Problemas de Cálculo e Equações Diferenciais

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Resposta: A derivada é \( f'(x) = \frac{\ln(x)}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x}} \). Explicação: 
Aplicamos a regra do produto e a derivada do logaritmo natural 
 
. 
 
430. Problema: Calcule o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(x+1)}{x} \). 
 Resposta: O limite é \( 1 \). Explicação: Utilizamos a definição de derivada para o 
logaritmo natural. 
 
431. Problema: Resolva a equação \( \ln(x) = 2 \) para \( x \). 
 Resposta: A solução é \( x = e^2 \). Explicação: Aplicamos a função exponencial para 
encontrar a solução. 
 
432. Problema: Determine o valor de \( \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 3x}{2x^2 + 5} \). 
 Resposta: O limite é \( \frac{1}{2} \). Explicação: Dividimos o numerador e o 
denominador pelo termo de maior grau. 
 
433. Problema: Encontre a solução geral da equação diferencial \( y'' - y' = 0 \). 
 Resposta: A solução geral é \( y(x) = C_1e^x + C_2 \), onde \( C_1 \) e \( C_2 \) são 
constantes arbitrárias. Explicação: Utilizamos o método da solução geral para equações 
diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. 
 
434. Problema: Determine o valor de \( \sin(\pi/3) \). 
 Resposta: \( \sin(\pi/3) = \frac{\sqrt{3}}{2} \). Explicação: Usamos as propriedades do 
triângulo equilátero ou do círculo unitário. 
 
435. Problema: Calcule a área da região delimitada pelas curvas \( y = \cos(x) \) e \( y = 
\sin(x) \) no intervalo \( [0, \pi] \). 
 Resposta: A área é \( 2 \). Explicação: Calculamos a integral da diferença entre as duas 
funções no intervalo de interseção. 
 
436. Problema: Determine a solução da equação diferencial \( y' + y = e^x \). 
 Resposta: A solução é \( y(x) = Ce^{-x} + e^x \), onde \( C \) é uma constante arbitrária. 
Explicação: Usamos o método da solução particular mais a solução geral da equação 
homogênea.