Aulas 05 06 Cálculo I

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CÁLCULO I
AULAS 05 E 06
REVISÃO DE FUNÇÕES
Prof. Fábio Augusto de Abreu
fabio.abreu@ifsuldeminas.edu.br
https://sites.google.com/a/ifsuldeminas.edu.br/fabio-abreu/
FUNÇÃO AFIM
Definição
Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a
qualquer função 𝑓 de ℝ em ℝ dada por uma lei da forma 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏,
onde 𝑎 e 𝑏 são números reais dados.
Na função 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, o número 𝒂 é chamado de coeficiente de
𝑥 e o número 𝒃 é chamado termo constante.
Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau:
✓ 𝑓 𝑥 = 5𝑥 − 3, onde 𝑎 = 5 e 𝑏 = −3
✓ 𝑓 𝑥 = −2𝑥 −7, onde 𝑎 = −2 e 𝑏 = −7
✓ 𝑓(𝑥) = 11𝑥, onde 𝑎 = 11 e 𝑏 = 0
P
ro
f. F
á
b
io
 A
b
re
u
GRÁFICO
O gráfico de uma função afim, 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, é uma reta: 
→ oblíqua aos eixos 𝑂𝑥 e 𝑂𝑦, se 𝑎 ≠ 0 → paralela ao eixo 𝑂𝑥, se 𝑎 = 0.
Exemplo: construir o gráfico da função 𝑦 = 3𝑥 − 1.
Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos e ligá-los com o
auxílio de uma régua:
a) Para 𝑥 = 0, temos 𝑦 = 3 · 0 − 1 = −1; portanto, um ponto é (0,−1)
b) Para 𝑦 = 0, temos 0 = 3𝑥 − 1; portanto, e outro ponto é (1/3; 0).
Marcamos os pontos (0, −1) e (1/3; 0) no plano cartesiano e ligamos os dois
com uma reta.
P
ro
f. F
á
b
io
 A
b
re
u
P
ro
f. F
á
b
io
 A
b
re
u
COEFICIENTE ANGULAR E LINEAR
 O coeficiente de x, a, é chamado coeficiente angular da reta
e está ligado à inclinação da reta em relação ao eixo Ox.
 O termo constante, b, é chamado coeficiente linear da
reta. Para x = 0, temos y = a · 0 + b = b. Assim, o coeficiente
linear é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo Oy.
(0,b)
P
ro
f. F
á
b
io
 A
b
re
u
ZERO OU RAIZ DA FUNÇÃO
Chama-se zero ou raiz da função afim f(x) = ax + b, a ≠ 0, o número real x
tal que f(x) = 0.
Temos:
𝑓 𝑥 = 0 ⟹ 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 ⟹ 𝑥 = −𝑏/𝑎
Vejamos alguns exemplos:
1-) Obtenção do zero da função f(x) = 2x – 5:
𝑓 𝑥 = 0 ⟹ 2𝑥 − 5 = 0 ⟹ 𝑥 = 5/2
2-) Cálculo da raiz da função g(x) = 3x + 6:
𝑔 𝑥 = 0 ⟹ 3𝑥 + 6 = 0 ⟹ 𝑥 = −6/3 = −2
P
ro
f. F
á
b
io
 A
b
re
u
3-) Cálculo da abscissa do ponto em que o gráfico de 
h(x) = – 2x + 10 corta o eixo das abscissas:
O ponto em que o gráfico corta o eixo dos x é aquele
em que h(x) = 0; então:
h(x) = 0 – 2x + 10 = 0 x = 5 
P
ro
f. F
á
b
io
 A
b
re
u
CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO
Função Crescente: A função afim f(x) = ax + b é
crescente quando o coeficiente de x é positivo (a > 0);
Justificativa: para a > 0: se x1 < x2, então ax1 < ax2.
Daí, ax1 + b < ax2 + b, de onde vem f(x1) < f(x2).
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y -10 -7 -4 -1 2 5 8
P
ro
f. F
á
b
io
 A
b
re
u
Função Decrescente: A função do 1º grau f(x) = ax + b 
é decrescente quando o coeficiente de x é negativo, ou 
seja, a < 0.
Justificativa: para a < 0: se x1 < x2, então ax1 > ax2. 
Daí, ax1 + b > ax2 + b, de onde vem f(x1) > f(x2).
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y 8 5 2 -1 -4 -5 -10
y diminui
P
ro
f. F
á
b
io
 A
b
re
u
ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO
Estudar o sinal de uma função qualquer, y = f(x) é
determinar os valores de x para os quais y é positivo,
os valores de x para os quais y é zero e os valores de
x para os quais y é negativo.
Consideremos uma função afim y = f(x) = ax + b.
Vamos estudar seu sinal. Já vimos que essa função
se anula pra raiz
Há dois casos possíveis:
a
b
x −=
P
ro
f. F
á
b
io
 A
b
re
u
1º CASO) a > 0 (a função é crescente)
y > 0 → ax + b > 0 → x >
y < 0 → ax + b < 0 → x <
Conclusão:
• y é positivo para valores de x maiores que a
raiz;
• y é negativo para valores de x menores que
a raiz.
P
ro
f. F
á
b
io
 A
b
re
u
P
ro
f. F
á
b
io
 A
b
re
u
2º CASO) a < 0 (a função é decrescente)
y > 0 → ax + b > 0 → x < 
y < 0 → ax + b < 0 → x > 
Conclusão:
• y é positivo para valores de x menores que
a raiz;
• y é negativo para valores de x maiores que
a raiz.
P
ro
f. F
á
b
io
 A
b
re
u
P
ro
f. F
á
b
io
 A
b
re
u
FUNÇÃO QUADRÁTICA
Definição:
Chama-se função quadrática, ou função
polinomial do 2º grau, qualquer f de IR em IR
dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c,
onde a, b e c são números reais e a ≠ 0.
Vejamos alguns exemplos de função quadráticas:
1) f(x) = 3x² – 4x + 1, onde a = 3, b = – 4 e c = 1 
2) f(x) = x2 – 1, onde a = 1, b = 0 e c = – 1 
3) f(x) = 2x2 + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5 
4) f(x) = – x2 + 8x, onde a = 1, b = 8 e c = 0 
5) f(x) = – 4x2, onde a = – 4, b = 0 e c = 0 
P
ro
f. F
á
b
io
 A
b
re
u
GRÁFICO
O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, 
y = ax2 + bx + c, com a ≠ 0, é uma curva 
chamada parábola.
Vamos construir o gráfico da função y = x2 + x:
Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois
calculamos o valor correspondente de y e, em
seguida, ligamos os pontos assim obtidos.
P
ro
f. F
á
b
io
 A
b
re
u
X Y
-3 6
-2 2
-1 0
-1/2 -1/4
0 0
1 2
2 6
• se a > 0, a 
parábola tem a 
concavidade 
voltada para cima;
• se a < 0, a 
parábola tem a 
concavidade 
voltada para baixo; 
GRÁFICO
P
ro
f. F
á
b
io
 A
b
re
u
ZERO OU RAIZ DA FUNÇÃO
QUADRÁTICA
Observação:
A quantidade de raízes reais de uma função
quadrática depende do valor obtido para o
radicando ∆ = b² – 4.a.c, chamado discriminante.
Quando ∆ é positivo, há duas raízes reais
e distintas;
Quando ∆ é zero, há só uma raiz real;
Quando ∆ é negativo, não há raiz real.
P
ro
f. F
á
b
io
 A
b
re
u
COORDENADAS DO VÉRTICE
Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de
mínimo V; quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto
de máximo V. Em qualquer caso, as coordenadas de V são −
𝑏
2𝑎
, −
Δ
4𝑎
Veja os gráficos:
P
ro
f. F
á
b
io
 A
b
re
u
IMAGEM DA FUNÇÃO
O conjunto-imagem Im da função y = ax2 + bx + c, com a ≠ 0,
é o conjunto dos valores que y pode assumir.
Há duas possibilidades:
1ª) quando a > 0,
a > 0
P
ro
f. F
á
b
io
 A
b
re
u
IMAGEM DA FUNÇÃO
2ª) quando a < 0,
ESBOÇO DA PARÁBOLA
P
ro
f. F
á
b
io
 A
b
re
u
4) A reta que passa por V e é paralela ao eixo
dos y é o eixo de simetria da parábola;
5) Para x = 0 , temos y = a · 02 + b · 0 + c = c;
então (0, c) é o ponto em que a parábola corta o
eixo dos y.
P
ro
f. F
á
b
io
 A
b
re
u
Consideremos uma função quadrática
y = f(x) = ax2 + bx + c e determinemos os valores
de x para os quais y é negativo e os valores de x
para os quais y é positivos.
Conforme o sinal do discriminante ∆ = b2 – 4ac,
podem ocorrer os seguintes casos:
SINAL DA FUNÇÃO
P
ro
f. F
á
b
io
 A
b
re
u
y > 0 x1 < x < x2
y < 0 x < x1 ou x > x2
1º caso) ∆ > 0
Nesse caso a função quadrática admite dois zeros reais distintos (x1 ≠ x2). A 
parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos e o sinal da função é o indicado 
nos gráficos abaixo:
y > 0 x < x1 ou x > x2
y < 0 x1 < x < x2
quando a > 0 quando a < 0
P
ro
f. F
á
b
io
 A
b
re
u
2º caso) ∆ = 0
quando a > 0 quando a < 0
P
ro
f. F
á
b
io
 A
b
re
u
3º caso) ∆ < 0
quando a > 0 quando a < 0
P
ro
f. F
á
b
io
 A
b
re
u

P
ro
f. F
á
b
io
 A
b
re
u
P
ro
f. F
á
b
io
 A
b
re
u
P
ro
f. F
á
b
io
 A
b
re
u
FUNÇÕES MODULARESP
ro
f. F
á
b
io
 A
b
re
u
EXERCÍCIO
P
ro
f. F
á
b
io
 A
b
re
u
DETERMINAÇÃO DO DOMÍNIO
P
ro
f. F
á
b
io
 A
b
re
u
GRÁFICO DA FUNÇÃO MODULAR
P
ro
f. F
á
b
io
 A
b
re
u
P
ro
f. F
á
b
io
 A
b
re
u
EXEMPLOS
P
ro
f. F
á
b
io
 A
b
re
u
EXEMPLOS
P
ro
f. F
á
b
io
 A
b
re
u
EXEMPLOS
P
ro
f. F
á
b
io
 A
b
re
u
EXEMPLOS
P
ro
f. F
á
b
io
 A
b
re
u
EXEMPLOS
P
ro
f. F
á
b
io
 A
b
re
u
FUNÇÕES EXPONENCIAIS
Definição. Seja 𝑎 ∈ ℝ tal que 0 < a ≠ 1. A função exponencial de
base 𝑎 é denotada e definida por:
𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥
• 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ;
• 𝐼𝑚 𝑓 = (0,+∞);
• 𝑓 0 = 1 e 𝑓 1 = 𝑎.
P
ro
f. F
á
b
io
 A
b
re
u
FUNÇÕES EXPONENCIAIS
P
ro
f. F
á
b
io
 A
b
re
u
FUNÇÕES EXPONENCIAIS
P
ro
f. F
á
b
io
 A
b
re
u
FUNÇÕES EXPONENCIAIS – O NÚMERO 𝑒
P
ro
f. F
á
b
io
 A
b
re
u
FUNÇÕES EXPONENCIAIS – O NÚMERO 𝑒
P
ro
f. F
á
b
io
 A
b
re
u
FUNÇÕES EXPONENCIAIS
P
ro
f. F
á
b
io
 A
b
re
u
1) Esboce o gráfico de 𝑦 =
1
2
𝑒−𝑥 −
1 e diga qual o domínio e a
imagem.
2) Se você traçar o gráfico da
função 𝑓 𝑥 =
1−𝑒 ൗ
1
𝑥
1+𝑒 ൗ
1
𝑥
você verá
que f parece ser uma função
ímpar. Demonstre isso.
3) Encontre a função exponencial
𝑓 𝑥 = 𝐶𝑎𝑥 cujo gráfico é dado.
FUNÇÕES LOGARÍTMICAS
Definição. Seja 𝑎 ∈ ℝ tal que 0 < a ≠ 1. A função exponencial 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥
possui inversa denominada função logarítmica de base 𝑎, que é denotada por:
𝑦 = 𝑓 𝑥 = log𝑎 𝑥
e definida por 𝑦 = log𝑎 𝑥 se, e somente se, 𝑎
𝑦 = 𝑥.
• 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = (0,+∞);
• 𝐼𝑚 𝑓 = ℝ;
• 𝑓(1) = 0 e 𝑓 𝑎 = 1.
P
ro
f. F
á
b
io
 A
b
re
u
FUNÇÕES LOGARÍTMICAS
P
ro
f. F
á
b
io
 A
b
re
u
FUNÇÕES LOGARÍTMICAS
P
ro
f. F
á
b
io
 A
b
re
u
1) Determine o domínio da
função ln(ln(𝑥)).
2) (a) Encontre o domínio
de 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛(𝑒𝑥 − 3)
(b) Encontre 𝑓−1 e seu
domínio.
3) Considere as funções 𝑓 e 𝑔, da variável real
𝑥 , definidas, respectivamente, por 𝑓 𝑥 =
𝑒𝑥
2+𝑎𝑥+𝑏 e 𝑔 𝑥 = ln
𝑎𝑥
3𝑏
, em que 𝑎 e 𝑏 são
números reais. Se 𝑓 −1 = 1 = 𝑓(−2), então
pode-se afirmar sobre a função composta 𝑔 ∘ 𝑓
que
a) 𝑔 ∘ 𝑓 1 = ln 3
b) ∄ 𝑔 ∘ 𝑓 0 .
c) 𝑔 ∘ 𝑓 nunca se anula.
d) 𝑔 ∘ 𝑓 está apenas definida em 0,∞ .
e) 𝑔 ∘ 𝑓 admite dois zeros reais distintos.
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
P
ro
f. F
á
b
io
 A
b
re
u
𝑓 𝑥 = sen 𝑥
Função ímpar
𝑓 𝑥 = cos 𝑥
Função par
Em ambas as funções temos: 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ, 𝐼𝑚 𝑓 = [−1,1] e período 2𝜋.
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
P
ro
f. F
á
b
io
 A
b
re
u
𝑓 𝑥 = tg 𝑥
Função ímpar
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≠
𝜋
2
+ 𝑛𝜋, 𝑛 inteiro}
𝐼𝑚 𝑓 = ℝ
Período: 𝜋
𝑓 𝑥 = sec 𝑥
Função par
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≠
𝜋
2
+ 𝑛𝜋, 𝑛 inteiro}
𝐼𝑚 𝑓 = −∞,−1 ∪ [1,+∞)
Período: 2𝜋
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
P
ro
f. F
á
b
io
 A
b
re
u
𝑓 𝑥 = cotg 𝑥
Função ímpar
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≠ 𝑛𝜋, 𝑛 inteiro}
𝐼𝑚 𝑓 = ℝ
Período: 𝜋
𝑓 𝑥 = cossec 𝑥
Função ímpar
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≠ 𝑛𝜋, 𝑛 inteiro}
𝐼𝑚 𝑓 = −∞,−1 ∪ [1,+∞)
Período: 2𝜋