Aula 13 Circulo de Mohr

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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 
Código da Disciplina: CCE0329 
Professor: Marcos Santos 
Aula 13 – Circulo de Mohr 
O Círculo de Mohr é uma forma gráfica para a 
resolução de problemas que expressam o estado 
plano de tensões. 
Círculo de Mohr 
Para que seja possível o uso do Círculo de Mohr, é 
necessário que cada plano seja representado por um 
ponto em um sistema de coordenadas (s, t) 
Círculo de Mohr 
A figura geométrica que satisfaz a todas estas 
condições simultaneamente é um círculo. A este 
círculo se dá o nome de Círculo de Mohr. 
Círculo de Mohr 
𝑪𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐 = 
𝝈𝒙 + 𝝈𝒚
𝟐
 
𝑹𝒂𝒊𝒐 = 
𝝈𝒙 − 𝝈𝒚
𝟐
𝟐
+ 𝝉𝒙𝒚𝟐 
Círculo de Mohr 
Círculo de Mohr 
Círculo de Mohr 
𝝉𝒎𝒂𝒙 =
𝝈𝒙 − 𝝈𝒚
𝟐
𝟐
+ 𝝉𝒙𝒚𝟐 
Importante observar que a tensão de 
cisalhamento máxima é igual ao raio do 
círculo de Mohr 
Círculo de Mohr 
𝝈𝒎𝒂𝒙 =
𝝈𝒙 + 𝝈𝒚
𝟐
+ 𝝉𝒎𝒂𝒙 
𝝈𝒎𝒊𝒏 =
𝝈𝒙 + 𝝈𝒚
𝟐
− 𝝉𝒎𝒂𝒙 
O ângulo de orientação do plano, círculo 
de Mohr, em relação ao plano da tensão 
máxima, é dado por: 
 
 
 
 
Deixando claro que o ângulo que aparece 
no circulo de Mohr (𝟐𝜽𝒑) é o dobro do 
ângulo representado no estado plano (𝜽𝒑). 
Círculo de Mohr - Orientação 
𝒕𝒈(𝟐𝜽𝒑) =
𝝉𝒙𝒚
(𝝈𝒙−𝝈𝒚) 𝟐 
 
Deixando claro que o ângulo que aparece no 
circulo de Mohr (𝟐𝜽𝒑) é o dobro do ângulo 
representado no estado plano (𝜽𝒑). 
𝜎𝑦 
y 
x 
𝜎𝑥 
𝜏𝑥𝑦 
𝜽𝒑 
Plano da tensão máxima 
Círculo de Mohr - Orientação 
Assim uma tensão, em qualquer que seja o 
ângulo 𝜽𝒑 pode ser calculado como: 
Círculo de Mohr - Orientação 
𝝈 =
𝝈𝒙 + 𝝈𝒚
𝟐
+ 𝝉𝒎𝒂𝒙. 𝒄𝒐𝒔(𝟐𝜽𝒑) 
𝝉 = 𝝉𝒎𝒂𝒙. 𝒔𝒆𝒏(𝟐𝜽𝒑) 
Círculo de Mohr - Exemplo 
Determine as tensões máximas e mínimas 
para o estado de tensão apresentado. 
y 
x 
15 𝑀𝑃𝑎 
50 𝑀𝑃𝑎 
20 𝑀𝑃𝑎 
Círculo de Mohr – Solução Exemplo 1 
𝝉𝒎𝒂𝒙 =
𝝈𝒙 − 𝝈𝒚
𝟐
𝟐
+ 𝝉𝒙𝒚𝟐 
𝝉𝒎𝒂𝒙 =
𝟓𝟎 − 𝟏𝟓
𝟐
𝟐
+ 𝟐𝟎𝟐 
𝝉𝒎𝒂𝒙 = 𝟐𝟔, 𝟓𝟕𝑴𝑷𝒂 
Círculo de Mohr – Solução Exemplo 1 
𝝈 =
𝟓𝟎 + 𝟏𝟓
𝟐
 ± 𝟐𝟔, 𝟓𝟕 
𝝈𝒎𝒂𝒙 = 𝟑𝟐, 𝟓 + 𝟐𝟔, 𝟓𝟕 = 𝟓𝟗, 𝟎𝟕𝑴𝑷𝒂 
𝝈𝒎𝒊𝒏 = 𝟑𝟐, 𝟓 − 𝟐𝟔, 𝟓𝟕 = 𝟓, 𝟗𝟑 𝑴𝑷𝒂 
𝝈 =
𝝈𝒙 + 𝝈𝒚
𝟐
± 𝝉𝒎𝒂𝒙 
Círculo de Mohr – Solução Exemplo 1 
𝒕𝒈(𝟐𝜽𝒑) =
𝝉𝒙𝒚
(𝝈𝒙−𝝈𝒚) 𝟐 
 
𝒕𝒈(𝟐𝜽𝒑) =
𝟐𝟎
(𝟓𝟎 − 𝟏𝟓) 𝟐 
= 𝟏, 𝟏𝟒𝟐𝟖𝟓𝟕 
𝟐𝜽𝒑 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈 𝟏, 𝟏𝟒𝟐𝟖𝟓𝟕 = 𝟒𝟖, 𝟖𝒈𝒓𝒂𝒖𝒔 
𝜽𝒑 = 𝟐𝟒, 𝟒𝒈𝒓𝒂𝒖𝒔 
Exemplo 2 
Represente o estado de tensão no ponto em 
questão, em um elemento orientado 30° no sentido 
horário. 
Círculo de Mohr – Solução Exemplo 2 
𝝉𝒎𝒂𝒙 =
𝝈𝒙 − 𝝈𝒚
𝟐
𝟐
+ 𝝉𝒙𝒚𝟐 
𝝉𝒎𝒂𝒙 =
−𝟖𝟎 − 𝟓𝟎
𝟐
𝟐
+ 𝟐𝟓𝟐 
𝝉𝒎𝒂𝒙 = 𝟔𝟗, 𝟔𝟒𝑴𝑷𝒂 
Círculo de Mohr – Solução Exemplo 2 
𝝈 =
−𝟖𝟎 + 𝟓𝟎
𝟐
 ± 𝟔𝟗, 𝟔𝟒 
𝝈𝒎𝒂𝒙 = −𝟏𝟓 + 𝟔𝟗, 𝟔𝟒 = 𝟓𝟒, 𝟔𝟒 𝑴𝑷𝒂 
𝝈𝒎𝒊𝒏 = −𝟏𝟓 − 𝟔𝟗, 𝟔𝟒 = −𝟖𝟒, 𝟔𝟒 𝑴𝑷𝒂 
𝝈 =
𝝈𝒙 + 𝝈𝒚
𝟐
± 𝝉𝒎𝒂𝒙 
Círculo de Mohr – Solução Exemplo 2 
𝒕𝒈(𝟐𝜽𝒑) =
𝝉𝒙𝒚
(𝝈𝒙−𝝈𝒚) 𝟐 
 
𝒕𝒈(𝟐𝜽𝒑) =
𝟐𝟓
(−𝟖𝟎 − 𝟓𝟎) 𝟐 
= −𝟎, 𝟑𝟖𝟒𝟔 
𝟐𝜽𝒑 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈 −𝟎, 𝟑𝟖𝟒𝟔 = −𝟐𝟏, 𝟎𝟒𝒈𝒓𝒂𝒖𝒔 
𝜽𝒑 = −𝟏𝟎, 𝟓 𝒈𝒓𝒂𝒖𝒔 
Círculo de Mohr – Solução Exemplo 2 
𝜽𝒑𝟐 = −𝟏𝟎, 𝟓 
°−𝟑𝟎 °= −𝟒𝟎, 𝟓 ° 
Após giro 30° no sentido horário, a 
partir do estado inicial, o ângulo 𝜽𝒑𝟐 é: 
As tensões após giro são: 
Círculo de Mohr – Solução Exemplo 2 
𝝉 = 𝟔𝟗, 𝟔𝟒. 𝒔𝒆𝒏(−𝟖𝟏°) 
𝝉 = 𝝉𝒎𝒂𝒙. 𝒔𝒆𝒏(𝟐𝜽𝒑) 
𝝉 = −𝟔𝟖, 𝟖 MPa 
As tensões após giro são: 
𝝈 =
𝝈𝒙 + 𝝈𝒚
𝟐
± 𝝉𝒎𝒂𝒙. 𝒄𝒐𝒔(𝟐𝜽𝒑) 
Círculo de Mohr – Solução Exemplo 2 
𝝈 = −𝟏𝟓 ± 𝟔𝟗, 𝟔𝟒. 𝒄𝒐𝒔(−𝟖𝟏°) 
𝝈𝒎𝒂𝒙 = −𝟏𝟓 + 𝟏𝟎, 𝟖𝟓 = −𝟒, 𝟏𝟓 𝑴𝑷𝒂 
𝝈𝒎𝒊𝒏 = −𝟏𝟓 − 𝟏𝟎, 𝟖𝟓 = −𝟐𝟓, 𝟖𝟓 𝑴𝑷𝒂 
Exemplo 2 - resultado 
Hibbeler, 
7ª edição 
Seção 9.3 
Pág. 327 a 338. 
 
 
O temor a DEUS é o princípio da sabedoria 
Exercícios de fixação para o lar 
Provérbios 1:7