Propagação de erros Física 1

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Propagac¸a˜o de erros
Propagac¸a˜o de erros
Propagac¸a˜o de Erros (Medida indireta)
Medidas indiretas
Medidas indiretas: Sa˜o todas aquelas que relacionam as medidas
diretas por meio de fo´rmulas matema´ticas. Ex: V = piR2H
O Valor mais prova´vel de uma medida indireta, considerando uma
func¸a˜o R = (X ,Y ) e´ obtido substituindo o valor mais prova´vel das
varia´veis medidas diretamente na relac¸a˜o matema´tica que expressa a
medida indireta, ou seja: R¯ = R(X¯ , Y¯ ).
Exemplo: V¯ = piR¯2H¯
Propagac¸a˜o de erros
Propagac¸a˜o de Erros (Medida indireta)
Desvio padra˜o
O desvio padra˜o de uma medida indireta para uma func¸a˜o R(X ,Y ),
quando as medidas diretas sa˜o independentes, e´ definido por:
SR =
√(
∂R
∂X¯
)2
SX
2 +
(
∂R
∂Y¯
)2
SY
2
SX e SY sa˜o os desvios padro˜es das varia´veis medidas diretamente.
A fo´rmula de propagac¸a˜o de erros tera´ o nu´mero de termos igual ao
nu´mero de varia´veis medidas diretamente.
Propagac¸a˜o de erros
Propagac¸a˜o de Erros (Medida indireta)
Desvio padra˜o - expresso˜es simplificadas
Produto ou quociente: Se R = AX pY q, onde X e Y sa˜o varia´veis
reais e A e´ uma constante, o desvio padra˜o e´ dado por:
SR = R¯
√
p2
(
SX
X¯
)2
+ q2
(
SY
Y¯
)2
Soma ou diferenc¸a: Se R = bX ± cY , onde b e c sa˜o constantes
reais, o desvio padra˜o e´ dado por:
SR =
√
b2SX
2 + c2SY
2
Propagac¸a˜o de erros
Regras para a representac¸a˜o do valor e do desvio de uma
medida
Como apresentar uma medida e os desvios
1 O desvio padra˜o, tanto da medida direta quanto da medida indireta,
devera´ ser expresso com dois algarismos significativos;
2 O desvio avaliado devera´ ser escrito com um algarismo significativo;
3 O valor da medida devera´ sempre ter o mesmo nu´mero de casas
decimais que o desvio. Seja ele o desvio padra˜o ou avaliado;
4 O desvio tem a mesma unidade que a medida.
Propagac¸a˜o de erros
Tabelas para determinac¸a˜o de n´ıvel de confianc¸a (n < 20)
Propagac¸a˜o de erros
Tabelas para determinac¸a˜o de n´ıvel de confianc¸a (n > 20)
Propagac¸a˜o de erros
Exerc´ıcios
Exemplo 1
O diaˆmetro D de uma esfera de ac¸o e´ medido 6 vezes com um
microˆmetro, obtendo-se os seguinte valores:
D(mm) = 6, 458; 6, 450; 6, 463; 6, 454; 6, 457; 6, 451.
1 - Calcule o valor mais prova´vel D¯ do diaˆmetro, o desvio padra˜o e
o desvio padra˜o relativo.
2 - Expresse a medida do diaˆmetro com um n´ıvel de confianc¸a de
95 % em termos do desvio padra˜o
Propagac¸a˜o de erros
Exerc´ıcios
Exemplo 1 - Resposta
1- D = D¯ ± SD = 6, 4555± 0, 0048 mm
Desvio relativo= 0, 074%
2 - D = D¯ ± αSD
Da Tabela para o n´ıvel de confianc¸a de 95% para n = 6 medidas,
α = 2, 571:
D = 6, 456± 0, 012 mm
Propagac¸a˜o de erros
Exerc´ıcios
Exemplo 2
A massa m da esfera do Exemplo 1 foi medida seis vezes,
obtendo-se para m¯ e Sm os valores: m¯ = 1, 100 g e Sm = ±0, 012
g .
Calcule (a) a densidade da esfera e (b) expresse o resultado como
ρ¯± Sρ.
Propagac¸a˜o de erros
Exerc´ıcios
Exemplo 2 - Resposta
(a) ρ¯ =
m¯
V
=
m¯
1/6piD¯3
=
6m¯
piD¯3
=
6× 1, 100
pi × 0, 645553 = 7, 80916 g/cm
3
O desvio padra˜o e´ dado por:
Sρ =
√(
∂ρ
∂D
)2
SD
2 +
(
∂ρ
∂m
)2
Sm
2
Sρ = ρ¯
√
32
(
SD
D¯
)2
+
(
Sm
m¯
)2
Sρ = 7, 80916
√
5, 08× 10−6 + 1, 19× 10−4 = ±0, 08699 g/cm3
(b) ρ = 7, 809± 0, 087 g/cm3
Propagac¸a˜o de erros
Refereˆncias
VUOLO, J.H.(1995), Fundamentos da Teoria de Erros. 2a edic¸a˜o.
Edgard Bluncher: Sa˜o Paulo.
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