EP13 ED 2009 1 aluno

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Equações Diferenciais - Exercícios Programados 13
Semana de 11 a 17/05/2009
Exercício 1 Exprimir a solução geral do sistema de equações proposto em
termos de funções reais.
−→
X ′ =
(
3 −2
4 −1
)−→
X
Exercício 2 Calcular a solução do problema de valor inicial
−→
X ′ =
(
1 −5
1 −3
)−→
X,
−→
X (0) =
(
1
1
)
Exercício 3 Considere o problema de valor incial:

x′ = x+ y
y′ = 1
x(0) = 1
y(0) = 0
A figura abaixo, mostra uma parte do plano de fase dos sistema, juntamente
com a órbita que passa pelo ponto (1,0)
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Plano de Fase e órbita pelo ponto (1,0)
2
0
4
4
3
−4
0
x
y
5
−1
2−4
−2
−5
−2
1
−3
• Sem resolver o PVI explicitamente, marque na figura (de modo aproxi-
mado) o ponto P que corresponde ao menor valor que x(t) assume sobre
a órbita desenhada
• Determine, através de um exame visual da órbita, os comportamentos de
x(t) e de y(t) quando t→ ±∞
Observação: Ao desenhar o retrato de fase de um sistema por meio de setas, o sentido
das setas indica o sentido de crescimento do parâmetro, ou -de modo mais explícito
- o sentido de percurso de uma partícula que percorre a órbita seguindo os valores
crescentes do parâmetro.
• Obtenha a solução explícita do PVI acima, pelo seguinte procedimento de �eliminação�:
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1. Resolva primeiramente o problema (só para y(t)): y′ = 1, y(0) = 0
2. Substitua a função y, que você acabou de calcular no item anterior na primeira
equação do PVI original (eliminando portanto a variável y), e então resolva o
PVI (só para x(t)) formado por esta nova equação e o valor inicial x(0) = 1
• Usando agora as expressões calculadas para x(t) e para y(t), obtenha as coordenadas
do ponto P correspondente ao menor valor de x(t) nos pontos da órbita desenhada.
Trata-se, falando informalmente, do �ponto de retorno� da órbita.
• Calcule, usando as expressões obtidas para x(t) e y(t),
lim
t→−∞x(t), limt→+∞x(t), limt→−∞ y(t), limt→+∞ y(t)
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