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1 Faculdade de Economia, Universidade Federal Fluminense Microeconomia III Lista 7 - Capítulo 33: Bem-estar Respostas 0. Ver resposta no final do Varian. 1. Uma maneira de se determinar relações de preferências sociais é a “contagem de Borda”1, também conhecida como votação com escala ordinal. Pede-se a cada eleitor que ordene todas as alternativas, atribuindo 1 à primeira alternativa, 2 à segunda, e assim por diante. Soma-se então a pontuação total de cada alternativa. A pontuação total de uma alternativa é chamada de “contagem de Borda”. Para quaisquer alternativas, x e y, se a contagem de Borda de x for menor ou igual à de y, então x será “socialmente ao menos tão bom quanto” y. Suponha que haja um número finito de alternativas, e que todos os indivíduos tenham preferências racionais (completas, reflexivas e transitivas). Vamos supor ainda que os indivíduos nunca sejam indiferentes entre duas alternativas, tendo, portanto, somente preferências estritas. a. A ordenação social de preferências assim definida é completa? É reflexiva? É transitiva? A resposta é sim para todas as perguntas. Relembrando: 1 Pressupostos sobre relações de preferência Completude: para quaisquer duas cestas x e y, sempre é possível afirmar que: x y ou y x ou ambos (implicando indiferença) ~ ~ Pressupostos sobre relações de preferência Reflexividade: Qualquer cesta x é sempre ao menos tão desejada quanto ela mesma: x x. ~ 12 Pressupostos sobre relações de preferência Transitividade: se x ao menos tão desejável quanto y, e y é ao menos tão desejável quanto z, então x é ao menos tão desejável quanto z: x y e y z x z~ ~ ~ b. Se todos preferem x a y, a contagem de Borda classificará x como socialmente preferida a y? Por que? Sim. Se todos preferirem x a y, então todos atribuirão a x um valor mais baixo do que o valor atribuído a y. A contagem de x será menor que a de y , indicando que a alocação x será socialmente preferida à alocação y. c. Suponha que haja dois eleitores e três candidatos, x, y e z. Suponha que o eleitor 1 ordene: x, z, y; e que o eleitor 2 ordene: y, x, z. Qual é a contagem de Borda para x? E para y? E para z? 3; 4; 5. d. Suponha que novos fatos políticos tenham alterado as preferências, de forma que agora o eleitor 1 ordene: x, y, z; e que o eleitor 2 ordene: y, z, x. Qual é a contagem de Borda para x? E para y? E para z? 4; 3; 5. e. A relação de preferência social definida pela contagem de Borda respeita a propriedade de que as preferências sociais entre x e y dependem apenas de como as pessoas ordenam x com relação a y, independentemente de como ordenam outras alternativas? Explique. Não. No exemplo acima, a posição de z no ranking mudou, mas ninguém mudou de ideia quanto ao ordenamento entre x e y. Contudo, antes dos novos fatos polítcos, x ganhava de y, mas após os mesmos, y passa a ganhar de x. 2. Suponha que a fronteira de possibilidades de utilidade para dois indivíduos seja dada por UA + 2UB = 200. a. No gráfico abaixo, trace esta fronteira.Ver gráfico abaixo. b. Que coordenada no gráfico acima indicaria um ponto de maximização de uma “função de bem-estar social Nietzcheana”, isto é, W(UA,UB) = max {UA,UB}? (Dica: sobre esta função, ver ex. de revisão 2 do Varian). (200, 0). A alocação que maximiza o bem-estar, segundo esta função de bem-estar, consiste em destinar todos os recursos ao indivíduo que é capaz de alcançar uma utilidade mais alta. c. Que coordenada no gráfico acima indicaria um ponto de maximização da função de bem-estar social do tipo maximin, W(UA,UB) = min {UA,UB}? Neste caso, UA deve ser igual a UB, conforme mostra a linha vermelha no gráfico. Substituindo UA ou UB na expressão da fronteira de possibilidades de utilidades, dada no enunciado do exercício, vocês obterão (200/3; 200/3), ou seja, aproxidamente (66,67; 66,67). 1 Proposta pelo matemático francês Jean-Charles Borda em 1770. 2 d. Que coordenada no gráfico acima indicaria um ponto de maximização da função de bem-estar social W(UA,UB) = UA1/2UB1/2? (Note a semelhança entre este problema de maximização e o problema comum de maximização do consumidor com função de utilidade Cobb-Douglas). Aqui, como no problema da escolha do consumidor, para encontrar o ponto ótimo, vocês devem igualar a declividade da função que expressa as preferências – neste caso, preferências coletivas – à inclinação da fronteira de possibilidades de utilidade. Portanto, deveremos ter: -(∂W/∂UA)/( ∂W/∂UB) = - ½ UB/UA = ½ UA = 2UB Agora, basta substitui UA na expressão da fronteira de possibilidades de utilidades, dada no enunciado do exercício, para obter UA=100 e UB=50. e. No gráfico acima, indique com cores diferentes os três pontos de maximização do bem-estar. Esboce também as curvas de iso-bem-estar que passam pelos ponto de maximização. As curvas estão representadas no gráfico. Os pontos são aqueles obtidos nos itens anteriores. 3. Um casal tem dois filhos, Antônio (A) e Bruna (B), igualmente amados pelos pais. O casal tem R$1.000,00 para lhes distribuir. a. A utilidade do casal é U(a, b) = √a + √b, onde a é o montante que os pais oferecem a A, e b é o montante que oferecem a B. Como será dividido o dinheiro? (Observações: 1) Cabe destacar que estamos supondo que a utilidade de cada filho é função linear do montante recebido: u(A)=a e u(B)=b. 2) Assim, a fronteira de possibilidades de utilidades pode ser escrita assim: a + b = 1000. 3) Apesar de usarmos neste exercício a notação tradicionalmente usada para preferências individuais (U(∙), apra utilidade), na realidade estamos tratando de preferências coletivas, pois se trata de um casal. Se preferirem, usem W(∙). Aqui, como no item (d) do exercício anterior, vocês devem igualar as declividades da iso-bem-estar e da fronteira de possibilidades de utilidades, isto é: (∂U/∂a)/(∂U/∂b) = -1 b/a = 1 a = b. Agora, basta substituir a na expressão da fronteira de possibilidades de utilidades para obter a =500 e b =500. b. Suponha que a utilidade do casal seja U(a, b) = -1/a – 1/b. Como será dividido o dinheiro? Mesmo procedimento do item (a): (∂U/∂a)/(∂U/∂b) = -1 b²/a² = 1 a² = b² a = b (ignorando valores negativos para a e b). Portanto, a = b = 500. c. Suponha que a utilidade do casal seja U(a, b) = log a + log b. Como será dividido o dinheiro? Mesmo procedimento do item (a) a = b = 500. d. Suponha que a utilidade do casal seja U(a, b) = min {a,b}. Como será dividido o dinheiro? Neste caso, a deve ser igual a b, conforme explicado no item (c) do exercício anterior. É como se os filhos fossem “complementares perfeitos” aos olho dos pais. Assim, a = b = 500. 3 e. Suponha que a utilidade do casal seja U(a, b) = max {a,b}. Como será dividido o dinheiro? Como no item (b) do exercício anterior, a alocação que maximiza o bem-estar consiste em dar tudo para um único indivíduo. Porém, aqui não a utilidade máxima alcançável por cada um dos indivíduos é a mesma. Assim, os pais têm duas opção: a = 1000 e b = 0, ou vice-versa. f. Suponha que a utilidade do casal seja U(a, b) = a² + b². Como será dividido o dinheiro? Qual é a particularidade deste caso? Como no item (3b), a alocação que maximiza o bem-estar consiste em dar tudo para um único indivíduo. Portanto, a = 1000 e b = 0, ou vice-versa. Trata-se de uma preferência não- convexa, como indicado na figura ao lado. 62 Exemplos de solução de canto - o caso de preferências não-convexas x1 x2 Note que a “solução de tangência” não é a mais desejada das cestas adquiríveisCesta adquirível mais desejada (solução de canto) 4. Nouriel e Roubini têm fronteira de possibilidades de utilidade dada pela seguinte equação: UR + (UN)² = 100, onde N e R indexam os dois agentes. a. Se fixarmos a utilidade de Nouriel em zero, qual será a máxima utilidade que Roubini poderá alcançar? 100. (Roubini é bastante otimista!) b. Se fixarmos a utilidade de Roubini em zero, qual será a máxima utilidade que Nouriel poderá alcançar? 10. (Nouriel é bastante pessimista!) c. Com base nas respostas dadas a (a) e (b), e observando o tipo de função (não-linear) com que estamos trabalhando agora, esboce no diagrama abaixo a fronteira de possibilidades de utilidade. Ver gráfico ao lado. UR UN d. A declividade da curva de possibilidades de utilidade. UR + (UN)² = 100 UR = 100 - (UN)² (∂UR/UN) = -2UN. e. Ambos os agentes desta sociedade acreditam que a alocação ideal seja dada pela maximização de alguma função de bem-estar social apropriada. Roubini acredita que UR = 75 e UN = 5 seja a melhor distribuição de bem-estar, e está em busca de uma função de bem-estar social de tipo utilitarista generalizada (com ponderação da importância dos agentes) compatível com esta alocação ideal (UR = 75 e UN = 5). Qual é esta função de bem-estar? (Dica: qual é a declividade desta função de bem-estar social?). - Estamos interessados em determinar uma função do tipo utilitarista ponderada, certo? Portanto, trata-se de uma função na forma: W = UR + a.UN, onde a é o peso do indivíduo N. O peso de R pode ser normalizado para 1. - Podemos reorganizar a expressão, deixando UR de um lado e UN do outro. UR = W - a.UN. Qual é a declividade? É (- a), certo? - Além disso, sabemos que, no ponto ótimo, a declividade da curva de indiferença social deve ser igual à da curva de possibilidades de utilidades. Portanto, a declividade dessa nossa função utilitarista ponderada deve ser igual a -2UN, qué é justamente a declividade encontrada no item (d). - Sabemos ainda que Rafael quer que UN seja igual a 5. Assim, o que ele está buscando é uma função de bem-estar social cuja declividade seja igual a -2UN = -2*5 = -10. - Portanto, deveremos ter -a = -10 a = 10. - Assim, teremos UR = W – 10.UN W = UR + 10.UN. f. Já Nouriel acredita que a melhor distribuição de bem-estar seja UR = 19 e UN = 9. Qual é esta função de bem-estar compatível com isto? - Mesmo procedimento do item (f). Vocês deverão encontrar: W = UR + 18.UN. (Extra: se trabalhássemos com uma função de bem-estar utilitarista clássica W = UR + UN, qual seria alocação ótima? Deveríamos igualar declividades da curva iso-bem-estar (isto é, -1) e da fronteira de possibilidades de utilidade (-2UN). 4 -2UN = -1 UN = ½. Sabendo que: UR + (UN)² = 100 e que UN = ½, por substituição, teremos: UR = 100 – (½) ² = 100 – ¼ = 99,75. Assim, a alocação ótima seria (UN = ½; UR = 99,75).) 5. Paula (P) e David (D) consomem abacates (A) e bananas (B). A função de utilidade de Paula é UP(AP,BP) = 2AP + BP, e a de David é UD(AD,BD) = AD + 2BD. Há um total de 12 abacates e 12 bananas a serem divididos entre os dois. Paula tem curvas de indiferença azuis, enquanto as de David são vermelhas. (Desconsiderar este exercício, por tratar do assunto “equidade como ausência de inveja”, não abordado em nosso curso.) 6. Coloque-se na seguinte “posição original”: suponha que amanhã você será a pessoa A ou B numa economia muito simples, em que existem apenas esses dois indivíduos A e B e uma quantidade fixa de somente um bem, coco. Você precisa escolher como o total de cocos será dividido entre A e B amanhã. É igualmente provável que você seja A ou B. a. Sendo R a proporção de coco atribuída a A, e 1-R aquela atribuída a B, em que valor você especificaria R? Explique seu raciocínio. Não há uma resposta certa para este item. Cada aluno pode dar uma resposta, em função de suas próprias preferências; em particular, em função de sua atitude frente ao risco ou de sua aversão à desigualdade numa situação hipotética de véu de ignorância. b. Mostre que, na posição original descrita aqui, uma pessoa avessa ao risco escolheria R = ½. - Como sua probabilidade de nascer A é ½, e de nascer B é ½, sua utilidade esperada é: UE = ½*UE(R) + ½*UE(1-R). - Imaginem agora que você escolha R = 0. Isto significa que UE = ½*UE(0) + ½*UE(1). (Notem que isto é equivalente a escolher R = 1 UE = ½UE* (1) + ½*UE(0).) - Imaginem agora que você escolha R = ¼. Teremos: UE = ½*UE(¼) + ½*UE(¾). (Notem que isto é equivalente a escolher R = ¾ UE = ½*UE(¾) + ½*UE(¼).) - Imaginem agora que você escolha R = ½. Neste caso, teremos : UE = ½*UE(½) + ½UE*(½). Ou seja, trata-se de uma opção segura, equivalente a não apostar, porque você sabe que, qualquer que seja sua identidade ao nascer, você terá U = U(50% dos cocos). - Observem agora a figura ao lado, porém imaginando R variando de 0 a 1 no eixo x. - Escolher R=0 (ou R=1) resulta em uma UE menor do que a de escolher R=½. Trata-se de raciocínio equivalente à comparação entre ½*U(5) + ½U(15) < U(10) no gráfico do Varian. - Analogamente, escolher R=¼ (ou R=¾) resultaria em UE menor do que escolher R=½. - De modo mais geral, qualquer combinação convexa resultaria numa UE menor do que a utilidade proporcionada por R=½. - E mais, isto seria válido qualquer que fosse o grau de aversão ao risco do indivíduo. - Portanto, podemos ter certeza de que, nas condições deste exercícoi, uma pessoa avessa ao risco escolheria R=½. Fig. 12.2 7. John Harsanyi, economista e teórico dos jogos, criticou o raciocínio do filósofo político John Rawls, que, partindo da “escolha sob véu de ignorância” (na chamada “posição original”), aponta o maximin como princípio de justiça. Segundo Harsanyi, para chegar ao maximin, é preciso considerar que a pessoa que se encontra nesta chamada “posição original” tenha aversão desmesurada ao risco, preocupada apenas em evitar o pior, que é nascer na posição mais desfavorável numa sociedade. Para Harsanyi, pessoas assim seriam paranóicas e, consequentemente, irracionais. Rawls reagiu vigorosamente, afirmando que a escolha de princípios de justiça não pode ser tratada como uma escolha sob incerteza como outra qualquer. Vejamos uma ilustração do contraste entre as visões de Rawls e Harsanyi. 5 Suponha que, numa sociedade composta por três pessoas, possamos medir cardinalmente a utilidade de cada uma delas. Suponha que haja três conjuntos de políticas públicas, defendidas pelos partidos, A, B e C, que conduzam a distribuições diferentes de bem-estar para os três indivíduos, conforme indicado abaixo: Conjunto de políticas públicas Utilidade do indivíduo João Maria José Partido A 45 45 45 Partido B 75 60 30 Partido C 78 63 21 O problema é escolher qual desses conjuntos de políticas é preferível, supondo que nenhum dos três indivíduos saiba que pessoa será ao nascer (posição original). a. (Suponha que estejamos certos de que os princípios de igual liberdade e de justa igualdade de oportunidades serão satisfeitos nessa sociedade, de forma tal que possamos abstrair deles e nos concentrar apenas sobre o princípio de diferença. Vamos ignorar também o fato de estarmos usando utilidades aqui, algo rejeitado explicitamente por Rawls, que defende o uso de “bens primários” como atributos). Consideradas essas ressalvas, responda o seguinte: na posição original, de acordo com o princípio de diferença de Rawls, qual conjunto de políticas públicas seria preferido: A, B, ou C? Qual conjunto de políticas públicas seria o menos desejável aos olhos de Rawls? Basta comparar a situação do mais desfavorecido em cada um dosconjuntos. No conjunto de políticas proposto pelo partido A, a sociedade é perfeitamente igualitária, de modo que todos são “igualmente (des)favorecidos”, com U=45. No conjunto favorecido pelo partido B, o mais desfavorecido é José, com U=30. No conjunto defendido pelo partido C, o mais desfavorecido é José, com U=21. Portanto, A é o conjunto preferido, e C é o conjunto menos desejável. b. Se cada pessoa maximizasse sua utilidade esperada, e se cada uma tivesse probabilidade 1/3 de ser uma das três pessoas, qual seria o conjunto de políticas públicas preferido? (Este é o raciocínio privilegiado por Harsanyi). A questão aqui é computar a UE de cada conjunto de políticas públicas, atribuindo probabilidade de 1/3 à possibilidade de nascer com a identidade de cada uma das três pessoas: UE(A) = 1/3*45 + 1/3*45 + 1/3*45 = 45 UE(B) = 1/3*75 + 1/3*60 + 1/3*30 = 55 UE(C) = 1/3*78 + 1/3*63 + 1/3*21= 54 Portanto, B é a preferida por Harsanyi, pois é a opção que maximiza a UE. c. Suponha, por fim, que o “véu da ignorância” tenha sido retirado, ou seja, que agora um indivíduo saiba que será João; o outro saiba que será Maria; e um terceiro saiba que será José. Se esta sociedade tivesse que escolher entre A, B e C por meio de uma eleição com voto majoritário, em turno único, que alternativa venceria? Com voto majoritário, em turno único, teríamos: João: C > B > A Maria: C > B > A José: A > B > C Portanto, C venceria A com 2/3 dos votos. 8. Deus lhe diz que você tem o direito de escolher o país em que nascerá, mas não sua identidade: em especial, você não sabe o quão rico ou pobre será. Para facilitar sua escolha, Ele encomendou um estudo sobre a distribuição de renda nos países em que você poderá nascer. Os resultados encontram-se resumidos a seguir: Renda média de cada tipo de indivíduo em cada um dos países. Pais: Tipo de indivíduo: Bolivária Escandilândia Ibéria Anglo- Saxônia Belíndia Indivíduo mais pobre 10 35 20 10 2 Indivíduo de classe média baixa 10 45 35 20 4 Indivíduo de classe média 10 50 40 40 10 Indivíduo de classe média alta 10 55 40 70 30 Indivíduo mais rico 10 60 45 80 50 Em todos os países, a proporção de habitantes de cada tipo é igual: 20% de cada tipo. Implicação: é como se houvesse um habitante de cada tipo em cada país. 6 Assim que você nascer, morrerá algum habitante do estado em que você nascer, de forma que você o substituirá. Implicação: a população será mantida. Para simplificar sua escolha, decidiu-se por determinação divina que a função de utilidade de todos os indivíduos do mundo seja: U(Xi) = Xi, onde Xi é a renda do indivíduo i. Determinou-se ainda que IBPi = Xi, onde IBPi é um índice de “bens primários” possuídos por i, e Xi é sua renda. Implicação: o atributo não tem nenhuma relevância aqui. a. Se você fosse simpatizante das ideias de John Rawls, em que país você escolheria nascer? Explique. Para Rawls, uma sociedade desejável é aquela que maximiza o nível de bens primários do indivíduo. Como o atributo é irrelevante aqui (conforme enunciado, U=IBP=X), apenas a maximização do mínimo importa. Ao comparar os países, nota-se que é na Escandilândia que o indivíduo mais pobre tem melhor situação (R$35). Portanto, você escolheria nascer na Escandilândia. b. Se você fosse simpatizante das ideias de John Rawls, como você ordenaria os países (do mais atrativo para nascer ao menos atrativo para nascer)? Explique. Pelos motivos explicados no item anterior, a ordem seria: Escandilândia (35) > Ibéria (20) > Anglo-Saxônia (10) = Bolivária (10) > Belíndia (2). c. Se você fosse um igualitarista estrito, que país você classificaria como o mais desejável? Explique. Um igualitarista estrito não se importa apenas com a sorte dos mais defavorecidos, como Rawls, mais sim com a menor desigualdade entre os indivíduos. Na Bolivária, não há desigualdade, portanto, seria o mais desejável. d. Se sua função de bem-estar social fosse “Nietzcheana”, como você ordenaria os países? Explique. Uma função “Nietzcheana” é do tipo max{·,...,·}. Contrariamente ao “maximin” do item a, o que importa neste caso é a sorte dos mais ricos. Assim, a classificação seria: Anglo-Saxônia (80) > Escandilândia (60) > Belíndia (50) > Ibéria (45) > Bolivária (10). e. Se você fosse um utilitarista clássico, como você ordenaria os países? Explique. Bastaria somar as utilidades (que, pelo enunciado, são iguais às rendas) em cada país, e ordená-los segundo a soma, da maior para a menor. A classificação seria então: Escandilândia (245) > Anglo-Saxônia (220) > Ibéria (180) > Belíndia (96) > Bolivária (50) f. Se você fosse um utilitarista ponderador, que atribuísse pesos de 1 a 5 aos diferentes tipos de indivíduos (1 ao mais rico, 2 ao segundo mais rico, e assim por diante, até 5 ao mais pobre), como você ordenaria os países? Explique. Neste caso, seria preciso ponderar as utilidades (=rendas) em cada país, e ordená-los segundo a soma, da maior para a menor. A classificação seria: Escandilândia (675) > Ibéria (485) > Anglo-Saxônia (470) > Belíndia (166) > Bolivária (150).
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