Apostila Estatística

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Estatística 
Prof. Paulo Noguera 1 
RGF 104.310-9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APOSTILA DE ESTATÍSTICA 
Estatística 
Prof. Paulo Noguera 2 
RGF 104.310-9 
 
ÍNDICE 
 
A ESTATÍSTICA Pág 3 
POPULAÇÃO, AMOSTRA E AMOSTRAGEM Pág 3 
VARIÁVEIS Pág 6 
SÉRIES ESTATÍSTICAS Pág 7 
TABELAS ESTATÍSTICAS Pág 7 
GRÁFICOS Pág 8 
GRÁFICO DE COLUNAS Pág 8 
GRÁFICO DE BARRAS Pág 8 
GRÁFICO DE LINHA (CURVA) Pág 9 
GRÁFICO DE SETORES Pág 9 
Exercícios: Pág 10 
DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS Pág 11 
ELEMENTOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA Pág 12 
Exercícios: Pág 14 
Exercícios Extras: Pág 15 
MEDIDAS DE POSIÇÃO Pág 17 
Média Pág 17 
Exercícios: Pág 19 
Mediana Pág 20 
Exercícios: Mediana Pág 22 
Moda Pág 23 
Exercícios: Moda Pág 24 
Exercícios extras: Pág 25 
MEDIDAS SEPARATRIZES Pág 26 
QUARTIS Pág 26 
DECIS Pág 27 
PERCENTIS Pág 27 
Exercícios: Pág 28 
MEDIDAS DE DISPERSÃO Pág 30 
DESVIO MÉDIO Pág 30 
DESVIO PADRÃO Pág 31 
COEFICIENTE DE VARIAÇÃO Pág 31 
Exercícios: Pág 32 
Exercícios extras: Pág 34 
TRABALHOS Pág 36 
Lista de Exercícios nº 01 Pág 37 
Lista de Exercícios nº 02 Pág 38 
Lista de Exercícios nº 03 Pág 41 
Lista de Exercícios nº 04 Pág 43 
 
 
Estatística 
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A ESTATÍSTICA 
 
 
Método científico: é um conjunto de meios dispostos convenientemente para se 
chegar a um fim que se deseja. 
 
Método experimental: consiste em manter constantes todas as causas (fatores), menos 
uma, e variar esta causa de modo que se o pesquisador possa descobrir seus efeitos, 
caso existam. (É o método preferido no estudo da física, da química etc.). 
 
Método estatístico: diante da impossibilidade de manter as causas constantes, admite 
todas essas causas presentes variando-as, registrando essas vibrações e procurando 
determinar, no resultado final, que influências cabem a cada uma delas. 
 
A Estatística é uma parte da Matemática Aplicada que fornece métodos para a 
coleta, organização, descrição, análise e interpretação de dados e para a utilização 
dos mesmos na tomada de decisões. 
Exprimindo por meio de números as observações que se fazem de elementos com, 
pelo menos, uma característica comum (por exemplo: os alunos do sexo masculino de 
uma comunidade), obtemos os chamados dados referentes a esses elementos. 
A coleta, a organização e a descrição dos dados estão a cargo da Estatística 
Descritiva, enquanto a análise e a interpretação desses dados ficam a cargo da 
Estatística Indutiva ou Inferencial. 
Em geral, as pessoas, quando se referem ao termo estatística, o fazem no sentido da 
organização e descrição dos dados, desconhecendo que o aspecto essencial da 
Estatística é o de proporcionar métodos, que permitam conclusões que transcendam 
os dados obtidos inicialmente. Assim, a análise e a interpretação dos dados estatísticos 
tornam possível o diagnóstico de uma empresa, o conhecimento de seus problemas e 
a formulação de soluções para tais problemas. 
 
POPULAÇÃO E AMOSTRA 
 
População – é um conjunto de indivíduos ou objetos que apresentam pelo menos uma 
característica em comum. 
Amostra – é um subconjunto finito de uma população. 
Amostragem – é uma técnica especial para recolher amostras onde se possa garantir, 
tanto quanto possível, o ACASO na escolha. 
Quando se faz a amostragem, cada elemento da população passa a ter a mesma 
chance de ser selecionado, pois é muito importante garantir que a amostra seja 
representativa, pois as nossas conclusões relativas à população vãqo estar baseadas 
nos resultados obtidos nas amostras dessa população. 
A seguir mostraremos as três principais técnicas de amostragem utilizadas, que são: 
 
1- Amostragem casula ou aleatória simples; 
2- Amostragem proporcional estratificada; 
3- Amostragem sistemática. 
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Amostragem Casual ou Aleatória Simples 
 
Este tipo de amostragem é equivalente a um sorteio lotérico.Para esse tipo de 
amostragem podemos proceder da seguinte forma: 
Enumerar os elementos da população, e através de um dispositivo aleatório 
qualquer, realizar um sorteio e escolher os número que farão parte da amostra. 
 
Exemplo: 
 
Vamos retirar uma amostra para uma pesquisa de estatura de cinqüenta 
alunos da nossa sala de aula. 
a) Numeramos os alunos de 01 a 50. 
b) Escrevemos os números, de 01 a 50, em pedaços de papel, colocando-
os dentro de uma urna. Mexemos a urna para misturar bem os papéis, e 
retiramos, um a um, cinco números que farão parte da amostra. Neste 
exemplo o tamanho da amostra é igual a 10% da população mas este 
percentual pode variar dependendo do tamanho da população que 
está sendo estudada 
Quando o número de elementos da amostra é grande, esse tipo de sorteio 
torna-se muito trabalho. A fim de facilitar a escolha da amostra nesses casos, 
podemos utilizar uma Tabela de Números Aleatórios e nos dias de hoje utilizar 
softwares que permitem a imparcialidade da escolha. 
 
Amostragem Proporcional Estratificada 
 
Muitas vezes a população estudada (elementos que tem pelo menos uma 
mesma característica comum) se divide em subpopulações chamadas 
ESTRATOS. 
É por causa da existência dos estratos que devemos fazer uma amostragem 
proporcional estratificada e levar em consideração a quantidade de 
elementos de cada estrato e escolher a amostra proporcionalmente a cada 
um deles. 
Exemplo: 
Considerando o exemplo anterior (usado na amostragem aleatória), digamos 
que dos cinqüenta alunos , 30 sejam homens e 20 sejam mulheres, vamos obter 
uma amostra de 10% da população, utilizando a amostragem proporcional 
estratificada, portanto 
SEXO POPULAÇÃO 10% AMOSTRA 
Masculino 30 10 X 30 = 3 3 
 100 
Feminino 20 10 X 20 = 2 2 
 100 
TOTAL 50 10 X 50 = 5 5 
 100 
 
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Amostragem Sistemática 
 
Para esse tipo de amostragem, os elementos da população a ser estudada já 
se encontram ordenados. São exemplos, prédios de uma rua, produtos dentro 
de uma linha de produção, prontuários médicos, os alunos inscritos em uma 
faculdade, etc. Para a seleção dos elementos que farão parte da amostra, 
será elaborado um sistema pelo pesquisador. 
 
 
Exemplo: 
Numa rua existem 900 prédios, dos quais vamos coletar uma amostra de 50 
prédios através da amostragem sistemática: 
 
a. - A população é de 900 prédios que já estão numerados (ordenados); 
 
b. - A amostra é de 50 elementos. 
 
 
c. Vamos criar um sistema para a retirada da amostra onde dividiremos os 
900 prédios pelos 50 elementos determinando o intervalo entre os 
elementos escolhidos. 
 900 = 18 (entre cada prédio escolhido devem haver 18 prédios entre eles). 
 50 
 
Então devemos escolher o primeiro prédio da amostra para podermos utilizar a 
sistemática criada. Este primeiro prédio pode ser escolhido aleatoriamente, por 
se trata de apenas um ( o primeiro) elemento da amostra. 
 
Este primeiro elemento deve estar entre o 1º e o 18º para que a nossa 
sistemática funcione corretamente e os dados dos demais elementos serão 
retirados periodicamente de 18 em 18. 
 
Então, se escolhermos o 4º prédio como o primeiro elemento da amostra, o 
segundo elemento será o prédio que está na posição 22ª , o terceiro elemento 
será o 40º, assim por diante até termos a amostra completa (50 elementos). 
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Variáveis 
 
Variável é, convencionalmente, o conjunto deresultados possíveis de um fenômeno. 
 
Uma variável pode ser: 
 
a. Qualitativa - quando seus são expressos por atributos: sexo ( masculino – 
feminino), cor da pele (branca, preta, amarela, vermelha, parda) etc.; 
 
b. Quantitativa – quando seus valores são expressos em números (salário dos 
funcionários, idade dos alunos etc.) Uma variável quantitativa que pode 
assumir, teoricamente, qualquer valor entre dois limites recebe o nome de 
variável contínua; uma variável que só pode assumir valores pertencentes a um 
conjunto enumerável recebe o nome de variável discreta. 
 
Exemplo: O número de chamada dos alunos dae uma faculdade, podem ter 
um dos valores do conjunto dos números naturais N={1,2,3,4,...,53,...81,..}, e esses 
valores nunca poderão ser 1,5 ou 4,35 ou 53,2 etc. Então o número de 
chamada é uma variável discreta. Mas se fizermos um cadastro da altura 
desses mesmos alunos é uma variável contínua. 
Então podemos dizer que as variáveis contínuas são medições e as variáveis 
discretas são contagens, listagens ou enumerações. 
 
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SÉRIES ESTATÍSTICAS 
 
Um dos objetivos da Estatística é sintetizar os valores que uma ou mais variáveis podem 
assumir, para que tenhamos uma visão global da variação dessa variável. E isso ela 
consegue inicialmente, apresentando esses valores em tabelas e gráficos, que irão nos 
fornecer rápidas e seguras informações a respeito das variáveis em estudo. 
 
 
TABELAS ESTATÍSTICAS 
 
Uma tabela deve apresentar a seguinte estrutura: 
- cabeçalho 
- corpo 
- rodapé 
 
O cabeçalho deve conter o suficiente para que sejam respondidas as questões: 
- o que está representado? 
- onde ocorreu? 
- quando ocorreu? 
 
O corpo da tabela é representado por colunas e subcolunas dentro dos quais serão 
registrados os dados numéricos e informações. 
O rodapé é reservado para observações pertinentes à tabela, bem como para o 
registro e identificação da fonte dos dados. 
 
Exemplo: 
Internautas que fazem transações bancárias on-line – jan/2003 
Países Quantidade(%) 
Suécia 
Austrália 
EUA 
Japão 
Brasil 
Espanha 
51,3 
39,6 
12,5 
9,6 
36,2 
18,6 
Fonte: Nielsen/Net Ratings(Revista Época) 
 
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GRÁFICOS 
 
A representação gráfica das séries estatísticas (tabelas) tem por finalidade representar 
os resultados obtidos, permitindo chegar-se a conclusões sobre a evolução do 
fenômeno ou sobre como se relacionam os valores da série. Não há uma única 
maneira de representar graficamente uma série estatística. A escolha do gráfico mais 
apropriado ficará a critério do analista. Contudo, os elementos simplicidade, clareza e 
veracidade devem ser considerados quando da elaboração de um gráfico. 
 
 
GRÁFICO DE COLUNAS 
 
 
Internautas que fazem transações 
bancárias on lina Quantidade(%)
0
20
40
60
EU
A
Br
as
il
Es
pa
nh
a
Internautas que
fazem
transações
bancárias on
 
Fonte:Nielsen/Net Ratings(Revista Época) 
 
 
GRÁFICO DE BARRAS 
 
É semelhante ao gráfico de colunas, porém os retângulos são dispostos 
horizontalmente. 
 
Internautas que fazem transações 
bancárias on lina Quantidade(%)
0 20 40 60
Suécia
EUA
Brasil Internautas que
fazem
transações
bancárias on
 
Fonte:Nielsen/Net Ratings(Revista Época) 
 
 
Obs: A distância entre as colunas (ou barras), por questões estéticas, não deverá ser 
menor que a metade nem maior que os dois terços da largura (ou da altura dos 
retângulos) 
 
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GRÁFICO DE LINHA (CURVA) 
 
O gráfico de linha constitui uma aplicação do processo de representação das funções 
num sistema de coordenadas cartesianas. 
 
Internautas que fazem transações 
bancárias on lina Quantidade(%)
0
20
40
60
EU
A
Br
as
il
Es
pa
nh
a
Internautas
que fazem
transações
bancárias on
 
Fonte:Nielsen/Net Ratings(Revista Época) 
 
GRÁFICO DE SETORES 
 
É a representação gráfica de uma série estatística, em um círculo, por meio de setores. 
È utilizado principalmente quando se pretende comparar cada valor da série com o 
total. Para construí-lo, divide-se o círculo em setores, cujas áreas serão proporcionais 
aos valores da série. Essa divisão poderá ser obtida pela solução da regra de três: 
total...........360º 
Parte.......... xº 
 
Países Quantidade(%) Graus Graus Acumulados 
Suécia 51,3 110,06 110,06 
Austrália 39,6 84,96 195,02 
EUA 12,5 26,82 221,84 
Japão 9,6 20,60 242,44 
Brasil 36,2 77,66 320,10 
Espanha 18,6 39,90 360 
Total 167,8 360 
 
 
Internautas que fazem transações 
bancárias on lina Quantidade(%)
Suécia
Austrália
EUA
Japão
Brasil
Espanha
 
Fonte: Nielsen/Net Ratings (Revista Época) 
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Exercícios: 
 
1 – Represente as séries abaixo usando : 
- Gráfico de linhas 
- Gráfico de colunas 
- Gráfico de barras 
- Gráfico de setores 
 
Tabela 1: 
Venda mensal de produtos 
Banco Alfa S.A– Jan/2003 
Produtos Quantidade 
Cartão de crédito 
Seguro de vida 
Seguro de auto 
Título de capitalização 
Título de previdência 
57 
41 
98 
61 
12 
Fonte: Depto Comercial Banco Alfa SA 
 
 
Tabela 2: Produção Empresa Beta Ltda – 1º semestre 2002 
 
Meses Quantidade 
Janeiro 
Fevereiro 
Março 
Abril 
Maio 
Junho 
 
37 
41 
28 
47 
68 
44 
 
Fonte: Depto Vendas Empresa Beta Ltda 
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DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS 
 
Suponhamos termos feito uma coleta de dados relativos às idades de 30 pessoas, que 
compõem uma amostra dos alunos de uma faculdade “A”: 
24 23 22 28 35 21 23 33 34 24 21 25 36 26 22 30 32 25 26 33 
34 21 31 25 26 25 35 33 31 31 
 
 
A este tipo de tabela, cujos elementos não foram numericamente organizados 
denominamos tabela primitiva ou dados brutos. 
 
Ao arranjo dos dados brutos em ordem crescente ou decrescente chamamos de rol. 
Logo: 
 
21 21 21 22 22 23 23 24 25 25 25 25 26 26 26 28 30 31 31 31 
32 33 33 33 34 34 34 35 35 36 
 
 
Podemos organizar estes dados em uma tabela simples denominada de distribuição 
de freqüência com variável discreta. Os dados serão organizados com suas 
freqüências simples. 
 
 
Freqüência simples ou absoluta (Fi) – é o número de vezes que o elemento aparece 
na amostra ou o nº de elementos pertencentes a uma classe. 
 
Idades Fi 
21 3 
22 2 
23 2 
24 1 
25 4 
26 3 
28 1 
30 1 
31 3 
32 1 
33 3 
34 3 
35 2 
36 1 
Total 30 
 
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Podemos ainda agrupar os valores da variável em intervalos, sendo que, chamamos 
esses intervalos de classes. Logo a tabela abaixo denominados de distribuição de 
freqüência com intervalos de classe. 
 
Idades de 30 alunos da Faculdade “A” 
Classes Idade Freqüência 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
21 I---- 24 
24 I---- 27 
27 I---- 30 
30 I---- 33 
33 I---- 36 
36 I---- 39 
7 
8 
1 
5 
8 
1 
 Σ 30 
 
 
Obs: Quando os dados estão organizados em uma distribuição de freqüência, são 
comumente denominados dados agrupados. 
 
ELEMENTOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA 
 
A construção de uma tabela com dados agrupados em intervalos ou variável 
contínua requer o conhecimento de alguns conceitos que vamos fazer em seguida e 
usaremos a tabela anterior para exemplificar cada item. 
 
 
Classes de freqüência – são os intervalos de variação da variável. 
As classes são representadas simbolicamente por i, sendo i = 1, 2, 3, ... K (onde k é o nº 
total de classes da distribuição). 
No nosso exemplo: o intervalo 30 I---- 33 define a quarta classe (i=4). Como a 
distribuiçãoé formada de seis classes, temos K = 6. 
 
 
Limites de classes – são os extremos de cada classe (li I---- Li) 
li – limite inferior da classe (onde começa o intervalo) 
Li – limite superior da classe (onde termina o intervalo) 
Ex: intervalo 30 I---- 33 
li – 30 Li – 33 
 
 
 
Intervalo de classe ou amplitude do intervalo(h) – é a medida do intervalo que define 
a classe. 
- h = Li – li Ex: intervalo 30 I---- 33, logo h = 33 – 30 = 3 
 
 
 
Número de classes(k) – Não há uma fórmula exata para o cálculo do nº de classes. As 
mais usadas são:1ª)K = 5 para n ≤ 25 ou K ≅ n para n > 25 
 2ª)Fórmula de Sturges – K ≅ 1 + 3,22 . log n 
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Range, amplitude total ou amplitude amostral – é a diferença entre o maior e o menor 
valor da amostra. No exemplo dado: R = 36 – 21 = 15 
 
Para montar a tabela de distribuição de freqüência com intervalos devemos seguir os 
itens abaixo: 
1º) Calcular o range (como na definição anterior: 36 – 21 = 15) 
2º) Saber quantas classes ou quantos intervalos terá a tabela. No exemplo acima, 
temos n=30, 
portanto n>25. Logo o cálculo será K= =30 5,48, ou seja K = 6 
3º) Calcular qual será a amplitude do intervalo ou qual a diferença entre o li e o Li. 
Logo h ≅ R : K ou seja h = 15 : 6 = 2,5 ou h = 3 
 
Obs: Quando os resultados acima não são exatos, devemos arredondá-los para o 
maior. 
 
Outros elementos de uma distribuição de freqüência: 
Pontos médios das classes (Xi) – é a média aritmética entre o limite superior e o limite 
inferior da classe. Ex: 33 – 36 
 Xi = =+
2
3633
 34,5 
 
Freqüência relativa (Fri) – é dada por Fri = Fi/n, ou seja é a porcentagem daquele valor 
da amostra. 
 
Freqüência acumulada (Fac) – é a soma das freqüências dos valores inferiores ou 
iguais ao valor dado. 
 
Histograma – é a representação gráfica de uma distribuição de freqüência por meio 
de retângulos justapostos. 
 
Polígono de freqüência – é um gráfico em linha, sendo as freqüências marcadas sobre 
perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas pelos pontos médios dos intervalos de 
classe. 
 
Polígono de freqüência acumulada – é traçado marcando-se as freqüências 
acumuladas sobre perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas nos pontos 
correspondentes aos limites superiores dos intervalos de classe. 
 
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Exercícios: 
1 – Considere os salários quinzenais de 100 funcionários da Empresa Yasmim Ltda (em 
US$): 
151 152 154 155 158 159 159 160 161 161 161 162 163 163 163 164 165 165 
165 166 166 166 166 167 167 167 167 167 168 168 168 168 168 168 168 
168 168 168 169 169 169 169 169 169 169 170 170 170 170 170 170 170 
171 171 171 171 172 172 172 173 173 173 174 174 174 175 175 175 175 
176 176 176 176 177 177 177 177 178 178 178 179 179 180 180 180 180 
181 181 181 182 182 182 183 184 185 186 187 188 190 190 
 
Pede-se determinar: 
a) A amplitude amostral 
b) O número de classes 
c) A amplitude das classes 
d) Construir a tabela de distribuição de freqüência com as classes, 
frequências absolutas, freqüências relativas, pontos médios e freqüência 
acumulada. 
e) Qual a porcentagem de funcionários que ganham salários com valor 
igual ou superior a US$179. 
f) Qual a porcentagem de funcionários que ganham salários com valores 
inferiores a US$163. 
g) O histograma 
h) O polígono de freqüência 
i) Qual o ponto médio da 3ª classe 
j) Qual o fri da 2ª classe. 
 
 
2 - O controle de qualidade de uma indústria selecionou 48 caixas na linha de 
produção e anotou em cada caixa o número de peças defeituosas, obtendo os 
seguintes dados: 
2 0 0 4 3 0 0 1 0 0 1 1 2 1 1 1 1 1 1 0 
0 0 3 0 0 0 2 0 0 1 1 2 0 2 0 0 0 0 0 0 
0 0 0 0 0 0 1 0 
 
Determinar: 
a) o rol 
b) a tabela de distribuição de freqüência sem intervalos 
c) qual a porcentagem de caixas que apresentam 2 ou mais peças defeituosas? 
 
3 – Uma empresa automobilística selecionou ao acaso, uma amostra de 40 
revendedores autorizados em todo o Brasil e anotou em determinado mês o número 
de unidades adquiridas por estes revendedores. Obteve os seguintes dados: 
10 15 25 21 6 23 15 21 26 32 9 14 19 20 32 18 16 26 24 20 
7 18 17 28 35 22 19 39 18 21 15 18 22 20 25 28 30 16 12 20 
 
a)Monte a tabela de distribuição de freqüência com intervalos . 
 
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Exercícios Extras: 
 
 
1-Conhecidas as notas de 55 alunos: 
33 33 35 35 39 41 41 42 45 45 47 48 50 52 53 54 55 55 56 57 
59 60 61 64 65 65 65 66 67 68 68 69 71 73 73 73 74 74 76 77 
78 80 81 84 85 85 88 89 91 94 94 98 98 98 98 
Obtenha a tabela de distribuição de freqüência com intervalos, a freqüência 
absoluta, a freqüência relativa, o ponto médio e a freqüência acumulada. 
 
2 – Os resultados do lançamento de um dado 50 vezes foram os seguintes: 
6 5 2 6 4 3 6 2 6 5 1 6 3 3 5 1 3 6 3 4 5 4 3 1 3 
5 4 4 2 6 2 2 5 2 5 1 3 6 5 1 5 6 2 4 6 1 5 2 4 3 
 Forme uma distribuição de freqüência sem intervalos e complete com as colunas do 
fri e fac. 
 
3 – Considerando as notas de um teste de inteligência aplicado a 55 alunos: 
64 64 64 66 66 70 70 73 73 73 73 74 75 76 76 76 78 78 78 78 
79 80 80 81 82 82 83 84 84 85 85 85 85 86 86 86 86 86 86 87 
87 89 90 90 92 92 93 95 98 101 102 103 103 103 103 
Forme uma tabela de distribuição de freqüência com intervalos e complete com as 
colunas do Xi, Fri e Fac. 
a)Qual a porcentagem de alunos que obtiveram nota inferior a 79? 
b)Qual a porcentagem de alunos que obtiveram nota igual ou superior a 94? 
 
4 – A amostra abaixo apresenta as vendas diárias de um determinado aparelho 
elétrico, durante um mês, por uma firma comercial: 
14 12 11 13 14 13 12 14 13 14 
11 12 12 14 10 13 15 11 15 13 
16 17 14 14 
Forme uma distribuição de freqüência sem intervalos com as colunas do fri e fac. 
 
Respostas: 
1 - 
classes Notas fi xi fri fac 
1 33 I---- 42 7 37,5 12,73 7 
2 42 I---- 51 6 46,5 10,91 13 
3 51 I---- 60 8 55,5 14,55 21 
4 60 I---- 69 10 64,5 18,18 31 
5 69 I---- 78 9 73,5 16,36 40 
6 78 I---- 87 6 82,5 10,91 46 
7 87 I---- 96 5 91,5 9,09 51 
8 96 I---- 105 4 100,5 7,27 55 
 
Estatística 
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2 - 
faces do dado fi fri fac 
1 6 12 6 
2 8 16 14 
3 9 18 23 
4 7 14 30 
5 10 20 40 
6 10 20 50 
 
3 – 
classe amostra fi xi fri fac 
1 64 I---- 69 5 66,5 9,09 5 
2 69 I---- 74 6 71,5 10,91 11 
3 74 I---- 79 9 76,5 16,36 20 
4 79 I---- 84 7 81,5 12,73 27 
5 84 I---- 89 14 86,5 25,45 41 
6 89 I---- 94 6 91,50 10,91 47 
7 94 I---- 99 2 96,50 3,64 49 
8 99 I---- 104 6 101,5 10,91 55 
a)36,36% b)14,55% 
4 – 
amostra fi fri fac 
10 1 4,17 1 
11 3 12,50 4 
12 4 16,67 8 
13 5 20,83 13 
14 7 29,17 20 
15 2 8,33 22 
16 1 4,17 23 
17 1 4,17 24 
Estatística 
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MEDIDAS DE POSIÇÃO 
 
Foi visto no item anterior a sintetização dos dados sob a forma de tabelas, gráficos e 
distribuições de freqüências. Dessa forma podemos localizar a maio concentração de 
valores de uma dada distribuição. 
Agora, vamos ressaltar as tendências características de cada distribuição. Inicialmente 
estudaremos as medidas de posição – que são estatísticas que representam uma série 
de dados orientando-nos quanto à posição da distribuição no eixo X (eixo dos nº 
reais). 
- Medidas de tendência central – representam os fenômenos pelos seus valores 
médios, em torno dos quais tendem a concentrar-se os dados. (média, moda e 
mediana) 
 
 
 
Média 
 
1º CASO: Dados não agrupados 
 
x = 
n
x∑ (onde n é o nº de elementos doconjunto) 
 
Ex1: Determinar a média aritmética simples dos valores: 3, 7, 8, 10 e 11 
 
X = 
n
x∑ = 8,7
5
1110873 =++++ 
 
2º CASO: Dados agrupados sem intervalos 
Dada a amostra: 2, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 8, 8 
Xi Fi XiFi 
2 1 2 
5 4 20 
6 3 18 
8 2 16 
Total 10 56 
 
Então a média será : 
 
6,5
10
56 === ∑
n
XiFi
X 
Estatística 
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3º CAS0: Dados agrupados com intervalos 
Classe Amostra Fi Xi XiFi 
1 2 I---- 5 1 3,5 3,5 
2 5 I---- 8 10 6,5 65 
3 8 I---- 11 8 9,5 76 
4 11 I---- 14 1 12,5 12,5 
Total 20 157 
 
Portanto 85,7
20
157 === ∑
n
XiFi
X 
 Interpretação: O valor médio desta série é 7,85, isto é, 7,85 é o valor em torno do qual 
os elementos desta série se concentram. 
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Exercícios: 
1ª PARTE – MÉDIA 
1-Calcule a média aritmética das séries abaixo: 
a)1, 2, 8, 10, 12, 16, 21, 30 
b)5, 6, 6, 10, 11, 11, 20 
 
2 – Calcule a média para as tabelas abaixo: 
xi fi 
2 1 
3 4 
4 3 
5 2 
Total 
 
xi fi 
17 3 
18 18 
19 17 
20 8 
21 4 
Total 
 
3-O salário de 39 funcionários de um escritório está distribuído segundo o quadro 
abaixo. Calcule o salário médio destes funcionários. 
classe salários(R$) nº func. 
1 400 I---- 500 12 
2 500 I---- 600 15 
3 600 I---- 700 8 
4 700 I---- 800 3 
5 800 I---- 900 1 
 
4-Uma imobiliária gerencia o aluguel de residências particulares, segundo o quadro 
abaixo.Calcule a média: 
classe aluguel(R$) nº casa 
1 0 I---- 200 30 
2 200 I---- 400 52 
3 400 I---- 600 28 
4 600 I---- 800 7 
5 800 I---- 1000 3 
Total 
 
5-Em uma empresa temos 4 operários com salário de R$850,00, 2 supervisores com 
salário de R$1.200,00, 1 gerente com salário de R$2.000,00 e 6 vendedores com salário 
de R$1.100,00. Qual a média salarial dessa empresa? 
 
 
Respostas: 
1)a)12,5 b)9,86 
2)a)3,6 b)18,84 
3)562,82 4)335 5)R$1.107,69 
Estatística 
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Mediana ( X~ ) 
 
1º Caso: Dados não agrupados 
 
Os valores têm que ser colocados em ordem crescente. A mediana é o nº que se 
encontra no centro de uma série de números, ou seja, divide a amostra em duas 
partes iguais. 
 
Exemplo: 5, 13, 10, 2, 18, 15, 6, 16 e 9 
Colocar os valores em ordem crescente: 2, 5, 6, 9, 10, 13, 15, 16, 18 
Se n=9 logo ==+=+
2
10
2
19
2
1n
5º elemento, logo X~ = 10 
 
2º exemplo: 2, 6, 7, 10, 12, 13, 18 e 21 ( já está em ordem) 
Se n=8 logo 5,4
2
18
2
1 =+=+n º elemento (está entre o 4º e o 5º elemento) 
Logo 11
2
22
2
1210~ ==+=X 
 
2º Caso: Dados agrupados sem intervalos 
 
Dada a amostra: 12, 14, 14, 15, 16, 16, 17, 20 e 20 
 
Xi Fi Fac 
12 1 1 
14 2 3 
15 1 4 
16 2 6 
17 1 7 
20 2 9 
Total 9 
 
Construindo a coluna da frequência acumulada podemos localizar com facilidade o 
valor mediano. 
 
==+=+=
2
10
2
19
2
1~ nx 5º elemento, portanto a mediana será o 16. 
 
 
 
3º Caso: Dados agrupados com intervalos 
Dada a tabela: 
Classe Amostra fi Fac 
1 3 I---- 6 2 2 
2 6 I---- 9 5 7 
3 9 I---- 12 8 15 
4 12 I---- 15 3 18 
5 15 I---- 18 1 19 
Total 19 
Estatística 
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1º Passo: Calcula-se a ordem 
2
n
. 
2º Passo: Pela Fac identifica-se a classe que contém a mediana (classe da Md). 
3º Passo: Utiliza-se a fórmula: 
 
classe
ant
fi
hfacn
lix
×⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
+= 2~ 
 
Onde: il = limite inferior da classe da mediana 
 n = tamanho da amostra 
 facanterior= freqüência acumulada anterior à classe da mediana( ou soma dos 
valores de fi anteriores à classe da mediana) 
 h = amplitude da classe da mediana 
 ficlasse = freqüência da classe da mediana 
 
No exemplo da tabela anterior: 
1º Passo: Calcula-se 
2
n
. Com n=19, temos 19/2=9,5º elemento 
2º Passo: Identifica-se a classe da mediana pela Fac. Neste caso, a classe da mediana 
é a 3ª. 
3º Passo: Aplica-se a fórmula: 
 
=x~
classe
ant
fi
hfacn
li
×⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
+ 2 
 
93,93
8
75,99~ =×−+=x 
 
Interpretação: 50% dos valores da série são valores menores ou iguais a 9,93 e 50% dos 
valores da série são valores maiores ou iguais a 9,93. 
 
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Exercícios: MEDIANA 
 
1-Calcule a mediana das seqüências abaixo: 
a)2, 5, 8, 10, 12, 15, 18, 20 
b)3, 4, 5, 7, 7, 8, 10, 15 
 
2 – Calcule a mediana das distribuições abaixo: 
xi fi 
2 5 
4 20 
5 10 
6 10 
8 2 
Total 
 
 
 
xi fi 
17 3 
18 18 
19 4 
20 3 
21 1 
Total 
 
3-Determine o valor mediano da distribuição a seguir que representa os salários de 23 
funcionários selecionados em uma empresa: 
classe salários (R$) nº funcionários 
1 200 I---- 400 2 
2 400 I---- 600 6 
3 600 I---- 800 10 
4 800 I---- 1000 5 
 
4-Uma loja de departamentos selecionou um grupo de 53 notas fiscais, durante um dia 
e obteve o seguinte quadro: 
classe consumo nº notas 
1 0 I---- 50 10 
2 50 I---- 100 28 
3 100 I---- 150 12 
4 150 I---- 200 2 
5 200 I---- 250 1 
total 
 
Respostas: 
1)a)11 b)7 
2)a)4 b)18 
3)670 
4)79,46 
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Moda 
 
1º Caso: Dados não agrupados: 
 
É o valor de maior frequência em um conjunto de dados ou que aparece mais vezes. 
 
Ex: 7, 8, 8, 9, 10, 10, 10, 12, 15. 
O elemento de maior frequência é o 10, portanto Mo=10 (unimodal) 
 
Ex: 3, 5, 8, 10, 12 e 13 
Todos os elementos da série apresentam a mesma frequência, logo a série é amodal. 
 
Ex: 2, 2, 5, 5, 8, 9 
Temos Mo=2 e Mo=5 (bimodal) 
 
2º Caso: Dados agrupados sem intervalo 
Basta identificar o elemento de maior freqüência. 
 Xi Fi 
 0 2 
 2 4 
 3 5 
 4 3 
 6 1 
Portanto Mo=3 
 
3º Caso: Dados agrupados com intervalos 
Dada a tabela: 
classe amostra fi 
1 0 I----- 10 1 
2 10 I----- 20 3 
3 20 I----- 30 6 
4 30 I----- 40 2 
 
1º Passo: Identifica-se a classe modal (aquela que possui maior freqüência) 
2º Passo: Aplica-se a fórmula: 
Mo = hli ×∆+∆
∆+
21
1 
Onde 
il = limite inferior da classe modal 
1∆ = diferença entre a freqüência (fi) da classe modal e a imediatamente anterior 
2∆ = diferença entre a freqüência (fi) da classe modal e a imediatamente posterior. 
h = amplitude da classe 
 
No exemplo da tabela anterior: 
1º Passo: Indica-se a classe modal. No caso, trata-se da 3ª classe (maior fi=6) 
2º Passo: Aplica-se a fórmula em que 
Mo = 29,2410
43
320 =++ x 
Estatística 
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Exercícios: MODA 
 
1 – Calcule a moda para as séries abaixo: 
a)2, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 7 
b)3, 4, 4, 5, 9, 12, 12 
 
 
 2-Calcule a moda das distribuições abaixo: 
xi fi 
2 1 
3 7 
4 2 
5 2 
 
xi fi 
17 3 
18 18 
19 17 
20 8 
21 4 
Total 
 
3-A distribuição abaixo representa o consumo em Kg de um produto colocado em 
oferta em um supermercado. Calcule a moda: 
classe consumo nº de clientes 
1 0 I---- 1 12 
2 1 I---- 2 15 
3 2 I---- 3 21 
4 3 I---- 4 32 
5 4 I---- 5 20 
 
4-A distribuição abaixo representa o número de acidentes de trabalho por dia em 
uma indústria Petroquímica, verificados durante um mês. Calcule a moda: 
classe nº de 
acidentes 
nº de dias 
1 0 I----2 20 
2 2 I---- 4 6 
3 4 I---- 6 3 
4 6 I---- 8 1 
 
 
Respostas: 
1)a)5 b)4 e 12 
2)a)3 b)18 
3)3,48 4)1,18 
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Exercícios extras: 
1 – Calcule a média aritmética das distribuições abaixo: 
notas fi salários fi vendas fi 
2 5 520 18 145 10 
3 8 780 31 158 9 
5 14 940 15 163 8 
8 10 1.240 3 175 4 
10 7 1.590 1 187 2 
Total Total Total 
tabela atabela b tabela c 
 
 
 
2 – Calcule a moda para as tabelas acima. 
 
3 – Calcule a mediana para as tabelas acima. 
 
4 – Calcule a média aritmética para as tabelas abaixo: 
tabela a tabela b 
Salários(R$) nº funcionários Estaturas(cm) fi 
200 I---- 400 15 150 I---- 158 5 
400 I---- 600 12 158 I---- 166 12 
600 I--- 800 8 166 I---- 174 18 
800 I---- 1.000 2 174 I---- 182 27 
1.000 I---- 1.200 1 182 I---- 190 8 
total total 
 
 
 
 
Notas nº alunos pesos (Kg) Fi 
0 I---- 2 5 145 I---- 151 10 
2 I---- 4 8 151 I---- 157 9 
4 I---- 6 14 157 I---- 163 8 
6 I---- 8 10 163 I---- 169 5 
8 I---- 10 7 169 I---- 175 3 
total Total 
tabela c tabela d 
 
5 – Calcule a mediana para as tabelas acima. 
 
6 – Calcule a moda para as tabelas acima. 
 
Respostas: 
1- a) 5,77 b) 778,68 c) 159,09 
2 – a) 5 b) 780 c) 145 
3 – a) 5 b) 780 c) 158 
4 – a) 500 b) 172,40 c) 5,27 d)156,91 
5 – a) 466,67 b) 174 c) 5,29 d)156 
6- a) 366,67 b) 176,57 c) 5,20 d)150,45 
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MEDIDAS SEPARATRIZES 
 
Dado o problema: 
Na empresa Mercury Ltda foi observada a distribuição de funcionários do setor de 
vendas com relação ao salário semestral (baseado em comissões sobre vendas): 
salário semestral(R$) n° de funcionários 
1000 I----- 3000 5 
3000 I----- 5000 15 
5000 I----- 7000 8 
7000 I----- 9000 2 
 
Se a empresa divide os funcionários em quatro categorias, com relação ao salário 
temos: 
- 0s 25 % menos produtivos = categoria C; 
- Os 25% seguintes = categoria B; 
- Os 25% seguintes mais produtivos = categoria A 
- Os 25% restantes = categoria especial. 
 
Quais são os salários limites das categorias acima? 
 
 
 
QUARTIS 
 
Divide a amostra em quatro partes iguais. 
 Q1 Q2 Q3 
 I---------------I--------------I---------------I---------------I 
 0% 25% 50% 75% 100% 
 
Para determinar Q1: 
1° Passo: Calcula-se 
4
n
 
 2° Passo: Identifica-se a classe Q1 pela Fac 
3° Passo: Aplica-se a fórmula: 
classe
ant
fi
hfacn
liQi
×⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
+= 4 
 
Para determinar Q2: igual à mediana 
 
Para determinar Q3: 
1° Passo: Calcula-se 
4
3n
 
2° Passo: Identifica-se a classe Q3 pela Fac 
3° Passo: Aplica-se a mesma fórmula anterior, apenas substituindo 
4
3
4
nporn . 
 
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Prof. Paulo Noguera 27 
RGF 104.310-9 
 
DECIS 
 
A amostra é dividida em 10 partes iguais. 
 
 I----------I----------I----------I----------I----------I----------I----------I----------I----------I----------I 
 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% 
 D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 
 
1° Passo: Calcula-se 
10
in
 
2° Passo: Identifica-se a classe Di pela FAC 
3° Passo: Aplica-se a fórmula: 
+= liDi
classe
ant
fi
hfacni ×⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
10
.
 
 
PERCENTIS 
 
Divide a amostra em 100 partes iguais: 
 
 I----------I----------I---------I--------I . . . I---------I-------I 
 0% 1% 2% 3% 4% 98% 99% 100% 
 P1 P2 P3 P4 P98 P99 
 
!° Passo: Calcula-se 
100
in
 
2° Passo: Aplica-se a fórmula: 
 
classe
ant
fi
hfacni
liPi
×⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
+= 100
.
 
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Prof. Paulo Noguera 28 
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Exercícios: 
 
1 – A tabela abaixo refere-se às notas de 500 alunos do colégio “x”: 
Notas Fi 
0 I----- 2 50 
2 I----- 4 170 
4 I----- 6 130 
6 I----- 8 110 
8 I----- 10 40 
 Se a escola dividir os alunos em quatro grupos conf. suas notas,quais as notas limites 
de cada grupo? 
 
2-A distribuição abaixo representa o número de acidentes de trabalho por dia em 
uma indústria: 
nº de acidentes nº de dias 
0 I---- 2 20 
2 I---- 4 15 
4 I---- 6 12 
6 I---- 8 10 
8 I---- 10 8 
 
Calcule: 
a)Q1 
b)Q3 
c)P92 
d)P48 
e)D3 
f)D7 
 
3-a tabela abaixo representa o nº de faltas anuais dos funcionários de uma empresa: 
nº faltas nº empregados 
0 I---- 2 20 
2 I---- 4 125 
4 I--- 6 53 
6 I--- 8 40 
8 I--- 10 14 
Se a empresa decidir fornecer no final do ano uma cesta básica para 15% dos 
funcionários que menos faltas tiveram, qual a quantidade máxima de faltas para não 
perder a cesta básica? 
 
4-A tabela abaixo representa a venda de livros didáticos em uma editora: 
Preço(R$) nº livros 
comercializados 
 0 I---- 10 4000 
10 I---- 20 13500 
20 I--- 30 25600 
30 I--- 40 43240 
40 I--- 50 26800 
50 I--- 60 1750 
 
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a)Se a editora fizer uma promoção com 25% dos livros de menor preço, qual o preço 
máximo do livro que entrará na promoção? 
b)No mês seguinte a editora fez uma promoção com 45% dos livros de preço mais 
baixo. Qual é o preço máximo do livro para entrar na promoção? 
c)Para fechar o mês, na última semana, a gerência da editora fez uma promoção 
com 20% dos livros de maior valor. A partir de qual valor os livros entraram na 
promoção? 
 
5-A tabela abaixo representa os salários dos vendedores de uma empresa baseado 
em comissões: 
salários(R$) nº funcionários 
200 I---- 400 6 
400 I---- 600 10 
600 I--- 800 24 
800 I--- 1000 36 
1000 I--- 1200 12 
1200 I---- 1400 4 
 
 
a)A empresa colocou uma meta extra para 5% dos vendedores que pior desempenho 
tiveram. Até que valor de vendas o funcionário receberá a meta de vendas? 
b)Para premiar os melhores vendedores, a empresa resolveu conceder uma abono 
para 3% dos funcionários que tiveram melhor desempenho. A partir de que salário o 
funcionário receberá o abono? 
 
 
 
Respostas: 
1)Q1=2,88 Q2=4,46 Q3=6,45 
2)a)1,63 b)6,35 c)8,7 d)3,49 e)1,95 f)5,75 
3)os funcionários que tiveram até 2,28 faltas (aproximadamente 3) receberão a cesta 
básica. 
4)a)Os livros que custam até R$24,38 entrarão na promoção. 
b)Os livros que custam até R$31,99 entrarão na promoção 
c)Os livros que custam a partir de R$42,08 entrarão na promoção. 
 
5)a)Os vendedores que tiveram o valor de vendas até R$353,33 receberão a meta 
extra. 
b)Os vendedores que tiveram o valor de vendas a partir de R$1.262,00 receberão o 
abono. 
 
Estatística 
Prof. Paulo Noguera 30 
RGF 104.310-9 
MEDIDAS DE DISPERSÃO 
 
 
São medidas estatísticas utilizadas para avaliar o grau de variabilidade de dispersão 
dos valores em torno da média. Servem para medir a representatividade da média. 
 
 --------------------------I----------------------------- 
 x 
 
Ex: a)10, 1, 18, 20, 35, 3, 7, 15, 11, 10 
 b)12, 13, 13, 14, 12, 14, 12, 14, 13, 13 
 c)13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13 
concluiremos que todas possuem a mesma média 13. 
No entanto, são seqüências completamente distintas do ponto de vista da 
variabilidade de dados. 
 
 
 
DESVIO MÉDIO 
 
É a análise dos desvios em torno da média. 
Calculamos inicialmente a média da amostra. Em seguida identificamos a 
distância de cada elemento da amostra para sua média. Finalmente, calculamos 
o desvio médio, 
di = Ixi - x I, logo o desvio médio será 
n
FixXi
ou
n
Fidi ∑∑ − 
 
Exemplo: Dada a amostra: 
Xi Fi XiFi IdiI=Ixi-xI diFi 2di Fidi 2 
5 4 20 0,83 3,32 0,69 2,76 
7 3 21 2,83 8,49 8,01 24,03 
2 5 10 2,17 10,85 4,71 23,55 
3 4 12 1,17 4,68 1,37 5,48 
6 2 121,83 3,66 3,35 6,7 
 18 75 31 62,52 
 
== ∑
n
XiFi
x 17,4
18
75 = 
 
Dm = =∑
n
diFi
72,1
18
31 = 
 
 
Estatística 
Prof. Paulo Noguera 31 
RGF 104.310-9 
 
 
DESVIO PADRÃO 
 
Xi Fi XiFi IdiI=Ixi-xI di2 di2.fi 
5 4 20 0,83 0,69 2,76 
7 3 21 2,83 8,01 24,03 
2 5 10 2,17 4,71 23,55 
3 4 12 1,17 1,37 5,48 
6 2 12 1,83 3,35 6,70 
 18 75 62,52 
 
 
Desvio padrão amostral – S = 
1
2
−
∑
n
fidi
 
 
68,3
17
52,62
118
52,62
1
2
2 ==−=−=
∑
n
Fidi
S 
 
 
No caso da tabela acima = 92,168,3,68,32 ==−= SentãoS 
 
2° exemplo: 
 
classes Fi Xi XiFi di difi 2di fidi 2 
2 I--- 4 2 
4 I--- 6 4 
6 I--- 8 5 
8 I--- 10 4 
10 I---12 3 
 
 
 
COEFICIENTE DE VARIAÇÃO 
 
Trata-se de uma medida relativa de dispersão útil para a comparação em 
termos relativos do grau de concentração em torno da média (expresso em 
porcentagens) 
 
CV = 
X
S
X 100 
 
Temos: 
Baixa dispersão: CV < 10% 
Média dispersão: 10% < CV < 20% 
Alta dispersão: CV > 20% 
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Exercícios: 
1-Calcule o desvio médio das séries abaixo: 
a) 
xi Fi 
2 3 
4 8 
5 10 
6 6 
8 2 
10 1 
 
 
b) 
salários nº de 
vendedores 
70 I---- 120 8 
120 I---- 170 28 
170 I---- 220 54 
220 I---- 270 32 
270 I---- 320 12 
320 I---- 370 6 
total 
 
2 – Calcule o desvio padrão para as tabelas abaixo: 
a) 
Idade nº de alunos 
17 3 
18 18 
19 17 
20 8 
21 4 
Total 
 
b) 
Xi Fi 
0 30 
1 5 
2 3 
3 1 
4 1 
Total 
 
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3-Calcule o desvio padrão para a distribuição de valores de 54 notas fiscais emitidas 
na mesma data, selecionadas em uma loja de departamentos. 
Vl. notas nº de notas 
0 I---- 50 10 
50 I---- 100 28 
100 I---- 150 12 
150 I---- 200 2 
200 I---- 250 1 
250 I---- 300 1 
total 
 
4-Calcule o desvio padrão para a tabela abaixo: 
Alturas (cm) nº de alunos 
150 I---- 160 2 
160 I---- 170 15 
170 I---- 180 18 
180 I---- 190 18 
190 I---- 200 16 
200 I---- 210 1 
Total 
 
5-Qual das disciplinas abaixo apresentou maior dispersão? 
a)Matemática: média – 8,5 e desvio padrão – 2 
 Estatística: média – 9 e desvio padrão – 5 
 
b)Cálculo: média 5 e desvio padrão – 2 
 Álgebra: média 8 e desvio padrão – 3 
 
Respostas: 
1)a)1,13 b)45,20 
2)a)1,04 b)0,93 
3)49,46 
4)11,89 
5)a)Estatística b)Cálculo 
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Exercícios extras: 
1 – Determine a média, moda e mediana nos casos abaixo: 
a) 
amostra Fi 
7 I---- 10 6 
10 I---- 13 10 
13 I---- 16 15 
16 I---- 19 10 
19 I---- 22 5 
Total 
 
b) 
amostra Fi 
1 I---- 3 3 
3 I---- 5 5 
5 I--- 7 8 
7 I---- 9 6 
9 I---- 11 4 
11 I---- 13 3 
Total 
 
c) 
Idade nº pessoas 
10 I---- 14 15 
14 I---- 18 28 
18 I---- 22 40 
22 I---- 26 30 
26 I---- 30 20 
Total 
 
d) 
amostra fi 
30 I---- 40 10 
40 I---- 50 20 
50 I---- 60 35 
60 I---- 70 25 
70 I---- 80 10 
Total 
 
e) 
amostra fi 
45 I---- 55 15 
55 I---- 65 30 
65 I---- 75 35 
75 I---- 85 15 
85 I---- 95 5 
Total 
 
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2 – Calcule o desvio médio ,o desvio padrão e o coeficiente de variação para as 
tabelas acima. 
 
 
Respostas: 
Exercício 1: 
a)média: 14,37 moda:14,5 mediana:14,40 
b)média:6,83 moda:6,20 mediana:6,63 
c)média:20,36 moda:20,18 mediana:20,35 
d)média:55,5 moda:56 mediana:55,71 
e)média:66,5 moda:67 mediana:66,43 
 
Exercício 2: 
a)desvio médio:2,78 desvio padrão: 3,58 CV:24,91 
b)desvio médio:2,43 desvio padrão: 2,95 CV:43,19 
c)desvio médio:3,94 desvio padrão:4,89 CV:24,02 
d)desvio médio:8,65 desvio padrão:11,23 CV:20,23 
e)desvio médio:8,85 desvio padrão:10,67 CV:16,05 
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TRABALHOS 
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LISTA DE EXERCÍCIOS 01 
 
Natureza da Estatística 
 
Responda às questões: 
 
1) Quais ciências mais utilizam o método experimental? 
 
2) Qual método é utilizado pelas ciências humanas e sociais para obterem os 
dados que desejam? 
 
3) O que é estatística? 
 
4) Cite as fases do método estatístico. 
 
5) Para você, o que é coletar dados? 
 
6) Para que serve a crítica de dados? 
 
7) O que é apurar dados? 
 
8) Como podem ser apresentados ou expostos os dados? 
 
9) As conclusões, as interferências pertencem a que parte da estatística? 
 
10) Cite três ou mais atividades do planejamento empresarial em que a estatística 
se faz necessária. 
 
11) O método estatístico tem como um de seus fins: 
 
a. Estudar os fenômenos estatísticos 
b. Estudar qualidades concretas dos indivíduos que formam grupos 
c. Determinar qualidades abstratas dos indivíduos que formam grupos 
d. Determinar qualidades abstratas de grupo de indivíduos 
e. Estudar fenômenos numéricos 
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LISTA DE EXERCÍCIOS 02 
 
Amostragem 
 
Resolva os exercícios: 
 
12) Uma escola de 1º grau abriga 124 alunos. Obtenha uma amostra 
representativa correspondendo a 15% da população na tabela aleatória abaixo. 
 
91 182 273 53 106 159 63 126 189 31
79 158 237 92 184 276 70 140 210 35
24 48 72 56 112 168 57 114 171 95
19 38 57 4 8 12 18 36 54 73
99 198 297 77 154 231 58 116 174 0
74 148 222 39 78 117 88 176 264 47
44 88 132 57 114 171 93 186 279 45
14 28 42 24 48 72 6 12 18 3
65 130 195 72 144 216 40 80 120 19
59 118 177 25 50 75 84 168 252 84 
 
 
13) Em uma escola há oitenta alunos. Obtenha uma amostra de doze alunos 
utilizando a tabela abaixo. 
 
48 96 144 44 88 132 35 70 105
6 12 18 61 122 183 19 38 57
45 90 135 14 28 42 33 66 99
56 112 168 98 196 294 29 58 87
11 22 33 54 108 162 70 140 210
99 198 297 87 174 261 82 164 246
58 116 174 93 186 279 49 98 147
49 98 147 23 46 69 97 194 291
22 44 66 55 110 165 51 102 153 
01 DE 03 PÁGINAS 
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14) Uma população é formada por 140 notas resultantes da aplicação de um teste 
de inteligência: 
 
62 129 95 123 81 93 105 95 96 80 87 110 139 75
123 60 72 86 108 120 57 113 65 108 90 137 74 106
109 84 121 60 128 100 72 119 103 128 80 99 149 85
77 91 51 100 63 107 76 82 110 63 131 65 114 103
104 107 63 117 116 86 115 62 122 92 102 113 74 78
69 116 82 95 71 121 85 80 100 85 117 85 102 106
94 84 123 42 90 91 81 116 73 79 98 82 69 102
100 79 101 98 110 95 67 77 91 95 74 90 134 94
79 92 73 83 74 125 101 82 71 75 101 102 78 108
125 56 86 98 106 72 117 89 99 86 82 57 106 90 
 
 
Obtenha uma amostra de 26 elementos, tomando, inicialmente, a 1ª linha da 
esquerda para a direita a partir do 3º elemento. 
 
 
 
15) O diretor de uma escola, na qual estão matriculados 280 meninos e 320 
meninas, desejoso de conhecer as condições de vida extra-escolar de seus alunos 
e não disposto de tempo para entrevistar todas as famílias, resolveu fazer um 
levantamento, por amostragem, em 10% dessa clientela. Obtenha, para esse 
diretor, os componentes da amostra. 
 
16) Umacidade X apresenta o seguinte quadro relativo às suas escolas de 1º grau: 
 
 
Nº DE ESTUDANTES
MASCULINO FEMININO
A 80 95
B 102 120
C 110 92
D 134 228
E 150 130
F 300 290
TOTAL 876 955
ESCOLAS
 
 
Obtenha uma amostra proporcional estratificada de 120 estudantes. 
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17) Uma população encontra-se dividida em três estratos, com tamanhos, 
respectivamente, N1= 40; N2= 100; N3= 60. Sabendo que, ao ser realizada uma 
amostra, estratificada proporcional, 9 elementos da amostra foram retirados do 3º 
estrato, determine o número total de elementos da amostra. E dos estratos N1 e N2. 
 
 
 
18) Mostre como seria possível retirar uma amostra de 32 elementos de uma 
população ordenada formada por 2.432 elementos. 
Na ordenação geral, qual dos elementos abaixo pertence à amostra, sabendo-se 
que o elemento de ordem 1.420 a ela pertence. 
 
a-) 290º 
b-) 725º 
c-) 2.025º 
d-) 1.120º 
e-) 1.648º 
 
 
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LISTA DE EXERCÍCIOS 03 
 
01. Com base nas distribuições abaixo, resultante de dados levantados, responda às questões: 
 
a) Qual é o tamanho da amostra; 
b) Qual o ponto médio da 2ª e da 4ª Classe; 
c) Qual o limite inferior da 6ª Classe; 
d) Qual o limite superior da 5ª classe. 
e) Qual o a amplitude da amostra e de cada classe. 
 
Distribuição 1: 
 
Peso 70├─ 74├─ 78├─ 82├─ 86├─ 90├─ 94 
___________________________________________________________________________________ 
fi 11 12 23 29 13 10 
 
Distribuição 2: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
02. Complete as tabelas abaixo com seguintes dados: 
 
Ponto Médio ( Xi ); 
Freqüência Relativa (fr); 
Freqüência Acumulada (Fi); 
Freqüência Relativa Acumulada (Fri). 
 
 
a) Amostra de dados 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
i CLASSES fi 
1 0├─ 5 2 
2 5├─ 10 10 
3 10├─ 15 4 
4 15├─ 20 6 
5 20├─ 25 8 
i CLASSES fi 
1 0├─ 5 2 
2 5├─ 10 10 
3 10├─ 15 4 
4 15├─ 20 6 
5 20├─ 25 8 
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b) A série abaixo representa uma amostra dos salários de 25 funcionários selecionados em uma empresa. 
Classe Salários US$ Nº de funcionários - fi 
1 1.000,00 1.200,00 2 
2 1.200,00 1.400,00 6 
3 1.400,00 1.600,00 10 
4 1.600,00 1.800,00 5 
5 1.800,00 2000,00 2 
 
c)Construa a distribuição de freqüências para a série abaixo que representa o saldo de 25 contas de 
pessoas físicas em uma agência em determinado dia. 
 
 
 
 
d) Série representativa da idade de 50 alunos do primeiro ano de uma Faculdade. 
idade (anos) Número de alunos 
17 3 
18 18 
19 17 
20 8 
21 4 
 
03) Complete o quadro de distribuição de freqüências. 
Classe Intervalo de classe fi fri (%) Fi Fri (%) 
1 6 10 1 
2 10 14 25 
3 14 18 14 
4 18 22 90 
5 22 26 2 
 
Classe Saldo US$ Nº de pessoas 
1 0 10.000,00 5 
2 10.000,00 20.000,00 10 
3 20.000,00 30.000,00 8 
4 40.000,00 40.000,00 2 
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LISTA DE EXERCÍCIOS 04 
 
Calcule a média das seguintes distribuições de freqüência 
 
1 - Conhecidas as notas de 55 alunos: 
classes notas fi 
1 33 I---- 42 7 
2 42 I---- 51 6 
3 51 I---- 60 8 
4 60 I---- 69 10 
5 69 I---- 78 9 
6 78 I---- 87 6 
7 87 I---- 96 5 
8 96 I---- 105 4 
TOTAL 55 
 
2 – Considerando as notas de um teste de inteligência aplicado a 55 alunos: 
classe amostra fi 
1 64 I---- 69 5 
2 69 I---- 74 6 
3 74 I---- 79 9 
4 79 I---- 84 7 
5 84 I---- 89 14 
6 89 I---- 94 6 
7 94 I---- 99 2 
8 99 I---- 104 6 
TOTAL 55 
 
3-O salário de 39 funcionários de um escritório está distribuído segundo o quadro abaixo. 
classe salários(R$) nº func. 
1 400 I---- 500 12 
2 500 I---- 600 15 
3 600 I---- 700 8 
4 700 I---- 800 3 
5 800 I---- 900 1 
TOTAL 39 
 
 
 
 
 
 
 
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4-Uma imobiliária gerencia o aluguel de residências particulares, segundo o quadro 
abaixo. 
classe aluguel(R$) nº casa 
1 0 I---- 200 30 
2 200 I---- 400 52 
3 400 I---- 600 28 
4 600 I---- 800 7 
5 800 I---- 1000 3 
TOTAL 120 
5 - Os resultados do lançamento de um dado 50 vezes foram 
os seguintes: 
faces do dado fi 
1 6 
2 8 
3 9 
4 7 
5 10 
6 10 
TOTAL 50 
 
6 – A amostra abaixo apresenta as vendas diárias de um 
determinado aparelho elétrico, durante um mês, por uma 
firma comercial: 
amostra fi 
10 1 
11 3 
12 4 
13 5 
14 7 
15 2 
16 1 
17 1 
TOTAL 24 
 
7 - Resultante de pesos de moças 
Peso 
(kg) 
40 ├─ 44 ├─ 48 ├─ 52 ├─ 56 ├─ 60 
F 12 24 42 30 12 
 
 
8 - Com base na distribuição abaixo: 
Classes 2 ├─ 6 ├─ 10 ├─ 14 ├─ 18 ├─ 22 
f 4 12 21 15 8 
 
02 DE 02 PÁGINAS