resoluções Álgebra LInear

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1) Suponha que u, v, w são vetores tais que ⟨u, v⟩ = 2, ⟨u,w⟩ = −3, ⟨v,w⟩ = 5, ∥u∥ = 1, ∥v∥ = 2 e ∥w∥ = 1. Calcule o valor de cada uma das seguintes expressões:
a) ⟨u+ v, v + w⟩ = ⟨u,v⟩+⟨u,w⟩+⟨v,v⟩+⟨v,w⟩=2-3+4+5=8
b) ⟨2v + w, 2u − v⟩ = ⟨2v,2u⟩ +⟨2v,-v⟩ +⟨w,2u⟩ +⟨w,-v⟩ =2.2-2.2+2.(-3)-1.5=-11
c) ∥u + v + w∥ ≤∥u∥+∥v∥+∥w∥ = 4
2) Sejam u = (3k, 2,−k), v = (−4, 1, 5) ϵ R3. Para quais valores de k os vetores u e v são ortogonais em relação ao produto interno usual de R3?
Para serem ortogonais, o produto interno deve ser igual a 0. Desta forma, temos:<u,v> = 3k.(-4)+2.1+(-k).5=0
 → -12k+2-5k=0 k = 2/17
3)Sejam V = R3 munido de produto interno usual e A = {(1,−1,−2)} ⊂ V Determine uma base ortogonal B para V , tal que A⊂ B.
Necessitamos de 3 vetores LI, e que sejam ortogonais. Para ser ortogonal, os produtos internos, pegos aos pares, devem ser iguais a 0.
{(1,-1,-2), (1,1,0),(-1, 1, -1)}
4) Sendo V = R4 munido de produto interno usual, determinar um vetor não nulo v ϵ R4 que seja ortogonal aos vetores v1 = (1, 1, 1,−1), v2 = (1, 2, 0, 1) e v3 = (−4, 1, 5, 2).
Tomamos o vetor (x,y,z,t) então temos:
(x,y,z,t).(1, 1, 1,−1)=0 temos o seguinte sistema:
(x,y,z,t). (1, 2, 0, 1)=0
(x,y,z,t). (−4, 1, 5, 2).=0
Assim isolando-se t, temos: t=x+y+z, substituindo-se
Na segunda eq. Obtemos z = -2x-3y
Substituindo z e t na ultima equação, obtemos:
X=
Assim: z = e t=, desta forma, colocando-se o y = -8, obteremos: (9,-8,6,7).
5)Considere as seguintes bases de R2 e R3:
{(3, 4), (1, 2)}.
V1 = (3,4) →║w1║= 5 →V1 = (3/5,4/5)
V2 = = (1,2)-11/25.(3,4)=(1,2)-(33/25,44/25)=(-8/25,6/25)
║V2║ = 
V2 = (-4/5,3/5)
{(1, 0, 0), (0, 1, 1), (0, 1, 2)}.
V1 = (1,0,0) ║V1║= 1→V1 =(1,0,0)
V2 == (0,1,1)→V2 = (0,1/√2, 1/√2)
V3 = = (0,1,2)-3/2(0,1,1) = (0,-1/2,1/2)
V3 = (0,-1/√2,1/√2)
{( 1,0,1), (1,0, −1), (0,3,4)} 
V1 = (1,0,1) ║V1║=√2 = V1=(1/√2,0,1/√2)
V2 = (1/√2,0,-1/√2)
V3 = 
V3=(0,3,4)-(-2).(1,0,-1)-2.(1,0,1) = (0,3,4)-(-2,0,2)+(-2,0,-2) = (0,3,0)
6) Determine uma base ortonormal para os seguintes subespaços vetoriais de R3.
a) S = {(x, y, z) ϵ R3|y − 2z = 0}.y=2z (x,2z,z)
B={(1,0,0), (0,2,1) já é ortogonal
Normalizar: →║V1║= 1 e →║V2║=√5
B’ = {(1,0,0),(0,2/√5,1/√5)}
b)U = {(x, y, z) ϵ R3|x + y + z = 0}. Z=-x-y→(x,y,-x-y) (1,0,-1),(0,1,-1)
Ortogonalização: v1 = (1, 0,-1); (1/√2,0,-1/√2)
V2 = =(0,1,-1)-( 1/2,0,- 1/2)=(-1/2,1,-1/2)
V2 = (-1/√6, 2/√6,-1/√6)
7)Determine uma base ortonormal para o subespaço do R4 gerado pelos vetores W1 = (1, 0,−1, 1) , W2 = (0, 1, 0, 1) e W3 = (1, 1,−1, 2).
V1 = (1,0,-1,1) ||v1|| = √3 = V1 = (1/√3,0, -1/√3, 1/√3)
V2 = =(0,1,0,1)-(1/3).(1,0,-1,1) =(0,1,0,1)-(1/3,0,-1/3,1/3)=
V2 = (-1/3,1,1/3,2/3) ||v2|| = √15/3 V2 = (-1/√15,3/√15,1/√15,2/√15)
V3 = = (1,1,-1,2)-(-1/3,1,1/3,2/3)-(4/3,0,-4/3,4/3)=(0,0,0,0)
8)Seja T : R2 → R2 a transformação linear definida por T(x, y) = (x + 2y, 2x + y). Dentre os vetores v1 = (2, 1), v2 = (−1, 1), v3 = (2, 3) e v4 = (4, 4), identifique os que são autovetores de T e os seus respectivos autovalores.
Primeiramente vamos verificar se os vetores quando transformados, as suas imagens são múltiplos dos vetores.
T(v1) = (2 + 2.1, 2.2 + 1) = (4,3) não são múltiplos.
T(v2) = (-1+2,-2+1) = (1,-1)→T(-1,1)=-1.(-1,1), v2 associado a λ=-1.
T(v3) = (2+6,4+3)=(8,7) não são múltiplos.
T(v4) = (4+2.4,8+4)= (12, 12) = 3.(4,4), v4 associado a λ =3.
9)Calcular os autovalores e os correspondentes autovetores das seguintes matrizes:
a) = (1-λ).(5-λ)+3 →λ2-6λ+8 → Raízes: λ
(6±2)/2 = λ1 = 4, λ2=2
P(x)=.= →.=
-3x+3y →x=y (x,x) para x=1, temos: (1,1) vetor associado a λ1 = 4.
P(x).=→.=
x=3y (3y,y) para y=1, temos: (3,1), vetor associado a λ2=2.
b) =(1-λ).(3-λ).( 2-λ)-2 +4-2λ-2+2λ
=(3-4λ+ λ2).( 2-λ)= 6-8 λ+2λ2-3λ+4λ2-λ3
- λ3+6 λ2-5 λ+6=0 → λ1=1, λ2=2, 
λ3=3 p/ λ1=1 P(x).= 
V1=(x,0,-x)
λ2=2→ P(x).= →
x=-2z
y=2z
V2=(-2z,2z,z)
λ3=3→ P(x).=→
V3=(x,-2x,-x)
c)λ3+10λ2-28λ+24
λ1=2 , λ2=6
λ1=2→ P(x)=
V1=(x,y,-x-2y)
λ2=6→ P(x)=
V2=(x,x,x)
11) Seja T : R3 →R3 a transformação linear definida por T(x, y, z) =(y +z,2y +z,y +2z).
a) Calcule os autovalores e os autoespaços de T.
(-2λ+ λ2). (2-λ)+ λ → -4λ+2 λ2+2λ2- λ3+ λ → λ3-4 λ2+3λ=0
λ. (λ2-4 λ+3)=0 →λ1=0, λ2=1, λ3=3
=V1=(x,0,0) →S(λ1)={x,y,z ϵR3/y=z=0}
=(0,-z,z) S(λ2)={x,y,z ϵR3/x=0 e y=-z}
=
x=2z/3, então (2z,3z,3z) S(λ3)={x,y,z ϵR3/x=2z e y=z}
b) Determine uma base de R3 constituída de autovetores de T. Qual a representação matricial de T nessa base?
B={(1,0,0), (0,-1,1), (2,3,3)}
T(1,0,0) = (0,0,0); T(0,-1,1) = (0,-1,1); T(2,3,3)=(6,9,9).
 a=b=c=0
(0,-1,1) = d.(1,0,0)+e(0,-1,1)+f(2,3,3)
f=0, e=1, d=0
(6,9,9) = g(1,0,0)+h(0,-1,1)+i(2,3,3)
i=3, h=g=0 →
12) Os vetores v1 = (1, 1) e v2 = (2,−1) são os autovetores de um operador linear T : R2 →R2, associados à λ1 = 5 e λ2 = −1, respectivamente. Determine uma fórmula para T(x, y).
T(1,1)=(5,5), T(2,-1)=(-2,1)
(x,y)=a.(1,1)+b.(2,-1)
; 
T(x,y)=a.T.(1,1)+b.T.(2,-1)
→
T(x,y)=(x+4y,2x+3y)
13) Seja T : R2 →R2 uma transformação linear que dobra o comprimento do vetor u = (2, 1) e triplica o comprimento do vetor v = (1, 2), sem alterar as direções nem inverter os sentidos.
a) Calcular T(x, y)
T(u)=T(2,1)=(4,2)
T(v)=T(1,2)=(3,6)
(x,y)=a(2,1)+b(1,2)
a=y-2b
a=
2y-4b+b=x
T(x,y)=
b) Qual a matriz do operador na base {(2, 1), (1, 2)}.
(4,2)=a(2,1)+b(1,2)
4-4b+b=4
b=0
a=2
(3,6)=c(2,1)+d(1,2)
c+6-4c=6
c=0
d=3
14)Quais são os autovalores e autovetores da matriz identidade?
 = (1-λ). (1-λ)→λ=1, Todos os vetores do espaço vetorial exceto o 0v.
15) Determine as matrizes das rotações em R2 que admitem autovalores e autovetores. Determine os valores desses autovalores e autovetores.
→→→
→→→
Exceto o vetor nulo, todos os vetores do R2 são autovetores.
16) Seja T : R2 → R2 o operador linear definido por T(x, y) = (7x − 4y,−4x + y). Determinar uma base de R2 em relação à qual, a matriz do operador T é diagonal. Apresente a matriz de T nessa base.
 = 7-8λ+ λ²-16=0→ λ²-8λ-9=0
λ1=9 e λ2=-1
D = 
.= = →x=-2y
V1 ={(-2y,y) = tomando y=1, temos: (-2,1)
.= = →y =2x
V2 ={(x,2x), tomando x=1, temos: (1,2).
Então uma base: B={(-2,1),(1,2)}
17) Considere a matriz A = a≠0.
a) Determine os autovalores de A.
Det A=1-a²→a=±1
P(𝜆) =→(1-λ)²-1=0→ λ1=0 e λ2=2
.==→y=-x
V1 ={(x,-x) = tomando x=1, temos: (1,-1), vetor associado à λ1=0.
.==→y=x
V2 ={(x,x) = tomando x=1, temos: (1,1), vetor associado à λ2=2.
b) Determine os autovetores de A.
V1 ={(x,-x) = tomando x=1, temos: (1,-1), vetor associado à λ1=0.
V2 ={(x,x) = tomando x=1, temos: (1,1), vetor associado à λ2=2.
c ) A matriz A é semelhante a uma matriz diagonal? Caso sim, apresente esta matriz.
Não, pois a≠0.
20) Determine os possíveis valores de a, b, e c, sabendo que M = é uma matriz simétrica e ortogonal.
Se M é simétrica, temos que a=b e Como M é ortogonal, as colunas de M formam vetores ortonormais de R2, isto é:
Se a = 0, então as outras duas equações fornecem cosθ = ±1 e c = ±1, assim temos as seguintes possibilidades para M:
, , ,
Se a ≠ 0, então c = − cosθ. De cos2θ+a2 = 1, obtemos a = ±senθ. Assim temos as seguintes possibilidades para M:
, 
Resolução Exercícios Teóricos
1) Seja V um espaço vetorial com produto interno. Prove que ∥u + v∥2 + ∥u − v∥2 = 2 (∥u∥2 + ∥v∥2) para quaisquer u, v ϵ V . Interprete esta igualdade geometricamente
⟨u+v, u+v⟩ +⟨u-v, u-v⟩=||u||2+2. ⟨u,v⟩ +||v||2+||u||2-2. ⟨u,v⟩+||v||2=2.(||u||2+||v||2
u)
u
-v
v
u
+vA soma dos quadrados dos lados de um paralelogramo é a soma dos quadrados das diagonais.
2) Seja V um espaço vetorial com produto interno. Mostre que se (u + v) ┴ (u − v), então ∥u∥ = ∥v∥, Ɐ u, v ϵ V.
⟨u+v, u-v⟩=⟨u,u⟩-⟨u,v⟩+⟨v,u⟩-⟨v,v⟩=⟨u,u⟩ -⟨u,v⟩+⟨u,v⟩ -⟨v,v⟩=⟨u,u⟩-⟨v,v⟩=||u|| -||v|| →||u||=||v||
3) Use a desigualdade de Cauchy-Schwarz para mostrar que (acosθ+ bsenθ)² ≤ a2 + b2, Ɐ a, b, ϵ R.
Sejam u=(a,b) e v=(cosθ, senθ):
|⟨u,v⟩|≤||u||.||v|| →() ≤
Elevando-se ambos os lados ao quadrado, temos: ()≤
5) Determine se são verdadeiras ou falsas as seguintes proposições. Justifique sua resposta.
a) Se um operador linear T:V→V admite λ = 0 como autovalor, então T não é inversível.
Ser inversível é ser injetiva e sobrejetiva ao mesmo tempo. Desta forma, se λ = 0 é autovalor e T(u)=T(v)→T(u-v)=0 →0.(u-v)=0, ou seja, (u-v) é um autovetor associado à λ = 0, N(T)=0, assim T é inversível. Verdadeira
b) Uma matriz A e sua transposta At possuem os mesmos autovalores.
Verdadeira, pois o polinômio característico é o mesmo. detA=detAt
c) Os autovalores de uma matriz triangular (ou diagonal) são os elementos da diagonal principal
Tomemos uma matriz genérica, triangular:
→→det=( a-λ).(d- λ)
λ=a e λ=c, desta forma, é Verdadeira.
6) Mostre que se u e v são autovetores de uma transformação linear associados à λ, então αu − βv é também autovetor associado ao mesmo λ.
T(αu)=T(βv)→T(αu - βv)= αT(u)- βT(v)→ α(λu)- β(λv)→λ.(αu- βv).
7) Seja T:V→V um operador linear não inversível. Os vetores não nulos do núcleo de T são autovetores? Em caso afirmativo, determinar o autovalor associado e, em caso negativo, justificar.
Todos os vetores do núcleo, com exceção do zero, são vetores próprios associados a λ = 0. 
8)c) , v é vetor não nulo.