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Disciplina: CCE0643 - CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA 1a Questão Em relação aos conceitos de vetores, marque (V) para verdadeiro e (F) para falso e assinale a alternativa correta. ( ) Um vetor é uma grandeza matemática que possui módulo, direção e sentido; ( ) O módulo é o tamanho do vetor; ( ) O sentido é o mesmo da reta suporte que contem o vetor; ( ) A direção é para onde o vetor está apontando. V,V,F,F. V,F,V,F. V,V,V,V. F,V,F,F. V,F,V,V. Explicação: A questão apresenta conceitos teóricos fundamentais de vetores e grandezas vetoriais 2a Questão Determine o valor de x para que os vetores u=(x,1) e v=(9,3) sejam paralelos 1 3 0 -1 2 3a Questão Dados os pontos A(1,2), B(−6,−2) e C(1, 2), qual da operação entre os vetores : (AB)+ (BC)? (2,0) (0,2) (1,0) (0,1) (0,0) Explicação: Tem que ser calculado em primeiro lugar os vetores e posteriormente efetuar a adição, tendo em vista que no enunciado dá pontos e não vetores. 4a Questão Dados os vetores u ( 4, -x ) e v ( 2, 3 ), qual é o valor de x , sabendo que os vetores são ortogonais ? 3/2 -8/3 8/3 2/5 -3/2 Explicação: O produto escalar dos vetores tem que ser igual a zero 5a Questão Determine o valor de x para que os vetores u=(x,2) e v=(9,6) sejam paralelos Nenhuma das anteriores x=2 x=1 x=3 x=4 6a Questão Dado os pontos A(-10, -4), B(0, 5) e C(-4, 1), calcule o vetor 3(AB) ⃗-2/3 (BC) ⃗+2(AC) ⃗. (126/3, 96/3) (126/3, 104/3) (104/3, 119/3) (134/3, 96/3) (134/3, 119/3) Explicação: = (3(0-(-10)) - 2/3.(-4-0)+2(-4-(-10)), 3(5-(-4)) - 2/3(1-5) + 2(1-(-4))) = (30 + 8/3 + 12, 27 + 8/3 + 10) = (134/3, 119/3) 7a Questão Calcule o ângulo entre os vetores u=(3,2) e v=(6,4). 45° 30° 90° 0° 60° Explicação: u.v=(3,2).(6,4)=3.6+2.4=18+8=26 !!u!!=V3²+2² = V9+4 = V13 !!v!!=V6²+4² = V36+16 = V52 = 2V13 Logo, chamando de A o ângulo entre os vetores, temos: cos A = u.v / !!u!!.!!v!! = 26 / V13.2V13 = 26 / 2.13 = 1 Daí: A=0° 8a Questão Dados os vetores u = (2, -1, 4) e v = (2 + m, -1, 3 + 2n), determinar, respectivamente, os valores de m e n para que os vetores sejam iguais. 0 e 1/2 2/3 e -2 -1 e 1/2 1 e 2/3 -1 e 0 Explicação: 2 + m = 2 3 + 2n = 4 Disciplina: CCE0643 - CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA 1a Questão Demonstrar que os seguintes pares de vetores são ortogonais. Dado os vetores i = (1, 0, ,0) e j = (0, 1, 0). -1 3 0 2 -4 Explicação: O produto entre i.j = (1,0,0).(0,1,0) = 1.(0) + 0.(1) + 0.(0) = 0. O vetor 0 é ortogonal a todo vetor, isto é, o vetor 0.v = 0 para todo o vetor v. 2a Questão Dados os vetores u= 2i -3j -2k e v= i -2j-xk, qual é o valor de x , sabendo que os vetores são ortogonais? 4 -4 2 3 -3 Explicação: Cálculo se dá pelo produto escalar, que deve dar zero quando os vetores são ortogonais. 3a Questão Considerando-se os pontos A(2,0,2), B(3,2,5) e C(2,3,5) e os vetores: u de origem em A e extremidade em B, v de origem em B e extremidade em C, a soma dos vetores u e v resulta na terna: (D) (2, 3, 3) (B) (7, 15, 12) (A) (0, - 3, - 3) (C) 0, 3, 3) (E) (0, 0, 0) Explicação: Tem-se u = AB = B - A = (1, 2, 3) v = BC = C - B = (- 1, 1, 0) Logo (1, 2, 3) + (- 1, 1, 0) = (0, 3, 3) 4a Questão Quais são as equações simétricas das seguintes equações paramétricas x=t+3 e y=3+2t e z=1+2t: 2x-2= (y-3)/3=(2z-1)/2 x-3= (y-3)/2=(z-1)/2 ) x-1= (y-3)/2=(z-1)/3 x-3= (y-2)/2=(z-3)/3 x-2= (y-3)/3=(z-1)/2 5a Questão Dados os pontos A = (1, 3) e B = (5,2), determine as coordenadas do Ponto C, interno ao segmento AB, de modo que os vetores VAC e VABsejam tais que, VAC =2/3.VAB . C = (4, 10/3) C = (10/3, 4/5) C = (11/3, 7/3) C = (5/3, 2/5) C = (1/3, 2/3) 6a Questão Se o vetor v tem coordenadas (√8, - 1), então seu módulo vale: (B) 3 (D) √7 (A) 1 (C) 9 (E) 2√5 Explicação: raiz((√8)² + (-1)²) = √9 = 3 7a Questão Sejam os vetores u = (3, 2, 1) e v = (-1, -4, -1), calcular o produto u.u. -14 -13 0 14 15 Explicação: u.u = 3.(3) + 2.(2) + 1.(1) = 14 8a Questão Dados dois vetores no espaço u e v. Desejase encontrar um terceiro vetor w, ortogonal a ambos. Isso pode ser resolvido através de um sistema de equações de infinitas soluções, mas se quiser encontrar uma solução direta,você usaria: O método de Grand Schimidt. O método de ortogonais concorrentes. O método de ortonormalização. Produto escalar dos vetores u e v. Produto vetorial dos vetores u e v. Disciplina: CCE0643 - CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA 1a Questão Dados os vetores u ( 1, 2 ) e v ( 3, x ), qual é o valor de x , sabendo que os vetores são ortogonais? 3/8 -3/2 5/8 2/8 -5/8 Explicação: O produto escalar dos vetores tem que ser igual a zero 2a Questão O valor de x para que os vetores u=(x,2) e v=(9,6) sejam paralelos é: 3 2 6 9 1 3a Questão O ângulo entre os vetores u=(1,0,1) e v=(0,1,0) é igual a: 15º 45º 30º 60º 90º 4a Questão Dada as seguintes afirmações: Uma grandeza vetorial é caracterizada por possuir uma direção, um sentido e um módulo. Força, velocidade e aceleração são exemplos de grandezas escalares. Os vetores classificados como coplanares pertencem a planos diferentes. O módulo do vetor →u=(-3,0,-4) é igual a 5 As componentes dos vetores nos eixos x,y e z são representadas por →i, →j e →k, respectivamente. Marque a alternativa correta: IV e V estão corretas III e IV estão corretas I e III estão corretas I, IV e V estão corretas Apenas I está correta Explicação: A questão explora tópicos concetuais de vetores e grandezas vetoriais 5a Questão O valor de x para que os vetores u=(x,2,0) e v=(9,6,0) sejam paralelos é: 0 3 6 9 2 Explicação: Dois vetores são paraleleos quando suas coordenadas são proporcionais6a Questão Determine x e t de modo que os pontos A=(2, 4, t) seja igual ao ponto B=(x, 2x, 3x). Nenhuma das anteriores x=2 e t=3 x=4 e t=6 x=2 e t=6 x=4 e t=3 7a Questão Determinar os valores de m e n para que os vetores →u=(m+1)→i + 2→j + →k e →v=(4,2,2n-1) sejamiguais. m= 0 e n= 1 m= 3 e n= -1 m= 5 e n= -1 m= -5 e n= 1 m= 3 e n= 1 Explicação: u=v => m+1=4 => m=3 , 2=2 e 1=2n-1 => n=1 8a Questão Dados os vetores u (1, 3, 2 ) e v ( 4, 2, x ), qual é o valor de x , sabendo que os vetores são ortogonais? 14 -13 12 13 -14 Explicação: O produto escalar dos vetores tem que ser igual a zero Disciplina: CCE0643 - CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA 1a Questão Dados os vetores u= i + 3j+ 2k e v= 4i +2j+xk, qual é o valor de x , sabendo que os vetores são ortogonais? -4 2 4 -5 5 Explicação: O Produto escalar entre os vetores tem de ser igual a zero. Assim: u.v = 0 => (1.3,2) . (4.2.x) = 0 => 4+6+2x = 0 => 2x = -10 => x = -5. 2a Questão Dados os vetores u = 3i - 5j + 8k e v= 4i - 2j -k, calcular o produto escalar u.v. 12 14 22 18 13 Explicação: produto escalar u.v = 3.(4) - 5.(-2) + 8.(-1) = 12 + 10 -8 = 14. 3a Questão Dados os vetores u = (4, a, -1) e v (a, 2, 3) e os pontos A (4, -1, 2) e B (3, 2, -1), determinar o valor de a tal que u.(v + BA) = 5. 7/6 8/5 0 7/3 -7/3 Explicação: BA = A - B = (1, -3, 3) v + BA = (a, 2, 3) + (1, -3, 3) = (a + 1, -1, 6) u.(v+BA)=5 => (4, a, -1).(a + 1, -1, 6) = 5 => 4.(a + 1) + a.(-1) - 1.(6) = 5 => 4.a + 4 - a - 6 = 5 => 3.a = 7 =>a = 7/3 4a Questão Qual deve ser o valor de m para que os vetores →u=(3,m,−2),→v=(1,−1,0)→w=(2,−1,2) sejam coplanares? m = -4 m= 2 m=-2 m = 4 m= -8 Explicação: Para que os vetores sejam coplanares devemos ter o produto miso nulo. Assim: 3 m -2 (u,v,w)=0 => 1 -1 0 = 0 => -6+2-4-2m=0 => m=-4 2 -1 2 5a Questão Sendo o módulo do vetor u = 2 , o módulo do vetor v = 3 e o ângulo entre os vetores u e v igual à 120°, calcular o módulo de u - v ao quadrado. 16 raiz quadrada de 18 raiz quadrada de 19 18 19 Explicação: u - v ao quadrado = o módulo de u ao quadrado - 2.u.v + módulo de v ao quadrado. = 4 - 2.(-3) + 9 = 19 = = raiz quadrada de 19. 6a Questão O ângulo, em graus, formado entre os vetores u e v, sendo u = (1, 0, 1) e v = (1, -√3, 0) é: (B) 45 (A) 30 (E) 270 (C) 90 (D) 150 Explicação: produto u.v= (0, 1, 0).(1, -√3, 0) = -√3 módulo u = 1 módulo de v = 2 Logo: cos x = (- √3/2), então x = arc cos (-√3/2) e portanto x = 150 graus 7a Questão Dados os vetores u=(-1,2´-4) e v=(3,-5,7) determine o valor de u.v - v.u. -82 0 82 -4 -41 Explicação: Temos que: u.v = (-1,2,-4) . (3,-5,7) = -1,3+2.(-5) +(-4).7 = -3-10-28 = -41 v.u = (3,-5,7) . (-1,2,-4) = 3.(-1)+(-5).2+7.(-4) = -3-10-28=-41 Logo: u.v - v.u = -41 - (-41) = -41+41 = 0 8a Questão Na física, se uma força constante F→ desloca um objeto do ponto A para o ponto B , o trabalho W realizado por F→, movendo este objeto, é definido como sendo o produto da força ao longo da distância percorrida. Em termos matemáticos escrevemos: W = ( I F→I cos θ ) I D→ I onde D→ é o vetor deslocamento e θ o ângulo dos dois vetores . Este produto tem um correspondente em Cálculo Vetorial. Sendo F→ = -2 i→ + 3j→ - k→ , medida em newtons, A(3, -3, 3), B(2, -1, 2) e com a unidade de comprimento metro, o trabalho realizado em joules é 15 13 3 9 7 Disciplina: CCE0643 - CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA 1a Questão Determine a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto (-1,-2, 0 ) que tem a direção do vetor (1, 0, 1) X= -1+t y = -2 z = t X= 1+t y = -2 z = t X= -1+t y = 2 z = t X= -1+t y = -2 z = -t X= -1-t y = -2 z = t Explicação: Temos que: (x,y,z) = (-1,-2,0) + t(1,0,1) => x=-1+t y=-2 z=t 2a Questão Calculado o produto misto de três vetores como, a partir desse valor, pode-se calcular o volume de um tetraedro que tivesse esses três vetores como arestas? Se o resultado do produto misto for igual a zero não há tetraedro formado. Caso contrário deve-se dividir o módulo do valor do produto misto por seis. Fazer com que os vetores se tornem coplanares. Calculando-se o valor de um sexto do produto misto incondicionalmente. Se o resultado do produto misto for igual a zero não há tetraedro formado. Caso contrário deve-se dividir do valor do produto misto por seis. Multiplicar o resultado por 2 3a Questão Determine a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto (1,2, -1 ) que tem a direção do vetor (3,0, 0 ) x= 1+3t y=2 z=-1 x= 1+3t y=2 z=t x= 3t y=2 z=-1 x= 1+3t y=2t z=-1 x= 1+3t y=2 z=1 Explicação: Devemos ter: (x,y,z)=(1,2,-1) + t(3,0,0) => x=1+3t y=2 z=-1 4a Questão Determine a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto (5,-2, 0 ) que tem a direção do vetor (0, 0, 1 ) x= 5 y=-2 z=t x= 5 y=-2+ t z=t x= 5 y=-2+t z=t x= 5 y=-2 z=1 x= 5 - t y=-2 z=t Explicação: Substituir cada ponto e cada componente do vetor nos seus respectivos lugar 5a Questão Considere a reta que passa pelos pontos A(2, 1, - 3) e B(4, 2, 0). Assinale a opção que mostra um outro ponto que pertence a este plano. D(0, 0, 11) G(0, 0, 8) C(6, 3, 3) E(0, 0, 12) F(0, 0, 14) 6a Questão Determine a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto (-1,0, 1 ) que tem a direção do vetor (1, 1, 1) X= -1+t y = -t z = 1+t X= -1+t y = t z = 1-t X= -1+t y = t z = 1+t X= 1+t y = t z = 1+t X= -1+t y = t z = -1+t Explicação: Temos que: (x,y,z) = (-1,0,1) + t(1,1,1) => x=-1+t , y=t e z=1+t 7a Questão Determinar o valor de m para que as retas r: y=mx-5 e s: x=-2+t sejam ortogonais. z=-3x y=4-2tz=5t -11/2 13/2 -15/2 -9/2 7/2 Explicação: Os vetores diretores das retas r e s são respectivamente U=(1,m,-3) e v=(1,-2,5). Para que as retas sejam ortogonais devemos ter: u.v= 0, daí: (1,m,-3).(1,-2,5)=0 => 1-2m-15=0 => m=-15/2 8a Questão Determine as equações simétricas da reta r que passa pelos pontos A(5,-2,3) e tem a direção do vetor v=(4,-4,-7). x+4 / -5 = y-4 / 2 = z-7 / -3 x+5 / -4 = y-2 / 4 = z+3 /7 x-5 / -4 = y-2 /-4 = z+3 / 7 X-5 /4 = Y+2 /-4 = Z-3 / -7 x-4 / 5 = y+4 / -2 = z+7 / 3 Explicação: As equações simétricas da reta que passa pelo ponto A(x',y',z') e tem a direção do vetor v=(x",y"z") é dada por: x-x' / x" = y-y' / y" = z-z' / z". Basta então substituir os valores dados.
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