AP2 CIV 2006 2 gab

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Ca´lculo IV - Gabarito AP02
Questa˜o 1 [2,5 pts]: Calcule o trabalho realizado pela forc¸a
−→
F (x, y) =
(
e−x
2
+ 2x3 − y3, x3 + y3 + cos y3
)
para mover uma part´ıcula ao longo da circunfereˆncia x2 + y2 = 1, no sentido anti-hora´rio.
(Sugesta˜o: use o Teorema de Green)
Soluc¸a˜o: Seja D a regia˜o de R2, limitada por C.
PSfrag replacements
x
y
D
1
1
C = ∂D
Como
−→
F = (P, Q) =
(
e−x
2
+ 2x3 − y3, x3 + y3 + cos y3) e´ de classe C1 em R2 e C = ∂D esta´
orientada positivamente, enta˜o podemos aplicar o Teorema de Green. Tem-se:
∮
C+
−→
F · d−→r =
∫∫
D
(
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
)
dxdy
onde
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
= 3x2 − (− 3y2) = 3(x2 + y2) .
Enta˜o: ∮
C+
−→
F · d−→r = 3
∫∫
D
(
x2 + y2
)
dxdy .
Passando para coordenadas polares, tem-se:

x = r cos θ
y = r sen θ
dxdy = rdrdθ
x2 + y2 = r2
e a regia˜o Drθ e´ dada por:
Drθ :
{
0 ≤ r ≤ 1
0 ≤ θ ≤ 2pi .
Logo:
Ca´lculo IV Gabarito AP02 2
∮
C
−→
F · d−→r = 3
∫∫
Drθ
r2 · r drdθ = 3
∫∫
Drθ
r3 drdθ = 3
∫
2pi
0
∫
1
0
r3 drdθ = 3
[
r4
4
]1
0
∫
2pi
0
dθ = 3
4
· 2pi = 3pi
2
.
Questa˜o 2 [2,5 pts]:
(a) Parametrize S a porc¸a˜o do cilindro x2 + y2 = 4 compreendida entre os planos z = 0 e
2y + z = 6.
(b) Calcule a a´rea de S.
Soluc¸a˜o:
a) O esboc¸o de S e´:
PSfrag replacements
x
y
z
S
2
2
3
6
Seja (x, y, z) ∈ S, enta˜o 

x = 2 cos t
y = 2 sen t
z = z
onde 0 ≤ t ≤ 2pi, e 0 ≤ z ≤ 6− 2y = 6− 4 sen t. Enta˜o uma parametrizac¸a˜o de S e´ dada por
S : ϕ(t, z) = (2 cos t, 2 sen t, z)
com
(t, z) ∈ D :
{
0 ≤ t ≤ 2pi
0 ≤ z ≤ 6− 4 sen t .
b) Tem-se
ϕt = (−2 sen t, 2 cos t, 0)
ϕz = (0, 0, 1) ,
donde
ϕt × ϕz =
∣∣∣∣∣∣
−→
i
−→
j
−→
k
−2 sen t 2 cos t 0
0 0 1
∣∣∣∣∣∣ = (2 cos t, 2 sen t, 0) ⇒ ‖ϕt × ϕz‖ =
√
4 cos2 t + 4 sen2 t =
√
4 = 2 .
Como
A(S) =
∫∫
D
‖ϕt × ϕz‖ dtdz
enta˜o
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Ca´lculo IV Gabarito AP02 3
A(S) =
∫∫
D
2 dtdz = 2
∫
2pi
0
∫
6−4 sen t
0
dzdt = 2
∫
2pi
0
(6− 4 sen t) dt = 2
[
6t + 4 cos t
]2pi
0
= 24pi u.a.
Questa˜o 3 [2,5 pts]: Mostre que a integral abaixo independe do caminho e calcule-a:
I =
∫
C
(2xyz + sen x) dx + x2z dy + x2y dz
onde C e´ dada por γ(t) =
(
cos5 t, sen3 t, t4
)
, 0 ≤ t ≤ pi/2.
Soluc¸a˜o: Seja
−→
F (x, y, z) =
(
2xyz + sen x, x2z, x2y
)
que e´ de classe C1 em R3. Tem-se:
rot
−→
F =
∣∣∣∣∣∣∣∣
−→
i
−→
j
−→
k
∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z
2xyz + sen x x2z x2y
∣∣∣∣∣∣∣∣
=
(
x2 − x2, 2xy − 2xy, 2xz − 2xz) = (0, 0, 0) = −→0 .
Como dom
−→
F = R3 e´ simplesmente conexo enta˜o pelo teorema das equivaleˆncias tem-se que
I =
∫
C
−→
F · d−→r independe do caminho.
Tambe´m, do teorema das equivaleˆncias, tem-se que
−→
F e´ conservativo. Logo existe uma func¸a˜o
potencial ϕ(x, y, z), tal que
∂ϕ
∂x
= 2xyz + sen x (1)
∂ϕ
∂y
= x2z (2)
∂ϕ
∂z
= x2y (3)
Integrando (1), (2), (3) em relac¸a˜o a x, y, z, respectivamente, tem-se:
ϕ(x, y, z) = x2yz − cos x + A(y, z)
ϕ(x, y, z) = x2yz + B(x, z)
ϕ(x, y, z) = x2yz + C(x, y)
Por inspec¸a˜o, veˆ-se que A(y, z) = 0, B(x, z) = − cos x e C(x, y) = − cos x. Enta˜o:
ϕ(x, y, z) = x2yz − cos x .
Logo:
I = ϕ
(
γ
(
pi
2
))− ϕ (γ(0))
onde
γ
(
pi
2
)
=
(
0, 1, pi
4
16
)
, γ(0) = (1, 0, 0) .
Enta˜o:
I = ϕ
(
0, 1, pi
4
16
)
− ϕ(1, 0, 0) = − cos 0 + cos 1 = −1 + cos 1 .
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Ca´lculo IV Gabarito AP02 4
Questa˜o 4 [2,5 pts]: Calcule o fluxo do campo vetorial
−→
F (x, y, z) =
(
4xy2 − xey)−→i + (ez + ey − 4
3
y3
)−→
j + (2z + 1)
−→
k
atrave´s de S, semi-esfera superior x2 + y2 + z2 = 1, z ≥ 0.
(Sugesta˜o: feche S e use o Teorema de Gauss e observe que o volume de uma esfera de raio a e´
dado por 4
3
pia3).
Soluc¸a˜o: Seja S = S ∪ S1, onde S1 : z = 0, (x, y) ∈ D : x2 + y2 ≤ 1, com −→n1 = −−→k .
PSfrag replacements
x
y
z
S
S1
−→n
−→n1
1
1
1
Seja W o so´lido limitado por S. Como
−→
F = (P, Q, R) =
(
4xy2 − xey, ez + ey − 4
3
y3, 2z + 1
)
e´ de classe C1 em R3 e S = ∂W esta´ orientada positivamente, pode-se aplicar o Teorema de Gauss:∫∫
S
−→
F · −→n ds =
∫∫∫
W
div
−→
F dxdydz
onde
div
−→
F =
∂P
∂x
+
∂Q
∂y
+
∂R
∂z
= 4y2 − ey + ey − 4y2 + 2 = 2 .
Enta˜o: ∫∫
S
−→
F · −→n ds = 2
∫∫∫
W
dxdydz = 2V (W ) = 2 · 1
2
· 4
3
· pi · 13 = 4
3
pi
ou ∫∫
S
−→
F · −→n ds +
∫∫
S1
−→
F · −→n1 ds = 43pi .
Mas
∫
S1
−→
F · −→n1 ds =
∫∫
D
(
4xy2 − xey, e0 + ey − 4
3
y3, 2 · 0 + 1) · (0, 0,−1) dxdy = ∫∫
D
(−1) dxdy = −A(D) = −pi .
Logo: ∫∫
S
−→
F · −→n ds = 4
3
pi + pi =
7pi
3
.
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