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DELEGADO PF Matemática PROFESSOR BRUNO VILLAR professorbrunovillar@yahoo.com.br Complexo de Ensino Renato Saraiva | www.renatosaraiva.com.br | (81) 3035 0105 1 PROBABILIDADE A história da teoria das probabilidades teve início com os jogos de cartas, dados e de roleta. Esse é o motivo da grande existência de exemplos de jogos de azar no estudo da probabilidade. A teoria da probabilidade permite que se calcule a chance de ocorrência de um número em um experimento aleatório. Experimento Aleatório É aquele experimento que quando repetido em iguais condições, podem fornecer resultados diferentes, ou seja, são resultados explicados ao acaso. Quando se fala de tempo e possibilidades de ganho na loteria, a abordagem envolve cálculo de experimento aleatório. Espaço Amostral É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. A letra que representa o espaço amostral, é S. Conceito de probabilidade Se em um fenômeno aleatório as possibilidades são igualmente prováveis, então a probabilidade de ocorrer um evento A é: Por, exemplo, no lançamento de um dado, um número par pode ocorrer de 3 maneiras diferentes dentre 6 igualmente prováveis, portanto, P = 3/6= 1/2 = 50%. Dizemos que um espaço amostral S (finito) é equiprovável quando seus eventos elementares têm probabilidades iguais de ocorrência. Num espaço amostral equiprovável S (finito), a probabilidade de ocorrência de um evento A é sempre: Propriedades Importantes: 1. Se A e A’ são eventos complementares, então: P( A ) + P( A' ) = 1 2. A probabilidade de um evento é sempre um número entre 0 1)( Sp . 0 (probabilidade de evento impossível) e 1 (probabilidade do evento certo). Regra da adição ou regra do “ou” Dados dos eventos a e B , a probabilidade de que ocorram A ou B é igual a: a)se os eventos forem não mutuamente exclusivos( A B conjunto vazio) P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A B) B) Se os eventos forem mutuamente exclusivos ( disjuntos) P(A U B) = P(A) + P(B) *Regra da multiplicação ou regra do “e” DELEGADO PF Matemática PROFESSOR BRUNO VILLAR professorbrunovillar@yahoo.com.br Complexo de Ensino Renato Saraiva | www.renatosaraiva.com.br | (81) 3035 0105 2 P(A B) = P(A) . P(B) EXERCICIOS PROPOSTOS Tema: Probabilidade Texto para as questões de 1 a 3 (CESPE) Em uma loteria, com sorteios duas vezes por semana, são pagos milhões de reais para quem acerta os seis números distintos sorteados. Também há premiação para aqueles que acertarem cinco ou quatro dos números sorteados. Para concorrer, basta marcar entre seis e quinze números dos sessenta existentes no volante e pagar o valor correspondente ao tipo da aposta, de acordo com a tabela abaixo. Para o sorteio de cada um dos seis números, são utilizados dois globos, um correspondente ao algarismo das dezenas e o outro, ao algarismo das unidades. No globo das dezenas, são sorteadas bolas numeradas de zero a cinco e, no das unidades, de zero a nove. Quando o zero é sorteado nos dois globos, considera- se, para efeito de premiação, que o número sorteado foi o 60. Além disso, após o sorteio de cada número, as bolas sorteadas retornam aos seus respectivos globos. Acerca do texto acima e das informações nele contidas, julgue os itens subseqüentes. 1- Para efeito de premiação, os números passíveis de serem sorteados são todos os inteiros positivos compreendidos no intervalo [1, 60]. 2- Para o primeiro número que é sorteado, a probabilidade de que o seu algarismo das dezenas seja igual a 3 é igual à probabilidade de que o seu algarismo das unidades seja igual a 5. 3- Em determinado concurso, a probabilidade de que o primeiro número sorteado seja o 58 é superior a 0,02. Texto para a questão 4 Em 2007, no estado do Espírito Santo, 313 dos 1.472 bacharéis em direito que se inscreveram no primeiro exame do ano da Ordem dos Advogados do Brasil (OAB) conseguiram aprovação. DELEGADO PF Matemática PROFESSOR BRUNO VILLAR professorbrunovillar@yahoo.com.br Complexo de Ensino Renato Saraiva | www.renatosaraiva.com.br | (81) 3035 0105 3 Internet: (com adaptações). Em 2008, 39 dos 44 bacharéis provenientes da Universidade Federal do Espírito Santo (UFES) que fizeram a primeira fase do exame da OAB foram aprovados. Internet: (com adaptações). Com referência às informações contidas nos textos acima, julgue o item que se segue. 04-Se um dos bacharéis em direito do estado do Espírito Santo inscritos no primeiro exame da OAB, em 2007, fosse escolhido aleatoriamente, a probabilidade de ele não ter sido um dos aprovados no exame seria superior a 70% e inferior a 80%. 05. (TRT RJ 2008) Em um setor de uma fábrica trabalham 10 pessoas que serão divididas em 2 grupos de 5 pessoas cada para realizar determinadas tarefas. João e Pedro são duas dessas pessoas. Nesse caso, a probabilidade de João e Pedro ficarem no mesmo grupo é (A) inferior a 0,36. (B) superior a 0,36 e inferior a 0,40. (C) superior a 0,40 e inferior a 0,42. (D) superior a 0,42 e inferior a 0,46. (E) superior a 0,46 Tema: Probabilidade da União 06. (TRT RJ 2008) Considere que, em 2005, foram julgados 640 processos dos quais 160 referiam-se a acidentes de trabalho; 120, a não-recolhimento de contribuição do INSS; e 80, a acidentes de trabalho e não-recolhimento de contribuição de INSS. Nesse caso, ao se escolher aleatoriamente um desses processos julgados, a probabilidade dele se referir a acidentes de trabalho ou ao não-recolhimento de contribuição do INSS é igual a (A) 3/64 (B) 5/64 (C) 5/16 (D) 7/16 (E) 9/16 07. (TRT PR 2007) Considere-se que, das 82 varas do trabalho relacionadas no sítio do TRT da 9.ª Região, 20 ficam em Curitiba, 6 em Londrina e 2 em Jacarezinho. Considere-se, ainda, que, para o presente concurso, haja vagas em todas as varas, e um candidato aprovado tenha igual chance de ser alocado em qualquer uma delas. Nessas condições, a probabilidade de um candidato aprovado no concurso ser alocado em uma das varas de Curitiba, ou de Londrina, ou de Jacarezinho é superior a 1/3. DELEGADO PF Matemática PROFESSOR BRUNO VILLAR professorbrunovillar@yahoo.com.br Complexo de Ensino Renato Saraiva | www.renatosaraiva.com.br | (81) 3035 0105 4 08. (TRT ES 2009) Se, em um concurso público com o total de 145 vagas, 4.140 inscritos concorrerem a 46 vagas para o cargo de técnico e 7.920 inscritos concorrerem para o cargo de analista, com provas para esses cargos em horários distintos, de forma que um indivíduo possa se inscrever para os dois cargos, então a probabilidade de que um candidato inscritopara os dois cargos obtenha uma vaga de técnico ou de analista será inferior a 0,025. Texto para as questões 9 e 10 (CESPE) Em um concurso público, registrou-se a inscrição de 100 candidatos. Sabe-se que 30 desses candidatos inscreveram-se para o cargo de escriturário, 20, para o cargo de auxiliar administrativo, e apenas 10 candidatos se inscreveram para os dois cargos. Os demais candidatos inscreveram-se em outros cargos. Julgue os itens a seguir, considerando que um candidato seja escolhido aleatoriamente nesse conjunto de 100 pessoas. 09. A probabilidade de que o indivíduo escolhido seja candidato ao cargo de auxiliar administrativo é superior a ¼. 10. A probabilidade de que o indivíduo escolhido seja candidato ao cargo de escriturário ou ao cargo de auxiliar administrativo é igual a ½. Tema: Probabilidade de Eventos Independentes Texto paras questões 11 e 12 Um juiz deve analisar 12 processos de reclamações trabalhistas, sendo 4 de médicos, 5 de professores e 3 de bancários. Considere que, inicialmente, o juiz selecione aleatoriamente um grupo de 3 processos para serem analisados. Com base nessas informações, julgue os itens a seguir. 11. A probabilidade de que, nesse grupo, todos os processos sejam de bancários é inferior a 0,005. 12. A probabilidade de que, nesse grupo, tem pelo menos um processo sendo de professor é superior a 80%. Gabarito 01- Certo 02- Errado 03- Errado DELEGADO PF Matemática PROFESSOR BRUNO VILLAR professorbrunovillar@yahoo.com.br Complexo de Ensino Renato Saraiva | www.renatosaraiva.com.br | (81) 3035 0105 5 04- Certo 05- D 06- Certo 07- Certo 08- Errado 09- Errado 10- Errado 11- Certo 12- Certo Questões parte 2 Prova TRT-RN- CESPE 2010 Suponha que determinado partido político pretenda ter candidatos próprios para os cargos de governador, senador e deputado federal e que tenha, hoje, 5 possíveis nomes para o cargo de governador, 7 para o cargo de senador e 12 para o cargo de deputado federal. Como todos os pré-candidatos são muito bons, o partido decidiu que a escolha da chapa (governador, senador e deputado federal) será por sorteio. Considerando que todos os nomes têm chances iguais de serem escolhidos, julgue os itens seguintes. 1. Considerando que Mariana seja pré-candidata ao cargo de governador e Carlos seja pré- candidato ao cargo de senador, então a probabilidade de que a chapa sorteada ou não tenha o nome de Maria ou não tenha o nome de Carlos será inferior a 0,75. Anulada 2. Caso João e Roberto sejam pré-candidatos ao cargo de senador e Maria e Ana sejam pré- candidatas ao cargo de deputado federal, a chance de que a chapa sorteada tenha qualquer um desses nomes será maior que 49%. Errado Gabarito 01. Anulada 02. Errado
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