algebra linear e vetorial un (1)

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1
UNIDADE 1
MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
A partir desta unidade, você será capaz de:
• conceituar, operacionar e interpretar matrizes; 
• calcular o determinante de uma matriz; 
• utilizar a linguagem matricial e as operações com matrizes como instru-
mento para interpretar dados e soluções; 
• utilizar o cálculo de determinantes, a regra de Cramer e o escalonamento 
para a resolução e discussão de sistemas lineares;
• entender vetores;
• visualizar as aplicações de vetores;
• compreender a real importância de autovalores e autovetores;
• formalizar o estudo de transformações lineares.
Esta unidade está dividida em três tópicos. No final de cada um deles você 
encontrará atividades que reforçarão seu aprendizado.
TÓPICO 1 – MATRIZES
 
TÓPICO 2 – DETERMINANTES E INVERSÃO DE MATRIZES
 
TÓPICO 3 – SISTEMAS LINEARES E SEU ENSINO
2
3
TÓPICO 1
UNIDADE 1
MATRIZES
1 INTRODUÇÃO
A história da matemática retrata que os estudos das matrizes tiveram seu 
início por volta do século II a.C., presentes em textos chineses sobre aplicação de 
sistemas lineares. O livro chinês intitulado “Nove capítulos da arte matemática” 
apresenta, em seu capítulo VII, 19 problemas que apresentam o método de 
matrizes para resolver equações lineares. 
Ainda nas obras matemáticas de autoria chinesa é possível observar o uso 
de diagramas de formato quadrado. Eles também detêm o primeiro registro de 
um quadrado mágico. Um quadrado mágico é uma tabela quadrada de n lados, 
onde a soma dos números das linhas, das colunas e das diagonais é constante, 
sendo que nenhum destes números se repete. Este tipo de quadrado é também 
conhecido como Sudoko.
 Porém, o nome matriz veio somente no século XIII, com James 
Joseph Sylvester. E foi apenas no século XIX que o matemático inglês Arthur Cayley 
sistematizou a teoria das matrizes a partir da Teoria das Formas Quadráticas. 
Hoje, contudo, o estudo das formas quadráticas é um mero capítulo da Teoria 
das Matrizes.
Assim, foi somente há pouco mais de 150 anos que as matrizes tiveram 
sua relevância reconhecida. Atualmente, consideramos imprescindível estudar 
essas formas através da notação e metodologia matricial e não as encontramos 
apenas no estudo da matemática, mas também na engenharia, na informática, em 
tabelas financeiras etc. 
UNIDADE 1 | MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
4
 Arthur Cayley nasceu em 16 de agosto de 1821, em 
Richmond, na Inglaterra. Vindo de uma família de comerciantes, 
seu pai desejava que continuasse os negócios da família, porém, 
em 1835 ele ingressou no Kings College School, onde sua 
aptidão para a matemática se tornou mais aparente. Assim, seu 
pai resolveu enviá-lo para Cambridge.
Em 1838 ele começou seus estudos no Trinity College, em 
Cambridge, onde se graduou em 1842.
Em 1843 trabalhou fundamentalmente em álgebra, mas 
também trabalhou em geometrias não euclideanas e geometria 
n-dimensional, usando determinantes como elemento essencial.
A partir de 1849 trabalhou durante 14 anos como advogado, e 
desistiu da docência, pois continuar nela implicaria em tomar 
hábitos religiosos. Embora muito hábil nessa carreira, a considerava apenas como uma 
forma de sustento para prosseguir com a matemática. Durante esses 14 anos publicou 
aproximadamente 250 trabalhos matemáticos, a maioria sobre a teoria dos invariantes 
algébricos.
FONTE: Disponível em: <http://www.matematica.br/historia/cayley.html>. Acesso em: 30 
jan. 2016.
IMPORTANT
E
É importante destacar que o objetivo deste tópico é dar uma visão geral 
do conteúdo de matrizes, ou seja, pretende-se definir o que é uma matriz, alguns 
tipos de matrizes, suas operações aritméticas, como também estabelecer algumas 
de suas propriedades algébricas.
2 DEFINIÇÃO
Segundo Paiva (2013, p. 95), denomina-se "matriz do tipo m x n (lê-se m 
por n) toda tabela de números dispostos em m linhas e n colunas. Tal tabela deve 
ser representada entre parênteses ( ) ou colchetes [ ]". 
A matriz é representada por uma letra maiúscula do alfabeto e cada item 
da matriz é denominado de elemento. Os elementos de uma matriz podem ser 
números reais ou complexos ou até mesmo expressões algébricas, e são chamados 
de entradas da matriz. Vejamos alguns exemplos: 
( ) ( )
( ) ( )
1 5 - i7 - 5 9 cos x sen x 8 3
A= B= C= D= 4i 1
- sen x cos x 5 4 6 3 0 - 2 - 5i
 
      
            
 
TÓPICO 1 | MATRIZES
5
Uma matriz é real se os seus elementos são números reais ou expressões 
que assumem valores reais.
3 MONTAGEM DE UMA MATRIZ
Acompanhe a seguir uma situação de montagem de uma matriz. 
Um professor de matemática que trabalha de segunda a sexta fez o 
seguinte número de aulas por dia em três semanas de trabalho: 
• Semana 1 - 5, 2, 7, 8, 6.
• Semana 2 - 10, 7, 6, 8, 9.
• Semana 3 - 4, 7, 3, 8, 6.
Imagine uma matriz que represente nas linhas as semanas de trabalho 
e nas colunas as aulas dadas, nos cinco dias da semana em ordem cronológica. 
Como são três semanas de trabalho, teremos uma matriz com apenas três linhas. 
Já os dias trabalhados são cinco, portanto, o número de colunas será de cinco. 
Para tanto, a matriz resultante do fato acima ficará assim: 
3x5
5 2 7 8 6
A= 10 7 6 8 9
6
 
4 7 3 8
 
 
 
 
 
Concluindo, a matriz acima será 3x5, pois tem três linhas e cinco colunas. 
É importante lembrar que sempre escrevemos primeiro o número de linhas e 
depois o número de colunas.
3.1 REPRESENTAÇÃO GENÉRICA DE UMA MATRIZ 
Os números que aparecem na matriz são chamados de elementos da 
matriz. Vejamos, por exemplo, a matriz que criamos anteriormente: 
3x5
5 2 7 8 6
A= 10 7 6 8 9
4 7 3 8 6
 
 
 
 
 
UNIDADE 1 | MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
6
Nela, podemos observar que: 
• O elemento 5 está na primeira linha e na primeira coluna. Indicamos por a11 e 
lemos “o elemento a um um é igual a 5”. 
• O elemento 10 está na segunda linha e na primeira coluna. Indicamos por a21 e 
lemos “o elemento a dois um é igual a 10”. 
• O elemento 4 está na terceira linha e na primeira coluna. Indicamos por a31 e 
lemos “o elemento a três um é igual a 4”. 
• O elemento 2 está na primeira linha e na segunda coluna. Indicamos por a12 e 
lemos “o elemento a um dois é igual a 2”. 
• O elemento 3 está na terceira linha e na terceira coluna. Indicamos por a33 e 
lemos “o elemento a três três é igual a 3”. 
Assim, devemos considerar: 
• Para representar o elemento de uma matriz usamos uma letra com dois índices: o 
primeiro indica em que linha o elemento se encontra, e o segundo, em que coluna. 
Por exemplo: a23 é o elemento que está na segunda linha e na terceira coluna.
• O elemento genérico de uma matriz A será indicado por aij, em que i representa 
a linha e j representa a coluna na qual o elemento se encontra; ele é chamado de 
ij-ésimo elemento da matriz.
A matriz A, do tipo mxn, será escrita, genericamente, do seguinte modo: 
Os m elementos correspondentes às linhas serão localizados pelo índice i e 
os n elementos correspondentes às colunas serão localizados pelo índice j.
ATENCAO
( Lemos: matriz A, dos ( )ij mxnA a , com 1 i m, 1 j n e i, j IN= ≤ ≤ ≤ ≤ ∈
elementos aij do tipo m por n, com i assumindo valores de 1 até m e j assumindo 
valores de 1 até n sendo i e j pertencentes ao conjunto dos números naturais). 
1 2 3
 11 12 13 1n
 
 21 22 23 2n
m m m mn mxn
a a a a
a a a aA = 
 
a a a a 
 
 
 
 
 
 
 


   
TÓPICO 1 | MATRIZES
7
Podemos classificar as matrizes quanto ao seu tipo, ou melhor 
dizendo, sua ordem. Generalizando, podemos escrever o tipo, ou ordem, 
da matriz por: m x n. Observe a classificação das matrizes utilizadasnos 
exemplos do item 2: 
( )
 8 3
A= matriz de ordem 2x2 dois por dois .
 5 4
 
 
 
( )
7 - 5 9
B= matriz de ordem 2x3 dois por três .
6 3 0
 
 
 
( ) ( )
( ) ( ) ( )
cos x sen x
C= matriz de ordem 2x2 dois por dois .
- sen x cos x
 
 
 
( )
1 5 - i
D= matriz de ordem 3x2 três por dois .4i 1
- 2 - 5i
 
 
 
 
 
3.2 ELEMENTOS CORRESPONDENTES
Dadas duas matrizes de mesma ordem (ou tipo), A e B, 
11 12 13 1n 11 12 13 1n
21 22 23 2n 21 22 23 2n
m1 m2 m3 mn m1 m2 m3 mnmxn mxn
a a a a b b b b
 a a a a b b b b 
 e B 
a a a a b b b b
   
   
   =
   … … … … … … … …
   
   
dizemos que os elementos 
de mesmo índice (linha e coluna) são correspondentes. 
Assim:
a11 e b11 são correspondentes.
a12 e b12 são correspondentes.
a13 e b13 são correspondentes.
amn e bmn são correspondentes.
 
UNIDADE 1 | MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
8
3.3 IGUALDADE DE MATRIZES
Duas matrizes A e B de mesma ordem mxn são iguais quando todos os 
seus elementos correspondentes são iguais, isto é, sendo A = (aij)mxn e B = (bij)mxn, 
temos A = B quando aij = bij para todo i (i = 1, 2, 3, ..., m) e todo j (j = 1, 2, 3, ..., n).
Por exemplo, para que as matrizes a 5 - 1 dA= e B=
3 b c 4
   
   
   
sejam iguais, 
devemos ter: 
4 TIPOLOGIA DAS MATRIZES 
Nas representações de matrizes, temos nomenclaturas específicas para 
cada tipo de matriz, conforme apresentadas a seguir. 
Matriz Coluna
Dizemos que A é uma matriz coluna quando A for de ordem m x 1, ou 
seja, quando o n = 1.
 
Por exemplo: 
5
a) 2 é uma matriz coluna de ordem 3x1.
- 1
 
 
 
 
 
 
 3
 2 
b) - 5 é uma matriz coluna de ordem 5x1.
 4
- 8 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esse tipo de matriz é importante para o estudo da Álgebra Linear, pois é 
comumente utilizada para representar vetores.
IMPORTANT
E
a = - 1
b = 4
 .
c = 3
d = 5






TÓPICO 1 | MATRIZES
9
Matriz Linha
Dizemos que A é uma matriz linha quando A for de ordem 1 x n, ou seja, 
quando o m = 1. Por exemplo: 
a) [1 3 -2] é uma matriz linha de ordem 1 x 3. 
b) [cos x 1 0 sen x] é uma matriz linha de ordem 1 x 4. 
Matriz Nula
No conjunto das matrizes, a matriz que tem todos os elementos iguais a 
zero é denominada de matriz nula. São exemplos da matriz nula:
( )
0 0 0 0 0
0 0
A 0 0 B C 0 0 0 D 0 0 0 0
0 0
0 0 0 0 0
   
    = = = =        
   
Matriz Transposta
Dada uma matriz A = (aij)mxn, denominamos transposta de A (e indicamos 
At) a matriz At = (a’ji)nxm, tal que a’ji = aij. Em outras palavras, a matriz At é obtida 
trocando-se as linhas pelas colunas da matriz A. Exemplos:
t2 4 2 8a) A transposta de A é a A .
8 6 4 6
   
= =   
   
Observe que:
a11 = 2 = a’11
a21 = 8 = a’12
a12 = 4 = a’21
a22 = 6 = a’22
t
1 4
1 2 3
b) A transposta de B é B 2 5 .
4 5 6
3 6
 
   = =       
t
a b c a d g
c) A transposta de C d e f é C b e h .
g h i c f i
   
   = =   
   
   
UNIDADE 1 | MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
10
Acadêmico(a), note que, se A= (a
ij
) é de ordem mxn, então At = (a’
ij
) é de 
ordem nxm.
IMPORTANT
E
Matriz Oposta
Dada uma matriz A = (aij)mxn, a sua matriz oposta será definida por – A 
= (– aij)mxn. Isso significa que a matriz oposta da matriz A é aquela que possui 
elementos opostos correspondentes ao da matriz A. Vejamos os exemplos:
2 - 4 - 2 4
a) A matriz oposta de A= é - A= .
8 6 - 8 - 6
   
   
   
Observe que:
a11 = 2 e é oposto de (-a11) = - 2
a21 = 8 e é oposto de (-a21) = - 8
a12 = - 4 e é oposto de (-a12) = 4
a22 = 6 e é oposto de (-a22) = - 6
1 - 2 3 - 1 2 - 3
b) A matriz oposta de B = é - B = .
4 5 - 6 - 4 - 5 6
   
   
   
a b c - a - d - g
c) A matriz oposta de C = d e f é - C = - b - e - h .
g h i - c - f - i
   
   
   
   
   
Matriz Quadrada 
Quando m = n, ou seja, o número de linhas for igual ao número de colunas, 
dizemos que a matriz é quadrada de ordem nxn ou simplesmente de ordem n. 
Nesse caso, teremos ordem do tipo 1x1, 2x2, 3x3, 4x4, e assim por diante. Como já 
sabemos que o número de linhas é igual ao número de colunas, basta informar a 
ordem, ou seja, uma matriz 1x1 pode ser simplesmente classificada como matriz 
de ordem 1, uma matriz 2x2 de matriz de ordem 2, uma matriz 3x3 de matriz de 
ordem 3, uma matriz 4x4 de matriz de ordem 4 e assim sucessivamente. Exemplos: 
TÓPICO 1 | MATRIZES
11
3 5
A 
2 6
 
=  
 
é uma matriz quadrada de ordem 2 ( m = n = 2) 
5 3 10 
B = - 1 - 4 6 
12 0 - 
2
 
 
 
 
 
 
 
é uma matriz quadrada de ordem 3 ( m = n = 3) 
Numa matriz quadrada de ordem n, os elementos a
11
, a
22
, a
33
, ... a
nn
 formam a 
diagonal principal da matriz, isto é, onde os elementos a
ij
 possuem i = j. 
IMPORTANT
E
A outra diagonal da matriz quadrada é denominada diagonal secundária, que é composta 
pelos elementos a
ij
 com i + j = n + 1. 
diagonal principal
 3 2 
A= 
- 1 6
 
 
 
diagonal principal
 1 3 10 
B= - 3 0 8
 5 - 1 6
 
 
 
 
 
diagonal secundária
 3 2 
C = 
- 1 6 
 
 
 
diagonal secundária
 1 3 10 
D = - 3 0 8
 5 - 1 6
 
 
 
 
 
UNIDADE 1 | MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
12
Acadêmico(a), as classificações a seguir são utilizadas somente para 
matrizes quadradas, ou seja, matrizes de ordem n.
Matriz Triangular
Em uma matriz quadrada, quando os elementos acima ou abaixo 
da diagonal principal são todos nulos (iguais a zero), dizemos que a matriz é 
triangular. Exemplos:
 7 0 0
A = 8 1 0
 2 9 - 5 
 
 
 
 
 
todos os elementos acima da diagonal principal da matriz A 
são nulos.
1 4 76
 
0 3 85
B
0 0 03
 
0 0 04
 
 
 =
 
 
 
todos os elementos abaixo da diagonal principal da matriz B 
são nulos.
Em uma matriz triangular, temos a
ij
 = 0 para i > j ou a
ij
 = 0 para i < j.
ATENCAO
Matriz Diagonal
Em uma matriz quadrada de ordem n, quando todos os elementos 
posicionados acima e abaixo da diagonal principal são nulos, denominamos de 
matriz diagonal. Exemplos:
1 0 0 0
 2 0 0
0 5 0 0 6 0 
A = B = 0 1 0 C = 
0 0 9 0 0 - 3 
 0 0 8
0 0 0 2
 
                
 
TÓPICO 1 | MATRIZES
13
Em uma matriz diagonal, temos a
ij
 = 0 para i ≠ j.
ATENCAO
Matriz Identidade 
Em uma matriz quadrada de ordem n, quando todos os elementos 
da diagonal principal são iguais a 1 e os outros elementos são iguais a zero, 
denominamos de matriz identidade e seu símbolo é In (onde n representa a ordem 
da matriz). Exemplos: 
5 3 2
1 0 00
 1 0 0
0 1 00 1 0 
I I 0 1 0 I 
0 0 10 0 1 
 0 0 1
0 0 0 1
 
      = = =          
 
Em uma matriz identidade, temos a
ij
 = 1 para i = j e a
ij
= 0 para i ≠ j.
ATENCAO
Matriz Simétrica
Em uma matriz quadrada, quando tiver o elemento aij igual ao elemento 
aji, a matriz é denominada de simétrica. Exemplos:
1 2 69
 1 4 5
2 3 72 
 A B 4 2 6 C 
6 7 71 
 5 6 3
9 2 14
a c
c b
 
      = = =          
 
UNIDADE 1 | MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
14
Acadêmico(a), perceba que os termos abaixo da diagonal principal são uma 
reflexão dos termos acima da diagonal principal.
ATENCAO
5 PROBLEMAS QUE ENVOLVEM A DEFINIÇÃO DE MATRIZES 
E SUAS TIPOLOGIASAcadêmico(a), neste item vamos resolver algumas situações que envolvem 
os conceitos e definições estudadas até aqui.
Exemplo 1: Dada a seguinte matriz quadrada de ordem 2, escreva a matriz 
A, com aij assumindo os seguintes valores: 
ij
ij
a 2 , 
A .
a 0, 
i j parai j
parai j
= + ≥
=  = <
Resolução: Como a matriz é 2x2, ela deverá ter quatro elementos, conforme 
a matriz genérica:
11 12
21 22 2 2
a a
A
a a x
 
=  
 
Desta forma, os elementos em que, na sua posição, o número de linhas (i) 
for maior ou igual ao número de colunas (j), serão determinados pela fórmula “i + 
2j”, que é o que afirma a primeira condição, Assim,ija i 2 j, para i j.= + ≥
a11 = 3 (sendo i = 1 e j = 1, então: i + 2j = 1 + 2·1 = 3) 
a21 = 4 (sendo i = 2 e j = 1, então: i + 2j = 2 + 2·1 = 4) 
a22 = 5 (sendo i = 1 e j = 2, então: i + 2j = 1 + 2·2 = 5)
Já os elementos em que na sua posição o número de linhas (i) for menor 
que o número de colunas (j), serão determinados pela fórmula 
Neste caso, apenas o elemento de posição a12 obedece este critério, assim: a12 = 0 
(neste caso em que i = 1 e j = 2 (i < j), o valor deste elemento é 0). 
ij"a 0, para i j"= <
TÓPICO 1 | MATRIZES
15
Portanto, a matriz A será igual a: 
2 2
3 0
A
4 5
 
=  
  x
Exemplo 2: Construa a matriz quadrada de ordem 3, 
Resolução: Tomemos, inicialmente, a matriz genérica de ordem 3.
2 2, .i iC c j sendoc j i j= = +
11 12 13
21 22 23
31 32 33 3x3
c c c
C c c c
c c c
 
 =  
 
 
Agora, basta aplicar a fórmula para definir o valor de cada 
elemento, levando em consideração sua posição na matriz. Lembre-se de que o i 
representa a posição do elemento em relação à linha e o j representa a posição do 
elemento em relação à coluna.
2 2
ijc i j= +
2 2
ijc i j= +
2 2
11c 1 1 1 1 2= + = + =
2 2
21c 2 1 4 1 5= + = + =
2 2
31c 3 1 9 1 10= + = + =
2 2
12c 1 2 1 4 5= + = + =
2 2
22c 2 2 4 4 8= + = + =
2 2
32c 3 2 9 4 13= + = + =
2 2
13c 1 3 1 9 10= + = + =
2 2
23c 2 3 4 9 13= + = + =
2 2
33c 3 3 9 9 18= + = + =
Assim, a matriz C será igual a: 
3x3
2 5 10
C 5 8 13
10 13 18
 
 =  
 
 
UNIDADE 1 | MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
16
Acadêmico(a), observe que temos aqui uma matriz simétrica.
ATENCAO
1 2 3
2 1
A x y z
z
 
 =  
  
 Exemplo 3: A matriz admite a transposta
1 2
2 1 .
3 6
t
x
A x y
y y z
 
 = − 
 − 
 Nestas condições, calcule x, y e z.
Resolução: Denominamos de matriz transposta de A a matriz At = (a’ji)
nxm, tal que a’ji = aij. Em outras palavras, a matriz At é obtida trocando-se as linhas 
pelas colunas da matriz A. Assim, podemos estabelecer a seguinte relação para a 
matriz genérica de A:
11 12 13
21 22 23
31 32 33 3x3
a a a
A a a a
a a a
 
 =  
 
 
11 11a a'=
21 12a a'=
31 13a a'=
12 21a a'=
22 22a a'=
32 23a a'=
13 31a a'=
23 32a a'=
23 33a = a'
TÓPICO 1 | MATRIZES
17
O elemento a
ij
 corresponde à matriz A e o elemento a’
ij
 corresponde à matriz At 
(transposta de A). Acadêmico(a), note também que os elementos da diagonal principal não 
se alteram, visto que i = j.
ATENCAO
Considerando a matriz A e sua transposta At, podemos estabelecer:
11 11a a' 1 1= ⇔ =
21 12a a' x x= ⇔ =
31 13a a' 2 2= ⇔ =
12 21a a' 2 x 2 x 4= ⇔ = − ⇔ =
22 22a a' y y= ⇔ =
32 23a a' 1 1= ⇔ =
13 31a a' 3 3y y 1= ⇔ = ⇔ =
23 32a a' z 6 y Como sabemos que y 1, então : z 6 1 z 5= ⇔ = − = = − ⇔ =
33 33a a' z z= ⇔ =
Portanto, x = 4, y = 1 e z = 5.
Exemplo 4: Dadas as matrizes ( )ij ij2x2
2 1
A a ,a 3i j e B ,
x x y
 
= = − =  + determine x e y sabendo que A = B.
Resolução: Vamos iniciar, determinando os elementos da matriz A.
11 12
21 22 2 2
a a
A
a a x
 
=  
 
ija 3i j= −
11a 3 1 1 2= ⋅ − =
21a 3 2 1 5= ⋅ − =
12a 3 1 2 1= ⋅ − =
22a 3 2 2 4= ⋅ − =
UNIDADE 1 | MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
18
Assim, a matriz A é: 
2 2
2 1
A
5 4 x
 
=  
 
Sabemos que A = B, para isso, seus elementos também devem ser iguais. 
Desta forma, temos que:
11 11a b 2 2= ⇔ =
21 21a b 5 x= ⇔ =
12 12a b 1 1= ⇔ =
22 22a b 4 x y Como x 5, então : 4 5 y y 1= ⇔ = + = = + ⇔ = −
Exemplo 5: Uma matriz A é simétrica se, e somente se, A = At. Determine
 o valor de a para que A = seja simétrica.
21 A
 2
a
a
 
=  
 
A condição de Resolução: A matriz transposta de A é: 2
1 
A
 2
t a
a
 
=  
 
simetria nos garante que A = At e, como vimos no exemplo 3,
11 11a a'=
21 12a a'=
12 21a a'=
22 22a a'=
Neste caso:
11 11a a' 1 1= ⇔ =
2
21 12a a' a a= ⇔ =
2
12 21a a' a a= ⇔ =
22 22a a' 2 2= ⇔ =
TÓPICO 1 | MATRIZES
19
Para descobrirmos o valor de a, basta calcular a equação a = a2.
a2 – a = 0 (é uma equação do segundo grau incompleta, pois falta o termo c)
a ( a – 1) = 0
Desta forma a’ = 0 e,
a” – 1 = 0
a” = 1
Portanto, para que as matrizes sejam simétricas, o valor de a deve ser 0 ou 1.
6 OPERAÇÕES ENTRE MATRIZES
No desenvolvimento do cálculo com matrizes realizamos operações 
matemáticas seguindo regras específicas. Veremos, a seguir, estas regras, que são 
aplicadas na adição, subtração e multiplicação.
6.1 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE MATRIZES
Inicialmente, consideremos duas matrizes A e B do tipo 2x3: 
 3 5 - 2 
A =
 4 7 - 6 
 
 
 
 1 - 4 - 1 
 B =
 6 3 2
 
 
 
Agora vamos determinar uma matriz C, tal que seus elementos sejam 
resultantes da soma dos elementos de A com os elementos de B, da seguinte 
forma: cij = aij + bij. Portanto, os seis elementos de C (2x3 = 6) serão calculados a 
partir da mesma posição dos elementos em A e B. Vejamos como ficará a adição 
dessas duas matrizes. 
( )12 12 12 5 – 4 5 – 4 1c a b= + = + = =
22 22 22 7 3 10c a b= + = + =
( ) ( )13 13 13 – 2 – 1 – 2 – 1 – 3c a b= + = + = =
( )23 23 23 – 6 2 – 4c a b= + = + =
11 11 11 3 1 4c a b= + = + =
21 21 21 4 6 10c a b= + = + =
É simples, mas precisamos 
ter atenção, principalmente 
nos sinais! 
UNIDADE 1 | MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
20
Portanto: A + B = C e podemos operacionalizar da seguinte maneira:
Note, acadêmico(a), que somente é possível somar matrizes que possuem a 
mesma ordem, isto é, o mesmo número de linhas e colunas.
IMPORTANT
E
Assim podemos concluir: 
• Denominamos de matriz C a soma da matriz A com a matriz B ou a soma das 
matrizes A e B. 
• Dadas duas matrizes A e B do mesmo tipo mxn, a soma da matriz A com a 
matriz B, que representamos por A + B, é a matriz C do tipo mxn que é obtida 
adicionando cada elemento correspondente de A e B. 
Definição: Sejam duas matrizes A = (aij) e B = (bjj) de ordem mxn, a soma 
A + B é a matriz C = (cij) de ordem mxn, tal que: cij = aij + bij , para i = 1, 2, 3, ..., m e 
j = 1, 2, 3, ..., n.
( ) ( ) ( )
( )
 3+1 5+ - 4 - 2 + - 13 5 - 2 1 - 4 - 1 4 1 - 3 
+ = =
 4+6 7+3 - 6 +24 7 - 6 6 3 2 10 10 - 4 
      
      
      
Para a subtração de matrizes utilizaremos a ideia de soma com a matriz 
oposta. Assim, sendo A e B duas matrizes do tipo mxn, denominamos diferença entre A e B 
(representada por A - B) a soma da matriz A com a matriz oposta de B, isto é, A - B = A + (-B).
ATENCAO
Vejamos, também, um exemplo de subtração de matrizes. Dadas as matrizes 
A e B anteriores e vamos determinar a matriz D resultante da subtração A – B.
 3 5 - 2 1 - 4 - 1 
A = B =
 4 7 - 6 6 3 2
   
   
   
TÓPICO 1 | MATRIZES
21
( ) ( ) ij ij ijD A B A B d a b= − = + − ⇔ = + −
( ) ()11 11 11 3 – 1 3 – 1 2d a b= + − = + = =
( ) ( )21 21 21 4 – 6 4 – 6 – 2d a b= + − = + = =
( ) ( )12 12 12 5 4 5 4 9d a b= + − = + + = + =
( ) ( )22 22 22 7 – 3 7 – 3 4d a b= + − = + = =
( ) ( ) ( )13 13 13 – 2 1 – 2 1 – 1a bd = + − = + + = + =
( ) ( ) ( )23 23 23 – 6 – 2 – 6 – 2 – 8d a b= + − = + = =
Portanto: D = A + (– B) e podemos operacionalizar da seguinte maneira:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
 3 + - 1 5 + + 4 - 2 + + 13 5 - 2 - 1 + 4 + 1 
D = + = =
 4 + - 6 7 + - 3 - 6 + - 24 7 - 6 - 6 - 3 - 2
    
    
     
Propriedade da Adição de Matrizes 
Assim como os números, as matrizes possuem propriedades operatórias. 
Com a definição dada para adição de matrizes é possível verificar que essas 
propriedades, utilizadas para a soma de números reais, também são válidas para 
a adição de matrizes. Estas propriedades poderão auxiliar nas operações entre 
matrizes, pois nos possibilitam resolvê -las mais rapidamente. 
Propriedade Associativa: Para quaisquer matrizes A, B e C, de mesma 
ordem mxn, vale a igualdade:
(A + B) + C = A + (B + C)
Prova: [A + (B + C)]ij = aij + (B + C)ij = aij + (bij + cij) = (aij + bij) + cij = (A + B)ij + cij =
= [(A + B) + C]ij
Propriedade Comutativa: Para quaisquer matrizes A e B, de mesma 
ordem mxn, vale a igualdade:
3 - 1 5 + 4 - 2 +1 2 9 - 1 
 ÛD = 
4 - 6 7 - 3 - 6 -2 - 2 4 - 8 
   
   
   
⇔
UNIDADE 1 | MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
22
A + B = B + A
Prova: (A + B)ij = aij + bij = bij + aij = (B + A)ij
Propriedade do Elemento neutro: Existe uma matriz nula 0 que somada 
com qualquer outra matriz A de mesma ordem fornecerá a própria matriz A, isto é:
0 + A = A
Prova: Consideremos que A + U = A, para qualquer matriz A, mxn. 
Comparando os elementos correspondentes, temos que aij + uij = aij, ou seja, uij = 
0, para i = 1, 2, 3, ..., m e j = 1, 2, 3, ..., n. Portanto, a única matriz que satisfaz 
à equação acima é a matriz em que todos os seus elementos são iguais a zero. 
Denotamos esta matriz por: matriz nula e representamos por 0.
Propriedade do Elemento oposto: Para cada matriz A existe uma matriz 
-A, denominada a oposta de A, cuja soma entre ambas fornecerá a matriz nula de 
mesma ordem, isto é:
A + (-A) = 0
Prova: Dada uma matriz A de ordem mxn e seja B uma matriz de ordem 
mxn, tal que: A + B = 0.
Comparando os elementos correspondentes, temos que: aij + bij = 0, ou 
seja, bij = - aij, para i = 1, 2, 3, ..., m e j = 1, 2, 3, ..., n. Portanto, a única matriz que 
satisfaz a equação anterior é a matriz em que todos os seus elementos são iguais 
aos opostos dos elementos de A. Denotamos esta matriz por -A.
Acadêmico(a), crie matrizes A, B e C de mesma ordem e verifique estas quatro 
importantes propriedades.
DICAS
TÓPICO 1 | MATRIZES
23
6.2 MULTIPLICAÇÃO DE UMA MATRIZ POR UM NÚMERO 
REAL
Dada a matriz 
 5 8 - 1 
A = 
- 4 3 6
 
 
 
vamos determinar A + A.
( ) ( )
( ) ( )
5 + 5 8 + 8 - 1 + - 1 5 8 - 1 5 8 - 1 
A + A = + = 
- 4 + - 4 3 + 3 6 + 6- 4 3 6 - 4 3 6
    
    
     
 10 16 - 2 
A + A = .
- 8 6 12 
 
 
 
Considerando que A + A = 2·A, temos: 
( )
( )
2 . 5 2 · 8 2 · - 15 8 - 1 10 16 - 2 
2 · A = 2 · = = 
 2 · - 4 2 · 3 2 · 6- 4 3 6 - 8 6 12
    
    
    
Observamos, então, que o produto de um número real pela matriz A é 
uma matriz que se obtém multiplicando-se o número real pelos elementos de A. 
Definição: Seja a matriz A = (aij)mxn e k um número real. O produto de K 
pela matriz A (indica-se: K·A) é a matriz B = (bij)mxn, em que bij = k·aij, para todo 
i (i = 1, 2, 3, ..., m) e para todo j (j = 1, 2, 3, ..., n).
Observe os exemplos a seguir:
( ) ( )1) Se A = 2 5 8 , então 3 · A = 6 15 24 .
 2 4 4 8 12) Se B = , então · A = .55 10 2 5
2
          
( )
 3 - 2 3 - 6 4 - 2 3
3) Se C = - 1 5 7 , então -2 · C = 2 - 10 - 14 .
 4 1 0 - 8 - 2 0
   
   
   
   
   
UNIDADE 1 | MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
24
Propriedades da Multiplicação de uma Matriz por um Número Real
Sendo A e B matrizes de mesma ordem mxn e x e y números reais 
quaisquer, valem as seguintes propriedades:
 
Propriedade Associativa: ( ) ( )x · yA = xy · A
Demonstração: sejam   ij A= a  =  ijB b ∈ .k
( )             ij ij ijx . y . A = x . y . (a ) = x . y. a = x . y . a
e Então, e
Propriedade distributiva de um número real em relação à adição de 
matrizes: 
x·(A + B) = x·A + x·B
∈.x ( )
)            ]
ij ij
ij ij ij ij ij ij
x . A+B = x . (a + b ) =
x . (a + b = x . a + k . b = x . a + . b x
   ⇒ + = +   . . . .ij ijx a x b x A x B
Demonstração: sejam   ij A= a  =  ijB be , e Então
( )
)            ]
ij ij
ij ij ij ij ij ij
x . A+B = x . (a + b ) =
x . (a + b = x . a + k . b = x . a + . b x( )
)            ]
ij ij
ij ij ij ij ij ij
x . A+B = x . (a + b ) =
x . (a + b = x . a + k . b = x . a + . b x
( )
)            ]
ij ij
ij ij ij ij ij ij
x . A+B = x . (a + b ) =
x . (a + b = x . a + k . b = x . a + . b x
Onde foi utilizada a distributividade da multiplicação com relação à 
adição dos números reais. c.q.d.
Propriedade distributiva de uma matriz em relação à adição de dois 
números reais: 
(x + y) · A = x·A + y·A
∈, .k q ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )               ij ij ij ij ijx + y . A = x + y . a = x + y . a = x + y . a = x . a + y . aDemonstração: sejam   ij A= a e Então
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )               ij ij ij ij ijx + y . A = x + y . a = x + y . a = x + y . a = x . a + y . a
( ) ( )       ⇒       ij ij ij ijx . a + y . a = x . a + y . a = x . A + y . A
c.q.d.
TÓPICO 1 | MATRIZES
25
Propriedade do elemento neutro: x·A = A, para x = 1, ou seja, 1 · A = A
1 . A = A
   .ijA = a ( ) ( )         ij ij ij1 . A = 1 . a = 1 . a = a = ASeja Então,
c.q.d.
Acadêmico(a), verifique as demonstrações das propriedades da adição de 
matrizes e busque demonstrar estas quatro propriedades. A demonstração é um processo 
importante da matemática. Vá treinando, você usará muito durante a sua graduação!
UNI
6.3 MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES
Acadêmico(a), a multiplicação de matrizes não é uma operação tão simples como 
as outras já estudadas até aqui, pois não basta multiplicar os elementos correspondentes. 
Fique atento à explicação!
ATENCAO
Vamos iniciar este conceito com uma situação-problema. Observe a tabela 
a seguir, ela apresenta as notas obtidas na disciplina de Álgebra Linear e Vetorial 
pelos acadêmicos Cristiane, Leonardo e Luiz nas quatro avaliações propostas.
Avaliação 1 Avaliação 2 Avaliação 3 Avaliação 4
Cristiane 7 6 7 8
Leonardo 4 5 5 7
Luiz 8 7 9 10
Para calcular a média final da disciplina, o professor deve fazer uma média 
ponderada, onde a avaliação 1 tem peso 1, a avaliação 2 tem peso 1, a avaliação 
3 tem peso 4,8 e a avaliação 4 tem peso 3,2. Assim, a média de cada aluno será 
determinada pela fórmula: 
UNIDADE 1 | MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
26
o que equivale a escrever:( ) ( ) ( ) ( ) Avaliação 1×1 + Avaliação 2×1 + Avaliação 3×4,8 + Avaliação 4×3,2 
1 + 1 + 4,8 + 3,2
( ) ( ) ( ) ( ) Avaliação 1×0,10 + Avaliação 2×0,10 + Avaliação 3×0,48 + Avaliação 4×0,32 .
A tabela de notas pode ser representada pela matriz:
3 4
7 6 7 8
4 5 5 7
8 7 9 10
 
 =  
 
 
A
x
E os pesos das avaliações, pela matriz:
0 10
0 10
0 48
0 32
 
 
 
 
 
 4x1
,
,
B = 
,
,
Agora vamos calcular as médias dos alunos nesta disciplina:
( ) ( ) ( ) ( )Cristiane: 7×0,10 + 6×0,10 + 7×0,48 + 8×0,32 = 7,22
( ) ( ) ( ) ( )Leonardo: 4×0,10 + 5×0,10 + 5×0,48 + 7×0,32 = 5,54
( ) ( ) ( ) ( )Luiz: 8×0,10 + 7×0,10 + 9×0,48 + 10×0,32 = 9,02
Essas médias podem ser registradas em uma matriz C, que é o produto
 da matriz A (notas) pela matriz B (pesos):
3 1
7 22
5 54
9 02
 
 =  
 
  x
,
C ,
,
A ideia utilizada para obter a matriz C será usada agora para definirmos 
matematicamente a multiplicação de matrizes.
Definição: Dada uma matriz A = (ajj) do tipo mxn e uma matriz B = (bjj) 
do tipo nxp, o produto da matriz A pela matriz B é a matriz C = (cij) do tipo 
mxp, tal que o elemento cij é calculado multiplicando-se ordenadamente os 
elementos da linha i, da matriz A, pelos elementos da coluna j, da matriz B, e 
somando-se os produtos obtidos. Para dizer que a matriz C é o produto de A 
por B, vamos indicá-la por AB.
TÓPICO 1 | MATRIZES
27
Observe que só definimos o produto AB de duas matrizes quando o número 
de colunas de A for igual ao número de linhas de B; além disso, notamos que o produto AB 
possui o número de linhas de A e o número de colunas de B: A
mxn
 . B
nxp
 = AB
mxp
.
ATENCAO
Acompanhe a multiplicação das matrizes A de ordem 3x2 e B de ordem 2x4: 
 1 2
 1 1 2 2 
A = 2 3 e B = 
 2 3 3 2
 3 4
 
  
  
   
O primeiro fato a observar é que só podemos multiplicar matrizes quando 
o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda 
matriz. Note que na definição A tem n colunas e B tem n linhas. Essa igualdade 
tem que ocorrer para que a multiplicação possa ser calculada. Como A possui 
duas colunas e B possui duas linhas, podemos calcular C = A·B
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
1 2 c c c c
1 1 2 2
C = A B = 2 3 = c c c c
2 3 3 2
3 4 c c c c
   
    ⋅ ⋅     
       
Sabemos que a matriz C terá ordem 3x4 devido à definição, pois a ordem 
da matriz é resultado da multiplicação de duas matrizes, onde herda o número 
de linhas da primeira e o número de colunas da segunda. Observe:
3x2 2x4 3x4A B = C⋅
Agora, precisamos definir os elementos cij da matriz resultante C e para 
isso é necessário saber que:
• c11 é o resultado da multiplicação dos elementos da 1ª linha da matriz A com os 
elementos da 1ª coluna da matriz B.
• c12 é o resultado da multiplicação dos elementos da 1ª linha da matriz A com os 
elementos da 2ª coluna da matriz B.
UNIDADE 1 | MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
28
• c13 é o resultado da multiplicação dos elementos da 1ª linha da matriz A com os 
elementos da 3ª coluna da matriz B.
• c14 é o resultado da multiplicação dos elementos da 1ª linha da matriz A com os 
elementos da 4ª coluna da matriz B.
• c21 é o resultado da multiplicação dos elementos da 2ª linha da matriz A com os 
elementos da 1ª coluna da matriz B.
• c22 é o resultado da multiplicação dos elementos da 2ª linha da matriz A com os 
elementos da 2ª coluna da matriz B.
• c23 é o resultado da multiplicação dos elementos da 2ª linha da matriz A com os 
elementos da 3ª coluna da matriz B.
• c24 é o resultado da multiplicação dos elementos da 2ª linha da matriz A com os 
elementos da 4ª coluna da matriz B.
• E assim por diante.
Observe o cálculo de cada elemento da matriz resultante C:

11
1ª Linha A
1ª Coluna B
12
1
c = 1 2 = 1 1 + 2 2 = 1 + 4 = 5
2
1
c = 1 2 = 1 1 + 2 3 = 1 + 6 = 7
3
 
  ⋅ ⋅ ⋅  
 
 
  ⋅ ⋅ ⋅  
 

13
14
2
c = 1 2 = 1 2 + 2 3 = 2 + 6 = 8
3
2
c = 1 2 = 1 2 + 2 2 = 2 + 4 = 6
2
 
  ⋅ ⋅ ⋅  
 
 
  ⋅ ⋅ ⋅  
 
21
22
1
c = 2 3 = 2 1 + 3 2 = 2 + 6 = 8
2
1
c = 2 3 = 2 1 + 3 3 = 2 + 9 = 11
3
 
  ⋅ ⋅ ⋅  
 
 
  ⋅ ⋅ ⋅  
 
TÓPICO 1 | MATRIZES
29
23
24
2
c = 2 3 = 2 2 + 3 3 = 4 + 9 = 13
3
2
c = 2 3 = 2 2 + 3 2 = 4 + 6 = 10
2
 
  ⋅ ⋅ ⋅  
 
 
  ⋅ ⋅ ⋅  
 
31
32
1
c = 3 4 = 3 1 + 4 2 = 3 + 8 =11
2
1
c = 3 4 = 3 1 + 4 3 = 3 + 12 = 15
3
 
  ⋅ ⋅ ⋅  
 
 
  ⋅ ⋅ ⋅  
 
33
34
2
c = 3 4 = 3 2 + 4 3 = 6 + 12 = 18
3
2
c = 3 4 = 3 2 + 4 2 = 6 + 8 = 14
2
 
  ⋅ ⋅ ⋅  
 
 
  ⋅ ⋅ ⋅  
 
Com isso, finalmente, teremos:
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
1 2 c c c c 5 7 8 6
1 1 2 2
C= A × B = 2 3 × = c c c c = 8 11 13 10
2 3 3 2
3 4 c c c c 11 15 18 14
     
      
      
           
Nunca esqueça: todos os elementos das linhas da primeira matriz multiplicam 
todos os elementos das colunas da segunda matriz.
IMPORTANT
E
UNIDADE 1 | MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
30
6.4 MATRIZ INVERSA
Dada uma matriz quadrada A, de ordem n, se X é uma matriz, tal que AX 
= In e XA = In, onde In é a matriz identidade de ordem n, então X é denominada 
matriz inversa de A, sendo simbolizada por 1A−
Analisando a definição, é possível perceber que a matriz inversa nem sempre existe. 
Quando existir a matriz inversa de A, dizemos que A é uma matriz invertível ou não singular.
ATENCAO
Acadêmico(a), observe que a matriz é invertível e sua matriz 
inversa é: 
 1 - 1 
A = 
 2 0
 
 
 
- 1 0 1/2 1 - 1 0 1/2 1 0 0 1/2 1 - 1 1 0 A = , pois: . = e . = . 
- 1 1/2 2 0 - 1 1/2 0 1 - 1 1/2 2 0 0 1 
 
             
             
             
Acadêmico(a), observe que a matriz A multiplicada pela inversa nos dá a 
matriz identidade.
IMPORTANT
E
Exemplo 1: Sendo a matriz ,vamos determinar a matriz 
inversa de A, se existir.
Resolução: Existindo, a matriz inversa é de mesma ordem de A. Como, 
para que exista inversa, é necessário que A·A-1= A-1·A = , vamos trabalhar em 
duas etapas:
Inicialmente, fixamos a condição de que A∙A-1 = e determinamos A-1:
 2 x 2
 1 2 
 - 2 1 
A = 
 
 
 
nI
nI
n
 2 x 2 2 x 2 2 x
-
 
 
2
1 1 2 a b 1 0 I = A A =
 - 2 1 c d 0 1
 
 
     
⇒ ⋅ ⇒     
   
⋅
 
TÓPICO 1 | MATRIZES
31
 2 x 2 2 x 2
 2 x 2 2 x 2
 1 . a + 2 . c 1 . b + 2 . d 1 0 
 = 
- 2 . a + 1 . c - 2 . b + 1 . d 0 1 
 a + 2 c b + 2 d 1 0 
 = 
 - 2 a + c - 2 b + d 0 1 
   
⇒ ⇒   
   
   
⇒    
   
A partir da igualdade de matrizes, resolvemos o sistema acima pelo 
método da adição:
__________________
 
 2 a + 4 c = 2
 a + 2 c = 1 ( -2 )
 - 2 a + c = 0
- 2 a + c = 0 
2 5 c = 2 c = 
5
 



 ⇒ 
↵⊕ 

 ⇒

 
 - 2 a + c = 0
2 1 - 2 a + = 0 a = 
5 5
⇒
__________________
 
 2 b + 4 d = 0
 b + 2 d = 0 ( - 2 )
 - 2 b + d = 1
 - 2 b + d = 1 
1 5 d = 1 d = 
5
 



 ⇒ 
↵⊕ 

 ⇒

 
 - 2 b + d = 1
1 2 - 2 b + = 1 b = - 
5 5
⇒
Assim temos:
 2 x 2
 2 x 
 - 
2
1
1 2- a b 5 5 = 
 c d 2 1 5
A = 
5 
           
UNIDADE 1 | MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
32
É importanteverificarmos se A∙A-1 = : 2I
 - 1 
 2 x 2
 2 x 2
 1 2- 1 2 5 5 
 2 1 - 2 1 5 5
A
 
 A = 
     ⋅       
⋅
( ) ( ) ( )
( )
 2 x 2 2 x 2
 2 x 2
 1 4 2 2 + -5 5 5 5 = = =
 2 2 4 1 - + 5 5 5 5 
 5 0 15 = = 
5 0 5 
1 2 1 2 . 1 + - . - 2 . 2 + - . . 1 5 5 5 5 
2 1 2 1 . 1 + . - 2 . 2 + . 15 5 5 5
   
   
   
     
 
 
 
  
2
0 
 = I
 0 1 
 
 
 
Logo, A-1 é inversa de A e pode ser representada por:
- 1
 2 x 2
 1 2 -5 5 A = 
 2 1 5 5 
 
 
 
  
Exemplo 2: Verifique se existe e, em caso afirmativo, determine a matriz
 inversa de 
5 8
A = .
2 3
 
 
 
Resolução: Seja X a matriz quadrada de ordem 2 procurada, isto é: a bX = .
c d
 
 
 
Pela definição, inicialmente devemos ter: 
 5 8 a b 1 0 5 a + 8 c 5 b + 8 d 1 0
 . = = 
 2 3 c d 0 1 2 a + 3 c 2 b + 3 d 0 1 
         
⇒         
         
 5 8 a b 1 0 5 a + 8 c 5 b + 8 d 1 0
 . = = 
 2 3 c d 0 1 2 a + 3 c 2 b + 3 d 0 1 
         
⇒         
         
Pela igualdade de matrizes, temos os sistemas:
( ) 5 a + 8 c = 1I 2 a + 3 c = 0



que resolvido nos dá a = -3 e c = 2. 
TÓPICO 1 | MATRIZES
33
( ) 5 b + 8 d = 0II 2 b + 3 d = 1



que resolvido nos dá b = 8 e d = - 5. 
Embora teremos um tópico sobre sistemas lineares, acreditamos que todos 
tenham tido contato com esses sistemas pequenos tanto no Ensino Fundamental quanto 
no Médio, como também na disciplina de Introdução ao Cálculo. Caso você não entenda a 
resolução deste sistema, é importante que retome o material da disciplina de Introdução ao 
Cálculo e faça um estudo sobre os sistemas lineares de ordem 2.
DICAS
Temos para a qual AX = I2 
A seguir, verificamos se XA = Então,
 
podemos dizer que é a matriz inversa de ou seja:
2
 - 3 8 5 8 1 0 
 I : . = .
 2 - 5 2 3 0
 
1 
     
     
     
- 3 8 
 2 - 5 
 
 
 
5 8
2 3
 
 
 
- 1 - 3 8 A = .
 
 
 2 - 5 
 
 
 
DICAS
Assim, se você quiser ter certeza de que calculou a matriz inversa 
corretamente, basta efetuar a multiplicação . Se essa multiplicação resultar na
identidade , você terá calculado corretamente, caso contrário, refaça os cálculos.
- 1A
- 1A A⋅
1 0
0 1
I
 
=  
 
Propriedades da Multiplicação de matrizes
Como o produto de matrizes é definido de forma diferente do produto de 
uma matriz por um número real, as propriedades satisfeitas pela multiplicação 
de números reais em geral não valem para a multiplicação de matrizes. 
Vamos supor que as matrizes A, B e C sejam de ordens tais que as 
operações a seguir sejam possíveis. Assim, são válidas as seguintes propriedades 
para a multiplicação de matrizes:
Propriedade Associativa: (A·B) · C = A · (B·C)
UNIDADE 1 | MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
34
Demonstração: Suponhamos que as matrizes A, B e C tenham ordens 
respectivamente: n r r se s m, × × ×
Temos que: ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
s s r
kj il lk kjikij
k k l
A B . C A B c = a b . c. . .
= = =
 
=  
 
∑ ∑ ∑
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
1 1 1
r s r
il ik kj il lj ij
l k l
a . b c = a . B C = A . B C . .
= = =
 
⇒  
 
∑ ∑ ∑
c.q.d.
Propriedade Distributiva à direta em relação à adição: (A + B) ·C = A·C + B·C
Demonstração: Suponhamos que as matrizes A, B e C tenham ordens 
respectivamente: n r r se s m, × × ×
Temos que: ( ) ( ) ( ) ( )( )
1 1
n n
ik ik kj kj ik ik
k k
A B . C = b c . c = c a b
= =
+ + +∑ ∑
( )
1 1 1
n n n
kj ik kj ik kj ik kj ik ij ij
k k k
c a c b = c a c b A C B C = . .
= = =
   ⇒ + + +   ∑ ∑ ∑
ij
A.C B C = A C B C . . . ⇒ + + 
c.q.d.
Propriedade Distributiva à esquerda em relação à adição: A·(B + C) = A·B + A·C
Demonstração: Suponhamos que as matrizes A, B e C tenham ordens 
respectivamente: n r r se s m, × × ×
Temos que: ( ) ( ) ( )( )
1 1
n n
ik ik kj kjkj
k k
A . B C = a B C = a b c 
= =
 + + + ∑ ∑
( )
1 1 1
n n n
ik kj ik kj ik kj ik kj ij ij
k k k
a b a c = a b a c A B A C = . .
= = =
   ⇒ + + +   ∑ ∑ ∑
ij
A B A C = A B A C . . . . ⇒ + + 
c.q.d.
Importante:
• Em geral, A·B ≠ B·A, para A e B duas matrizes quaisquer, isto é, não é válida a 
propriedade comutativa da multiplicação para matrizes.
TÓPICO 1 | MATRIZES
35
• A·I = I·A = A, onde I é a matriz identidade de ordem apropriada e A é uma 
matriz qualquer.
• (A·B)T = BT·AT , para A e B matrizes.
• 0·A = 0 e A·0 = 0, para toda matriz A (onde 0 é a matriz nula de ordem 
apropriada).
É possível A·B = 0, sem termos A = 0 ou B = 0.
IMPORTANT
E
Para exemplificar o que o UNI acabou de informar, considere as matrizes:
2 0
0 5
A
 
=  
 
e note que A ≠ 0 e B ≠ 0 (onde 0 é a matriz nula de
 0 - 3
B = 
 1 0 
 
 
 
 ordem apropriada).
Com isso teremos
2 0 0 - 3 0 0
A B = = 
0 5 1 0 0 0
     
⋅ ⋅     
     
6.5 OUTROS EXEMPLOS QUE ENVOLVEM OPERAÇÕES 
COM MATRIZES
A seguir veremos mais alguns exemplos de situações que envolvem 
matrizes e suas operações.
Exemplo 1: Dadas as matrizes: 1 2 3 - 2 0 1 A = , B = e D = 2 - 1 
 2 1 - 1 3 0 1 
   
      
   
Calcule D . (2A + 3B). 
Resolução: Primeiramente, vamos calcular a prioridade da expressão que 
é definida pelos parênteses.
 1 2 3 - 2 0 1 
2A + 3B = 2 + 3 
 2 1 - 1 3 0 1 
 2 4 6 - 6 0 3 2-6 4+0 6+3 - 4 4 9 
2A + 3B = + = = 
 4 2 - 2 9 0 3 4+9 2+0 - 2+3 13 2 1 
   
⋅ ⋅   
   
       
       
       
UNIDADE 1 | MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
36
Agora, resolveremos a multiplicação:
( ) 11 12 13 ŶŶƷŶ
 2x3
 - 4 4 9 
D n 2A + 3B = 2 - 1 n = d d d
 13 2 1
 
 
 
       
 
Lembre-se de que é necessário verificar se a multiplicação é possível, ou 
seja, se o número de colunas da primeira matriz é igual ao número de linhas da 
segunda matriz.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
 1x3
D 2A + 3B = 2 - 4 + - 1 13 2 4 + - 1 2 2 9 + - 1 1  ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 
( ) 1x3D 2A + 3B = - 8 - 13 8 - 2 18 - 1  ⋅  
( ) 1x3D 2A + 3B = - 21 6 17  ⋅  
Exemplo 2: Sejam as matrizes A = (aij)2x2, com aij = 2i - j2 e B = (bij)2x2, com bij 
= aij - 1, encontre a matriz X de modo que: X - 2A + B = 0.
Resolução: Vamos iniciar construindo as matrizes A e B.
Matriz A
Como é uma matriz 2x2, sua genérica é: 11 12
21 22
a a
A
a a
 
=  
 
Conforme orienta o enunciado, cada elemento aij será determinado por aij 
= 2i – j2.
Matriz B
Como é uma matriz 2x2, sua genérica é: 11 12
21 22
b b
B = 
b b
 
 
 
 2 
 11 a = 2 1 - 1 = 2 - 1 = 1⋅
 2
 21a = 2 2 - 1 = 4 - 1 3 = ⋅
 2
 12 a = 2 1 - 2 = 2 - 4 2 = - ⋅
 2
 22a = 2 2 - 2 = 4 - 4 0 = ⋅
 1 - 2 
A = 
 3 0
 
 
 
 2
 ija = 2i - j
TÓPICO 1 | MATRIZES
37
Conforme orienta o enunciado, cada elemento bij será determinado por 
bij = aij - 1.
 ij ijb = a - 1
 11b = 1 - 1 = 0
 21b = 3 - 1 = 2
 12 b = - 2 - 1 = - 3
 22b = 0 - 1 = - 1
Este valor (aij) você irá buscar na 
matriz A.
 0 - 3 
B = 
 2 - 1 
 
 
 
Determinadas as matrizes A e B, vamos resolver a equação X – 2A + B = 0.
Assim como em uma equação do primeiro grau,sugerimos isolar a matriz X 
antes de substituir as matrizes.
DICAS
( )
2 + 0 - 4 + 3 
X = 
6 + - 2 0 + 1
 
 
  
 2 - 1 
X = 
 4 1
 
 
 
2X A B – =
 1 - 2 0 - 3 
X = 2 - 
 3 0 2 - 1 
   
⋅    
   
( )2 1 2 - 2 0 - 3 X = - 
 2 - 1 2 3 2 0
 ⋅ ⋅  
   
⋅ ⋅    
 2 - 4 0 - 3 
X = - 
 6 0 2 - 1 
   
   
   
 2 - 4 0 3 
X = + 
 6 0 - 2 1 
   
   
   
2 0X A B – + =
Lembre-se: resolvemos 
a subtração de matrizes 
somando a matriz oposta!
Essa é a matriz X.
UNIDADE 1 | MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
38
Exemplo 3: Seja A = (aij) a matriz 2x2 real definida por aij = 1 se i ≤ j e aij = 
-1 se i > j. Calcule A2. 
Resolução: Vamos iniciar construindo a matriz A.
11 12
21 22
a a
A
a a
 
=  
 
Como é uma matriz 2x2, sua genérica é: 
Conforme orienta o enunciado, cada elemento aij será determinado por aij 
= 1 se i ≤ j e aij = -1 se i > j.
 11
 21
 12
 22
a = 1
a = - 1
a
 
= 1
a = 1
 1 1 
A = 
- 1 1 
 
 
 
Agora, basta calcularmos A2.
ATENCAO
Calcular A2 não é elevar cada um de seus elementos ao quadrado, mas sim
multiplicar a matriz por ela mesma, ou seja, A2 = A · A . 2
 1 1 1 1 
A = A A = 
- 1 1 - 1 1
 
 
   
⋅ ⋅   
   
Para resolver esta multiplicação é necessário verificar se o número de 
linhas da primeira matriz é igual ao número de colunas da segunda matriz.
2
 2x2 2x2 2x2A A = A ⋅
( )
( ) ( ) ( )
2 1 1 + 1 - 1 1 1 + 1 1 1 1 1 1 A = = 
- 1 1 - 1 1 - 1 1 + 1 - 1 - 1 
 
 1 + 1 1 
 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅   
⋅      ⋅ ⋅ ⋅ ⋅      
2 1 - 1 1 + 1 0 2 A = = 
- 1 - 1 - 1 + 1 - 2 0 
 
   
   
   
TÓPICO 1 | MATRIZES
39
Exemplo 4: (UFRJ) Uma confecção vai fabricar três tipos de roupas 
utilizando três materiais diferentes. Considere a matriz A abaixo, onde cada 
elemento aij representa quantas unidades de material j serão empregados para 
fabricação de roupas do tipo i. 
5 0 2
A = 0 1 3
4 2 1
 
 
 
  
a) Quantas unidades de material 3 serão empregados na confecção de uma roupa 
tipo 2?
b) Calcule o total de unidades do material 1 que será empregado para fabricar 
cinco roupas do tipo 1, quatro roupas do tipo 2 e duas roupas do tipo 3.
Resolução: De acordo com o enunciado, temos a tabela:
Material 1 Material 2 Material 3
Roupa tipo 1 5 0 2
Roupa tipo 2 0 1 3
Roupa tipo 3 4 2 1
a) O número de unidades de material j = 3 na confecção de uma roupa tipo i = 2 
é o elemento a23 da matriz A, ou melhor, é o elemento da segunda linha com a 
terceira coluna a23 = 3 unidades.
b) O valor procurado é 5a11 + 4a21 + 2a31 = 5×5 + 4×0 + 2×4 = 25 + 0 + 8 = 33 unidades.
Exemplo 5: (PUC) Um batalhão do exército resolveu codificar suas 
mensagens através da multiplicação de matrizes. Primeiramente, associa as letras 
do alfabeto aos números, segundo a correspondência abaixo considerada:
UNIDADE 1 | MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
40
Desta forma, supondo que o batalhão em questão deseja enviar a
 mensagem "PAZ", pode-se tomar uma matriz 2x2, da forma: a qual, 
usando-se da tabela acima, será dada por:
P A
Z -
 
 
 15 1
25 0
 
 
 
Tomando-se a matriz-chave C para o código, isto é: transmite-se a
 mensagem "PAZ" através da multiplicação das matrizes M e C, ou seja:
2 3
1 2
 
 
 
15 1 2 3 31 47
M C = = .
25 0 1 2 50 75
     
⋅ ⋅     
     
Ou através da cadeia de números 31 47 50 75. Desta forma, utilizando-
se a mesma matriz-chave C, a decodificação da mensagem 51 81 9 14 será 
compreendida pelo batalhão como a transmissão da palavra:
a) LUTE
b) FOGO
c) AMOR
d) VIDA
e) FUGA
Resolução: Para construir a Matriz D vamos usar o fato de que D é a matriz 
inversa de C se, e somente se, C×D = D×C = I, onde I é matriz identidade. Depois, 
basta resolvermos os sistemas de equações resultantes.
IMPORTANT
E
Como já falamos, só existe a inversa de matrizes quadradas. E mais do que 
isso, a inversa terá sempre a mesma ordem da matriz além disso, a identidade 
também terá essa mesma ordem.
- 1A A I 
TÓPICO 1 | MATRIZES
41
 - 1a b 2 3D = , C = e D = C
c d 1 2
2 3 a b 2 a + 3 c 2 b + 3 d 1 0
 . = = 
1 2 c d a + 2 c b + 2 d 0 1
 2 a + 3 c = 1 2 b +
 e 
a + 2 c = 0
   
⇒   
   
       
       
       

⇒ 

 3 d = 0
b + 2 d = 1
 a = 2 ; b = - 3 ; c = - 1 ; d = 2



⇒
Acadêmico(a), veja que a matriz C codificou a mensagem multiplicando a 
matriz M pela direita, assim, temos que decifrar a mensagem também pela direita 
multiplicando por D = C-1 , pois a propriedade comutativa no produto de matrizes 
não é válida. Decodificando a mensagem 51 81 9 14, encontramos:
 51 81 2 -3 102 - 81 - 153 + 162 
 . = =
 9 14 -1 2 18 - 14 - 27 + 28
 21 9 
= 
 4 1
     
     
     
 
 
 
Logo, a mensagem 51 81 9 14 será compreendida como 21 9 4 1, 
correspondendo à palavra VIDA, e a alternativa (D) é a opção correta.
42
Neste tópico você viu:
• Uma matriz é uma organização de dados em linhas e colunas e que cada 
ente da matriz é denominado elemento. Uma matriz é representada por uma 
letra maiúscula e os elementos podem estar dispostos entre parênteses ou 
colchetes. A ordem de uma matriz é a informação da quantidade de linhas 
(m) e colunas (n).
• Alguns tipos de matrizes: quadrada, nula, coluna, linha, oposta, diagonal, 
identidade, triangular, transposta e simétrica.
• Algumas operações: soma de matrizes, multiplicação por um número real e 
multiplicação de matrizes. Aqui vale destacar:
o Só podemos somar matrizes de mesma ordem.
 
o Para multiplicar matrizes o número de colunas da primeira matriz tem que ser 
igual ao número de linhas da segunda. Já a matriz resultante (produto) terá o 
número de linhas da primeira matriz e o número de colunas da segunda matriz.
	
o	Na multiplicação de matrizes não vale a propriedade comutativa, isto é, 
podemos ter para duas matrizes quaisquer A e B.
RESUMO DO TÓPICO 1
A B B A⋅ ≠ ⋅
43
Acadêmico(a), um dos princípios da UNIASSELVI é “Não basta 
saber, é preciso saber fazer”. Agora chegou a sua vez de colocar em prática os 
conceitos sobre matrizes estudados neste tópico.
1 Sendo dadas as matrizes:
AUTOATIVIDADE
 8 3 1 4 - 1 8 
A = 2 4 , B = 5 3 , C = - 2 - 4 
1 5 8 5 - 3 - 5 
     
     
     
     
     
Calcule:
a) A + B d) A + B + C
b) A + C e) A - B - C
c) B + C f) A + C - B
2 Dadas as matrizes: 
 2 - 3 0 1 - 2 8
A = , B = e C = 
 4 - 1 2 3 1 - 3 
     
     
     
Calcule:
a) 5A + 3B c) A + 5B - 2C
b) 6A - 4B d) 2B - C
3 Calcule os produtos indicados:
( )
2
a) 1 - 3 4 . 1
5
 
 
 
 
 
 - 1 2 3 8 3 
b) . 
 3 - 4 1 2 4 
   
   
   
 2 - 3 1 3 4 5 
c) . 
 0 3 - 3 2 1 4 
   
   
   
 1 0 2 3 
d) . 
 0 1 7 0 
   
   
   
44
4 Dada a matriz mostrada adiante:
 1 2 3 
A = 0 1 2
 - 1 1 - 1 
 
 
 
 
 
Determine:
 t b) A . A t c) 2A . 3A 2a) A
5 Sejam as matrizes A = (aij)2x2, com aij = i – j2 e B = (bij)2x2, com bij = aij + 1, 
encontre a matriz X de modo que: X – At + 2Bt = 0.
6 Dadosdetermine x e y sabendo 
que A = B. 
( )ij ij 2x2
 2 1
A = a , a = 3i - j e B = 
 x x + y
 
 
 
 
7 Dadas as matrizes
ij
0, se i j
a = .
 i + j, se i = j
 
 ≠


10 Determine x, y, z e t sabendo que:
Calcule:
 3 33 A + I e 2 A - I .
x 3 10
a y - - 1 = 2
z 5
) 
 5
     
     
     
     
     
 t t t
 0 3 
 6 - 5 4 
A = e B = 7 10 , calcule ( A . B ) e B . A .
 - 3 2 - 1 
 8
 
11 
 
   
   
   
 
calcule
8 A e B são suas matrizes quadradas de ordem 2, cujos elementos são dados 
por 
9 Seja A uma matriz quadrada de ordem 3 cujos elementos são dados por
( ) 2 ij ij ij a = 3i - 2j e b = a . Calcule A - B.Calcule
45
 x y x 3 10 - 1 
b) + = 
 3 2 z t z 4 18 
     
     
     
 x - 5 1 - 1 1 - 6 
 y - 1 + - 3 2 = 2 1
 z 0 - 4 - 5 - 5 - 5 
c) 
 
     
     
     
     
     
11 (FUNIVERSA) Duas empresas, 1 e 2, são investigadas em três crimes 
fiscais, I, II e III. As evidências que relacionam as duas empresas aos 
crimes são tais que:
A evidência Relaciona a(s) empresa(s) Ao(s) crime(s)
A 1 I e III
B 1 e 2 I e II
C 2 II e III
D 1 I e II
E 1 e 2 I, II e III
F 2 III
G 1 I e II
H 1 e 2 II e III
I 2 I e III
Para tratar as informações necessárias à investigação desses crimes, 
um perito montou uma matriz M na qual cada elemento aij corresponde à 
quantidade de evidências que relacionam a empresa i ao crime j.
 
 Com base nessas informações, a matriz M é:
5 3 3 5 3 5
5 5 3 3 4 5
a) 5 4 b) c) d) 4 5 e) 5 4
3 4 5 5 5 3
3 5 5 3 5 3
     
        
        
        
     
12 (UFMT) Sejam as matrizes A = (aij)2x3 tal que aij = j – 3i; B = (bij)3x2 tal que 
bij = 2i + j2; e C = (cij)2x2 tal que cij = ij. O elemento de maior módulo dentre 
os que formam a diagonal principal da matriz P, em que P = AB + 20C, é: 
 
a) 20 d) -12
b) 9 e) 0
c) -16
46
13 Leia atentamente as sentenças a seguir:
I- O produto das matrizes A, de ordem 4x2, e B, de ordem 2x2, é uma matriz 
de ordem 4 x 2.
II- O produto das matrizes A de ordem 5x4 e B de ordem 5x2 é uma matriz 
de ordem 5x2.
III- O produto das matrizes A de ordem 2x3 e B de ordem 3x4 é uma matriz 
quadrada.
As sentenças verdadeiras são:
a) ( ) I e III 
b) ( ) Apenas I
c) ( ) Apenas III
d) ( ) Apenas II 
e) ( ) I e II
14 (UEL-PR) Dadas as matrizes A = , definida por , 
definida por , definida por C = A . B, é correto afirmar que o 
elemento é:
a) ( ) Igual ao elemento 
b) ( ) Igual ao produto de 
c) ( ) O inverso do elemento 
d) ( ) Igual à soma de 
e) ( ) Igual ao produto de 
( ) ij 3x2a ij ij 2x3a = i - j ; B = ( b ) 
 ij ijb = j, C = (c )
 23c
 12c .
 23 23a por b .
 32c .
 12 11a com b .
 21 13a por b .
por
com
por
15 Prove que a matriz é inversa de A =- 1
2 2 1- 
3 3 3
1 2 1 - 
3 3 3
1 1 1- 
A
3
 
3
=
3
 
 
 
 
 
 
 
  
1 1 0
0 1 1
1 0 2
 
 
 
  
16 Determine a matriz inversa da A = .
1 1 0
0 1 1
1 0 2
 
 
 
  
17 Considere a matriz A = (aij)4x4 definida por aij = 1 se i ≥ j e aij = i + j se i < j. 
Calcule a soma dos elementos da diagonal secundária.
47
TÓPICO 2
DETERMINANTES E INVERSÃO DE MATRIZES
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
Na história da matemática, a ideia de determinante aparece em soluções 
de sistemas lineares pelo menos um século antes do matemático inglês Arthur 
Cayley criar as teorias das matrizes. Apesar de hoje estudarmos primeiro matrizes, 
depois determinantes e, em seguida, sistemas lineares, a ordem histórica foi: 
sistemas lineares, determinantes e, somente mais tarde, as matrizes. 
Presume-se que a primeira ideia de determinante surgiu na China antiga, 
onde os coeficientes de equações lineares eram representados com varetas de 
bambu. O qual foi aperfeiçoado pelo matemático japonês Seki Shinsuke Kowa, no 
século XVI, e se assemelha ao processo usado hoje para o cálculo de determinantes.
Ainda no século XVI, o matemático alemão Göttfried Wilhelm Leibniz 
criou a teoria dos determinantes enquanto buscava soluções para sistemas lineares. 
E, no século seguinte, o matemático suíço Gabriel Cramer, por desconhecer os 
trabalhos já realizados, reinventou os determinantes ao estabelecer e publicar 
uma regra que leva seu nome (a qual estudaremos neste tópico), também na 
busca de resoluções de sistemas lineares.
Em 1812, Cauchy sistematizou o estudo dos determinantes em uma 
publicação de 84 páginas e, a partir daí, a teoria dos determinantes tornou-se um 
ramo da Álgebra, passando, então, a ser largamente utilizada.
NOTA
Até 1858, quando o conceito de matriz aparece pela primeira vez, não se falava 
em determinante de uma matriz , mas sim em determinante de um sistema
a b
c d
 
 
 
ax + by = e
 .
cx + dy = f



UNIDADE 1 | MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
48
2 O CÁLCULO DO DETERMINANTE
O determinante é um número real associado a uma matriz quadrada. É 
importante destacar que cada matriz possui um único determinante.
O determinante de uma matriz A será denotado por “det A” ou por DA.
2.1 DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE PRIMEIRA ORDEM
O determinante de uma matriz de primeira ordem, A = (a11), é definido 
pelo valor do seu elemento único a11, ou seja: 
Exemplos:
1) Se M = (6), então det M = 6.
2) Se Z = então det Z = 
11 11det A a a . = = 
- 2 ,   - 2 .
2.2 DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM
A matriz quadrada de segunda ordem tem como 
determinante o número real obtido pela expressão 
Indicamos por:
11 12
21 22
a a
A = 
a a
 
 
 
 11 22 12 21a a - .a a ⋅ ⋅
 11 12
 11 22 12 21
 21 22
a a
det A = = a a - a a
a
 .
a
 
⋅ ⋅ 
 
Portanto, o determinante de uma matriz de segunda ordem é dado pela 
diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos 
elementos da diagonal secundária. 
Dada a matriz indicaremos o seu determinante
 por
11 12 13 1
21 22 23 2
1 2 3
n
n
m m m mn mxn
a a a a
 a a a a 
A 
a a a a
 
 
 =  … … … …
  
 


   
11 12 13 1
21 22 23 2
1 2 3
n
n
m m m mn mxn.
a a a a
 a a a a 
det A 
a a a a
 
 
 =  … … … …
  
 


   
TÓPICO 2 | DETERMINANTES E INVERSÃO DE MATRIZES
49
Veja os exemplos a seguir:
Exemplo 1: Calcular o determinante da matriz 
2 7
B = .
4 8
 
 
 
Resolução: det B = 2·8 - 7·4 ↔ det B = 16 – 14 ↔ det B = 2.
Exemplo 2: (GIOVANNI; BONJORNO; GIOVANNI JR., 2002, p. 314) 
Calcule o determinante da matriz A do tipo 2x2, cujos elementos são: 
 ij
 2
 ij
a = i + 2j, se i j
a = i - j, se i < j
 
 
 ≥


Resolução: Partimos da matriz genérica para determinar 
os elementos da matriz.
Matriz A
11 12
21 22
a a
A = 
a a
 
 
 
ija = i + 2j, se i j≥
 11a = 1 + 2 · 1 = 1 + 2 = 3
 21a = 2 + 2 · 1 = 2 + 2 = 4
 22a = 2 + 2 · 2 = 2 + 4 = 6
 2
 ija = i - j, se i < j
 2
 12a = 1 – 2 = 1 – 2 = – 1 .
Logo, 
 3 - 1 
A = .
 4 6
 
 
 
Portanto,det A = 3 · 6 - 4 · (-1) ↔ det A = 18 + 4 ↔	det A = 22.
2.3 DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE TERCEIRA ORDEM 
– REGRA DE SARRUS
O cálculo do determinante de terceira ordem pode ser feito por meio de 
um dispositivo prático, denominado regra de Sarrus.
UNIDADE 1 | MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
50
Seja a matriz .
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
A = a a a
a a a
 
 
 
  
1º passo: Repetimos as duas primeiras colunas ao lado da terceira coluna: 
11 12 13 11 12
21 22 23 21 22
31 32 33 31 32
a a a a a
a a a a a
a a a a a
 
 
 
  
2º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal principal com 
os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa 
diagonal:
 11 12 13 11 12 
 21 22 23 21 22 11 22 33 12 23 33 13 21 32
 31 32 31 32 33
 a a a a a
 a a a a a = ( a a a + a a a + a a a )
 a a a a a
paralelas
diagonal principal
 11 12 13 11 12 
 21 22 23 21 22 13 22 31 11 23 32 12 21 33
 31 32 31 32 33
 a a a a a
 a a a a a = ( a a a + a a a + a a a )
 a a a a a
paralelas
diagonal secundária
3º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal 
secundária com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das 
paralelas a essa diagonal:
4º passo: Por fim, devemos operar: a soma do produto da diagonal 
principal com suas paralelas, menos a soma do produto da diagonal secundária 
com suas paralelas. Desta forma:
 11 22 33 12 23 32 13 21 32 13 22 31 11 23 32 12 21 33det A = ( a a a + a a a + a a a ) - ( a a a + a a a + a a a )
TÓPICO 2 | DETERMINANTES E INVERSÃO DE MATRIZES
51
Sempre que tivermos uma matriz dentro de barras simples, estaremos tratando
de cálculo de determinante. Por exemplo, estamos indicando que o determinante 
da matriz é 19.
ATENCAO
 3 1 
 = 19
 5 8 
3 4 2 3 4
2 1 5 2 1
0 7 4 0 7
 
 
 
  
Resolução: Iniciamos repetindo as duas primeiras colunas após a terceira. 
Exemplo 1: Calcule o determinante da matriz .
3 4 2
B = 2 1 5
0 7 4
 
 
 
  
Det B = (3 · 1 · 4 + 4 · 5 · 0 + 2 · 2 · 7) - ( 2 · 1 · 0 + 3 · 5 · 7 + 4 · 2 · 4)
Det B = (12 + 0 + 28) - (0 + 105 + 32)
Det B = 40 - 137
Det B = - 97
Exemplo 2: Resolver a equação: 
 2 3 - 2 
 0 1 x = 2
 2 x - 3 
 
 
 
  
Resolução: A representação indica que o determinante desta matriz é 2. 
Assim, vamos calcular o determinante e igualar a 2.
 2 3 - 2 2 3
 0 1 x 0 1 = 2
 2 x - 3 2 x
 
 
 
 
  
Assim:
UNIDADE 1 | MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
52
( ) ( ) ( ) ( ) 2 · 1 · – 3 + 3 · x · 2 + – 2 · 0 · x – – 2 · 1 · 2 + 2 · x · x + 3 · 0 · – 3 = 2       
( ) ( ) 2 – 6 + 6 x + 0 – – 4 + 2 x + 0 = 2
 2– 6 + 6 x + 4 – 2 x = 2
 2– 2 x + 6 x – 4 = 0
Não se esqueça de realizar 
a propriedade distributiva, 
devido ao sinal de negativo.
Para simplificarmos a equação, vamos dividir ambos os lados da igualdade 
por (-2). x2 – 3x + 2 = 0
Aplicando a fórmula de Bháskara, determinamos os valores para x que 
tornam o determinante da matriz igual a 2. Assim, x’ = 1 e x” = 2.
2.4 COFATOR
Dada uma matriz A=[aij], quadrada de ordem , denominamos 
cofator de aij o produto de (-1)
i j+ pelo determinante da matriz (Dij) que se obtém 
de A, suprimindo a linha de ordem i e a coluna de ordem j. Notação: cij.
2 *n e n≥ ∈
( ) i+j ij ijC = - 1 D ⋅
Assim, se considerarmos a matriz quadrada de terceira 
ordem, temos:
 11 12 13
 21 22 23
 31 32 33
a a a
A = a a a
a a a
 
 
 
  
( ) ( ) 1+1 1+1 22 23 11 11
 32 33
a a
C = - 1 D = - 1 
a
 
a
 ⋅ ⋅
Neste caso, eliminamos a linha 1 e a coluna 1.
( ) ( ) 2+3 2+3 11 12 23 23
 31 32
a a
C = - 1 D = - 1 
a
 
a
 ⋅ ⋅
Neste caso, eliminamos a linha 2 e a coluna 3.
TÓPICO 2 | DETERMINANTES E INVERSÃO DE MATRIZES
53
Exemplos:
2 3
1) A = 
- 1 5 
 
 
 
 1+1
 11
 1+2
 12
c = ( - 1 ) . 5 = 5
c = ( -1) . - 1 = 1
 2+1
 21
 2+2
 22
c = ( - 1 ) . 3 = - 3
c = ( - 1 ) . 2 = 2
 3+2
 32
1 3 4
1 4
2) A = - 2 0 5 c = ( - 1 ) . = - 1 . ( 5 + 8 ) = - 13
- 2 5 
7 6 8
 
 
 
  
2.5 DETERMINANTE DE ORDEM N > 3
Para calcularmos o determinante de matrizes de ordem superior a 3, 
usaremos o Teorema de Laplace. Este teorema pode ser utilizado para matrizes de 
ordem 2 ou superior, porém, julgamos que os métodos ensinados anteriormente 
apresentam resolução mais rápida.
Teorema de Laplace
O determinante de uma matriz quadrada de ordem é a soma dos 
produtos dos elementos de uma fila (linha ou coluna) pelos respectivos cofatores.
n 2≥
A resolução se torna mais rápida quando consideramos a fila que contém o 
maior número de zeros, pois neste caso não é necessário calcular o determinante.
ATENCAO
Exemplos:
 12 22 32
 1+2
 12
det A = 3 . C + 0 . 
1 3 4
1) A = - 2 0 5 
7 6 8
- 2 5
c = (
C + 6 . C
 - 1 ) . = - 1 . ( - 51 ) = 51
7 8
 
 
 
  
UNIDADE 1 | MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
54
( )
 3+2
 32
1 4
c = ( - 1 ) . = - 1 . ( 5 + 8 ) = - 
det A = 3 . 51 + 6 . -13 = 153 - 78 
13
- 
 =
2 5
 75
 41 42 43 44
 4+4
 44
2 3 1 0
0 2 0 3
2) = 0 . c + 0 . c + 0 . c + 6 . c = 6 . 6 = 36
5 - 1 4 0
0 0 0 6
2 3 1
C = ( - 1 ) . 0 2 0 = 1 . 6 = 6
5 - 1 4
Pierre Simon Marquis de Laplace nasceu 
na França, em Beaumont-en-Auge, no dia 23 de março 
de 1749, tendo falecido na cidade de Paris, a 5 de março 
de 1827. Destacou-se nas áreas da Física, da Astronomia 
e da Matemática. Organizou a astronomia matemática, 
sumariando e ampliando o trabalho de seus predecessores 
nos cinco volumes do seu Mécanique Céleste (Mecânica 
Celeste) (1799-1825). Esta obra-prima traduziu o estudo 
geométrico da mecânica clássica usada por Isaac Newton 
para um estudo baseado em cálculo, conhecido como 
mecânica física.
Ele também formulou a equação de Laplace. A transformada 
de Laplace aparece em todos os ramos da física matemática, 
campo em que teve um papel principal na formação. O 
operador diferencial de Laplace, do qual depende muito a 
matemática aplicada, também recebe seu nome.
Pierre Laplace era filho de um pequeno trabalhador rural ou talvez um empregado de fazenda 
e ficou a dever a sua educação ao interesse de alguns vizinhos abastados, graças às suas 
habilidades e presença atrativa. Parece que, de pupilo, se tornou professor-assistente na escola 
em Beaumont; mas, tendo procurado uma carta de apresentação a Jean le Rond d’Alembert, 
foi a Paris tentar sua sorte. Um artigo sobre os princípios da mecânica instigou o interesse de 
d’Alembert e, sob sua recomendação, foi oferecido um lugar na escola militar a Laplace.
Seguro das suas competências, Laplace dedicou-se, então, a pesquisas originais e, nos 17 
anos seguintes, entre 1771 e 1787, produziu uma boa parte dos seus trabalhos originais em 
astronomia. Tudo começou com uma memória, lida perante a Academia Francesa em 1773, 
em que mostrava que os movimentos planetários eram estáveis, levando a prova até ao 
IMPORTANT
E
TÓPICO 2 | DETERMINANTES E INVERSÃO DE MATRIZES
55
ponto dos cubos das excentricidades e das inclinações. Isso foi seguido por vários artigos 
sobre tópicos em cálculo integral, diferenças finitas, equações diferenciais e astronomia.
Laplace tinha umamplo conhecimento de todas as ciências e dominava todas as discussões 
na Académie. De forma razoavelmente única para um prodígio do seu nível, Laplace via 
os matemáticos apenas como uma ferramenta para ser utilizada na investigação de uma 
averiguação prática ou científica.
Laplace passou a maior parte de sua vida trabalhando na astronomia matemática, que 
culminou na sua obra-prima sobre a prova da estabilidade dinâmica do sistema solar, com a 
suposição de que ele consistia num conjunto de corpos rígidos movendo-se no vácuo. Ele 
formulou independentemente a hipótese nebular e foi um dos primeiros cientistas a postular 
a existência de buracos negros e a noção do colapso gravitacional.
Ele é, nos dias de hoje, lembrado como um dos maiores cientistas de todos os tempos (às 
vezes, chamado de Newton francês ou Newton da França), com uma fenomenal capacidade 
matemática natural sem par entre os seus contemporâneos. Parece que Laplace não era 
modesto sobre as suas capacidades e realizações e ele provavelmente não conseguia 
reconhecer o efeito de sua atitude sobre seus colegas. Anders Johan Lexell visitou a Académie 
des Sciences em Paris, em 1780-81 e relatou que Laplace deixava claro que se considerava o 
melhor matemático da França. O efeito sobre os seus colegas só seria relativamente atenuado 
pelo fato de que Laplace muito provavelmente estaria correto.
FONTE: Disponível em: <http://www.explicatorium.com/biografias/pierre-laplace.html>. 
Acesso em: 22 fev. 2016.
2.6 CÁLCULO DA MATRIZ INVERSA UTILIZANDO 
DETERMINANTE
No tópico anterior vimos como calcular a matriz inversa de uma matriz 
de ordem 2 utilizando a definição e resolvendo o sistema linear. Agora, veremos 
como utilizar o determinante da matriz para determinar sua inversa.
Definição: Seja uma matriz onde a, b, c e d são números reais 
tais que det (A) ≠ 0. Então a inversa de A será dada por
a b
A = 
c d
 
 
 
( ) ( )
( ) ( )
 - 1
d - b
det A det A
A = 
- c a
det A det
 
A
 
 
 
 
  
 
Exemplo 1: Calcule a inversa de .
- 2 4 
A = 
 5 - 1 
 
 
 
UNIDADE 1 | MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
56
Resolução: Pela definição, temos:
( ) ( )
( ) ( )
 - 1
d - b
det A det A
A = 
- c a
det A det
 
A
 
 
 
 
  
 
Assim, precisamos calcular ou seja:( )det A ,
( ) ( ) ( )
( )
( )
det A = - 2 - 1 - 5 4
det A = 2 - 20
det A = - 18
 ⋅ ⋅ 
Substituindo os valores de a, b, c, d e do det (A) na definição:
 - 1
- 1
- 1 - 4
- 18 - 18A = 
- 5 - 2
- 18 - 18
1 4
18 18 A = 
5 2
18 1
 
8
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Veja como é rápido efetuar essa inversa, porém a generalização é difícil. Portanto, 
é importante aprender os outros métodos.
ATENCAO
Exemplo 2: Calcule a inversa da matriz
- 2 9 
A = 
 1 3 
 
 
 
Resolução: Novamente, pela definição, temos: 
( ) ( )
( ) ( )
 - 1
d - b
det A det A
A = 
- c a
det A det
 
A
 
 
 
 
  
 
TÓPICO 2 | DETERMINANTES E INVERSÃO DE MATRIZES
57
Assim, precisamos calcular ou seja:( )det A ,
( ) ( )
( )
( )
det A = - 2 3 - 1 9
det A = - 6 - 9
det A = - 15
 ⋅ ⋅ 
Então, da matriz A, sabemos que a = - 2, b = 9, c = 1 e d = 3. Usando a 
definição da inversa, basta efetuar as devidas substituições.
( ) ( )
( ) ( )
- 1
- 1
- 1
d - b
det A det A
A = 
- c a
det A det A
3 - 9
- 15 - 15 A = 
- 1 - 2
- 15 - 15
3 9- 
15 15 A = 
1 2
15
 
 
15
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.7 PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES
Acadêmico(a), assim como vimos no estudo das propriedades das matrizes, 
as propriedades dos determinantes facilitam certos cálculos, sendo possível fazer 
com que economizemos tempo na resolução desses cálculos. Vejamos, a seguir, 
quais são estas propriedades:
P1: Se os elementos de uma linha (ou uma coluna) de uma matriz quadrada 
forem todos iguais a zero, seu determinante será zero.
Exemplos:
4 9 - 8 7 3 0 15 
0 0 0 01) = 0 2) 2 0 - 3 = 0
3 2 - 1 3 - 1 0 7
 18 12 9 3
UNIDADE 1 | MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
58
P2: Se os elementos de duas linhas ou colunas de uma matriz forem iguais, 
seu determinante será nulo.
Exemplo:
1 3
 2 5 3 5 
 4 2 9 8 
1) = 0 pois, 
 2 1 3 5 
 9
 L =
7 3 
 L
4
P3: Se uma matriz possui duas linhas (ou colunas) proporcionais, então 
seu determinante será nulo.
Exemplo:
 3 1
 1 4 2 
1) 2 1 4 = 0 pois C a
 3 2 6
= 2C
 
P4: Se trocarmos de posição, entre si, duas linhas (ou colunas) de uma 
matriz quadrada, o determinante da nova matriz é o anterior com o sinal trocado.
Exemplo:
 1 2 3 
 2 1 - 1 = - 4
 3 2 1
Trocando as posições de L1 e L2, por exemplo, temos:
 2 1 - 1 
 1 2 3 = + 4
 3 2 1
P5: Se multiplicarmos todos os elementos de uma linha (ou coluna) por 
um número real , então o determinante da nova matriz é o anterior multiplicado 
pelo número .
Exemplos:
α
α
TÓPICO 2 | DETERMINANTES E INVERSÃO DE MATRIZES
59
( ) 1Multiplicando C por 2, t
 1 2 3 2 2 3
1) 2 1 - 1 = - 4 4 1 - 1 = 2 - 4 = - 8
 3 2 1 6 2 1
emos: ⋅
1
5 1
 5 - 10 0 
2) 3 7 4 = Multiplicando - L145 
 
por 
2 0 - 1
, te
 
mos:
( )
 1 - 2 0 
1 3 7 4 = - 145 = - 29
5
 2 0 - 1 
⋅
P6: O determinante de uma matriz quadrada A é igual ao determinante de 
sua transposta AT.
Exemplo:
t
 1 2 3 1 2 2 
 2 1 2 = 9 Det 2 1 4 = 9
 2 4 3 3 2 3
A = Det A = 
 
P7: Teorema de Jacobi: o determinante de uma matriz não se altera quando 
somamos aos elementos de uma linha (ou coluna) uma combinação linear dos 
elementos correspondentes de linhas ou colunas paralelas.
Exemplo:
 1 2 3 
1) 2 1 2 = 9
 2 4 3 
Substituindo a 1ª coluna pela soma dessa mesma coluna com o dobro da 
2ª, temos:
 C1 + 2C2 
 1+2×2 2 3 5 2 3 
 2+1×2 1 2 = 4 1 2 = 9
 2+4×2 4 3 10 4 3 

UNIDADE 1 | MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
60
P8: O determinante associado a uma matriz triangular é igual ao produto 
da diagonal principal.
Exemplos:
 a 0 0 x g h 
1) d b 0 = a b c 2) 0 y i = x y z
 e f c 0 0 z 
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
P9: Teorema de Binet: se A e B são matrizes quadradas, então Det (AB) = 
Det A·Det B
Exemplo:
( )
 
5 2
10
 2 1 1 0 4 2 
, ,Se A = B = e A B = e det AB = det A det B
 
nt
3 4 2 2 
ão: 
 11 8 
 ⋅⋅

P10: Matriz inversa: seja M uma matriz inversível de ordem n, temos: 
 - 1 1Det M = 
Det M
Exemplo:
- 1 5 8 - 3 8 1Seja: A = = - 1, então A = = = - 1 .
 2 3 2 - 5 - 1
 
Crie outras matrizes e verifique passo a passo a validade de cada uma destas 
propriedades.
DICAS
2.8 MATRIZ SINGULAR
Uma matriz é denominada singular quando o seu determinante é nulo. 
Por exemplo, se uma matriz quadrada tiver pelo menos uma linha ou coluna 
nula, terá determinante zero (0), o que caracteriza uma matriz singular.
TÓPICO 2 | DETERMINANTES E INVERSÃO DE MATRIZES
61
Existem nove matrizes singulares com dimensão 2x2 compostas dos 
números 0 e 1:
 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1
 , , , , , , , , , 
 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 
                   
                   
                   
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