2006.2 ED AD1 Gabarito

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AD1 – Equações Diferenciais – 2006-2
-Soluções
Questão 1: [2,5 pontos] Resolva o seguinte problema de valor inicial:
{
xy′ + (x+ 1)y = x
y(ln2) = 1
Solução: Primeiro escrevemos a equação na forma normal,
y′ +
(
x+
1
x
)
y = 1.
A solução geral desta última é
y(x) = e
−
∫
1 +
1
x
dx
∫ e
∫
1 +
1
x
dx
dx+ c

isto é
y(x) =
e−x
x
[∫
xex + c
]
=
e−x
x
[xex − ex + c] =
= 1− 1
x
+
c e−x
x
.
Impondo a condição inicial, temos:
1 = y(ln2) = 1− 1
ln2
+
c e−ln2
ln2
,
que após simplificar, nos dá c = 2.
A resposta procurada é y(x) = 1− 1
x
+
2 e−x
x
.
Questão 2: [2,5 pontos]
Calcule uma expressão f(x, y) = c, c ∈ R, que defina soluções implícitas y(x) da equação diferencial
(x2y2 − x2) dy − (4x3y2 − 2y2) dx = 0
Solução: A equação se escreve como
x2(y2 − 1) dy = 2y2(2x3 − 1) dx,
ou ainda
y2 − 1
2y2
dy =
2x3 − 1
x2
dx,
de onde vemos que se trata de uma equação separável.
Equações Diferenciais AD1 de Equações Diferenciais – 2006-2 2
Escrevendo a última equação acima na forma(
1
2
− 1
2y2
)
dy =
(
2x− 1
x2
)
dx,
podemos integrá-la imediatamente, obtendo
y
2
+
1
2y
= x2 +
1
x
+ c,
ou seja
y
2
+
1
2y
− x2 − 1
x︸ ︷︷ ︸
f(x,y)
= c
Questão 3 [2,5 pontos]
Considere a equação
y′ − x−1y + y2sen(x) = 0.
Calcule a solução φ(x) que satisfaz φ(pi/2) = pi/2;
Solução: A equação apresentada pode ser escrita como
y′ − 1
x
y = −sen(x) y2,
sendo portanto uma equação de Bernoulli.
A mudança de variáveis z = y−1 a transforma na equação diferencial linear
−z′ − 1
x
z = −sen(x)
A solução geral desta equação linear é
z(x) = e(−
∫
1/x dx)
[
e(
∫
1/x dx)sen(x) dx+ c
]
=
=
1
x
(∫
x sen(x) dx
)
.
Integrando por partes, obtemos
z(x) =
sen(x)− x cos(x) + c
x
.
Assim,
y(x) =
1
z(x)
=
x
sen(x)− x cos(x) + c.
Para determinar φ(x), impomos a condição pi/2 =
pi/2
sen(pi/2)− pi/2 cos(pi/2) + c , de onde concluí-
mos que c = 0.
A função pedida é
φ(x) =
x
sen(x)− x cos(x)
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Equações Diferenciais AD1 de Equações Diferenciais – 2006-2 3
Questão 4: [2,5 pontos]
a) Determine a função h(x) sabendo que uma solução particular da equação y′ + y = h(x) é
φ(x) = e−x +
1
1 + x
b) Calcule a solução geral da equação do item anterior.
Sugestão: y(x) = yh(x) + yp(x)
Solução: Já que φ(x) é solução, então(
e−x +
1
1 + x
)′
+
(
e−x +
1
1 + x
)
= h(x)
Assim,
h(x) = −e−x − 1
(1 + x)2
+ e−x +
1
1 + x
h(x) =
1
1 + x
− 1
(1 + x)2
Para calcular a solução geral da equação não homogênea, não é preciso utilizar a fórmula da
solução geral vista na aula 2. Observe que a solução geral, yh(x) da equação homogênea asssociada
y′ + y = 0, é
yh(x) = c e
−x
.A partir daí, utilizando a sugestão dada e notando que a própria φ(x) é uma solução particular,
podemos escrever imediatamente a solução geral da equação não-homogênea como sendo
y(x) = c e−x + φ(x),
i.é,
y(x) = c e−x + e−x +
1
1 + x
;
ou simplesmente
y(x) = c e−x +
1
1 + x
.
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