Lista Integrais

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Cálculo II – Resumos e exercícios 
Profª Janaína Ferreira de Lima 
8849-5590 oi 
janakwy@bol.com.br 
 
QUESTÕES (com respostas em azul) 
 
1. Uma floricultura geralmente vende um tipo de arbusto depois de cinco anos de 
crescimento e modelagem. A taxa de crescimento durante esses cinco anos pode ser 
aproximada pelo modelo 
𝑑ℎ
𝑑𝑡
=
17,6𝑡
√17,6𝑡2 + 1
 
em que t é o tempo em anos e h é a altura em polegadas. As mudas têm seis polegadas 
de altura quando são plantadas (t = 0). 
a) Determine a função altura. a) 𝒉(𝒕) = 𝟓 + √𝟏𝟕, 𝟔𝒕𝟐 + 𝟏 
b) Qual é a altura dos arbustos quando são vendidos? b) 26 polegadas 
 
2. A taxa de crescimento do número de usuários da internet I (em milhões) no mundo 
de 1991 a 2004 pode ser modelada por 
𝑑𝐼
𝑑𝑡
= −0,25𝑡3 + 5,319𝑡2 − 19,34𝑡 + 21,03 
em que t é o tempo em anos, com t = 1 correspondendo a 1991. O número de usuários 
da internet em 2004 era de 863 milhões. (Fonte: International Telecomunication Union). 
a) Determine o modelo para o número de usuários da internet no mundo. 
a) 𝑰(𝒕) = −𝟎, 𝟎𝟔𝟐𝟓𝒕𝟒 + 𝟏, 𝟕𝟕𝟑𝒕𝟑 − 𝟗, 𝟔𝟕𝒕𝟐 + 𝟐𝟏, 𝟎𝟑𝒕 − 𝟎, 𝟐𝟏𝟐 
b) Use o modelo para calcular o número de usuários da internet no mundo em 
2012. 
 
3. Uma população de bactérias cresce a uma taxa de 
𝑑𝑃
𝑑𝑡
=
3000
1 + 0,25𝑡
 
 
na qual t é o tempo em dias. Quando t = 0, a população é 1000. 
a) Escreva uma equação que represente a população P em função do tempo t. 
a) 𝑷(𝒕) = 𝟏𝟐𝟎𝟎𝟎 𝐥𝐧(𝟏 + 𝟎, 𝟐𝟓𝒕) + 𝟏𝟎𝟎𝟎 
b) Qual será a população após 3 dias? b) ≅7715 bactérias 
c) Depois de quantos dias a população chegará aos 12000? c) ≅ 6 dias 
 
4. A taxa de variação nas vendas da PetSmart, Inc. de 1998 a 2005 pode ser modelada 
por 
𝑑𝑆
𝑑𝑡
= 15,7𝑒0,23𝑡 
 
Em que S são as vendas (em milhões de dólares) e t = 8 corresponde a 1998. Em 1998, 
as vendas de PetSmart foram de $ 2.109,30 (Fonte: PetSmart, Inc.). 
a) Escreva um modelo para as vendas como uma função de t. 
 𝑠(𝑡) = 68,26𝑒0,23𝑡 + 1679,5 
 Cálculo II – Resumos e exercícios 
b) Qual o total de vendas no início? 
$68,26 
c) Em qual tempo as vendas foram $12.500,00? 
22,03 anos 
 
5. O custo marginal para produção de determinado bem, é dado pela função 
𝐶′(𝑥) = 18√𝑥 + 4. Se o custo fixo é de R$50,00, escreva a função custo total. 
𝐶(𝑥) = 12𝑥
3
2 + 4𝑥 + 50 
 
6. uma função velocidade é 𝑣(𝑡) = 𝑡2 − 2𝑡 + 4. Encontre a função deslocamento 
s = s(t) , se s(0) = 0. 𝑺(𝒕) =
𝟏
𝟑
𝒕𝟑 − 𝒕𝟐 + 𝟒𝒕 
 
7. Se uma reação química está se realizando a volume constante, a entalpia é dada por 
∆𝐻 = ∫ 𝐶𝑣𝑑𝑡, onde 𝐶𝑣 é definido como sendo a capacidade calorífica a volume 
constante. Se 𝐶𝑣 = 2𝑡2 + 3𝑡 + 7, calcule ∆𝐻. ∆𝑯 =
𝟐
𝟑
𝒕𝟑 +
𝟑
𝟐
𝒕𝟐 + 𝟕𝒕 + 𝒄 
 
8. Uma reação química ocorre apenas quando o valor de energia livre, de Gibbs, for 
negativa: ∆𝐺 = ∫ 𝑉𝑑𝑃
𝑃2
𝑃1
 onde V = volume, P = pressão e ∆𝐺 = variação na energia livre, 
de Gibbs. Se 𝑉 = 3𝑃2 + 2𝑃 + 4, calcule ∆𝐺, quando 𝑃1 = 3 e 𝑃2 = 7. 372 
 
 
Os exercícios a seguir são para o treino e preparação para quando vocês forem 
responder os exercícios contextualizados já estarem aptos a integrar qualquer função: 
 
1. Calcular: 
a) 
dx
 R: 
cx 
 
b) 
 xdx
 R: 
c
x

2
2 
c) 
 dxx
3
 R: 
c
x

4
4 
d) 
 dx2x
5
 R: 
c
x

3
6 
e)
2dx)x(
32
 R: 
cx 44
 
f) 
3dx)x(
23
 R: 
cx 39
 
g)
dxx
3
 R: 
c
x

22
1
 
h) 
dx)x
x
x(  522
2
3
 R: 
c
xxx

2
5
64
2 234
 
i)
dx)x
x
(  133
2
4
 R: 
cxx
x
 3
5
15
 
j) 
2xdx)x( 
22 1
 R: ou 
c
x


3
)1( 32
 
 
k) 
dxx
 R: 
c
x

3
2 2
3
 
l) 
 x
dx
 R: 
cx 2
 
m) 
 2x
dx
 R: 
c
x

1
 
n) 
 dxxx 
 R: 
c
xx

3
2
2
32 
o) 
dx
x
5xx
2
 24
 R: 
c
x
x
x

2
3 5
3
 
p) 
dx
x
xx

 22
 R: 
cx
x
 2
2
2 
q) 
dx
52
4
5


x
xx
 R: 
c
xx
x

32
2
3
51
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Cálculo II – Resumos e exercícios 
 
2. Obtenha as integrais indefinidas. 
a) 
 dxx
32
 Resposta: 
c
x

2
4 
b) 
  dxxx )3(
2
 Resposta: 
c
xx

2
3
3
23 
c) 
  dxx)5(
 Resposta: 
c
x
x 
2
5
2 
d) 
 dxx
5
 Resposta: 
cx ||ln5
 
e) 
 




 dx
x
x
62
 Resposta: 
cx
x
 ||ln6
3
3 
f) 
  dxxx ))cos()(sen(
 Resposta: 
cxx  )sen()cos(
 
g) 
 





 dxxx
x
5
1 2
3
 Resposta: 
c
xx
x


2
5
32
1 23
2
 
h) 
 dxx 
3
 Resposta: 
c
x

3/44
3
 
i) 
 







dxx
x
2
21
1
 Resposta: 
c
x
xarctg 
3
)(
3 
j) 
 dxe
x2
 Resposta: 
cex 2
 
k) 
  dxex
x)5)(sen(
 Resposta: 
cex x  5)cos(
 
l) 
 dx
x2
 Resposta: 
c
x

)2ln(
2
 
m) 
  dxxxx )53(
24
 Resposta: 
cxxx  235
2
1
3
5
5
3
 
n) 


dx
x
x 1
 Resposta: 
cx
x
 2/1
2/3
2
3
2
 
o) 


dx
x
x
2
2 43
 Resposta: 
c
x
x 
4
3
 
p) 
 dxx2
1
 Resposta: 
c
x

1
 
q) 
 dxx3
1
 Resposta: 
c
x


22
1
 
r) 
 dxx32
1
 Resposta: 
c
x


24
1
 
s) 
dxx 
3 2

 Resposta:
cx 3/5
5
3
 
 
 
 
 
 
 Cálculo II – Resumos e exercícios 
 
Calcule as integrais indefinidas 
Integrais Respostas 
1. ∫ 𝑒10𝑥𝑑𝑥 1
10
𝑒10𝑥 + 𝑐 
2. ∫ 𝑒−8𝑥𝑑𝑥 
−
1
8
𝑒−8𝑥 + 𝑐 
3. ∫
1
𝑒𝑥
𝑑𝑥 −𝑒
−𝑥 + 𝑐 
4. ∫ 𝑒5𝑥+3𝑑𝑥 1
5
𝑒5𝑥+3 + 𝑐 
5. ∫ 𝑒−4𝑥+5𝑑𝑥 
−
1
4
𝑒−4𝑥+5 + 𝑐 
6. ∫ 𝑒1−𝑥𝑑𝑥 −𝑒1−𝑥 + 𝑐 
7. ∫ 𝑥𝑒𝑥
2
𝑑𝑥 1
2
𝑒𝑥
2
+ 𝑐 
8. ∫ 𝑥2𝑒5𝑥
3
𝑑𝑥 1
15
𝑒5𝑥
3
+ 𝑐 
9. ∫
𝑒√𝑥
√𝑥
𝑑𝑥 2𝑒
√𝑥 + 𝑐 
10. ∫ 𝑒𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 𝑒𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐 
11. ∫ 𝑐𝑜𝑠5𝑥 𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛5𝑥
5
+ 𝐶 
12. ∫
𝑙𝑛𝑥
𝑥
𝑑𝑥 1
2
𝑙𝑛2 + 𝐶 
13. ∫
𝑑𝑥
3𝑥−7
 1
2
𝑙𝑛|3𝑥 − 7| + 𝐶 
14. ∫
𝑑𝑥
1−𝑥
 −𝑙𝑛|1 − 𝑥| + 𝐶 
15. ∫(𝑥3 + 2)23𝑥2𝑑𝑥 1
3
(𝑥2 + 2)3 + 𝐶 
16. ∫(𝑥3 + 2)
1
2𝑥2𝑑𝑥 
2
9
(𝑥3 + 2)
3
2 + 𝐶 
17. ∫
8𝑥2
(𝑥3+2)2
𝑑𝑥 
−4
3(𝑥3 + 2)2
+ 𝐶 
18. ∫
𝑥2
√(𝑥3+2)
4 𝑑𝑥 
4
9
(𝑥3 + 2)
3
4 + 𝐶 
19. ∫
𝑥+3
(𝑥2+6𝑥)
1
3
𝑑𝑥 3
4
(𝑥2 + 6𝑥)
2
3 + 𝐶 
20. ∫ 𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛3𝑥
3
+ 𝐶 
21. ∫(𝑒𝑥 + 1)3𝑒𝑥𝑑𝑥 (𝑒𝑥 + 1)4
4
+ 𝐶