, de fato, aconteceu.
É aí que surgem os padrões usuais para representar os fluxos de caixa, ou seja, adicionar informações aos valores de forma que seja possível ter um panorama completo do que aconteceu e o fenômeno que estamos estudando.
Por exemplo, como relacionar os dois valores, ou seja, indicar que há uma relação entre eles, que um (o pagamento) ocorreu como consequência do outro (o recebimento do valor emprestado)? Como saber que o primeiro é recebimento e o outro um pagamento, e não o contrário? Também não é possível saber o intervalo entre uma transação e outra.
Dessa forma, a planilha precisa indicar os valores, relacioná-los e indicar o tempo em que ocorreram. Veja na figura a seguir a planilha somente com os valores (à esquerda) e com a adição dos demais elementos informativos (à direita), que representariam um fluxo de caixa.
Figura 2 - Representação de duas transações relacionadas: recebimento de R$1.000,00 e pagamento de R$1.300,00. Fonte: Elaborado pelo autor, 2018. 
Há algumas nuances que precisam ser destacadas quando analisamos as informações contidas na planilha da direita. Repare, primeiramente, que a cada valor foi associado um período, ou seja, uma medida n de tempo: a situação que estudamos começou com o empréstimo de R$1.000,00 e, por isso, vinculamos com o tempo inicial, isto é n = 0. E, consequentemente, como a outra transação ocorreu um período após a primeira (no caso, um mês), ela estaria vinculada a uma unidade de tempo após a primeira transação, ou seja, n =1.
Ao vincularmos as transações ao tempo em que elas ocorreram, estamos, também, relacionando as duas, ou seja, informando que elas fazem parte da mesma situação estudada e não de transações que não têm qualquer relação entre si: repare que isso não acontece quando olhamos a planilha do lado esquerdo da figura: lá, são somente dois valores, sobre os quais nada sabemos.
E se o pagamento de R$1.030,00 não ocorresse um mês depois do empréstimo, mas sim dois meses depois? Nesse caso, a planilha deveria mostrar o valor em n = 1 em branco e o valor pago apareceria em n = 2, isto é, a planilha deveria conter uma linha a mais, para mostrar o histórico do momento inicial (n = 0), o mês seguinte (em que nada acontecia e, por isso, a célula com valores ficaria em branco) e o seguindo mês (quando aconteceria o pagamento do empréstimo).
Outro aspecto muito importante em termos de informações constantes na planilha à direita na figura é o fato de que podemos indicar o que é um valor recebido e o que é um valor pago. A lógica é a de que um valor recebido é um valor a mais que temos e, assim, as transações desse tipo recebem valores positivos, como foi o caso dos R$1.000,00 recebidos como empréstimo. Já o oposto, ou seja, valores pagos, são valores que deixamos de ter conosco, ou seja, valores a menos e, por essa razão, aparecem como valores negativos, como os R$1.030,00 mostrados na planilha.
Apesar de termos representado a sequência cronológica das transações na figura vertical, isso não é obrigatório: elas podem ser apresentadas na horizontal. É importante que o avanço cronológico das transações seja sempre para baixo (como mostrado na planilha à direita) ou para a direita (como no sentido em que escrevemos) e nunca em sentido inverso.
A vantagem de representarmos o fluxo de caixa na forma de planilha é a possibilidade de resumir as diversas informações das transações estudadas, sem a necessidade de um longo texto. Na verdade, quanto mais transações existirem, maior a simplificação das informações ocorrerão na planilha.
Há duas outras formas de representar valores monetários negativos (ou seja, pagamentos efetuados): a primeira é colocar o valor em vermelho, para se destacar dos demais (positivos). E a outra dispensa a utilização do sinal de menos: basta colocar o valor entre parêntesis. Assim, podemos representar –R$1.030,00 ou (R$1.300,00). A vantagem do uso desse padrão é que ele é mais visível, reduzindo o risco de não ser visto, como acontece com o sinal negativo.
Há ainda outra forma de representarmos fluxos de caixa: podemos utilizar uma representação gráfica, ou seja, ao invés das informações sobre valores e tempos serem apresentadas em uma planilha, simplesmente fazemos um gráfico que identifique tais informações.
Para tanto, devemos obrigatoriamente trabalhar com a escala de tempo na horizontal, da esquerda para a direita, sobre uma flecha que representa o avanço cronológico. E, para os valores, utilizamos setas perpendiculares à flecha: nesse caso, a representação de transações de recebimentos ou pagamentos (ou seja, valores positivos ou negativos, respectivamente) é indicada pelo sentido das setas. Os recebimentos ( + ) são setas para cima, associados ao conceito de aumentar, de termos mais dinheiro, ao passo que os pagamentos são representados por setas para baixo, passando a ideia de diminuição do valor que temos (HP, 2004; CASTANHEIRA; MACEDO, 2012). O sumário de tais informações (sem a representação das setas) é mostrado na figura a seguir.
Figura 3 - Padronização do fluxo de caixa, com a escala de tempo na horizontal e os sentidos para setas de valores positivos e negativos. Fonte: Perfect Gui, Shutterstock, 2018. 
Nesse caso, não há a necessidade de utilizar sinais de menos, parêntesis, ou alterar a cor dos valores negativos (pagamentos efetuados), pois o sentido das setas fará a indicação. Também, a posição das setas indica o momento em que as transações ocorrem, pelo seu posicionamento sobre a escala de tempo (a alinha de tempo horizontal). A situação que discutimos anteriormente, do recebimento dos R$1.000,00 no momento inicial (n = 0) e o pagamento correspondente de R$1.030,00 em n = 1 pode ser visto na figura a seguir.
Figura 4 - Fluxo de caixa representando o recebimento de R$1.000,00 e o pagamento de R$1.030,00. Fonte: Elaborado pelo autor, 2018. 
Observe que a linha de tempo inicia em n = 0 e avança para a direita, chegando, nesse exemplo, a n = 1. E, há a seta para cima com o valor de 1.000, o que representa um recebimento (valor positivo) de R$1.000,00, no momento inicial, ao passo que há a seta para baixo (valor negativo: dinheiro saindo, na forma de pagamento) em n = 1. Se, como discutimos anteriormente, o pagamento ocorresse somente em n = 2, a linha de tempo precisaria ser estendidaaté essa data; e a marcação n = 1 existiria, mas sem qualquer seta, pois não haveria transação nessa data.
Opcionalmente, podemos colocar no final da linha de tempo (ou seja, em seu extremo direito) a sua unidade de medida. Ou seja, poderíamos, nesse exemplo, digitar meses, para indicar claramente a escala de tempo utilizada nas transações.
Dias (2003) desenvolveu uma interessante dissertação de mestrado intitulada Modelo de site de matemática financeira: um instrumento de orientação ao consumidor, na qual o autor buscou reduzir a dependência dos clientes de instituições financeiras às informações e interpretações sobre juros, taxas etc. que lhe são passadas no momento de escolherem serviços e investimentos, o que, muitas vezes, beneficia a instituição, mas prejudica o cliente. 
Como você pôde perceber, a representação gráfica dos fluxos de caixa simplifica bastante a apresentação das informações referentes às transações financeiras que queremos analisar. Podemos, de forma rápida, identificar se há muitas ou poucas transações, se há muitos recebimentos ou pagamentos e como eles estão distribuídos ao longo do tempo, se o fenômeno estudado é de curto ou longo prazo etc.
Na verdade, há múltiplas possibilidades de uso dessas representações e, por isso, é importante estudarmos as classificações dos fluxos de caixa, o que faremos a seguir.
3.1.2 Classificação dos fluxos de caixa
Ainda que os exemplos mostrados até o momento sejam muito simples, com um recebimento e um pagamento (somente duas setas), é razoável imaginarmos que essa situação não é muito comum. Observe, por exemplo, que mesmo em um empréstimo, é mais comum que haja um recebimento (referente ao valor emprestado), seguido de diversos pagamentos (referentes ao pagamento das diversas parcelas do empréstimo), como mostrado na figura a seguir.
Figura 5 - Fluxo de caixa contemplando seis meses, representando um empréstimo e o pagamento de suas parcelas. Fonte: Elaborado pelo autor, 2018. 
No gráfico apresentado, podemos perceber que houve um empréstimo, ao qual chamamos de VP, ou seja, o valor presente, que representa a quantia emprestada no início do período de transações que estamos analisando (n = 0). Esse empréstimo é saldado com o pagamento de seis parcelas (como podemos ver na escala da linha de tempo), ao longo de seis meses (repare que foi informada a escala em meses), representadas por PMT1, PMT2, etc. Essa representação é usual em Matemática Financeira, sendo oriunda da palavra pagamento em inglês (payment).
Observe que o fluxo de caixa representa as transações sob a ótica do tomador do empréstimo. Ou seja, ele recebe o valor emprestado (VP) em n = 0 e tem de pagar as seis parcelas (PMT) nos seis meses subsequentes. Mas, e sob a ótica do banco ou instituição financeira que empresta, como seria o fluxo de caixa? Exatamente o oposto: haveria um pagamento em n = 0, que é o valor emprestado e, a partir daí, o banco ou instituição receberia as parcelas pagas até o saldo da dívida existente.
Nesse caso, o fluxo de caixa seria basicamente o mesmo, porém com a inversão do sentido das setas: se quem recebe o empréstimo tem uma seta para cima (valor positivo), em n = 0, quem empresta terá o mesmo valor para baixo, ao passo que enquanto quem toma emprestado tem as setas seguintes para baixo, por efetuar pagamentos, quem emprestou passa a receber esses valores (setas para cima).
Anda que não seja necessária uma grande precisão no desenho do gráfico, é recomendável que sejam respeitadas as proporções das setas, em termos de tamanho e de posição. Por exemplo, repare que o intervalo entre as setas é constante, pois visa representar intervalos iguais (ou seja, um pagamento a cada mês). Da mesma forma, as setas referentes aos pagamentos têm o mesmo comprimento: isso representa que os valores das parcelas pagas são iguais, ou seja, PMT1 = PMT2 =... = PMT6. Já o comprimento da seta em n = 0 é maior do que as demais (PMT), visto que o valor emprestado é sempre superior ao valor das parcelas de seu pagamento.
A esse tipo de situação, com pagamentos (ou recebimentos) sucessivos e de igual valor, damos o nome de série uniforme. O oposto, isto é, quando os valores não são idênticos e/ou quando não são sucessivos (por exemplo, quando há uma interrupção), dá-se o nome de série não uniforme. Essa classificação é importante, pois, no caso das séries uniformes, é possível utilizar algumas equações específicas que simplificam e agilizam diversos cálculos, como será visto mais adiante.
Outra forma de classificação dos fluxos de caixa diz respeito às inversões de sinal ao longo do próprio fluxo: no exemplo da figura temos uma transação com valor positivo (ou seja, o recebimento VP em n = 0) e, após ela, há uma transação com valor negativo (o primeiro pagamento, PMT1 em n = 1). As transações seguintes (PMT2, PMT3 etc.) são também negativas e, assim, ao longo de toda a linha de tempo houve uma única inversão de sinal. Aos fluxos de caixa com tal característica é dado o nome de fluxo convencional.
Outro exemplo de fluxo convencional poderia ser o de um empresário que contrata um fabricante de máquinas para construir um equipamento para produzir as peças XYZ, dando 30% de entrada e o restante no momento da entrega do objeto. Uma vez recebida a máquina, o empresário começa a produzir as peças e a ganhar dinheiro com isso: ou seja, ele deu 30% de entrada (valor negativo) e o restante posteriormente (novo valor negativo). Após isso, com os recebimentos que ocorrem pela comercialização das peças XYZ, há a inversão de sinais e começam a acontecer as transações com valor positivo.
Já um fluxo não convencional é aquele em que há mais de uma inversão de sinal. Por exemplo, uma empresa de empreendimentos imobiliários compra uma loja em um shopping (valor negativo), alugando-a e começando a receber aluguéis (valores positivos, com a primeira inversão de sinal). Porém, tempos depois, há o encerramento do contrato e consequente esvaziamento da loja. A empresa incorre em gastos, para reforma do ponto comercial (ou seja, nova inversão de sinal, visto que são valores negativos), após o que é fechado novo contrato de aluguel, com novos recebimentos, fazendo com que haja, novamente, mais uma inversão de sinal.
A relevância de conhecermos a classificação dos fluxos convencionais e não convencionais está na utilização do critério da taxa interna de retorno (TIR) na análise de projetos de investimento. Esse critério pode ser aplicado sem problemas em projetos de fluxos convencionais, porém apresenta sérias limitações quando são fluxos não convencionais, podendo, inclusive levar a decisões erradas, por erro de interpretação dos resultados.
Também a duração do fluxo de caixa implica diferentes classes: fluxos por tempo determinado (como o do exemplo do empréstimo) e perpétuos. Nestes últimos, como o próprio nome indica, o tempo considerado no fluxo de caixa é infinito. Tal conceito pode parecer irreal, algo meramente teórico, mas isso não é verdade. Por exemplo, no caso da loja adquirida pela empresa de empreendimentos imobiliários: se a aquisição não foi prevista como mera transação de compra e venda futura, mas sim em que a compra foi feita pensando em um investimento que vai gerar ganhos subsequentes, como no caso dos aluguéis a serem recebidos, é razoável que essa atividade continuará enquanto a empresa continuar ativa e/ou os ganhos compensarem os investimentos feitos, ou ainda caso não seja recebida uma proposta que leve a empresa a se desfazer da loja. Ou seja, podemos dizer que, a princípio, o investimento feito na aquisição da loja gerará ganhos perpétuos. Esse tipo de investimento será analisado em maior profundidade mais adiante.
A última classificação dos fluxos de caixa diz respeito a quando os pagamentos (ou recebimentos acontecerão, existindo os pagamentos (ou recebimentos) postecipados e os antecipados, isto é, os que são pagos vencidos ou pagos antecipadamente. Por exemplo, imagine que os aluguéis pagos pelo uso da loja são pagos ao final do mês deuso, isto é, paga-se o aluguel do mês de janeiro no final do mês de janeiro. Ao pagar-se ao final do período de uso ou usufruto, temos os chamados pagamentos (ou recebimentos) postecipados.
Por outro lado, se o pagamento do aluguel do mês de janeiro é pago no final de dezembro, ou no início do mês de janeiro, o pagamento ocorre antes do usufruto, sendo classificado, assim, como pagamento antecipado.
A definição dos pagamentos (ou recebimentos) serem postecipados ou antecipados tem relevância pelo fato de que, de acordo com o conceito fundamental da Matemática Financeira, do valor do dinheiro no tempo, o fato do determinado valor ser pago no início ou no final do período (n) afeta o valor real que é pago ou recebido. Esses aspectos e formas de cálculo são discutidos e estudados a seguir.
3.1.3 Séries uniformes postecipadas
Apesar de os conceitos de pagamentos (ou recebimentos) postecipados e antecipados não parecerem complexos, visto que nos primeiros os pagamentos ocorrem no fim do período, enquanto os últimos são pagos no início dos períodos, na prática a interpretação e o uso podem se tornar um pouco confusos.
Por isso, vamos analisar uma situação hipotética em que você compre no dia 1º do mês uma televisão a ser paga em seis parcelas mensais de R$300,00. Como as análises ocorrem a partir do momento da compra, ou seja, do momento em que você começa a usufruir o bem, ele será o momento inicial, isto é, n = 0. 
Sendo uma venda em que as condições estabelecidas são de pagamento postecipado, você só deveria pagar a primeira parcela de R$300,00 no dia 30 do mês da compra (ou, eventualmente, no dia 1º do mês seguinte) e, a partir daí, seriam pagas as parcelas seguintes a cada mês.
Por outro lado, se for por pagamento antecipado, a primeira parcela deveria ser paga de imediato, coincidindo com a compra (ou seja, em n = 0), para, só a partir daí, acontecer o usufruto do bem (a televisão), com as demais parcelas pagas sucessivamente, após a primeira. Repare que, como o primeiro pagamento coincidiria com a compra, ele seria equivalente a uma entrada.
Assim sendo, poderíamos dizer que as condições da venda da televisão com pagamentos postecipados seriam: 6 x R$300,00 sem entrada, ao passo que, caso fossem antecipados, as condições seriam: R$300,00 de entrada + 5 x R$300,00. Em termos práticos, no caso de pagamentos antecipados, eles se iniciam um período antes dos postecipados. Isso é relevante ao calcularmos o valor de prestações ou parcelas de empréstimos visto que, por conta da diferença no tempo, o cálculo dos juros leva a valores diferentes a partir do mesmo valor presente. 
Eliseu Martins é um dos principais autores da área de Finanças e Contabilidade no Brasil, com um total de 34 livros publicados e mais de uma centena de artigos publicados em periódicos e anais de eventos científicos. Professor da Universidade de São Paulo, foi Diretor da Comissão de Valores Mobiliários; do Instituto Brasileiro de Contadores – SP; da Associação Nacional dos Executivos de Finanças, Administração e Contabilidade; e de Fiscalização do Banco Central.
Lembre-se de que, em Matemática Financeira, não faz sentido falarmos de valores monetários se não os relacionarmos ao tempo, isto é, estabelecer quando eles ocorrem, sejam na forma de pagamentos ou de recebimentos. 
A antecipação de pagamentos deve, de forma geral, ser motivo de redução nos valores nominais a serem pagos, devido ao efeito do valor do dinheiro no tempo e consequente redução no valor dos juros. No entanto, eventualmente há dificuldades dos clientes conseguirem esse benefício, como relatado por Oliveira (2014): a autora descreveu empecilhos burocráticos, demora na análise ou mesmo negativa de algumas instituições financeiras de que clientes fizessem o pagamento antecipado de empréstimos, ou seja, o pagamento total ou parcial das dívidas antes do prazo estabelecido inicialmente, o que levou ao registro de queixas junto ao Banco Central e associação de consumidores.
Tanto no caso dos fluxos de caixa postecipados quanto nos antecipados, é possível calcular os valores das parcelas de pagamentos ou recebimentos, considerando-se o valor base (ou seja, o VP), a quantidade de parcelas, a taxa de juros utilizada para o cálculo, bem como a própria classificação de pagamentos postecipados ou antecipados. Tais cálculos, sua lógica, bem como fórmulas serão estudados a seguir.
3.2 Fluxo de caixa
Para analisarmos os fluxos de caixa, é necessário lembrar que valores e tempo são variáveis indissociáveis em Matemática Financeira, sendo considerados em todas as análises e cálculos, tendo por base o conceito do valor do dinheiro no tempo e, consequentemente, do preço do dinheiro, que são os juros.  
Para compreendermos a lógica envolvida nas séries uniformes, é importante conciliar os elementos acima sob a seguinte ótica: apesar de os valores nominais das transações em uma série uniforme serem constantes, em função delas ocorrerem em momentos distintos de tempo, seus valores reais são diferentes (quanto mais tarde, menor o valor real).
Como consequência disso, todas as transações em uma série uniforme podem ser somadas. A soma não pode ser uma simples soma aritmética, pois estaríamos somando valores nominais em diferentes instantes de tempo, o que não tem qualquer significado em Matemática Financeira, por desconsiderar o princípio fundamental do valor do dinheiro no tempo. É necessário, portanto, que a soma seja aplicada sobre os valores reais, o que resultaria em um único valor real de toda a série uniforme.
Como podemos fazer isso? É o que veremos a seguir.
3.2.1 Valor presente de séries uniformes
Como você viu no início deste capítulo, em um empréstimo de R$1.000,00, o pagamento aconteceu em momento futuro (um mês depois) no valor de R$1.030,00. Podemos extrair desse exemplo alguns valores e relacioná-los a variáveis de interesse, veja:
como a situação se inicia pelo empréstimo, esse é o momento do tempo em que nossa análise é iniciada. Temos, assim, n = 0 e o valor emprestado (R$1.000,00) representa o VP (valor presente);
como o pagamento do empréstimo ocorreu em momento futuro, o valor R$1.030,00 é o VF (valor futuro) e, como ocorreu um período de um mês após o início da análise, temos n =1;
como VF = VP + J, temos que os juros pagos (J) são de 1.030 – 1.000 = R$30. Esse valor representa 30/1.000 = 0,3 = 3% do valor do empréstimo;
considerando que o percentual incidiu sobre o valor do empréstimo após um mês, temos, então, a taxa de juros (i) de 3% a.m.
Observe que lidamos com as variáveis usuais de Matemática Financeira: VP, VF, i, n e J. E. Nesse sentido, o VF nada mais é que o VP transformado em função de n e de i, ou seja, pela adição dos juros incorridos em função dessas duas variáveis. Veja que estamos lidando com um fluxo de caixa com duas transações: uma de recebimento e outra de pagamento. Em uma série uniforme, não temos um único VF: na realidade, há uma série de VFs, que são os diversos pagamentos ou recebimentos, os PMTs que vimos anteriormente. Cada PMT é um VF de uma parte do VP. 
Assim, se quisermos saber o VP, precisamos considerar o n e a i para cada um dos PMTs e, da mesma forma, para sabermos o valor de PMT, tomamos por base o VP e sua distribuição pelos diversos n, considerando a i.
As séries uniformes são também chamadas de rendas certas (SAMANEZ, 2010), rendas uniformes (CASTANHEIRA; MACEDO, 2012), sequência de pagamentos (GIMENES, 2006), séries de pagamentos, pagamentos uniformes, anuidades (ABREU, 2012), séries discretas (CASAROTTO FILHO; KOPITTKE, 2010). E encontramos o PMT com as denominações de custo anual equivalente (MOTTA; CALÔBA, 2002; TORRES, 2006), valor anual uniforme equivalente (CASAROTTO FILHO; KOPITTKE, 2010), benefício uniforme periódico equivalente, custo uniforme periódico equivalente (CÔRTES, 2012) e valor periódico líquido (GONÇALVES NETO; CALÔBA; MOTTA, 2009).
Para calcularmos o VP, a partir do conhecimento do valor de PMT, utiliza-se a seguinte fórmula:
Alternativamente, pode ser utilizadaa fórmula:
Essas fórmulas se aplicam a pagamentos postecipados. Assim, considerando o exemplo anteriormente visto, da compra da televisão por meio do pagamento de seis parcelas mensais de R$300,00, e assumindo que a taxa de juros utilizada pela loja é de 4% a.m., poderíamos calcular o VP: 
Ou, utilizando a fórmula alternativa: 
Ou seja, poderíamos supor que o preço à vista da televisão, caso a taxa de juros fosse de 4% a.m., seria de R$1.572,46.
Da mesma forma, é possível, calcular o valor de parcelas de pagamentos postecipados, sabendo-se o VP. Por exemplo, se o empréstimo de R$1.000,00 discutido no início do capítulo fosse pago em quatro parcelas, considerando uma taxa de juros de 3% a.m., para calcularmos o valor das parcelas, seria uma questão de rearranjar a fórmula apresentada, ou seja:
Ou desta forma:
Nesse caso, o empréstimo seria pago na forma de quatro parcelas mensais de R$269,03.
E se ao invés de pagamentos postecipados, fossem pagamentos antecipados? Bem, com a antecipação dos pagamentos, o valor real dos PMTs seria maior (lembre-se do conceito do valor do dinheiro no tempo em que, quanto mais tarde, menor o valor e, consequentemente, quanto mais cedo, maior o valor). O aumento seria equivalente a um período (pois antecipamos o pagamento do final do período para o início dele), ou seja, fazendo incidir sobre o VP de pagamentos postecipados os juros equivalentes a um período.
Podemos deduzir, então, que a fórmula para calcular o VP no caso dos pagamentos antecipados pode ser obtida mediante a multiplicação da fórmula do VP para pagamentos postecipados por (1 + i), ou seja: 
Simplificando a equação, cortando o (1 + i), temos: 
Assim, o VP da televisão, na segunda forma de pagamento, ou seja, R$300,00 de entrada + 5 x R$300,00, supondo novamente uma taxa de juros de 4% a.m., seria de: 
Repare que, como esperado, a antecipação dos pagamentos de R$300,00 faz com que o VP seja superior ao que seria se eles fossem postecipados, pois o VP passou de R$1.572,46 para R$1.635,55.
Rearranjando a equação do cálculo do VP, podemos calcular o valor do PMT a partir do VP:
Como você pôde perceber, as fórmulas começam a ganhar um grau de complexidade e, consequentemente, aumenta a chance de que algum erro seja cometido na operação das calculadoras. No entanto, se utilizarmos o Excel ou a HP 12C, tais cálculos se tornam bastante simples, como veremos a seguir. 
3.2.2 Utilizando Excel e HP 12C para o cálculo de séries uniformes
O Excel tem uma série de funções financeiras e, dentre elas, as que nos permitem efetuar cálculos com séries uniformes. O mesmo se aplica à HP 12C. Vamos estudar quais funções e comandos nos permitem efetuar tais cálculos.
No conjunto de fórmulas do Excel, ao clicarmos nas funções financeiras encontramos, dentre outras, as funções VP, PGTO, NPER e TAXA, o que nos permite efetuar cálculos muito rapidamente de qualquer variável que desejamos, ou seja, respectivamente, VP, PMT, n e i, a partir das informações das demais e definindo se os pagamentos são antecipados ou postecipados.
Vamos utilizar como exemplo, para efetuarmos os cálculos, um bem cujo preço à vista é de R$1.000.000,00 e foi vendido em 12 parcelas a uma taxa de juros mensal de 5%. Vamos começar com o cálculo do valor das parcelas, ou seja, do PMT: utilizamos, então, a função PGTO, como mostrado na figura a seguir.
Figura 6 - Função PGTO (PMT) no Excel, considerando um i = 5%, n = 12, VP = R$1.000.000,00, com pagamentos postecipados. Fonte: Elaborado pelo autor, 2018. 
Vamos detalhar os argumentos da função: Observe que a taxa de juros i deve ser utilizada na forma decimal e não percentual. Temos, em seguida, a quantidade de períodos e, logo abaixo, o valor à vista. É importante lembrar que, se quisermos que a resposta do PMT seja um valor positivo, é necessário carregar o VP como negativo (como mostrado na figura), visto que o Excel vai efetuar um cálculo de soma zero.
Deixamos o VF como zero, para que não haja qualquer valor residual (ou seja, para que o VP seja integralmente saldado com os 12 valores do PMT e, em seguida, determinamos o tipo de pagamento: se o campo Tipo for deixado em branco ou preenchido com zero, o cálculo considerará que são pagamentos postecipados e, ao clicar OK, obteremos o valor das 12 parcelas, ou seja, R$112.825,41.
Observe que no argumento Tipo, se clicarmos 1, o cálculo será efetuado considerando os pagamentos antecipados e, nesse caso, o valor do PMT será menor, visto que a antecipação faz com que o valor real seja maior e, consequentemente, precisamos pagar menos para fazer frente ao mesmo VP: nesse caso, 12 parcelas de R$107.452,77.
As demais funções funcionam exatamente sob a mesma lógica: selecionamos a função desejada e informamos as demais variáveis (lembrando que a taxa de juros deve ser na forma decimal e que o cálculo é efetuado de forma a gerar uma soma zero e que, consequentemente, VP e PMT devem ter sinais contrários) e se devem ser considerados pagamentos postecipados ou antecipados.
Por exemplo, se selecionarmos a função VP e entrarmos com os argumentos 0,05; 12; e -112.825,41, deixando os demais em branco (sem valor futuro e com pagamentos postecipados), encontraremos como resultado 1.000.000.
E, com a HP12C, a sequência de comandos é, também, bastante simples: ela trabalha com pagamentos postecipados como default e, na fileira superior de teclas, logo abaixo do visor, temos uma sequência de teclas, da esquerda para a direita, que contém todos os elementos que precisamos para efetuar os cálculos, ou seja, n; i; PV (que é a forma em inglês equivalente a VP); PMT; FV (que é a forma em inglês de valor futuro – VF); e CHS. Utilizando o mesmo exemplo do Excel, ou seja, o valor de R$1.000.000,00, bastaria alimentarmos os dados referentes a cada um dos elementos e clicar nas teclas correspondentes. Por exemplo, para calcular o PMT, bastaria clicarmos em sequência:
12 n (para informar que são 12 períodos);
5 i (para informar que a taxa é de 5%, lembrando que a HP 12C reconhece, nesse caso o valor percentual);
1000000 CHS PV (ao clicarmos o CHS, há a inversão de sinal, com a calculadora reconhecendo que o valor do VP deve ser -1.000.000);
PMT.
Como todos os valores necessários para o cálculo já foram carregados (não há a necessidade de informar zero no VF: a calculadora assume que, se não informado, seu valor é zero) e clicamos a tecla PMT, a calculadora entende que deve calcular esse valor, apresentando como resposta 112.825,41, exatamente como calculamos no Excel.
Para calcular os demais elementos, a lógica é a mesma: informamos os dados disponíveis e as teclas correspondentes e clicamos na tecla do valor que queremos que seja calculado. Para que a calculadora efetue os cálculos considerando pagamentos antecipados, é necessário, antes de iniciar a sequência de comandos, clicar na tecla g (para selecionar as funções azuis) e a tecla 7 (para selecionar BEG, referente ao estado BEGIN). A palavra BEGIN (início, em inglês) aparecerá no visor, indicando que os valores são considerados no início do período, ou seja, são antecipados. Após isso, seguindo a mesma sequência de comandos, encontramos o valor 107.452,77 para o PMT no visor da calculadora.
Para retornar ao cálculo com pagamentos postecipados, basta clicar novamente na tecla g e, depois, na tecla 8: a palavra BEGIN desaparecerá do visor e os cálculos voltarão a ser efetuados com juros postecipados;
Com os exemplos apresentados, é possível perceber como o uso de recursos com funções financeiras, seja na forma de planilha eletrônica, como o Excel, ou de calculadoras financeiras, como a HP 12C, torna simples os cálculos de séries uniformes.
Até o momento trabalhamos com séries com prazo determinado, ou seja, o n era definido e a análise e cálculos feitos cobriam o que ocorria entre n = 0 e o n final. Porém, há situações específicas em que isso não se aplica. É o que vamos ver em seguida.
3.3 Séries perpétuas
Há situações específicas em que as análises deséries uniformes não ocorrem considerando um tempo determinado e limitado. Ao contrário, as transações, ou seja, os pagamentos e/ou recebimentos “[...] não acabam nunca. São pagamentos periódicos que duram para sempre, que não têm prazo para terminar” (ABREU, 2012, p. 88).
Situações como essas exigem análises e cálculos completamente distintos dos utilizados nas séries uniformes com tempo determinado e é fácil compreender a razão: o tempo é elemento necessário a qualquer cálculo de Matemática Financeira (lembre-se do conceito do valor do dinheiro no tempo) e, dessa forma, se o tempo segue até o infinito, as fórmulas usuais não se aplicam.
O filme Capitalismo - uma história de amor (MOORE, 2009) faz uma análise de como o capitalismo afetou de forma negativa os ideais de liberdade presentes na Constituição dos Estados Unidos. São abordados os impactos da busca na geração de lucros cada vez maiores, como benefícios restritos a um pequeno grupo da sociedade, em detrimento do restante das pessoas, e, simultaneamente, como essa dinâmica faz com que a maioria sinta os efeitos, na forma de perda de diversos direitos. 
Como é possível ter um conjunto de pagamentos e/ou recebimentos que não terminam nunca? Veja alguns exemplos:
um empreendedor que dê início a uma empresa: de uma forma geral, ele não pensa nela como um empreendimento que funcione durante um tempo e que, em determinado momento, cesse as atividades. Ao contrário, ele pensa em uma forma de conquistar ganhos ao longo de sua vida e, se for um empreendimento de sucesso, que permaneça mesmo quando ele se aposentar ou falecer, continuando pela ação de seus herdeiros;
um shopping, quando construído, é um empreendimento que vai se manter por muitos e muitos anos, inclusive com possibilidade de expansões etc.;
mesmo um investimento em ações pode ter tal característica: o investidor pode pensar no longo prazo, ou seja, ao invés de visar ganhos rápidos pela venda futura das ações, pode estar interessado no recebimento de dividendos por toda a sua vida;
um imóvel é um investimento que, literalmente, dura por toda a vida: mesmo que haja a mudança de proprietários, o bem ainda tem a capacidade de atender necessidades e gerar benefícios.
Em resumo, ainda que esses exemplos não caracterizem uma obrigatoriedade de perenidade (por exemplo, o empresário pode decidir se desfazer de sua empresa, o shopping pode ser demolido para dar lugar a algum outro empreendimento etc.), salvo decisão contrária, eles podem ser pensados como de duração infinita, perpétua, e, daí surge a denominação das séries perpétuas, ou simplesmente perpetuidades (ABREU, 2012).
Há uma dissertação de mestrado elaborada por Teixeira (2015) intitulada Matemática Financeira: conceitos e aplicações, que apresenta os principais conceitos de Matemática Financeira e, em especial, juros, descontos, séries periódicas e sistemas de amortização. Nela, o autor busca relacionar a teoria com acontecimentos cotidianos, mostrando as aplicações dos conceitos teóricos, o que auxilia na compreensão dos diversos fenômenos envolvidos na disciplina Matemática Financeira. 
Como defende Samanez (2010), uma característica da perpetuidade é a de que a aplicação feita permite que sejam feitas retiradas indefinidamente, isto é, sem esgotar o valor investido. Esse conceito é importante, pois ele nos ajuda a compreender uma série de implicações das perpetuidades.
Quando se faz um investimento em algo que tenha como característica a perpetuidade, o valor investido após um período gerará ganhos, que podem ser caracterizados como juros. Assim, investimos em n = 0 determinado valor VP.
Considerando a passagem do tempo, ou seja, um período (n = 1), os juros seriam acrescidos, ou seja, haveria o ganho de VP x i. Mas, ao retirarmos esse ganho, o valor investido volta a ser o mesmo de VP. Depois disso, avançando mais um período (ou seja, chegando a n = 2), novamente haveria o recebimento dos juros (J = VP x i), os quais seriam, novamente, retirados e, uma vez mais, o valor investido retornaria ao patamar inicial (VP).
O ciclo se repetiria indefinidamente, ou seja, seria uma série uniforme perpétua cujos recebimentos (PMT) seriam de VP x i.
Poderíamos calcular o VP da série perpétua de uma forma bastante simples: bastaria dividir o PMT por i (observe que ao dividirmos VP x i por i encontramos VP), sendo esta a fórmula de cálculo das perpetuidades:
Não há a necessidade de cálculos complexos, uso de planilhas eletrônicas ou de uma calculadora financeira: a mera divisão indica o valor presente do investimento. Por exemplo, podemos calcular quanto deveria ser investido em determinada aplicação que rende 1% a.m., para que garantíssemos uma retirada mensal de R$5.000,00:
Ou seja, ao investirmos R$500.000,00 em uma aplicação que garantisse juros de 1% a.m., seria possível obter ganhos perpétuos de R$5.000,00 mensais. Observe que, ao investir os R$500.000,00, seriam recebidos após um mês R$5.000,00 (J = 500.000 x 0,01 = R$5.000,00), os quais seriam retirados. Assim, permaneceriam os R$500.000,00 para render por mais um mês, gerando, novamente, R$5.000,00, que também seriam sacados, e assim, contínua e ininterruptamente.
3.3.1 Aplicação de séries uniformes
Em um contexto mais amplo, o uso dos cálculos de perpetuidades é bastante útil no ambiente de negócios. Podemos, por exemplo, pensar na situação em que um investidor avalia a possibilidade de investir na compra das ações de uma empresa. Ele faz um levantamento histórico e identifica que os dividendos anuais pagos aos acionistas têm sido em média de R$1,00 por ação. Supondo que ele esteja interessado em investir em alternativas que o remunerem a uma taxa de pelo menos 15% a.a., quanto ele deveria aceitar pagar pelas ações?
Para respondermos devemos considerar o recebimento anual de R$1,00, ou seja, esse seria o PMT. Assim, como ele deseja um ganho de 15% a.a., esse seria o i e, consequentemente: 
Ou seja, o investimento só se justificaria se ele conseguisse adquirir as ações por, no máximo, R$6,67: acima desse preço, ele não conseguiria alcançar os ganhos desejados.
Outro exemplo: alguém faz uma proposta de compra ao proprietário de uma pequena empresa. O proponente ofereceu R$1.500.000,00 pela empresa e isso animou o proprietário. Ele fez uma análise rápida e constatou que tinha ganhos mensais líquidos com a empresa de R$10.000,00. Resolveu, então, fazer as contas: assumiu que a taxa de juros estava por volta de 1% a.m., afinal, seria isso o que ele ganharia se investisse seu dinheiro no mercado financeiro. Assim: 
Ou seja, o VP da empresa era de R$1.000.000,00 e, assim sendo, a oferta de R$1.500.000,00 era bastante atrativa, justificando a venda da empresa.
Mais um exemplo: um empresário aposentado pensou em investir seus recursos na aquisição de um apartamento, de forma a garantir uma renda mensal na forma de aluguéis a serem recebidos. Identificou um apartamento que poderia ser adquirido por R$200.000,00 e pesquisou o valor do aluguel: a média do mercado na região era de R$1.000,00/mês. Rearranjou a fórmula de cálculo da perpetuidade, para poder fazer uma análise mais apropriada. Como, 
Ou seja, 
Investir no apartamento geraria um ganho de somente 0,5% a.m., não sendo, portanto, um investimento interessante, devendo ser descartado.
Como você pôde perceber, o cálculo de perpetuidades é bastante útil e têm diversas aplicações práticas. A exemplo dos cálculos envolvendo as demais formas de séries uniformes, a possibilidade de lidar simultaneamente com as variáveis de taxas de juros, pagamentos e recebimentos diversos, ao longo de diferentes instantes de tempo, permite que sejam identificadas oportunidades de investimento e análises de financiamentos diversos.
Na realidade, os fundamentos de cálculos de séries uniformes servem de base para a definição das diferentes formas de amortização de empréstimos, que é o próximo tema a ser estudado.
3.4 Conceitos iniciais de amortização de empréstimos
Ao contrair um empréstimo a ser pagoem parcelas, caso não existissem juros, o somatório dos pagamentos das parcelas seria igual ao valor emprestado. No entanto, como já vimos no conceito do valor do dinheiro no tempo, o intervalo entre o desembolso de um valor e seu recebimento de volta deve ser remunerado na forma de juros.
Assim sendo, às parcelas referentes ao pagamento de um empréstimo, devem ser adicionados juros. Mas se a porção das parcelas que paga o valor emprestado (antes da adição dos juros) pode ser igual em todas as parcelas, o mesmo não se aplica aos juros. Isso acontece pelas seguintes razões:
o intervalo de tempo entre o empréstimo e o pagamento das parcelas varia de parcela para parcela, ou seja, as últimas estão mais distantes e, consequentemente, elas teriam uma maior carga de juros, visto que são proporcionais ao tempo;
ao mesmo tempo, a cada pagamento efetuado, o valor devido é menor, o que faria com que os juros fossem menores, visto que eles são proporcionais ao valor sobre o qual são aplicados.
Dessa forma, a definição do valor das parcelas lida com variáveis contrárias: enquanto o tempo induz o valor das últimas parcelas a ser maior, o valor devido faz com que elas tendam a diminuir.
Esse balanço de forças não é fixo, ou seja, não há um único critério que estabeleça os valores das parcelas de pagamento de empréstimos e financiamentos. Ao contrário, há diferentes sistemas que fazem com que o valor das parcelas caia ao longo do tempo, isto é, a primeira parcela teria o valor mais alto, enquanto a última teria o valor mais baixo.
Há também sistemas em que as parcelas são extremamente baixas inicialmente, dando um salto significativo na última, de forma a saldar todo o valor emprestado e os juros pertinentes. E há, ainda, um sistema de amortização que equilibra os diversos elementos envolvidos, de tal forma que o valor das parcelas é exatamente o mesmo ao longo do tempo: a maioria das compras em lojas, por exemplo, segue tal lógica, devido à simplicidade para os dois lados envolvidos na negociação de empréstimos e financiamentos.
Em todas as situações, a base de cálculo tem nas séries de pagamentos os seus fundamentos: a sucessão de transações em que valores e tempo fundamentam os cálculos de juros, sendo uma área específica de estudos da Matemática Financeira que faz parte do dia a dia das pessoas, famílias e empresas.