4 Equação de Bernoulli

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EQA 5415 
Fenômenos de Transferência I 
Prof. Adriano da Silva 
 
INTRODUÇÃO AOS FLUIDOS EM MOVIMENTO 
 
Objetivos: 
- Descrever matematicamente o movimento de um fluido. 
- Classificar vários escoamentos do fluido. 
- Obter a equação de Bernoulli e identificar as suas restrições. 
- Resolução de exemplos e problemas que demonstrem como a equação de Bernoulli é usada para estimar 
as variáveis do escoamento. 
 
Introdução 
Nas aplicações da engenharia e importante descrever os movimentos dos fluidos do modo mais 
simples que se possa justificar. Isso geralmente depende da precisão necessária. Muitas vezes precisões de 
mais ou menos 10% são aceitáveis, embora em algumas aplicações precisões maiores devem ser atingidas. 
As equações gerais de movimento são muito difíceis de resolver. Consequentemente é da responsabilidade 
de um engenheiro saber quais passos de simplificação podem ser feitos. Isso, obviamente, requer 
experiência e, mais importante, compreensão da física envolvida. 
Algumas hipóteses comuns usadas para simplificar uma dada situação do escoamento são 
relacionadas as propriedades do fluido. Por exemplo, sob certas condições, a viscosidade pode afetar 
significativamente o escoamento; em outras, os efeitos viscosos podem ser desprezados, simplificando 
muito as equações sem alterar as previsões significativamente. E sabido que a compressibilidade de um 
gás em movimento deve ser levada em conta, se as velocidades são muito elevadas. Porem os efeitos da 
compressibilidade não precisam ser levados em conta para se prever forças do vento sobre edifícios ou 
para prever qualquer outra quantidade física que e um efeito direto do vento. As velocidades do vento, 
simplesmente, não são altas o suficiente. Vários exemplos poderiam ser citados. As hipóteses apropriadas 
a serem usadas ficarão mais óbvias após nosso estudo dos movimentos dos fluidos. 
 
Descrição do Movimento 
 
Descrição Lagrangiana do Movimento 
Descrição do movimento em que as partículas individuais são observadas como função do tempo. 
 
Descrição Euleriana do Movimento 
Descrição do movimento em que as propriedades do escoamento são funções de espaço e tempo. 
 
Campo de escoamento 
 Região do escoamento que está sendo considerada (região de interesse do escoamento). 
 
Escoamento Permanente 
 Se as quantidades de interesse não dependem do tempo, o escoamento é chamado de escoamento 
permanente. 
 
CLASSIFICAÇÃO DO MOVIMENTO 
 
Escoamento Tri-Dimensional 
 Na descrição Euleriana do movimento o vetor velocidade, em geral, depende de três variáveis 
espaciais e do tempo, ou seja, 
 t,z,y,xvv 
. Tal escoamento é um escoamento tri-dimensional, porque o 
vetor velocidade depende de três coordenadas espaciais. 
 
 
 
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Escoamento Bi-Dimensional 
 Em muitas aplicações um escoamento tri-dimensional pode ser aproximado por um escoamento 
bidimensional. Em geral um escoamento bi-dimensional é um escoamento no qual o vetor velocidade 
depende apenas de duas variáveis espaciais e do tempo, ou seja, 
 t,y,xvv 
. 
 
Escoamento Uni-Dimensional 
 Um escoamento Unidimensional é um escoamento no qual o vetor velocidade depende apenas de 
uma variável espacial e do tempo, ou seja, 
 t,xvv 
. 
 
Escoamento Unidimensional: 
(a) Escoamento no interior de uma tubulação ; (b) Escoamento entre duas placas paralelas. 
 
Escoamento plano 
 O vetor velocidade depende das duas coordenadas, 
 y,xvv 
 
 
Escoamento Totalmente desenvolvido 
 Neste caso os perfis de velocidade não variam com relação às coordenadas espaciais na direção do 
escoamento. 
 
Ponto de estagnação 
 Ponto onde o fluido fica em repouso. 
 
Escoamento Uniforme 
 A velocidade e outras propriedades do fluido são constantes sobre a área. 
 
Perfis de velocidade uniformes 
Escoamento não-viscoso 
 Os efeitos viscosos não influenciam significativamente o escoamento. 
 
Escoamento viscoso 
 Os efeitos da viscosidade são significativos. 
 
Escoamento externo 
 Escoamentos existentes fora do corpo (material). 
 
Escoamento incompressível 
 A massa específica de cada partícula do fluido permanece constante. 
 
Escoamento compressível 
 Variações da massa específica influenciam o escoamento. 
 
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Escoamentos irrotacionais 
 Escoamentos nos quais as partículas do fluido não giram. 
 
Um escoamento viscoso pode ser classificado como laminar ou turbulento. 
 
Escoamento em Regime Laminar 
Escoamento sem nenhuma mistura significativa de partículas, mas com tensões de cisalhamento 
viscosas significativas (As moléculas se deslocam sem que haja a mistura entre as camadas de fluidos). 
 
Escoamento em Regime Turbulento 
O escoamento varia irregularmente, de tal forma que as quantidades do escoamento mostram 
variações aleatórias. As moléculas se deslocam em turbilhões, tem-se a transmissão de quantidade de 
movimento em muitos sentidos em virtude dos choques entre as moléculas (movimento das moléculas de 
fluido entre as camadas adjacentes) 
 O regime de escoamento depende de três parâmetros físicos que descrevem as condições do 
escoamento. Sendo estes: 
 - o comprimento de escala (diâmetro do duto ou o comprimento). 
 - a velocidade de escala. 
 - a viscosidade cinemática. 
Estes três parâmetros podem ser combinados em um único parâmetro adimensional, que serve como 
ferramenta para prever o regime de escoamento. Essa quantidade é o número de Reynolds, em homenagem 
a Osborne Reynolds (1842-1912), definida como; 


Lv
Re
; 


Dv
Re
; onde 



, assim 



Dv
Re
 
 Para escoamento no interior de um 
duto circular 
Para escoamento sobre uma 
placa plana 
Laminar 
2100Re
 
510x5Re
 
Transição 
40002100  Re
 
Turbulento 
4000Re
 
510x5Re
 
 
Camada limite laminar sobre uma placa plana: 
É caracterizada pela região que apresenta gradientes de velocidade e de tensões de cisalhamento 
(região do escoamento onde atuam as forças viscosas). 
 
CAMADA LIMITE FLUIDODINÂMICA 
 
Figura 1 - A região laminar, de transição e turbulenta de uma camada limite sobre uma placa plana. 
 
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Escoamento ao redor de um aerofólio. 
 
Linha de trajetória 
 É um conjunto de pontos atravessados por uma determinada partícula enquanto viaja no campo de 
escoamento. A linha de trajetória fornece um histórico das localizações da partícula. 
 
Linha de trajetória abaixo de uma onda em um tanque de água. 
 
Linha de emissão 
 É definida como uma linha instantânea, cujos pontos são ocupados por todas as partículas 
originadas de um ponto específico no campo de escoamento. As linhas de emissão nos dizem onde as 
partículas estão “agora”. 
 
Linha de emissão de um escoamento instável ao redor de um cilindro. 
 
Linha de corrente 
 É uma linha no escoamento em que o vetor velocidade é tangente a linha de corrente. 
 
Linha de corrente em um campo de escoamento. 
 
 
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 Para um escoamento permanente, linhas de trajetória, linhas de emissão e linhas de corrente são 
todas coincidentes. 
Aceleração 
 A aceleração de um partícula de um fluido é encontrada considerando-se uma partícula específica 
onde sua velocidade muda de 

(t) no tempo t para 

(t+t) no tempo (t+t), sendo assim definida: 
Dt
D
a


 
 O vetor velocidade v é dado, em termosde suas componentes, como: 
kwjviu ˆˆˆ 
 
 Usando a regra da cadeia do cálculo, a aceleração pode ser expressa como: 
dt
dz
zdt
dy
ydt
dx
xt
a












 
 Onde reconhecemos que: 
dt
dx
u 
 
dt
dy
v 
 
dt
dz
w 
 
 Assim, a aceleração pode ser expressa por: 
z
w
y
v
x
u
t
a












 
 As equações das componentes escalares da equação vetorial acima, para coordenadas cartesianas 
são escritas como: 
z
u
w
y
u
v
x
u
u
t
u
a x












 
z
v
w
y
v
v
x
v
u
t
v
a y












 
z
w
w
y
w
v
x
w
u
t
w
a z












 
Aceleração local 
 Termo da derivada temporal








t
 para a aceleração. 
Aceleração convectiva 
 Todos os outros termos que não da aceleração local 














z
w
y
v
x
u
. 
 
Dt
D
 é definida como a derivada substantiva ou material, e em coordenadas cartesianas é definida como: 
z
w
y
v
x
u
tDt
D












 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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A EQUAÇÃO DE BERNOULLI 
 
 Nesta seção apresentaremos a equação que provavelmente é a mais usada na aplicação de 
escoamentos de fluidos do que qualquer outra equação. Desta forma é importante conhecer suas limitações 
para a sua correta utilização. 
 Para a obtenção da equação de Bernoulli vamos aplicar a segunda lei de Newton para uma partícula 
de fluido. 
 
amF 
 
F = força resultante que atua sobre a partícula 
a = aceleração, definida por 
 
V
s
V
dt
ds
s
V
dt
dV
a






 Logo, 
s
V
mVF



 
 
Usaremos uma partícula infinitesimal, posicionada como mostra a figura abaixo, onde esta apresenta 
comprimento ds e área transversal dA. 
 
Figura 01 - Partícula se movendo ao longo de uma linha de corrente 
 
 As forças agindo na partícula são as forças devido à pressão e ao peso. Somando as forças na 
direção do movimento, a direção s, obtém-se: 
sadsdAgdsdAdAds
s
P
pPdA 







 cos
 
st
a s






 
Para escoamento permanente; 
s
a s



 
Onde; 
 cosdsdh
 
s
h


cos
 
 
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Dividindo (*) por dsdA e substituindo as equações acima obtém-se: 
s
V
s
h
g
s
P









 
Assumindo uma massa específica constante, e observando que: 





 






2ss
2 , o que resulta: 
0gh
P
2s
2












 
Isto é satisfeito se, ao longo da linha de corrente, 
constgh
P
2
2




 
Entre dois pontos na mesma linha de corrente, obtém-se: 
2
2
2
2
1
1
2
1 gh
P
2
gh
P
2








 
Esta é a conhecida equação de Bernoulli, em homenagem a Daniel Bernoulli (1700-1782). 
 
Nesta equação adota-se as seguintes suposições: 
 
 - Escoamento não-viscoso (não há tensões de cisalhamento). 
 - Escoamento permanente









0
t
 
 - Aplicada ao longo de uma linha de corrente 









s
a s
 
 - Massa específica constante 









0
s
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS 
 
3.157 - O fluido manométrico da figura é o mercúrio. Obtenha a expressão que forneça a vazão mássica de 
fluido através desta tubulação se o fluido que escoa é: 
a) gasolina 
b) nitrogênio a 20 C e 1 atm. 
 
 
 
 
 
 
3.158 – Na figura o fluido manométrico é Óleo Meriam Vermelho (d=0,827), determine: 
a) P2 
b) a vazão volumétrica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3.168 – Na figura ambos os fluidos estão a 20 0C. Se V1 = 0,52 m/s e as perdas são desprezadas, qual deve 
ser a leitura do manômetro, h em cm? 
 
 
 
 
3.169 – Uma vez iniciado com sucção suficiente, o escoamento no sifão da figura será contínuo, desde que 
haja líquido disponível no reservatório. Usando a equação de Bernoulli sem perdas, mostre que: 
a) a velocidade V2 na saída depende apenas da gravidade e da distância H; 
b) a menor pressão ocorre no ponto 3 e depende da distância L+H. 
 
 
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