[EQ 2017.2] OP1 Medronho P1 [por Rafael Ratier]

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[EQ 2017.2] OP1 Medronho P1 [por Rafael Ratier] 
A Partícula Sólida 
Quando queremos estudar partículas sólidas, podemos tanto falar delas isoladamente quanto 
falar de uma população de partículas. Chamamos de amostragem a análise de todo a partir de 
apenas uma parte dele. É de nosso interesse que a amostra seja representativa do todo, então 
devemos ter certos cuidados na sua análise. Algumas informações importantes sobre a 
natureza das partículas podem ser obtidas com essa análise. Um exemplo simples e conhecido 
é a densidade da partícula ( ), definida por: 
 
 
 
 
O subscrito “s” é a maneira tradicional de lembrar que o material considerado é um sólido. 
Atente-se para o fato que nem sempre a densidade é uniforme para toda a partícula ou 
amostra e nem independente de seu tamanho. 
O tamanho de uma partícula é, portanto, também interessante de ser calculado e considerado. 
Partículas muitas vezes tem formatos irregulares, mas isso não nos impede de definir 
tamanhos equivalentes. A esses tamanhos daremos o nome de diâmetros equivalentes. São 
eles: 
Nome Descrição Fórmula 
 - Diâmetro da esfera de 
mesmo volume que a 
partícula. 
Se essa partícula fosse uma 
esfera de mesmo volume, qual 
seria seu diâmetro? 
 
 
 
 
 
 - Diâmetro da esfera de 
mesma área projetada que 
a partícula 
Obter esse diâmetro requer 
que a partícula esteja apoiada 
no plano em sua configuração 
mais estável. Ai então, calcula-
se a área projetada pela 
mesma. Se essa partícula fosse 
uma esfera de mesma área 
projetada, qual seria seu 
diâmetro? 
 
 
 
 
 
 - Diâmetro da esfera de 
mesma área superficial que 
a partícula. 
Se essa partícula fosse uma 
esfera de mesma área 
superficial, qual seria seu 
diâmetro? 
 
 
 
 
 
 - Diâmetro de peneira 
Supondo uma peneira de poros 
quadrados, o diâmetro de 
peneira é o diâmetro no qual a 
partícula passa pelos poros da 
peneira sem folga. 
 
 - Diâmetro de 
velocidade terminal 
É o diâmetro da esfera que, sob 
as mesmas condições da 
partícula, sedimenta com a 
mesma velocidade terminal 
 
 – Diâmetro de Stokes 
É o diâmetro de velocidade 
terminal quando em regime 
laminar de sedimentação 
(velocidades terminais baixas). 
Na região de Stokes, temos que 
 
 
 
 
 
 
 
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Em todos os casos acima, considerar “ ” como área projetada, “ ” como área superficial e 
“ ” como o Volume da Partícula. Considerar também que a esfera equivalente e a partícula 
são feitas do mesmo material. 
“ ” é calculado por equipamentos de medição diversos, e pode ser sempre substituído por 
uma expressão matemática quando, apesar de não ser esférica, a partícula possuir um formato 
específico e facilmente determinável como, por exemplo, um cubo. Quando não for o caso, 
duas formas de se obter através de equipamentos esse valor são: 
 Difração de laser  Relaciona-se o volume de uma partícula à sua capacidade de 
desviar raios luminosos 
 Queda de condutância de uma solução  Relaciona-se o volume de uma partícula à o 
quanto sua presença em uma solução altera a capacidade da solução de conduzir 
eletricidade 
No caso da área projetada, podemos calcular usando técnicas de: 
 Microscopia 
 Raio Laser 
Para o cálculo do diâmetro de Stokes, alguns esclarecimentos se fazem necessários: 
(a) “Velocidade terminal” é, por definição, a velocidade máxima e constante que um 
corpo atinge: ao cair em um fluido em repouso, sob a ação de um campo externo de 
forças. Isso implica que a aceleração do corpo é nula e, consequentemente, pela 
segunda lei de Newton, que a resultante das forças atuantes no corpo também é nula; 
(b) O termo “mesmas condições” significa que partícula e esfera caem no mesmo fluido, 
na mesma pressão e temperatura (o que garante igualdade de propriedades físicas nos 
dois casos) e sob a ação do mesmo campo externo de forças; 
(c) O termo “regime de Stokes” implica que a velocidade terminal da esfera seja baixa 
(d) Usamos a letra “b” minúscula para representar campos externos de força. Os mais 
comuns são o centrípeto e a gravidade. Portanto “b” por ser muito bem substituído 
por “g”. 
(e) “ ” é a densidade do fluido, enquanto “ ” é a sua viscosidade 
Outros tipos de diâmetros equivalentes como os diâmetros estatísticos poderiam ser citados, 
assim como as relações entre os diâmetros acima. No entanto, não nos convém muito 
conhece-los, mas é importante saber que existem diversas formas de calcularmos tamanhos 
equivalentes. 
Comparamos partículas reais e isoladas com esferas de mesmo material e sobre as mesmas 
condições. Existem ainda outros fatores de forma que nos ajudam a descrever melhor o 
formato de partículas irregulares e trabalhar matematicamente com o mesmo. São eles: 
 
 
 
 
 
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Nome Descrição Fórmula 
Fator de Forma B 
Relaciona o quadrado de 
qualquer diâmetro 
equivalente com a área 
superficial da partícula 
 
 
 
Fator de forma C 
Relaciona o cubo de qualquer 
diâmetro equivalente com a 
área superficial da partícula 
 
 
 
Circularidade ( ) 
Razão entre perímetros que 
estabelece o quão próximo 
uma área projetada está de 
um círculo. Portanto: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esfericidade ( ) 
Razão entre áreas superficiais 
que estabelece o quão 
próximo uma partícula está de 
uma esfera. Portanto: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Atenção! Na circularidade, o numerador a projeção não pode ser um círculo. Ficou confuso? 
Imagine uma partícula irregular em situação de máxima estabilidade. Imagine agora sua 
projeção. Imagine que essa sua projeção seja um quadrado. O numerador será o perímetro do 
círculo que tem mesma área que esse quadrado. Partículas em forma de disco, então, são 
partículas que não servem nesse cálculo. 
Para finalizar medidas para partículas, vamos definir superfícies específicas, outro parâmetro 
para descrever partículas sólidas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Até agora vimos formas de descrever partículas como unidade. Como faremos para descrever 
a própria amostra? Algumas medidas de concentração são usadas, à saber: 
Nome Fórmula 
Concentração Volumétrica 
 
 
 
Concentração Mássica ou Em Peso 
 
 
 
Concentração em massa por volume 
 
 
 
Densidade da suspensão 
 
 
 
 
 Acima, temos que “ ” é o volume da suspensão, “ ” a massa da partícula e “ ” a 
massa da suspensão. Perceba que “ 
 
” nada mais é do que a definição normal de 
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concentração que estamos acostumados. Note que “ ” é uma densidade diferente das que 
já vimos. Considerando uma suspensão com partículas sólidas em um meio fluido, temos: 
  Densidade do fluido  
 
 
 
  Densidade do sólido  
 
 
 
  Densidade da suspensão  
 
 
 
 
 
 
Note ainda que a concentração volumétrica e a concentração mássica são adimensionais.Por 
isso são, muitas vezes, expressas em porcentagens. Podemos relacionar cada uma das 
concentrações acima da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se não quiser, não precisa gravar as relações acima. Elas saem de puro algebrismo vindo das 
expressões matemáticas das concentrações. A porosidade (ε) é também proveniente de um 
algebrismo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A porosidade é então a fração do volume de uma suspensão que é o volume total do flúido 
( ) 
Estatísticas de Partículas 
Essa parte da matéria vai nos acompanhar até o final. Como o mundo não é ideal, em uma 
amostra sólida, jamais veremos exatamente as mesmas partículas. Supondo uma amostra 
pura, no entanto, é possível afirmar que veremos a mesma forma e densidade de partículas, 
mas não o mesmo tamanho. É interessante então determinarmos a proporção de cada 
tamanho de partícula que encontramos em uma amostra. No jargão estatístico, essas medidas 
de proporção denominam-se frequências. 
Várias grandezas características podem ser usadas na descrição da distribuição cumulativa de 
tamanhos das partículas de uma amostra. A grandeza que usaremos aqui será o diâmetro da 
partícula. Portanto, temos definido o eixo “x” de nossa distribuição. 
Agora falta definir o eixo “y”. Como dito, ele deve ser uma medida de frequência. Ou seja, 
nosso gráfico irá relacionar a frequência de aparecimento em uma amostra de partículas de 
determinado diâmetro. Para esse eixo, existem três possibilidades: 
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 Fração ponderal menor que um dado diâmetro de partícula (y). 
 Fração ponderal com dado diâmetro de partícula (x). 
 Fração ponderal maior que um dado diâmetro de partícula (z). 
Exemplo de gráficos que são possíveis: 
 
Acima, um exemplo de gráfico do tipo (y) e do tipo (z). Veja que ambos têm limites: por serem 
frações, seus valores estarão sempre entre 0 e 1. A curva do tipo (y) é ascendente e tende à 1 
porque cada diâmetro correspondente nos dá uma frequência de partículas menores que esse 
diâmetro. Portanto, se aumentarmos o diâmetro da curva de tipo (y), estamos englobando 
cada vez mais partículas no nosso cálculo de frequência. No limite para a direita, o diâmetro 
equivale à valor y=1. Ou seja, um diâmetro muito grande tem 100% de frequência de 
partículas menores, isto é, não existe partículas maiores que esse diâmetro. A curva de tipo (z) 
é o inverso. Logicamente ela parte do 1 porque 100% das partículas tem diâmetro maior que 
0. Com o aumento do diâmetro, a curva do tipo (z) englobará cada vez menos partículas. 
Veja que a soma das duas curvas é sempre igual à 1. Logo: 
 
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A curva de frequência acima nos fornece uma visão qualitativa da distribuição de tamanhos. 
Curvas estreitas são para partículas mais homogêneas. Quando a curva é estreita, existe 
menor amplitude de tamanhos de partículas possíveis. A distribuição do tipo (x) não é uma 
Gaussiana normal. Curvas Gaussianas tem média, moda e mediana coincidentes. É 
característico de curvas do tipo (x) terem um formato espremido para a esquerda. 
Uma outra forma de representarmos curvas do tipo (x) é, ao invés de usarmos curvas, usarmos 
histogramas. Na imagem anterior, temos curvas e histogramas sobrepostos. Um exemplo de 
histograma (sem curva) se encontra abaixo: 
 
Os eixos no histograma são os mesmos. A diferença é que medimos agora por faixas de “d” ao 
invés de valores singulares de “d”. No gráfico acima, por exemplo, podemos afirmar que 
aproximadamente 8% das partículas tem diâmetro entre 0 e 300 micra (plural de micrômetro). 
Se plotarmos um histograma com o eixo y trocado de (x) para 
 
 
 , modificaremos a forma do 
histograma acima para uma mais próxima com a distribuição de frequência. Isso acontece 
porque o novo eixo y é uma aproximação da derivada 
 
 
. 
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Modelos matemáticos para distribuições de tamanho 
Alguns modelos matemáticos foram propostos. Alguns são: 
Nome Fórmula Parâmetros 
Modelo de Gates, 
Gaudin e 
Schuhmann (GGS) 
 
 
 
 
 
 
“ ” é o maior valor de “d” presente na 
distribuição. 
Sigmoide 
 
 
 
 
 
 
“ ” é a mediana da distribuição. É o valor de 
“d” para . Costumamos chamar esse 
diâmetro de diâmetro de corte 
Modelo Log-
Normal (LN) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
“ ” é o desvio padrão geométrico, 
adimensional, calculado por: 
 
 
 
 
 
. 
Chamamos de função erro. Sua expressão 
matemática é: 
 
 
 
 
 
 
 
. 
Modelo de Rosin, 
Rammler e 
Bennett (RRB) 
 
 
 
 
 
 
 
Onde “ ” e ” são parâmetros do modelo. 
Modelo de 
Weibull 
 
 
 
 
 
 
Onde “ ” é o “ que leva à “ ”. Ou seja, 
“ ” é o menor diâmetro da distribuição. “k” é 
um parâmetro da distribuição de tipo (y) 
diferente do parâmetro anterior “ ”, apesar 
das fórmulas serem parecidas 
 
Cada modelo tem sua peculiaridade e seu porquê e quando usar. No caso específico do 
modelo GGS, podemos ver que o modelo não ajusta matematicamente tão bem. Veja que 
quando m=1, temos uma reta. Sendo assim, o ponto de inflexão que vemos numa curva do 
tipo (y) típica não é bem representado. GGS ou ajusta bem a parte de cima da curva (pós 
inflexão) ou ajusta bem a parte de baixo (pré inflexão), mas nunca os dois ao mesmo tempo. 
Qual que ajustará bem depende do valor de “m”. 
O modelo de Weibull só pode ser aplicado em casos onde a distribuição do tipo (y) não começa 
na origem. 
Os modelos podem ser linearizados. A linearização ajuda a encontrar os parâmetros dos 
modelos e, portanto, definir a expressão matemática completa da equação a partir dos pontos 
experimentais. As linearizações são: 
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Modelo Linearização 
Modelo de Gates, Gaudin e 
Schuhmann (GGS) 
 
 
 
Sigmoide 
 
 
 
 
 
 
Log-Normal (NS) Sem Linearização 
Modelo de Rosin, Rammler e 
Bennett (RRB) 
 
 
 
 
 
 
Modelo de Weibull 
 
 
 
 
 
 
 
Mas qual modelo é melhor para meu conjunto de pontos experimentais? Aquele que, na 
linearização, tiver o valor de R² mais próximo de 1. 
Outros diâmetros: Diâmetros Médios 
Os diâmetros médios são diâmetros que dizem respeito a todas as partículas de uma amostra 
e não uma partícula isolada. São eles: 
Diâmetro Fórmula Explicação Legenda 
 – Diâmetro 
médio de área 
Superficial 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em um sistema com N partículas, se 
TODAS ELAS tivessem o mesmo diâmetro 
 , então a área superficial de todas elas 
seria igual à área superficial de todas as 
partículas com diferentes somadas. 
 
  Número de 
partículas com 
diâmetro 
 
  Número total 
de partículas 
 – Diâmetro 
médio 
volumétrico 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em um sistema com N partículas, se 
TODAS ELAS tivessem o mesmo diâmetro 
 , então ao volume de todas elas seria 
igual ao volume de todas as partículas 
com diferentes somadas. 
 
 – 
Diâmetro médio 
de Sauter 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Se considerarmos que:Escrevemos: 
 
 
 
 
Onde: 
  Densidade de uma partícula de tamanho 
  Fator de forma de uma partícula de tamanho 
 
  Cubo do diâmetro de uma partícula de tamanho 
 
  Volume de uma partícula de tamanho 
  Massa de todas as partículas 
  Fração ponderal da partícula de tamanho 
  Massa de partículas de tamanho 
Reescrevemos o diâmetro médio de Sauter: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Veja a curva abaixo: 
 
Perceba que quando , temos ; e . Logo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O limite de um somatório? O que é isso se não uma integral? Assim, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Note que, nesse resultado, . Logo, precisamos explicitar “ ” para usar na integral. 
Nem sempre isso é possível, no entanto. 
Peneiração 
 
A peneiração ocorre em equipamentos como os acima. Cada um dos cilindros é uma peneira, 
com abertura diminuindo pra baixo. O último prato se chama fundo e coleta as partículas 
restantes, mais finas. A torre de peneiras fica em cima de um sistema de agitação com 
controlador de tempo de agitação e amplitude de agitação. Abre-se a tampa, coloca-se a 
amostra e liga-se a agitação. As partículas vão descendo de forma que as maiores ficarão 
retidas em maiores alturas. 
Um resultado teórico de uma peneiração desse tipo: 
Mesh Tyler 
Faixa de 
Diâmetros 
( ) 
 
Massa 
retida na 
peneira 
(g) 
Fração 
Ponderal 
 ( ) Y (%) Z(y) 
-35 + 45 500-354 427,0 25 5 500 100 0 
-45+60 354-250 302,0 85 17 354 95 5 
-60+80 250-177 213,5 135 27 250 78 22 
-80+120 177-125 151,0 195 39 177 51 49 
-120+170 125-88 106,5 50 10 125 12 88 
-170+ 88-0 44,0 10 2 88 2 98 
 
 
Os padrões de peneiras mais conhecidos são o Tyler (W. S. TylerTM) e o USSS (United States 
Sieve Series). A série Tyler original foi construída originalmente, de modo que a razão entre as 
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áreas livres para passagem de partículas de duas peneiras consecutivas fosse 2. Assim, as 
aberturas das peneiras da série formam uma progressão geométrica de razão 2: 
 
Posteriormente decidiu-se inserir novas peneiras na série, com uma progressão geométrica 
diferente: 
 
 
 
A série Tyler também introduziu o conceito de mesh de uma peneira, cuja definição é: número 
de aberturas por polegada linear (subentende-se, medida a partir do eixo de simetria de um 
arame e perpendicularmente ao próprio eixo). Resulta que peneiras “grossas” têm mesh 
pequeno e peneiras “finas” têm mesh grande. A palavra mesh pode ser traduzida como 
“malha” e é frequentemente representada pelo símbolo #. 
Algumas observações sobre o preenchimento da tabela anterior são pertinentes: 
 O “fundo” é tratado como uma peneira de abertura igual a zero (correspondendo a 
número de mesh ∞), de modo que o diâmetro médio do par –170 + ∞ é a metade da 
abertura da peneira de 170#. 
 A peneira de abertura 35# é o topo da coluna de peneiras e está vazia. Ela é 
selecionada de forma que passe facilmente todo o material. Cada linha da tabela é um 
par de valores pois cada cilindro tem duas faces circulares, na qual uma é uma peneira 
de uma abertura X e a outra é uma peneira de abertura Y tal que > se Y está mais 
baixo que X. 
 Com os resultados da tabela, podemos plotar tanto a curva do tipo (y) quanto a curva 
do tipo (z) em função de um dos diâmetros extremos (o mínimo ou o máximo ) 
que passa pelo par de peneiras. Nunca podemos plotar em função do diâmetro médio 
pois ele não é representativo do sistema. Se pudermos escolher e , escolher . 
 A soma de todas as massas na coluna de massa retida é a massa de amostra 
adicionada ao sistema 
 A fração ponderal é a massa retida em um par de peneiras dividido pela massa de 
amostra 
 Não se deve deixar um tempo muito curto de agitação, já que a peneiração é um 
fenômeno estatístico 
 Deve-se tomar cuidado na agitação de materiais sensíveis, do contrário, poderão se 
quebrar (partículas maiores viram menores) 
 
 
 
 
 
 
 
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Dinâmica de Partícula 
Para estudarmos a dinâmica de uma partícula devemos considerar todas as forças que atuam 
sobre ela e considerar que todas elas dependem de um referencial. Em fórmulas de força 
muitas vezes vamos nos deparar com a velocidade relativa da partícula: 
 
Onde: 
  velocidade da partícula 
  velocidade do fluido 
  velocidade relativa da partícula em relação ao fluido 
Temos por objetivo, no estudo da dinâmica de partículas, obter a equação do movimento da 
mesma. Vamos considerar as forças que agem sobre ela. Os tipos de força possíveis são: 
 Forças de campo  Atuam sem contato com a partícula 
 Forças de superfície  Atuam com contato com a partícula 
O caso do empuxo é curioso porque ele só existe se houver contato da partícula com um 
fluido, porém é decorrente da presença de um campo. Mesmo com definição ambígua, vamos 
considerar essa força como de campo. O total de forças é então: 
 
As forças de campo são o peso e o empuxo: 
 
 
 
 
 
 
As forças de superfície são as forças de arraste e sustentação 
 
Alguns efeitos notáveis de sustentação são: 
1) Efeito asa: 
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As forças de arraste ( ) e as de sustentação ( ) se combinam dando uma resultante pra 
cima. Isso acontece porque, segundo a equação de Bernoulli: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sendo A a parte debaixo da asa, e B a parte de cima da Asa, temos que: 
 
 
 
Se força é pressão vezes área, entendemos o porque da resultante ser para cima 
2) Efeito Magnus 
 
Usando a mesma analogia para uma bola em rotação, sendo A a parte debaixo da bola, e B a 
parte de cima da bola, temos que: 
 
 
 
Coeficiente de Arraste e Equação do Movimento 
Em sistemas de partículas, as forças de sustentação são praticamente nulas. Logo: 
 
Na formulação da equação do movimento da partícula, um grupo adimensional surge 
chamado coeficiente de arraste . A expressão desse grupo é: 
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O coeficiente de arraste é então uma função de dois parâmetros conhecidos: 
 
Onde é o Número de Reynolds da Partícula e tem a seguinte expressão: 
 
Generalizamos então a equação do movimento para: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde A é a área projetada da partícula 
 
 
 e é o campo ou gravitacional ou centrífugo 
Velocidade Terminal 
 
 
Quando uma partícula sedimenta, acontece que: 
1) No instante inicial da sedimentação, não há força de arraste e empuxo e gravidadese 
combinam, formando uma resultante pra baixo que inicia a sedimentação. 
2) Em determinado instante diferente do inicial, a força de arraste surge, diminuindo a 
força resultante descrita acima 
3) Para , a força de arraste aumenta de tamanho até um máximo. Esse 
máximo é aquele que faz a resultante de forças ser 0. A partícula tem resultante nula, 
mas movimento descendente. A velocidade de sedimentação é constante e é chamada 
de velocidade terminal ( ). 
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Analisando-se o tempo necessário para atingir a velocidade terminal, podemos concluir que as 
partículas sedimentando em fluidos em repouso atingem a velocidade terminal 
instantaneamente. 
Da equação do movimento, quando a derivada temporal da velocidade é nula, podemos obter 
a expressão matemática da velocidade terminal. Considere que, nesse caso, trabalharemos 
sem vetores e logo: 
 
 
A equação da velocidade terminal é: 
 
 
 
 
Para esferas, considerando a fórmula do volume e da área da partícula esférica, a equação 
acima é reescrita para: 
 
 
 
 
O Trabalho de Newton e de Stokes 
Dois cientistas que chegaram a equações de velocidade terminal diferentes, cada um com suas 
considerações. As condições de trabalho foram as mesmas: 
 Esferas lisas e isoladas 
 Fluidos Newtonianos e incompressíveis 
 Regime permanente e completamente turbulento ( ) 
Trabalho Força de Arraste ( ) 
Coeficiente 
de Arraste 
( ) 
Velocidade Terminal para 
esferas ( ) 
Velocidade terminal ( ) 
Newton 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Stokes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nas equações de velocidade terminal acima, temos um fator de correção “k” para partículas 
não esféricas que é uma função da esfericidade da mesma. Tente da equação de Stokes isolar 
“d”. Você encontrará exatamente a equação do diâmetro de Stokes vista anteriormente. 
Perceba ainda que, nas equações, a única forma de aumentar a velocidade terminal sem 
alterar o sistema (sem mudar de fluido, sem colocar o fluido em movimento e sem mudar a 
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partícula) é modificando o valor de “ ”. Como mudar a gravidade é algo impossível também, o 
único jeito de se aumentar uma velocidade terminal é colocando em um campo centrífugo e 
ajustando a velocidade angular e o raio de rotação. 
Diagrama para esferas 
 
Podemos ver que a tendência é o coeficiente de arraste diminuir conforme Reynolds da 
partícula aumenta. Podemos dividir o gráfico em 4 regiões: 
 Região 1  Região de Stokes (laminar) ; reta; 
 Região 2  Região Intermediária ou de transição ; 
 Região 3  Região de Newton; constante; 
 Região 4  Região de turbulência na camada limite; 
Na região intermediária, vale a expressão de Schiller-Neuman: 
 
 
 
 
 
Veja que o valor do coeficiente é aproximadamente 0,44 nessa fórmula se colocarmos um 
Número de Reynolds igual a 1000. Esse valor de coeficiente foi o encontrado no trabalho de 
Newton. 
Correções para de esferas 
Algumas correções devem ser feitas considerando alguns efeitos existentes em situações reais. 
De Uma forma geral, em todos os efeitos, temos que 
▲ Estreitamento das linhas de corrente ▼ 
 
 
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Efeito concentração 
Efeito que ocorre quando uma partícula está imersa em um fluido com alta concentração. 
Altas concentrações estreitam as linhas de corrente. 
▲ ▼ 
 
 
A velocidade terminal corrigida será dada pela correlação empírica de Richardson e Zaki: 
 
 
Onde: 
▲  velocidade terminal à diluição infinita ( ) 
▲  velocidade terminal corrigida à concentração $ desejada 
O valor de “ ” será diferente para cada intervalo de Reynolds de Partícula: 
 
 
 
 
 
 
 
Efeito parede 
Efeito que ocorre quando uma partícula está próxima à parede do recipiente no qual ela está 
imersa. Isso também causa estreitamento das linhas de corrente: 
▲ ▼ 
 
Acima, um caso particular em que a parede é de um tubo, logo a proximidade vem de todos os 
lados. Se: 
[EQ 2017.2] OP1 Medronho P1 [por Rafael Ratier] 
 
 
 
 
 
 
 
Então: 
Região 1  Região de Stokes (laminar) ; reta; 0≤ ≤0,4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Região 2  Região Intermediária ou de transição ; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Região 3  Região de Newton; constante; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Efeito de Stokes-Cunningham 
Efeito que ocorre apenas para partículas sedimentando em gases na região de Stokes. Só 
ocorre com partículas com a mesma ordem de grandeza de diâmetro que o livre percurso 
médio das moléculas de gás . Em mecânica estatística e teoria cinética dos gases, percurso 
livre médio ou caminho livre médio é a distância média ou o espaço médio percorrido entre 
duas colisões sucessivas das moléculas de um gás. 
 ▲ 
[EQ 2017.2] OP1 Medronho P1 [por Rafael Ratier] 
 
O equacionamento: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PS: Para partículas com o efeito do movimento Browniano se torna mais 
expressivo do que o Efeito de Stokes-Cunningham 
Diagrama para partículas não-esféricas 
 
Esse gráfico foi construído para as seguintes condições de trabalho: 
 Partículas isoméricas (propriedades não variam com a direção) com diferentes 
esfericidades 
 Partícula sólida isolada sedimentando em fluido Newtoniano 
 Partícula caracterizada por e , com área projetada igual à 
 
 
 
 
[EQ 2017.2] OP1 Medronho P1 [por Rafael Ratier] 
Onde: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ou, para o caso do fluido não estar em movimento: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problemas comuns: 
Dados e , achar Plot de 
 versus 
Dados e , achar Plot de 
 
 
 versus 
Achar , e 
Correlações de Coelho e Massarani: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Movimento de Partícula suspensa em fluido escoando 
entre placas planas 
 
A partícula se movimentará tanto no eixo x (horizontal) quanto no eixo y (vertical), logo, a 
equação do movimento: 
[EQ 2017.2] OP1 Medronho P1 [por Rafael Ratier] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se a partícula não acelera: 
Se o campo é a gravidade, não existe termos de campo no eixo x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como nem 
 
 
, nem , e nem podem ser nulos, temos que: 
 
 
 
 
 
 
 
Só que: 
 
 
 
 
 
 
 
Então: 
 
 
 
 
 
 
 
E, por fim: 
 
 
 
 
 
 
 
Conclusões: 
 Na direção do escoamento, a partícula caminha com a velocidade do fluido 
 Na direção do campo, a partícula caminha com velocidade terminal 
 
 
 
[EQ 2017.2] OP1 Medronho P1 [por Rafael Ratier] 
Partícula suspensa em um fluido confinado em um 
recipiente em rotação 
 
Nesse caso, a partícula tenderá a se mover para as paredes do recipiente. Nesse caso, o campo 
centrífugo é existente e tão forte que a influência do campo gravitacional é anulada. Ao invés 
de usarmos os eixos “x” e “y”, vamos considerar direções angulares e radiais. Assim, a equação 
do movimento: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se a partícula não acelera: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se o campo só existe na direção radial e não na angular: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como nem 
 
 
, nem , e nem podem ser nulos, temos que: 
 
 
 
 
 
 
 
Só que: 
 
 
 
Então: 
[EQ 2017.2] OP1 Medronho P1 [por Rafael Ratier] 
 
 
 
 
 
 
 
E, como: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Temos, por fim: 
 
 
 
 
 
Conclusões: 
 Na direção do escoamento, a partícula caminha com a velocidade do fluido 
 Na direção do campo, a partícula caminha com velocidade terminal 
Elutriação 
Elutriação é um processo de separação originalmente feito para separar misturas sólido-sólido, 
mas funciona para separar sólidos de líquidos e gases também. É um método antigo não muito 
usado. Abaixo, um esquema típico de um elutriador: 
 
No elutriador, temos: 
 Saída no topo de partículas elutriadas: as partículas mais leves ou menos densas 
 Saída no fundo de partículas não elutriadas: as mais pesadas ou mais densas 
▲ Movimento do fluido ▼Sedimentação de partículas ( ) ▼Gravidade ( ) 
[EQ 2017.2] OP1 Medronho P1 [por Rafael Ratier] 
O que definirá se uma partícula será ou não elutriada são 
as velocidades do fluido e terminal de sedimentação. Se 
a velocidade do fluido for superior a velocidade terminal 
de sedimentação, a partícula é arrastada e, portanto, 
elutriada. 
Um caso interessante é quando: 
 
Esse caso é o limite de interesse. Na prática, deseja- se 
saber, para dado (velocidade de elutriação), qual o 
tamanho da partícula que, teoricamente, ficaria “parada” 
no interior do elutriador. Então, necessariamente, 
partículas maiores que esse tamanho “descem” (são retidas) e menores “sobem” (são 
elutriadas). 
A esse diâmetro que queremos encontrar chamamos de diâmetro de corte . Em um 
separador ideal, teríamos as seguintes curvas: 
 
 Curva  Curva de frequência de diâmetros de toda a amostra posta no elutriador 
 Curva  Curva de frequência de diâmetros de todo o material não elutriado 
 Curva  Curva de frequência de diâmetros de todo o material elutriado 
Pela análise dessas curvas podemos ver que encontrar o diâmetro de corte não é uma tarefa 
muito difícil se soubermos como que “y” varia com “d”. 
Ainda para elutriadores ideais, podemos definir a eficiência granulométrica ou individual por 
tamanho : 
 
 
 
 
 
 
 
O gráfico de Gxd é: 
[EQ 2017.2] OP1 Medronho P1 [por Rafael Ratier] 
 
O que é nítido de entender porque “massa coletada” é a massa elutriada e só partículas acima 
do diâmetro de corte foram coletada. Logo há 0 massa coletada abaixo do diâmetro de corte e 
100% da massa coletada necessariamente tem diâmetro maior que o diâmetro de corte. 
Para elutriadores reais: 
 
Problemas que podem levar à não separação ideal: 
 Área não-uniforme das partículas 
 Efeito da concentração 
 Perfil de velocidade parabólico (efeito de parede). Afinal, partículas sedimentando 
próximas a parede tem velocidade terminal menor do que uma livre e isolada 
Vamos estudar a separação de dois materiais particulados (dois pós) com, a princípio, 
densidades distintas. Vamos supor que os elutriadores são equipamentos ideais. 
Vamos definir então: 
  Velocidade terminal da menor partícula pesada 
  Velocidade terminal da maior partícula leve 
3 casos são possíveis: 
1) 
2) 
3) Uso de elutriadores em série 
 
 
[EQ 2017.2] OP1 Medronho P1 [por Rafael Ratier] 
Caso 1  
 
O gráfico acima é uma seção de duas curvas de velocidade terminal por diâmetro. Porque não 
a curva inteira? Porque as partículas, tanto as leves quanto as pesadas, têm uma faixa de 
diâmetros possíveis. Logo o resto da curva para cada uma delas não nos interessa e não foi 
representado. Lembrar que a densidade da partícula e seu diâmetro aumentam a velocidade 
terminal (ver fórmulas de velocidade terminal caso não lembre), o que explica o sentido 
crescente da curva e o fato da curva L estar por baixo, sendo a curva P a curva das partículas 
mais pesadas ou mais densas. 
Lembre-se que: 
  Resultante pra cima  Partícula elutriada ou arrastada 
  Resultante pra baixo  Partícula sedimenta 
E que para separar, deve ser uma velocidade em que, virtualmente, todas as partículas 
leves ou sedimentem ou arrastem e todas as partículas pesadas façam o processo inverso 
Quando um elutriador opera a , ele está fazendo . Ou seja, o 
elutriador opera a velocidades de fluidos menores do que a velocidade terminal máxima das 
partículas leves. Com velocidades tão baixas, não se garante que todas as partículas leves 
sejam elutriadas, de forma que algumas sedimentem. A velocidade é tão baixa que todas as 
[EQ 2017.2] OP1 Medronho P1 [por Rafael Ratier] 
pesadas caem também. A separação fica muito ruim, tendo uma mistura de pesadas e leves no 
sedimentador e muito pouco das leves na saída do elutriador. 
Quando um elutriador opera a , ele está fazendo . Ou seja, o 
elutriador opera a velocidades de fluidos maiores do que a velocidade terminal mínima das 
partículas pesadas. Com velocidades tão altas, eu garanto que todas as partículas leves foram 
elutriadas mas não garanto que só elas tenham sido. Parte das pesadas terá sido elutriada 
também, de forma que na saída do elutriador vou ter uma mistura de partículas leves e 
pesadas e no sedimentador terei somente partículas pesadas. 
A faixa de trabalho, nesse caso, para que a separação seja completa, deve ser: 
 
Caso 2  
 
Nesse caso, as zonas de 100% de arraste e sedimentação não estão intercaladas. Logo, se 
operarmos: 
  Arrastaremos quase todasas leves e quase nenhuma pesada. 
Na saída do elutriador teríamos uma mistura rica em partículas leves e na saída 
teríamos sedimentado uma mistura rica em partículas pesadas 
  sedimentação de 100% das partículas pesadas mas sem o arraste de 
100% das partículas leves. No sedimentador, teríamos uma mistura de partículas leves 
e pesadas rics em partículas pesadas. 
[EQ 2017.2] OP1 Medronho P1 [por Rafael Ratier] 
  arraste de 100% das partículas leves mas sem a sedimentação de 100% 
das partículas pesadas. Na saída do elutriador, teríamos uma mistura de partículas 
leves e pesadas ricas em partículas leves. 
Concluímos que com 1 único elutriador, nesse caso, a separação completa é impossível. Já no 
caso 1, é possível. 
Caso 3  Elutriadores em série 
Usamos elutriadores em série quando temos o caso 2 acima. 
Primeiro Elutriador 
 
 Entra  Mistura 
 Operação  . Nessa velocidade, todas as partículas com sedimentam e 
com são elutriadas. 
 Saída do primeiro elutriador  100% das partículas leves misturadas com as 
partículas pesadas com . 
 Sedimentação no primeiro elutriador  todas as partículas pesadas com . 
 
 
 
[EQ 2017.2] OP1 Medronho P1 [por Rafael Ratier] 
Segundo Elutriador 
 
 Entra  Mistura com 100% das partículas leves e todas as pesadas com 
 Operação  . Nessa velocidade, todas as partículas pesadas da mistura 
sedimentam junto com as partículas leves com diâmetro . O resto sai no 
elutriador. 
 Saída do segundo elutriador  Partículas leves com 
 Sedimentação 2º elutriador  Mistura com pesadas de e leves com 
Peneira 
 
 Operação  Peneira com abertura 
 Resultado  Passa pela peneira todas as partículas pesadas. Fica retida todas as 
partículas leves 
[EQ 2017.2] OP1 Medronho P1 [por Rafael Ratier] 
Eficiência de Separação 
 
Não adianta muita coisa falar sobre separadores quando não falamos sobre a eficiência de um 
processo de separação. Acima, vemos um esquema geral de um equipamento de separação. 
No caso do Elutriador, único visto até agora, o Retido vai para o que chamamos de saída do 
elutriador e o Passante sedimenta no fundo do elutriador. Um balanço de massa simples nos 
permite afirmar que a massa (ou vazão mássica, ou concentração, ou número de partículas) 
alimentada é igual a soma das massas nas duas correntes de saída. Logo a eficiência vai ser a 
fração de sólidos de interesse efetivamente separada (Retido) da soma das duas correntes de 
saída, ou, ainda, da massa de toda a amostra. 
 
 
 
 
 
 
 
Em massa 
 
 
 
 
 
 
 
Em número de partículas 
O balanço de massa global é então: 
 
Como a ideia é separar, chamamos o Retido as vezes de concentrado e o passante de diluído. 
Isso porque a partícula que desejamos separar nunca é 100% separada, então parte vai pro 
Passante e porque não é somente essa partícula que existe no Retido. É exatamente por isso 
que usamos o subscrito “C” de concentrado nas formulinhas acima. Veja agora que: 
 
Dividindo tudo pela massa total: 
 
 
 
 
 
 
 
 
[EQ 2017.2] OP1 Medronho P1 [por Rafael Ratier] 
Vamos fazer o balanço de massa para partículas menores que dado “ ”. Ou seja, vamos tentar 
inserir o parâmetro “ aí: 
 
Leia-se: “A massa de partículas com diâmetro menor que é igual à soma da massa de 
partículas com diâmetro menor que que sai no concentrado com a massa de partículas com 
diâmetro menor que que sai no diluído”. Dividindo o balanço acima inteiro por , temos: 
 
 
 
 
 
Graficamente, é o mesmo que calcular a/b ou roxo/preto: 
 
Semelhante à eficiência, definimos a Razão de Fluido como: 
 
 
 
 
 
 
 
Onde “ ” é uma medida de vazão de fluido. Cada tipo de separador possui sua própria razão 
de fluido: 
 
Maioria dos ciclones 
Câmara de Poeira 
Elutriador 
Hidrociclones 
Algumas centrífugas 
Poucos ciclones sedimentadores 
 
A razão de fluido é então uma fração de fluido total que vai pro underflow (concentrado) 
Outras duas medidas de eficiência de separação são a Eficiência Total Reduzida 
 : 
 
 
 
 
 
E a eficiência granulométrica ou individual por tamanho : 
[EQ 2017.2] OP1 Medronho P1 [por Rafael Ratier] 
 
 
 
 
 
 
 
Esta última já vimos, mas vamos nos aprofundar mais um pouco. Se é a massa por diâmetro, 
então quero a fração da massa coletada e a fração da massa total que tenha determinado 
tamanho . Logo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para uma partícula de dado “x” então, a eficiência granulométrica será: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Temos ainda a eficiência granulométrica reduzida, que considera sistemas mais reais. 
 
 
 
 
Graficamente, a eficiência granulométrica reduzida e a eficiência granulométrica tem a 
seguinte aparência: 
 
As curvas de G e G’ por (d/d50) possuem a mesma aparência em S. 
[EQ 2017.2] OP1 Medronho P1 [por Rafael Ratier] 
Quando fazemos essa curva de eficiência reduzida, o diâmetro de corte passa a se chamar 
diâmetro de curva reduzido. 
Podemos relacionar a eficiência total reduzida da mesma forma que relacionamos a eficiência 
granulométrica reduzida: 
 
 
 
 
 
Mexendo nas fórmulas apresentadas e fazendo várias substituições, chegamos às seguintes 
equações para estimativa da eficiência total: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quando temos equipamentos em série: 
 
Podemos considerar os dois (ou mais) como se fosse um só, com eficiência total equivalente 
ou eficiência total do conjunto. No caso, para dois separadores unidos, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[EQ 2017.2] OP1 Medronho P1 [por Rafael Ratier] 
Câmara de Poeira ou Câmara de 
Sedimentação 
 
A câmara de poeira é um equipamento para a remoção de partículas sólidas suspensas em 
gases, sendo conhecida, também, como “câmara de sedimentação” e “caixa de poeira”. Como 
que as partículas caem? Simples: ao entrar na câmara de poeira, meio que “um tubo de 
diâmetro maior”, a velocidade de escoamento do fluido diminui. A velocidade resultante então 
inclina-se mais para baixo e fica menor, “levando” a partícula mais rapidamente para o fundo, 
onde é separada: 
 
Para dimensionarmos uma câmara de poeira, temos que partir de algumas hipóteses: 
1) Escoamento de fluido Newtoniano, em regime permanente 
2) As partículas encontram-se bem distribuídas na alimentação 
3) As partículas são consideradas separadas se conseguirem chegar ao chão da câmara, 
isto é, não há rearraste 
Para avaliar a câmara de poeira, considera-se o “caso limite” da partícula que entra no 
equipamento na posição mais desfavorável à sua coleta, isto é, junto ao “teto”, e é coletada no 
final do equipamento. Prever o tamanho da referida partícula é uma maneira de avaliar a 
câmara de poeira 
 
 
 
[EQ 2017.2] OP1 Medronho P1 [por Rafael Ratier] 
Se essa partícula, conhecida como , não for separada, a câmara de poeira não é boa. 
é então a menor partícula que é separada com 100% de eficiência granulométrica. Logo a 
câmarade poeira deve separar todas as partículas com diâmetro menor e não separar 
nenhuma com diâmetro maior. 
Portanto, dada a câmara abaixo: 
 
Para uma partícula que entre a câmara, podemos definir: 
Tempo de Queda Tempo de Residência 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para essa mesma partícula, considerando que esses tempos são iguais e que se conhece a 
vazão volumétrica de entrada da suspensão, chegamos à seguinte expressão de eficiência 
granulométrica: 
 
 
 
 
 
 
Isso só é verdade porque estamos avaliando o problema na posição mais desfavorável pra 
partícula. Se conhecermos como a velocidade terminal varia com o diâmetro, podemos 
relacionar a eficiência granulométrica com o diâmetro. Se o regime de Stokes é válido, então: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A fórmula da eficiência está bem mais simples, mas temos que tomar um certo cuidado com 
ela, principalmente para 
 
 
 ‘s elevado, pois, vídeo gráfico: 
[EQ 2017.2] OP1 Medronho P1 [por Rafael Ratier] 
 
Existe um desvio. Mesmo com esse desvio, torna-se prático usar essa fórmula porque é 
uma constante, parâmetro do sistema. Comparando ’s diferentes e outros parâmetros, 
podemos chegar à: 
 
 
 
 
Aplicando G=1 na fórmula simplificada, chegamos à uma relação muito importante para o 
projeto de câmaras de poeira: 
 
Ciclones 
Ciclones são separadores muito eficientes onde o 
movimento de um gás misturado com partículas sólidas é 
o suficiente para separar (não há agitação mecânica em 
seu interior). 
Os ciclones funcionam como separadores em 2 estágios. A 
partícula desce em espiral e é ejetada tangencialmente. 
Ela é considerada como separada quando ela toca a 
parede do ciclone. Após o fim do movimento espiralado 
descendente, ocorre um movimento espiralado 
ascendente de menor raio, saindo pelo centro. A partícula 
está sujeita a maiores campos nesse movimento 
ascendente e pode, caso não tenha sido ainda separada, 
escapar para fora da espiral ascendente e retornar para a 
descendente, onde terá nova chance de ser separada. 
Abaixo do ciclone podemos ter um coletor de pó (não 
[EQ 2017.2] OP1 Medronho P1 [por Rafael Ratier] 
identificado). 
 
Ciclones operam com baixa queda de pressão e com altos campos centrífugos. A velocidade 
de escoamento do gás deve estar entre 6 e 21 m/s. Velocidades maiores podem ressuspender 
partículas já coletadas. Isso porque existe uma determinada altura onde a troca de sentido da 
espiral ocorre e, para velocidades muito altas, essa altura é mais baixa. Se muito alta pode 
causar turbilhamento dentro do recipiente de coleta. Claro que esse turbilhamento diminui a 
eficiência total. 
A queda de pressão nos ciclones é definida como: 
 
Ou seja, é a diferença entre a pressão de entrada 
na Alimentação e a pressão de saída no Passante 
que, nesse caso, é o overflow (pois a mistura é gás-
partícula e a partícula sedimenta) ou concentrado. 
Avaliação de Ciclones de Lapple 
Partindo do princípio que o turbilhamento no 
coletor não ocorre, vamos considerar o caso mais 
extremo assim como na câmara de poeira: uma 
partícula entrando em . Considera-se como 
separada as partículas que tocam as paredes do 
ciclone então essa partícula que estamos 
considerando será a última a ser separada. Essa 
partícula então será a nossa . Queremos 
projetar um ciclone para que nenhuma partícula 
com diâmetro maior que seja coletada. 
Em as partículas já estão mais próximas 
da parede, logo tem maior probabilidade de ser 
coletada. 
[EQ 2017.2] OP1 Medronho P1 [por Rafael Ratier] 
Nessa análise, pressupomos que a partícula da um número finito de voltas. 
Lapple definiu uma fórmula para a eficiência granulométric, a chamada Equação de Lapple: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para uma partícula que entre no ciclone, podemos definir: 
Tempo de Queda Tempo de Residência 
 
 
 
 
 
 
 
Onde: 
  Comprimento da trajetória 
  velocidade angular 
Considerando: 
 Tempo de Queda Igual ao Tempo de Residência 
 Geometria  Escrever como o produto entre o comprimento de uma espira e o 
número de espiras 
 
 
 
  Altura referente ao , que tem velocidade terminal e radial iguais 
 
 
 
 
 Regime de Stokes válido 
Chegamos à: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde, na fórmula do Stokes 50 , “ ” é o número de espiras, “ ” é a velocidade de 
operação e o resto são parâmetros do processo e/ou informações geométricas do ciclone. O 
valor de é igual para ciclones geometricamente similares, pois geralmente é uma 
constante. 
Considerando que queda de pressão expressa em metros de coluna de gás é proporcional à 
metade da velocidade de operação ao quadrado e inversamente proporcional à gravidade 
chegamos à expressão: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ou seja, a razão entre o Número de Euler e o Número de Euler baseado na velocidade 
de entrada é também uma função da geometria do ciclone. Ambos são constantes para 
[EQ 2017.2] OP1 Medronho P1 [por Rafael Ratier] 
ciclones geometricamente semelhantes. Um número de Euler pode ser classicamente definido 
por: 
 
 
 
 
 
 
A potência do soprador pode ser calculada por: 
 
 
 
 
Onde “ ” é a eficiência do soprador e “ ” é a vazão volumétrica total. Dizemos total porque 
se tivermos ciclones em série, “ ” será o somatório da vazão em cada um deles. 
Roteiro para Dimensionamento de uma bateria de Ciclones 
Iguais em paralelo 
Assume-se que se sabe: 
 Número de Stokes 
 Número de Euler 
 Velocidade de operação 
 Densidade da mistura 
 Vazão total do sobrador 
 Curva do tipo Y 
 Eficiência total mínima 
 Eficiência do soprador 
Queremos saber: 
 Diametro dos ciclones 
 Número de Ciclones 
 Potência do Soprador 
Fazemos: 
 Etapa 0) Escolher a família ou tipo de ciclones a ser projetado 
 Etapa 1) Calcular o diâmetro de corte capaz de produzir a eficiência total mínima 
requerida 
o Usar 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 . Escrever e m função de e substituir em 
 . Atentar ao fato que: 
 Para um dado , e que 
 Etapa 2) Com o valor de e sabendo , calcular 
 Etapa 3) Calcular o número de ciclones 
o Usar 
 
 
, onde 
 Etapa 4) Aproximar o número de ciclones para o inteiro mais próximo e repetir a 
etapa anterior, achando um novo . Com este, recalcular para um mesmo 
[EQ 2017.2] OP1 Medronho P1 [por Rafael Ratier] 
 Etapa 5) Calcular a queda de pressão com o Número de Euler conhecido 
 Etapa 6) Calcular potência do soprador 
Hidrociclones 
Hidrociclones são como ciclones normais, porém a mistura agora é entre líquidos e sólidos ao 
invés de gases e sólidos. 
O projeto de hidrociclones é parecido 
com o de ciclones. Existem então 
grupos adimensionais relevantes (com 
expressões específicas considerando a 
geometria) que são constantes para 
todos os ciclones de uma mesma 
família. Essa constância também é uma 
base comparativa, assim como fora no 
capítulo anterior. 
Nos hidrociclones passamos a escrever 
algumas coisas em função da Razão de 
Fluido . 
Os grupos adimensionais principais que 
usaremos são: 
 
Até aqui, nenhuma diferença do que já vimos em ciclones. Talvez você estranhe essas fórmulasporque elas já substituem algumas coisas como a velocidade de operação que foi substituída 
por uma função da vazão e da geometria do hidrociclone. 
O Stokes 50 agora nós chamamos de “de corte” porque temos uma razão de fluido no sistema. 
O seguinte conjunto de equação é válido para o projeto e a previsão de desempenho de uma 
família de hidrociclones: 
[EQ 2017.2] OP1 Medronho P1 [por Rafael Ratier] 
 
Onde cada um desses parâmetros “n” é um número que depende da família de hidrociclones. 
Exemplo: 
 
Só falta agora discutirmos como calcular a eficiência granulométrica. Duas fórmulas são 
usadas: 
Lynch e Rao 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rosin-Rammler-Bennett 
Modificada (RRB) 
 
 
 
 
 
 
Onde e são parâmetros que costumam valer 5 e 3, respectivamente. Mas podem assumir 
outros valores então cuidado! 
[EQ 2017.2] OP1 Medronho P1 [por Rafael Ratier] 
Centrífugas 
Separadores que rodam em um eixo, separando sólidos de líquidos. Existem duas grandes 
famílias de centrífugas: as filtrantes e as decantadoras: 
 
As decantadoras fazem o sólido se acumular nas suas paredes enquanto as filtrantes possem 
membranas por onde as partículas são tangencialmente ejetadas. Centrífugas alcançam 
campos ainda mais elevados que hidrociclones e por isso são equipamentos mais sofisticados e 
caros. 
As centrífugas decantadores podem ser: 
 Tubulares 
 De cesto 
 De passes multiplos 
 De discos 
 De parafuso transportador (sem fim) 
 
 
 
 
[EQ 2017.2] OP1 Medronho P1 [por Rafael Ratier] 
Cada centrífuga possui o seu próprio fator g . O fator g é uma razão entre a velocidade 
terminal da partícula no campo centrífugo e a velocidade terminal da partícula no campo 
gravitacional. Logo: 
 
 
 
 
 
 
 
Onde “ ” é a velocidade angular, que pode ser expressa em radianos por segundo ou rpm. A 
relação entre essas duas formas de expressar é dada por: 
 
 
 
 
Considere agora a seguinte centrífuga tubular: 
 
A eficiência granulométrica é dada pela razão entre as áreas das coroas entre R2 e r e R1 e R2: 
 
 
 
 
 
 
Considerando 
 Regime de Stokes 
 Partículas esféricas 
 V  Volume útil da centrífuga tubular 
Reescrevemos a equação acima para: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[EQ 2017.2] OP1 Medronho P1 [por Rafael Ratier] 
Onde podemos chegar às conclusões que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, substituindo o valor, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos escrever a vazão como sendo: 
 
 
Onde “ 
” é a velocidade terminal de uma partícula com num campo gravitacional 
e é um parâmetro da centrífuga que difere pra cada tipo de centrífuga, como por exemplo: 
No exemplo acima, “ ” é o número de discos. 
 
 
[EQ 2017.2] OP1 Medronho P1 [por Rafael Ratier] 
Da fórmula da vazão, para que duas centrífugas diferentes operem com , basta que 
suas velocidades terminais sejam iguais e logo: 
 
 
 
 
 
 
Devemos observar que o campo centrífugo nas centrífugas independe da vazão, pois ele é 
determinado pelo equipamento. Assim, se diminuirmos o tempo de residência, estaremos 
diminuindo a eficiência de separação*. Já nos hidrociclones, o campo centrífugo é 
determinado pela vazão, uma vez que esta determina os níveis de velocidades angulares da 
suspensão no interior do equipamento. Assim, apesar de o aumento da vazão também 
diminuir o tempo de residência nos hidrociclones, o efeito do aumento da velocidade 
angular prevalece e acaba por aumentar a eficiência de separação. Esta é uma diferença 
importante entre centrífugas e hidrociclones. Em centrífugas o aumento da vazão gera queda 
de eficiência. 
*Isso porque se a partícula passa pouco tempo dentro da máquina, como ela vai poder ser 
separada? 
A vazão altera também o diâmetro de corte, em proporções diferentes, tanto pra centrífugas 
quanto pra hidrociclones.