GABARITO ATIVIDADE fundamentos Geometria II

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𝑨𝑻𝑰𝑽𝑰𝑫𝑨𝑫𝑬 𝟏 
GABARITO 
1) 
(a) (10 pontos) Defina triângulos congruentes. 
DEFINIÇÃO. Dois triângulos, um com vértices A, B e C, outro com vértices A’, B’ e C’, são 
IGUAIS ou CONGRUENTES se existe uma correspondência f entre os vértices do primeiro e 
os vértices do segundo, digamos f(A)=A’, f(B)=B’, f(C)=C’, tal que os ângulos correspondentes 
e os lados correspondentes sejam iguais (congruentes). 
Obs.: A correspondência f entre os vértices dos dois triângulos, f(A)=A’, f(B)=B’, f(C)=C’, 
significa que ao vértice A do primeiro triângulo faremos corresponder o vértice A’ do segundo 
triângulo, assim como ao vértice B faremos corresponder B’ e a C o vértice C’. Esta 
correspondência entre os vértices dos dois triângulos implica uma correspondência entre os lado 
se ângulos do primeiro triângulo com os do segundo. Assim, a correspondência dada implica 
que o lado AB corresponderá ao lado A’B’, AC ao lado A’C’ e BC ao lado A’C’, assim como o 
ângulo 𝐴 corresponde ao ângulo 𝐴′ ’, 𝐵 ao ângulo 𝐵′ e 𝐶 a 𝐶′ . 
(b) (10 pontos) Enuncie o axioma de congruência de triângulos. 
ENUNCIADO DO AXIOMA. Se 𝐴𝐵 = 𝐴′𝐵′ , Â = 𝐴′ e 𝐴𝐶 = 𝐴′𝐶′ então o triângulo ABC é 
congruente ao triângulo A’B’C’. 
Obs.: 
1. O enunciado do axioma de congruência de triângulos corresponde ao primeiro caso de 
congruência de triângulos (LAL). 
2. O enunciado do axioma nos diz que dados dois triângulos, um com vértices A, B e C, 
outro com vértices A’, B’ e C’, se existe uma correspondência f entre os vértices do 
primeiro e os vértices do segundo, digamos f(A)=A’, f(B)=B’, f(C)=C’, tal que 𝐴𝐵 =
𝐴′𝐵′ (𝑙𝑎𝑑𝑜), Â = 𝐴′ (ângulo) e 𝐴𝐶 = 𝐴′𝐶′ (lado), então os triângulos são congruentes. 
3. Note que o ângulo  é justamente o ângulo determinado pelos lados AB e AC do 
triângulo ABC, assim como o ângulo 𝐴′ é o ângulo determinado pelos lados 𝐴′𝐵′ e𝐴′𝐶′ 
do triângulo A’B’C’. Daí a utilização da sigla LAL para determinar a importância desta 
ordem: LADO, ÂNGULO (determinado pelos lados), LADO. Note que as 
correspondências ALL (ou LLA) não é um caso de congruência de triângulos (veja 
exercício 3 b) abaixo). 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS 
REGIONAL CATALÃO 
UNIDADE ACADÊMICA ESPECIAL DE MATEMÁTICA E TECNOLOGIA 
CURSO DE MATEMÁTICA EaD 
 Professor: Márcio Roberto Rocha Ribeiro Disciplina: Fundamentos de Geometria II 
(c) (10 pontos) No modelo de Moulton considere a figura 1 abaixo com dois triângulos. 
Estabeleça uma correspondência entre os vértices desses dois triângulos de tal forma que a 
hipótese do axioma de congruência seja atendida (LAL). 
 
 
 
 
 
 
Utilizando de nossa imaginação, podemos descolar os dois triângulos de Moulton da figura 1 e 
nomeá-los como triângulo ABC e triângulo A’B’C’ como mostrado abaixo: 
 
 
 
 
 
 
(d) (10 pontos) Valendo a hipótese do teorema de congruência nestes dois triângulos 
específicos do modelo de Moulton, dados na figura 1acima,podemos garantir que a tese também 
se verifica? Isto é, os triângulos dadosacimano modelo de Moultonsão congruentes? Justifique 
sua resposta. 
Não, no item anterior, c), vimos que os dois triângulos de Moulton satisfazem as hipóteses do 
axioma de congruência de triângulos, pois possuem LAL respectivos congruentes, contudo os 
dois triângulos ABC e A’B’C’ não são congruentes. De fato, veja na figura 1 que a reta AB é 
uma reta quebrada, logo o ângulo α é maior que o ângulo β. 
 
2)Após introduzirmos o axioma de congruência de triângulos conseguimos provar o primeiro 
axioma de paralelismo, a saber, o Axioma𝑃1sobre existência de paralelas.Assim, este último 
perdeu o posto de axioma e passou ao posto de teorema. 
(a) (10 pontos) Enuncie e prove o Teorema de Existência de Paralelas. 
ENUNCIADO.𝑷𝟏- Qualquer que seja a reta r e qualquer que seja o ponto P fora de r, existe 
PELO MENOS uma paralela a r por P. 
Prova do teorema. A prova consiste em construir uma paralela a r passando pelo ponto P fora 
de r. Faremos a construção em dois passos: 
figura 
1 
Note que já estamos estabelecendo uma correspondência entre 
os vértices nos triângulos de Moulton: A com A’, B com B’ e C 
com C’, de tal forma que AC = A’C’, 𝐴 = 𝐴′ e AB=A’B’ 
(LAL). De fato, os lados AC,A’C’, AB e A’B’são segmentos 
cartesianos e todos possuem a mesma media 1. Os ângulos 
𝐴 e𝐴′ são ângulos retos cartesianos, portanto possuem mesma 
medida. 
C 
A B 
β 
B’ 
A’ C’ 
α 
1. Da hipótese temos uma reta r e um ponto P fora de r. O teorema da perpendicular por 
um ponto fora de uma reta (da pag. 4, nº 13, do texto) garante a existência de uma reta t 
perpendicular a r por P; 
2. Como P está na reta t, podemos traçar uma reta s, passando por P, perpendicular à reta t 
(veja proposição da unidade 6, pag.8, nº17); 
A afirmação é que r é paralela a s. De fato, temos duas retas r e s cortadas pela reta t fazendo 
ângulos correspondentes iguais com t, então r e s são paralelas (veja lema da pag. 4, nº 13, do 
texto). 
(b) (10 pontos) E quanto ao Axioma 𝑃2 sobre unicidade de paralelas, pode ser provado também? 
(Sug.:utilize o modelo de Klein para justificar). 
Não, o axioma𝑃2 não pode ser provado, isto é, é impossível prová-lo. Para provar que é 
impossível provar precisamos de um modelo em que valha todos os axiomas, exceto o da 
unicidade de paralelas, este modelo é o de Klein. 
No modelo de Klein vamos exibir uma reta r e um ponto P fora de r pelo qual passam duas retas 
s e t, paralelas à reta r. 
1. Sejam: r a reta cartesiana 𝑦 = 0; 𝑃 = −
1
3
,
2
3
 ; s a reta cartesiana 𝑦 =
2
3
 e t a reta 
cartesiana 𝑦 = 𝑥 + 1. Ao restringirmos estas retas ao interior do círculo de raio 1, 
obtemos retas de Klein. A figura abaixo mostra estas retas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Note que r e s são paralelas cartesianas e, portanto, também paralelas de Klein. P é um ponto de 
s e de t (verifique!). As retas t e r são paralelas. De fato, como retas cartesianas elas se 
intersectam no ponto (−1,0) e este não é um ponto do modelo de Klein, pois está sobre a 
circunferência unitária. 
 
1 
−1 
s 
t 
r 
P 
3) 
(a) (10 pontos) Nos casos de congruência de triângulos são 6 as combinações possíveis de 
igualdade entre três lados (L) e os três ângulos (A) de dois triângulos: quais são essas 
combinações. 
As combinações possíveis devem envolver três elementos (lados ou ângulos) de um triângulo. 
Ao tentarmos todas as combinações possíveis obtemos 8 possibilidades: LAL, LLA, ALL, LLL, 
ALA, LAA, AAL, AAA. Como LLA e ALL representam a mesma possibilidade no triângulo, 
podemos considerar apenas uma delas, digamos ALL. Analogamente, LAA e AAL também 
representam a mesma possibilidade no triângulo e podemos considerar apenas uma delas, a 
saber, LAA. Portanto, temos apenas 6 possibilidades: LAL, ALL, LLL, ALA, LAA e AAA. 
 
(b) (10 pontos) Utilize a figura dada para mostrar que ALL não é um caso de congruência de 
triângulos. 
 
 
Na figura considere os triângulosABC e ABC’. Estabeleça a correspondência entre os vértices A 
com o próprio A, B com o próprio B e de C com C’. Então temos: 
1. o ângulo  é o mesmo para os dois triângulos, isto é, Â=Â; 
2. o lado é o mesmo para os dois triângulos, AB=AB; 
3. o lado BC é congruente ao lado BC’, já que eles são raios da circunferência de centro B, 
isto é, BC=BC’. 
Então temos a correspondência ALL entre os triângulos, mas os triângulos não são congruentes, 
pois o lado AC é maior que o lado AC’. 
 
Obs.: poderíamos objetar que estamos utilizando de um desenho para mostrar que ALL não é 
um caso de congruência de triângulos. De fato, este questionamento é pertinente. Então,vamos 
esclarecer e justificar este ponto. Na demonstração acima estamos considerando o modelo 
cartesiano, pois nele podemos construir os triângulos e circunferência como dados na figura 
acima. Contudo, estamos nos poupando de fazer os cálculos específicos para mostrar que os 
triângulos satisfazem as hipóteses, mas não a tese em ALL. Assim, o que estamos fazendo aqui 
é aceitando que podemos provar as afirmações 1, 2 e 3 acima no modelo cartesiano, com um 
pouco de esforço para encarar os cálculos, isto é, estamos nos poupando dos cálculos, que à 
rigor precisam ser feitos. 
 
(c) (10 pontos) Utilize a figura dada para mostrar que AAA não é um caso de congruência de 
triângulos. Considere BC paralelo a DE. 
 
 
 Considere os triângulos ABC e ADE, com a respectiva correspondência entre os vértices 
(A com A, B com D, C com E). Vamos mostrar que eles possuem ângulos correspondentes 
congruentes. De fato, considerando as retas paralelas BC e DE, cortada pela transversal BD. O 
exercício 3 desta unidade 7 nos garante que 𝐴𝐵 𝐶 = 𝐴𝐷 𝐸. Analogamente, considerando a 
transversal CE cortando as paralelas BC e DE, temos 𝐴𝐶 𝐵 = 𝐴𝐸 𝐷. Além disso 𝐴 é ângulo 
comum aos dois triângulos. Assim, os ângulos correspondentes são congruentes e temos a 
correspondência AAA, mas a figura nos mostra que os triângulos não são congruentes, lado AB 
não é congruente ao lado AD (na verdade nenhum dos lados correspondentes são congruentes). 
 
4) (10 pontos) No modelo de Klein mostramos a seguir como calcular a distância entre os 
pontos dados A=(0,0) e B=(1/2,0). 
Cálculo da distância de Klein de A a B: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Agora, de maneira análoga, calcule a distância de Klein do ponto A=(0,0) ao ponto D=(0,1/3). 
A 
B C 
D E 
 
𝑑𝑘 𝐴, 𝐵 = 𝑓𝑟 𝐴 − 𝑓𝑟 𝐵 = 
= 
1
2
ln 
𝐴𝑃
𝑃𝑄 − 𝐴𝑃
 −
1
2
ln 
𝐵𝑃
𝑃𝑄 − 𝐵𝑃
 = 
= 
1
2
ln 
1
2 − 1
 −
1
2
ln 
3
2
2 −
3
2
 = 
= 
1
2
ln 1 −
1
2
ln 3 = 
=
1
2
ln 3 
 
Cálculo da distância de Klein de Aa D. O segmento de Klein AD é um diâmetro sobre o eixo y. 
 
 
 
 
 
 
𝑑𝑘 𝐴, 𝐷 = 𝑓𝑟 𝐴 − 𝑓𝑟 𝐷 = 
= 
1
2
ln 
𝐴𝑃
𝑃𝑄 − 𝐴𝑃
 −
1
2
ln 
𝐷𝑃
𝑃𝑄 − 𝐷𝑃
 = 
= 
1
2
ln 
1
2 − 1
 −
1
2
ln 
4
3
2 −
4
3
 = 
= 
1
2
ln 1 −
1
2
ln 2 = 
 =
1
2
ln 2 
 
1 −1 
A 
D 
P 
Q