AP1 ProbEst Est I Gabarito

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PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA / ESTATÍSTICA I 
1ª. AVALIAÇÃO PRESENCIAL 
1º. Semestre de 2016 
Profa. Keila Mara Cassiano (UFF) 
(Pode usar calculadora) 
 
GABARITO 
 
Com os Dados do diagrama de ramo-e-folhas para a evolução do preço de determinado 
produto em dois estados diferentes A e B (em valores inteiros), resolva as questões 1 e 2. 
 
 Estado A Estado B 
 
 5 5 0 1 1 2 
 1 0 0 1 0 0 0 0 
 0 2 2 2 5 5 5 
 8 4 4 4 0 3 1 2 
 1 1 4 0 
 
1) (1,0 pt) Construa uma tabela de distribuição de freqüências (simples (absoluta e 
relativa)) para cada estado A e B. 
2) (1,0 pt) Determine o preço médio deste produto nos dois estados. 
Solução: 
1) Para a construção da tabela, consideramos a contagem simples para as freqüências 
absolutas e a razão entre as freqüências absolutas pelos totais para as freqüências relativas. 
É fácil perceber que os preços variam de 05 a 41 para o estado A e de 01 a 40 para o estado 
B. Assim, obtemos: 
Estado 
A 
Freqüência Simples Estado 
B 
Freqüência Simples 
Absoluta Relativa Absoluta Relativa 
05 2 15,39 01 2 13,33 
10 2 15,39 02 1 6,67 
11 1 7,69 10 4 26,66 
20 1 7,69 22 2 13,33 
30 1 7,69 25 3 20,00 
34 3 23,07 31 1 6,67 
38 1 7,69 32 1 6,67 
41 2 15,39 40 1 6,67 
Total 13 100,00 Total 15 100,00 
 
2) A média é dada por: �̅� =
∑𝑛𝑖𝑥𝑖
𝑛
, para isso, completemos as tabelas com a coluna 𝑛𝑖𝑥𝑖. 
 
A(xi) Freq. Abs (ni) nixi B (xi) Freq. Abs. (ni) nixi 
05 2 10 01 2 2 
10 2 20 02 1 2 
11 1 11 10 4 40 
20 1 20 22 2 44 
30 1 30 25 3 75 
34 3 102 31 1 31 
38 1 38 32 1 32 
41 2 82 40 1 40 
Total 13 313 Total 15 266 
 
Logo: 
Média A: 
�̅� =
∑𝑛𝑖𝑥𝑖
𝑛
=
313
13
= 𝟐𝟒, 𝟎𝟕. 
 
Média B: 
�̅� =
∑𝑛𝑖𝑥𝑖
𝑛
=
266
15
= 𝟏𝟕, 𝟕𝟑. 
 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
Dada a tabela de distribuição de freqüências para dados agrupados (onde as medidas 𝒙𝒊 
são obtidas através dos pontos médios das classes), resolva as questões de 3 a 8. 
 
Classes 𝑥𝑖 𝑛𝑖 𝑛𝑖𝑥𝑖 𝑛𝑖𝑥𝑖
2 
4 – 8 6 2 
8 – 12 10 
12 – 16 84 
 18 
 1 
Total 20 
 
3) Complete a tabela com os valores que estão faltando (inclusive os totais); 
4) Determine a média destes dados; 
5) Determine a moda; 
6) Determine o desvio-padrão, sabendo que 𝜎2 =
1
𝑛
(∑𝑛𝑖𝑥𝑖
2 − 𝑛�̅�2); 
7) Determine o coeficiente de assimetria; 
8) Determine o coeficiente de variação. 
 
Solução: 
3) Para completar a tabela, considere que as classes são sempre com a mesma 
amplitude, logo, completa-se com as classes (16-20), (20-24). Como os xi são os 
pontos médios das classes, então, completa-se com (8+12)/2=10, (12+16)/2=14, 
(20+24)/2=22. Ou simplesmente, acrescentar 4 ao xi anterior, dado que a amplitude 
de classe é 4. Para a freqüência absoluta, devemos observar que, tendo xi e nixi, 
pode-se obter ni através da divisão: 𝑛𝑖 =
𝑛𝑖𝑥𝑖
𝑥𝑖
 e observando o total, pode-se encontrar 
a freqüência absoluta faltante. Tendo as colunas xi e ni podem-se completar as duas 
últimas facilmente através de produtos de colunas. Assim, obtemos: 
 
Classes 𝑥𝑖 𝑛𝑖 𝑛𝑖𝑥𝑖 𝑛𝑖𝑥𝑖
2 
4 – 8 6 2 12 72 
8 – 12 10 10 100 1.000 
12 – 16 14 6 84 1.176 
16 – 20 18 1 18 324 
20 – 24 22 1 22 484 
Total 20 236 3.056 
 
4) Média: �̅� =
∑𝑛𝑖𝑥𝑖
𝑛
=
236
20
= 𝟏𝟏, 𝟖. 
5) Moda: a moda é o ponto médio da classe de maior freqüência: Como a maior 
freqüência é 10 e a classe com esta freqüência é 8 – 12, então a moda é seu ponto 
médio, ou seja: x
*
=10. 
6) Para calcular o desvio padrão, usemos a fórmula da variância 𝜎2 =
1
𝑛
(∑𝑛𝑖𝑥𝑖
2 −
𝑛�̅�2) 
 
𝜎2 =
1
𝑛
(∑𝑛𝑖𝑥𝑖
2 − 𝑛�̅�2) =
1
20
(3.056 − 20 × (11,8)2) =
1
20
(3.056 − 20 × 139,24) 
=
1
20
(3.056 − 2.784,8) =
271,2
20
= 13,56. 
 
 
Logo: O desvio padrão será: 
 
𝜎 = √13,56 = 𝟑, 𝟔𝟖. 
 
 
7) O coeficiente de assimetria é dado por 
 
𝑒 =
�̅� − 𝑥∗
𝜎
=
11,8 − 10
3,68
=
1,8
3,68
= 𝟎, 𝟒𝟗. 
 
8) O coeficiente de variação é dado por 
 
𝐶𝑉 =
𝜎
�̅�
× 100 =
3,68
11,8
× 100 = 0,3118 × 100 = 𝟑𝟏, 𝟏𝟖%. 
 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
Dado o conjunto de dados referente a valores de mercado de ações de uma multinacional 
(em ordem crescente), resolva as questões de 9 a 11. 
 
4 4 4 4 5 5 5 6 6 6 6 7 7 7 8 
8 8 8 9 9 9 10 10 11 11 15 15 15 15 17 
18 20 20 20 20 20 25 25 25 25 25 25 30 30 30 
 
9) (0,5 pt) Determine a mediana; 
10) (1,0 pt) Determine os quartis 𝑄1 e 𝑄3; 
11) (1,0 pt) Obtenha o Boxplot. 
 
 
Solução: 
9) Como os dados estão em ordem crescente, basta verificar que temos um conjunto com 45 
dados (impar), logo: 𝑄2 = 𝑥23 = 𝟏𝟎. 
10) Excluindo a mediana𝑥23, sobram 22 observações antes e 22 depois dela. Assim para o 
cálculo de 𝑄1 e 𝑄3, teremos quantidades pares. Logo: 
 
𝑄1 =
𝑥11+𝑥12
2
=
6+𝟕
𝟐
= 𝟔, 𝟓 e 𝑄3 =
𝑥33+𝑥34
2
=
20+20
2
= 𝟐𝟎. 
 
 
11) O intervalo interquartílico é dado por: 𝐼 = 𝑄3 − 𝑄1 = 20 − 6,5 = 𝟏𝟑, 𝟓. 
Para construir o Box-Plot, levemos em consideração o intervalo de (𝑄1 − 1,5𝐼; 𝑄3 + 1,5𝐼). 
𝑄1 − 1,5𝐼 = 6,5 − 1,5 × 13,5 = −𝟏𝟑, 𝟕𝟓 
𝑄3 + 1,5𝐼 = 20 + 1,5 × 13,5 = 𝟒𝟎, 𝟐𝟓 
Como os dados estão dentro deste intervalo, não há dados discrepantes, assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
Utilize o enunciado a seguir para resolver as questões de 12 a 16: 
Dois dados honestos (D1 e D2), com 6 faces cada, são lançados e verificados a face (d1 e d2) 
voltada para cima. Considere os eventos: 
𝐴 = {(𝑑1, 𝑑2), 𝑑1 > 𝑑2} 
𝐵 = {(𝑑1, 𝑑2), 𝑑1 + 𝑑2 < 5} 
𝐶 = {(𝑑1, 𝑑2), 𝑑1 × 𝑑2 = 𝑑2} 
𝐷 = {(𝑑1, 𝑑2), 𝑑1 − 𝑑2 > 3} 
 
12) (0,5 pt) Construa o espaço amostral Ω deste experimento; 
13) (0,5 pt) Explicite o evento A; 
14) (0,5 pt) Explicite o evento B; 
15) (0,5 pt) Explicite o evento C; 
16) (0,5 pt) Explicite o evento D. 
 
Solução: 
 
12) O espaço amostral do lançamento de dois dados de 6 faces é: 
 
Ω =
{
 
 
 
 
(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)
(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6)
(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6)
(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6)
(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)
(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}
 
 
 
 
 
 
6,5 
10 
20 
30 
4 
13) Observando em Ω, os pares cujos 𝑑1 > 𝑑2 são os que formam a matriz triangular 
inferior. 
 
A =
{
 
 
 
 (2,1),
(3,1), (3,2)
(4,1), (4,2), (4,3)
(5,1), (5,2), (5,3), (5,4)
(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5)}
 
 
 
 
 
 
14) Para este item, considere o espaço amostral das somas d1+d2. 
 
Soma =
{
 
 
 
 
(2), (3), (4), (5), (6), (7)
(3), (4), (5), (6), (7), (8)
(4), (5), (6), (7), (8), (9)
(5), (6), (7), (8), (9), (10)
(6), (7), (8), (9), (10), (11)
(7), (8), (9), (10), (11), (12)}
 
 
 
 
 
 
Podemos observar que os pares onde a somas é menor que 5 são apenas os pares: (1,1), (1,2), 
(2,1), (3,1), (2,2),(1,3). 
 
B={(1,1), (1,2), (2,1), (3,1), (2,2),(1,3)}. 
 
15) Para que d1*d2=d2 é preciso que d1=1. Logo: 
 
C={(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5) ,(1,6)}. 
16) Para este item, vamos construiro espaço amostral da diferença entre o primeiro e o 
segundo (d1-d2). 
 
 
Diferença =
{
 
 
 
 
(0), (−1), (−2), (−3), (−4), (−5)
(1), (0), (−1), (−2), (−3), (−4)
(2), (1), (0), (−1), (−2), (−3)
(3), (2), (1), (0), (−1), (−2)
(4), (3), (2), (1), (0), (−1)
(5), (4), (3), (2), (1), (0) }
 
 
 
 
 
 
Podemos observar que os pares tais que d1-d2>3 são: (5,1), (6,1), (6,2). 
Logo: 
D={(5,1), (6,1), (6,2)}.