Gabaritos de Mcsol2 P2 e P3

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Gabaritos de Mcsol2/P3_MecSol_II_NM7620_2014-2_GABARITO-2.pdf
Gabaritos de Mcsol2/P3-1sem18 diu.pdf
Gabaritos de Mcsol2/P3-1sem17-diu.pdf
Gabaritos de Mcsol2/P3-1sem14-not.pdf
Gabaritos de Mcsol2/P3-1sem18 not.pdf
Gabaritos de Mcsol2/P3-2sem12-diurno.pdf
Gabaritos de Mcsol2/P2_NM7620_GABARITO.pdf
Gabaritos de Mcsol2/GABARITO_P3-1sem13-diurno.pdf
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 (
 
 
 ) (
 
 
 ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P
E
DC
B
A
3a
4a
3a 3a
F
1ª Q (valor:5,0) – Resolver a estrutura hiperestática da figura abaixo e traçar 
o diagrama final de momentos fletores. 
EI
EI
EI
EI
EA
E
4Pa 
4Pa 
1 1 1 
1 
0,44 
0,44 
1 
1,32a 
1,32a 
1,32a 1,32a 
M1 
No 
Mo 
N1 
M 
0,473 Pa 
4 Pa 
3,527 Pa 
0,473 Pa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EDCBA
2ª Q(valor: 5,0) - Para a estrutura isostática da figura abaixo, calcule por 
analogia de Mohr:
a) A
b) yA
c) yC
EI = constante
Gabaritos de Mcsol2/P2_ME6620_GABARITO.pdf
Gabaritos de Mcsol2/P3-2sem12-noturno.pdf
Gabaritos de Mcsol2/P3_NM7620_1sem2015_GABARITO.pdf
Gabaritos de Mcsol2/GABARITO_P3_NM7620_2oSem2016 (2).pdf
Gabaritos de Mcsol2/P3_diurno_1sem2015_GABARITO.pdf
Gabaritos de Mcsol2/Gabarito P3.pdf
Gabaritos de Mcsol2/P3-2sem11-diurno.pdf
 Nº 
 
DISC: ME6620 P 3 – Prova A DATA: 09 / 12 / 11 
NOME: ***** GABARITO ***** NOTA: 
1. Preencha com seu nome e número. 2. Faça as questões com clareza e de maneira organizada nos espaços 
reservados. 3. Coloque as respostas nos quadros indicados. 4. Só é permitido consulta ao formulário que deverá ser 
devolvido sem rasuras e anotações. 5. Duração: 80 min. 6. Procurar os serviços de Monitoria (horários no 
Moodle). 
 
Continuação da questão número 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nº SEQ.: 
Resposta Sentido
a) δV-C= ( ) ↑ ( ) ↓ 
Integrais de 
produtos de 
funções sik  12212211 22
6
kikikiki
s

 
6
2 21 kiis  
6
2 21 kiis  
2
21 kiis 
2
sik
2
sik
2
sik 3
sik
6
sik
6
sik
3
sik
2
sik
 
2
21 kksi  
6
2 21 kksi  
6
2 21 kksi 
s
k
s
i
s
i
s
i
s
i1 i2
s
k
s
k
s
k1 k2
1ª Questão – Valor 5,0 Pontos: A estrutura da figura está sujeita a um carregamento combinado incluindo pressão 
interna, torção e momentos fletores nos planos horizontal e vertical, como indica a figura. As solicitações normais e 
cisalhantes máximas na parede interna do vaso geradas por cada carregamento já são fornecidas. Os engenheiros 
descobriram que o ponto crítico é na parede interna em contato com o fluido e o denominaram K. Pede-se: 
a) (1,5 ponto) Preencher, para o ponto K, as tensões resultantes e suas direções no volume infinitesimal abaixo e 
completar o tensor das tensões (T) com os devidos valores e sinais. 
b) (1,5 ponto) Determinar as tensões principais: σ1 , σ2 e σ3. (reportar as passagens de cálculo da equação de 3º grau) 
c) (1,0 ponto) Esquematizar o círculo de Mohr no ponto K, indicando as tensões que caracterizam o ETT. 
d) (1,0 ponto) Determinar o coeficiente de segurança ao escoamento neste ponto admitindo que o material (aço 
1045 com σLR = 650 MPa, σLE = 450 MPa, ν = 0,3 ; E = 206 GPa e G = 80 GPa) se comporta como dúctil e 
que a equipe de projeto utiliza o critério da máxima tensão de cisalhamento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Resolvido acima. Valores em [MPa]. 
 
b) Tensões principais: 
 
MPa39,2681 
 ; 
MPa61,62 
 ; 
MPa303 
 
 
c) Círculo de Mohr: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) C. S. ao escoamento: deve ser usado o critério de Tresca (máxima tensão de cisalhamento) . 
 
51,1
298,39
450
C.S.MPa298,39 Tresca
‘K
X
Y
Z
Pressão 
Interna:
c
MPancialCircunfere 200
MPaalLongitudin 100
MPaPInt 30. 
MPaInternaParedeMax 75__ 
xyM
MPaInternaParedeMax 25__ 
zyM
MPaInternaParedeMax 115__ 
yT
X
Y
Z
Preencher orientação e valores










T
75
200
30
+ 75
+ 200
- 30
115
115
0
0
0
0
- 115
- 115
0 0
0
0


MPa39,2681 
MPa61,62  MPa00,303  MPa31,1823  MPa20,14913  MPa89,13012 
Continuação da questão número 1. 
 
 
 
 
 
 
Respostas Pontuação
a) Preencher na Fig. da direita. 1,5 pto.
b)
σ1 = MPa
1,5 pto.σ2 = MPa
σ3 = MPa
c) Desenhar no espaço ao lado 1,0 pto.
d) C.S. = 1,0 pto.


Gabaritos de Mcsol2/P3-1sem14-not14.pdf
Gabaritos de Mcsol2/P3-2sem13-noturno.pdf
Gabaritos de Mcsol2/GABARITO_P2-NM7620-1sem13.pdf
Gabaritos de Mcsol2/P3-1sem11-diurno.pdf
 Nº 
 
DISC: ME6620 P 3 – Prova A DATA: 17 / 06 / 11 
NOME: *** GABARITO *** NOTA: 
1. Preencha com seu nome e número. 2. Faça as questões com clareza e de maneira organizada nos espaços 
reservados. 3. Coloque as respostas nos quadros indicados. 4. Só é permitido consulta ao formulário que deverá ser 
devolvido sem rasuras e anotações. 5. Duração: 80 min. 6. É permitido somente o uso de calculadoras científicas 
convencionais (não alfa-numéricas ou gráficas). 
 
Continuação da 2a questão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nº SEQ.: 
Questão 1 – (5 Pontos) : O ponto crítico de um componente mecânico está submetido a uma energia de 
deformação total de 0,2094 MJ/m3 e a uma tensão principal intermediária σ2 = 73,666 MPa. Ainda, sabe-se que a 
maior tensão de cisalhamento que ocorre neste ponto vale 72,145 MPa. Neste contexto, pede-se resolver: 
a. As tensões principais desconhecidas σ1 e σ3. 
b. A tensão τxy faltante ao tensor das tensões fornecido. 
c. As direções principais (l1, m1 e n1) para a tensão σ1. 
d. A segurança ao escoamento no ponto material em estudo considerando o critério da máxima 
tensão de cisalhamento octaédrica. 
 










=
805040
50120
40100
xy
xy
T τ
τDados sobre 
o ponto em 
estudo:
Alumínio:
E = 70 Gpa
ν = 0,25
G = 28 Gpa
σLE = 315 Mpa
τLE = 180 MPa
 
 
 
Solução: 
 
a) Sabe-se que: τ13 = (σ1-σ3)/2 = 72,145 MPa. Então σ3 = σ1 - 144,29. 
 
Sabe-se ainda que σ2 = 73,666 MPa e a energia de deformação total vale: 
 
Ut = 0,2094 = (1/(2*E))*((σ1)^2+(σ2)^2+(σ3)^2-2*ν*(σ1*σ2+σ2*σ3+ σ1*σ3)) 
 
e substituindo os valores sabidos: 
 
0,2094 = (1/(2*70000))*((σ1)^2+(73,666)^2+(σ1-144,29)^2-2*0,25*(σ1*73,666+73,666*(σ1-144,29)+σ1*(σ1-144,29))) 
 
A solução conduz a: 
 
σ1 = 185 MPa 
 
e portanto: 
 
σ3 = 41 MPa 
 
b) A solução da tensão cisalhante faltante ao tensor pode vir diretamente dos invariantes (usando por exemplo I2): 
 
 I2 = σ1*σ2+ σ2*σ3+ σ1*σ3 = 24275 = σx*σy+ σy*σz+ σx*σz–τxy2- τyz2- τxz2 
 
24275 = 100*120+120*80+100*80–τxy2- 502- 402 
 
τxy = 35 MPa 
 
c) As direções principais (l1, m1 e n1) para a tensão σ1 são obtidas da solução do sistema: 
 
 










=










⇒=










⋅










−
−
−
0,5195
0,6770
0,5213
0
312,185805040
50312,18512035
4035312,185100
1
1
1
1
1
1
n
m
l
n
m
l
 
 
d) Usando o critério de von Mises recomendado na questão, resulta: 
 
 σeq.mises = 131 MPa 
 
 C.S. = 2,4 
 
 
Resultados Unidade
σ1 185 MPa
σ3 41 MPa
τxy 35 MPa
l1 0,5213 ---
m1 0,6770 ---
n1 0,5195 ---
C.S. 2,4 ---
Questão 2 – (5,0 Pontos) : A estrutura hiperestática da figura abaixo é constituída de uma barra de rigidez (EI) 
constante sobre 3 apoios em A, B e C, com balanço CD. Resolver a estrutura proposta usando o processo de 
analogias de MOHR para o cálculo dos deslocamentos necessários. Considerar a reação no apoio B como a 
incógnita hiperestática. 
São conhecidos: P, a, E, I. 
 
 
 
 
 
Gabaritos de Mcsol2/P3_NM7620_1sem2016.pdf
Scanned by CamScanner
Scanned by CamScanner
Scanned by CamScanner
Scanned by CamScanner
Gabaritos de Mcsol2/GAB_P3-1sem14-diurno.pdf
3Pa
4a
2a
4a
F
E
DC
B
A H
G
2aa
P
 
 
 
 
1ª Questão (valor: 5,0): A figura abaixo representa um pórtico plano produto de rigidez constante (EI = 
cte). Calcular: a) o deslocamento vertical em D; b) o deslocamento horizontal em F; c) calcular o valor da 
força horizontal que aplicada no ponto F anula seu deslocamento horizontal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) ( ) 
 
 
( ) ( ) 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) ( ) 
 
 
( ) ( ) 
 
 
( ) ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
∫ 
 
P 
1 P 
P 
2Pa 
10Pa 
7Pa 
2Pa 
2Pa 
6Pa 
4a 
1 
4a 
2a 
2a 
1 1 
a) 
b) 
( Mo ) ( Ma ) 
( Mb ) 
5Pa 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FE
EI
F
ω
E
EI
a2a2a
DC BA
EIEIEI
 
2ª Questão ( valor: 5,0) – A estrutura composta da figura abaixo tem como ligação a escora rígida EC. 
Pede-se, em função de ω, a, E, I: 
a) Calcular a força transmitida pela escora rígida à barra AD (valor: 3,5). 
b) Calcular o deslocamento vertical do ponto D da barra AD (valor: 1,5). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a2a2a
F
ω
Barra rígida
E
DC BA
EIEIEI
EI
X 
X 2a 
2a 
2ωa
2
/EI 
2ωa
2
 
2Xa 
2Xa/EI 
R3 R3 
R1 
R2 
3a/2 4a/3 
X/2 X/2 
Xa 
Xa/EI 
R3 
R3 2a/3 
Gabaritos de Mcsol2/gabarito-1.pdf
Gabaritos de Mcsol2/P3-1sem17-not.pdf
Gabaritos de Mcsol2/P2-2sem16-diurno).pdf
Gabaritos de Mcsol2/P3-1sem16-diuuno.pdf
Gabaritos de Mcsol2/P3-2sem13-diurno.pdf
 
1ª Questão (valor: 4,0) – Resolver a estrutura hiperestática da figura abaixo e traçar o diagrama 
final de momentos fletores. Adotar como incógnita hiperestática a reação no apoio A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[ ( ) ] 
 
 
 
 
( ) ( 
 
 ) 
 
 
( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D
ω
12ωa2
3a6a
4ωa2
CB
A
EI = constante
 
 
Mo 
M
final
 
M 
8ωa/3 
8ωa/3 
8ωa2 
4ωa2 
4ωa2 
4ωa2 
12ωa2 
4/9 
4/9 
1 
1 
4a 
12a/9 
24a/9 
+ 
+ 
+ + 
_ 
_ 
_ 
_ 
12ωa2 
3,14ωa2 
2,27ωa2 
5,41ωa2 
4ωa2 
2ª Questão (valor: 1,0) – Mostrar qual é a equivalência entre o critério da máxima energia de 
distorção e o critério da tensão octaédrica de cisalhamento. 
 
 
 
 
√( ) ( ) ( ) √ 
 
 
√ 
 
 
 
√ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 oct( )
1 2 3
3
 oct( )
1
3
1 2 
2
2 3 
2
 3 1 
2

eq
1
2
1 2 
2
2 3 
2
 1 3 
2

3ª Questão (valor: 5,0) – O deslocamento vertical em A da viga escalonada da figura abaixo é igual 
a décima quinta parte do comprimento do vão “a” (a/15). Sabendo-se que E = constante em toda a 
viga, calcule pelas Analogias de Mohr: 
a) O valor da relação entre o deslocamento vertical em A e a rotação em B (YA/φB). 
b) O deslocamento vertical em E.- 
c) O valor em graus da rotação em B.
) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4EI 
ω 2ωa 
a/2 
a 2a a 
E 
D C 
B 
A 2EI 
EI 
ωa2/2EI 
2a/3 
2ωa2 
ωa2/EI 
ωa2/EI 
2ωa3/3EI 
ωa3/2EI ωa
3/6EI 
ωa3/2EI ωa
3/6EI ωa
3/4EI 
a/2 
 =
2 4
3 
+
 3
16 
 
 
6
+
3 3
4 
 
 
2
=
29 4
96 
 
b) 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
a/2 
3ωa3/4EI 
2ωa4/3EI ωa
3/16EI 
E 
Gabaritos de Mcsol2/NM7620.pdf
NM7620 – Mec Sol II 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gabaritos de Mcsol2/2011_2_Gabarito_02_ME_6620_ P2_A.pdf
 Nº 
 
DISC: ME6620 P 2 – Prova A DATA: 25 / 11 / 11 
NOME: ***** GABARITO ***** NOTA: 
1. Preencha seu nome e número. 2. Faça as questões organizadas e nos espaços reservados. 3. Coloque as respostas 
nos quadros. 4. Só é permitida consulta ao formulário que deverá ser devolvido anotações. 5. Duração: 80 min. 6. 
É permitido somente o uso de calculadoras científicas convencionais (não alfa-numéricas ou gráficas). 
 
Continuação da 2
a
 questão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nº SEQ.: 
Integrais de 
produtos de 
funções sik  12212211 22
6
kikikiki
s

 
6
2 21 kiis  
6
2 21 kiis  
2
21 kiis 
2
sik
2
sik
2
sik 3
sik
6
sik
6
sik
3
sik
2
sik
 
2
21 kksi  
6
2 21 kksi  
6
2 21 kksi 
s
k
s
i
s
i
s
i
s
i1 i2
s
k
s
k
s
k1 k2
Questão 2 – (5 Pontos) : Utilizando o Teorema de Menabrea com a estratégia de integração gráfica, e adotando 
EI = constante pede-se: 
a) (0,5 ponto) Determinar qual é o tipo da estrutura em estudo, justificando o que a categoriza desta maneira. 
b) (2,5 pontos) Resolver a estrutura para todas as reações de apoio desconhecidas. 
c) (2,0 pontos) Traçar os diagramas de força normal (N), cortante (V) e momento fletor (M) da estrutura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Reações desconhecidas: VA, HA, MA, HD 
 
Grau de hiperestaticidade: GH = 4 – 3 = 1 
 
Equação a ser resolvida segundo as eqs. de Font Viollant: 
011110  Xaa
 Escolhida a reação HD (orientada para a direita) como X1, resulta: 
 
Isostática Fundamental, cargas e momentos M0 e M1: 
 
Isostática fundamental M0 M1 
 
mtfM .51 
mtfM .52 
tfF 10
-
+
 
-
+
11 X
 
+5 +
].[ mtf
+5
+
+25
+20
0M
+
 
zero
].[ mtf
+ +1,51M
+ +1,5
 
 
 
 
a) A estrutura é um pórtico plano, ou seja, uma 
combinação de vigas solidárias posicionadas no plano e 
submetidas a um conjuntos de cargas e momentos 
também no plano. Os esforços internos predominantes 
são os momentos fletores. 
Respostas Complementos Pontos
a) Tipo de estrutura e motivo Nas linhas abaixo 0,5
b)
VA = ( ) cima ( ) baixo
2,5
HA = ( ) direita ( ) esquerda
MA = ( ) horário ( ) anti-horário
HD = ( ) direita ( ) esquerda
c) D.E.I.S. nas figuras abaixo Sinais p/ Momento dados. 2,0
2,0 m
‘A
‘D
1,5 m
mtfM .51 
mtfM .52 
‘B
‘B
2,0 m
tfF 10
-
+
Cálculo dos coeficientes por integração gráfica resulta: 
 
 
375,6
5,1
5,1
0,2
5,1
5,1
5,2
3
0
375.64
5,1
20
0,2
2
5,1
25
5
5,2
6
2
0
11
2
121
10




















k
i
s
sik
k
i
s
sik
a
k
i
s
sik
k
i
i
s
kiis
a
 
 
A solução da equação fornece: 
 
 tf
a
a
HX D 098,10
375,6
375,64
11
10
1
 
 
As demais reações resultam a estática: 
 
)'(147,15;000,10;098,10 riohoraantitfMtfVtfH AAA 
 
 
Os diagramas resultantes da estrutura real são: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
N V M
].[ mtf][tf][tf
-
+
+14,1
-10,1
-10,1-
zero
-
-1,9
+10,0+
+5,0+
+
+5,0
+9,85
+4,85
--15,1
Gabaritos de Mcsol2/Gabarito_02_ME_6620_P2_A.pd f
 Nº 
 
DISC: ME6620 P 2 – Prova A DATA: 03 / 06 / 11 
NOME: *** GABARITO *** NOTA: 
1. Preencha com seu nome e número. 2. Faça as questões com clareza e de maneira organizada nos espaços 
reservados. 3. Coloque as respostas nos quadros indicados. 4. Só é permitido consulta ao formulário que deverá ser 
devolvido sem rasuras e anotações. 5. Duração: 80 min. 6. É permitido somente o uso de calculadoras científicas 
convencionais (não alfa-numéricas ou gráficas). 
 
Continuação da 3a questão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nº SEQ.: 
Respostas
VA = ( ) ↑ ( ) ↓
HA = ( ) → ( ) ←
MA =
( ) horário
( ) anti-horário
VD = ( ) ↑ ( ) ↓
HD = ( ) → ( ) ←
Integrais de 
produtos de 
funções
sik
[ ]12212211 226 kikikiki
s
+++
( )
6
2 21 kiis +( )
6
2 21 kiis +( )
2
21 kiis +
2
sik
2
sik
2
sik
3
sik
6
sik
6
sik
3
sik
2
sik ( )
2
21 kksi +
( )
6
2 21 kksi +
( )
6
2 21 kksi +
s
k
s
i
s
i
s
i
s
i1 i2
s
k
s
k
s
k1 k2
Questão 1 – (2 Pontos) : Com base em qual princípio físico experimentado por estruturas em geral que o Teorema 
de Menabrea é capaz de resolver as reações de apoio de estruturas hiperestáticas? 
_____________________________________________________________________________________ 
 Segundo o Teorema de Menabrea, “uma incógnita hiperestática de uma estrutura pode ser 
encontrada de tal sorte que minimize a função de energia de deformação desta”. Ou seja, fisicamente, 
achar uma incógnita hiperestática é determinar um valor que equilibre a estrutura. Lembrando, o 
equilíbrio representa uma condição de mínima energia potencial do sistema estrutural. 
_____________________________________________________________________________________ 
 
Questão 2 – (4 Pontos) : A estrutura da figura é constituída de uma barra sobre 2 apoios, em B e G, com balanço 
AB. Sob os carregamentos indicados na figura, determinar pelo processo da analogia de Mohr: 
a) O deslocamento angular (rotação) na seção A; 
b) O deslocamento vertical (flecha) na seção A; 
c) O deslocamento angular (rotação ) na seção B. 
São conhecidos: p, F, a, E, I.
Considerar: F = 3.p.a/2 ; EI = constante 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 3 – (4 Pontos) : Utilizando o Teorema de Menabrea e a estratégia de integração gráfica, resolver a 
estrutura proposta adotando EI = cte. para: 
 
a) Reações de apoio nos pontos A e D; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Grau de hiperestaticidade = 5 – 3 = 2 , portanto, das equações de Font-Viollant vem o sistema para a solução: 
 



=⋅+⋅+
=⋅+⋅+
0
0
22221120
12211110
aXaXa
aXaXa
 
 
Diagramas de esforços sobre a isostática fundamental: 
 
M0 M1 M2 
P
-
-
-1,5 P
-1,5 P
 
+
2,5
+
+
1
2,5
1,0
 
0,5
1
0,5
-1,0
-
-2,0
- -
 
 
Cálculo dos coeficientes por integração gráfica: 
 
( )
EI
P
k
k
Pi
s
EI
kksi
k
Pi
s
EI
sik
a
555,12
5,2
1
5,1
12,2
6
2
5,2
5,1
5,2
2
1
21
10
−
=
=
=
−=
=
+
+
=
−=
=
= , analogamente para os demais: 
EI
a
EI
P
a
EI
aa
EI
a
708,3
;
8125,2
;
6875,5
;
985,22
2220211211 ==
−
=== 
 
Resolvendo o sistema: 
 
↑= PX 578,01 = VB 
 
→= PX 128,02 = HB 
 
1,5 m
1,5 m
1,0 m
1,0 m
P
‘A
‘B
‘C
‘D
1,0 
m
HA 
VA MA 
VB=X1 
VA=X2 
Por Estática as demais podem ser determinadas: 
 
↑= PVA 422,0 
 
←−= PH A 128,0 
 
horárioAntiPM A _311,0−= 
 
 
Gabaritos de Mcsol2/P2-1sem12-not.pdf
Gabaritos de Mcsol2/P3_NM7620_1sem2017.pdf
Gabaritos de Mcsol2/Scanned-image-4.pdf
Gabaritos de Mcsol2/P3-1sem17-D.pdf
Gabaritos de Mcsol2/P3-1sem12-diurno.pdf
Questão 1 – (1,5 Pontos) : Considerando as estruturas isostáticas e hiperestáticas estudadas no curso (e resolvidas) 
por meio dos Teoremas de Castigliano, Menabrea, entre outros, responda: 
i) qual a importância da quantificação da energia de deformação armazenada pelas estruturas para que estas 
metodologias sejam devidamente aplicáveis, esclarecendo como estes métodos fazem uso desta energia 
para resolver problemas estruturais? 
 
i)_o cálculo da energia de deformação elástica armazenada em qualquer estruturas sob carga é a base do 
cálculo utilizando os métodos de energia citados, como Menabrea, Castigliano, entre outros. Todas estas 
metodologias fazem uso do fenômeno físico do equilíbrio, o qual caracteriza a condição estável de uma 
estrutura frente ao carregamento aplicado. O significado físico do equilíbrio é de uma situação de mínima 
energia. Assim, em geral os métodos de cálculo estrutural quantificam a energia de deformação e forçam 
a condição de mínima energia potencial total (por exemplo, forçando que a primeira derivada da energia 
formulada seja nula e a segunda derivada seja positiva). Assim, mesmo para estruturas hiperestáticas, a 
solução de reações de apoio, deslocamentos e deformações fica viabilizada.________________________ 
 
 
Questão 2 – (3,5 Pontos) : Utilizando o teorema de Castigliano e resolvendo o problema graficamente por meio 
das integrações dos produtos das funções adequadas (indicar os diagramas utilizados), determinar o deslocamento 
angular do ponto A (φA) da estrutura abaixo: * Normal e cortante podem ser desprezadas. 
 
X
Z
Y
P
a
2a
3a
A
B
C
D
Dados:
EI = cte.
G = E/3
J = 2Ia
135º
(plano xy)
 
 
 
Solução: Estrutura do tipo barra de torção! 
 
 
Segundo o teorema de Castigliano, desprezando normal e cortante: 
 
  dzTTGJ
dzMM
EI
A 00
11
 
 
 
 
Inserindo um momento unitário horário no plano xy no ponto A, resultam os diagramas seguinte: 
 
 
 
 
 
 
 
 
D
Pa
3Pa
3Pa
2aa2
a3 D
1
1 2aa2
a3
0M M
D
2aa2
a3 D
1 2aa2
a3
0T T
3Pa
-
-
- - -
+ +
P
P
1
1
 
 
Utilizando a estratégia de integração gráfica, resulta: 
 
 







































































1
3
3
2
3
0
1
3
2
2
1
2
2
1
2
121
k
Pai
as
sik
EI
k
Pai
Pai
as
kiis
k
Pai
as
sik
EI
A 
 
  2
22
9
2
3
0
2
8
2
21
Pa
EI
PaPa
EI
A 




















 
 
EI
Pa
A
22,18

Respostas
a) φA = ( ) horário ( ) anti-horário
Gabaritos de Mcsol2/GABARITO_P2_2oSem2016_NM7620.pdf
Gabaritos de Mcsol2/P2-2sem14-diurno.pdf
Gabaritos de Mcsol2/Gabarito_P2_NM7620_04062011-1. pdf
Gabaritos de Mcsol2/P2-1sem11-not 2questao.pdf
Gabaritos de Mcsol2/P2-1sem17-diu.pdf
Gabaritos de Mcsol2/P2-2sem11-diurno.pdf
 Nº 
 
DISC: ME6620 P 2 – Prova A DATA: 25 / 11 / 11 
NOME: ***** GABARITO ***** NOTA: 
1. Preencha seu nome e número. 2. Faça as questões organizadas e nos espaços reservados. 3. Coloque as respostas 
nos quadros. 4. Só é permitida consulta ao formulário que deverá ser devolvido anotações. 5. Duração: 80 min. 6. 
É permitido somente o uso de calculadoras científicas convencionais (não alfa-numéricas ou gráficas). 
 
Continuação da 2
a
 questão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nº SEQ.: 
Integrais de 
produtos de 
funções sik  12212211 22
6
kikikiki
s

 
6
2 21 kiis  
6
2 21 kiis  
2
21 kiis 
2
sik
2
sik
2
sik 3
sik
6
sik
6
sik
3
sik
2
sik
 
2
21 kksi  
6
2 21 kksi  
6
2 21 kksi 
s
k
s
i
s
i
s
i
s
i1 i2
s
k
s
k
s
k1 k2
Questão 2 – (5 Pontos) : Utilizando o Teorema de Menabrea com a estratégia de integração gráfica, e adotando 
EI = constante pede-se: 
a) (0,5 ponto) Determinar qual é o tipo da estrutura em estudo, justificando o que a categoriza desta maneira. 
b) (2,5 pontos) Resolver a estrutura para todas as reações de apoio desconhecidas. 
c) (2,0 pontos) Traçar os diagramas de força normal (N), cortante (V) e momento fletor (M) da estrutura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Reações desconhecidas: VA, HA, MA, HD 
 
Grau de hiperestaticidade: GH = 4 – 3 = 1 
 
Equação a ser resolvida segundo as eqs. de Font Viollant: 
011110  Xaa
 Escolhida a reação HD (orientada para a direita)
como X1, resulta: 
 
Isostática Fundamental, cargas e momentos M0 e M1: 
 
Isostática fundamental M0 M1 
 
mtfM .51 
mtfM .52 
tfF 10
-
+
 
-
+
11 X
 
+5 +
].[ mtf
+5
+
+25
+20
0M
+
 
zero
].[ mtf
+ +1,51M
+ +1,5
 
 
 
 
a) A estrutura é um pórtico plano, ou seja, uma 
combinação de vigas solidárias posicionadas no plano e 
submetidas a um conjuntos de cargas e momentos 
também no plano. Os esforços internos predominantes 
são os momentos fletores. 
Respostas Complementos Pontos
a) Tipo de estrutura e motivo Nas linhas abaixo 0,5
b)
VA = ( ) cima ( ) baixo
2,5
HA = ( ) direita ( ) esquerda
MA = ( ) horário ( ) anti-horário
HD = ( ) direita ( ) esquerda
c) D.E.I.S. nas figuras abaixo Sinais p/ Momento dados. 2,0
2,0 m
‘A
‘D
1,5 m
mtfM .51 
mtfM .52 
‘B
‘B
2,0 m
tfF 10
-
+
Cálculo dos coeficientes por integração gráfica resulta: 
 
 
EI
k
i
s
sik
k
i
s
sik
EI
a
EI
k
i
s
sik
k
i
i
s
kiis
EI
a
375,6
5,1
5,1
0,2
5,1
5,1
5,2
3
0
1
375.64
5,1
20
0,2
2
5,1
25
5
5,2
6
2
0
1
11
2
121
10












































 
 
A solução da equação fornece: 
 
 tf
a
a
HX D 098,10
375,6
375,64
11
10
1
 
 
As demais reações resultam a estática: 
 
)'(147,15;000,10;098,10 riohoraantitfMtfVtfH AAA 
 
 
Os diagramas resultantes da estrutura real são: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
N V M
].[ mtf][tf][tf
-
+
+14,1
-10,1
-10,1-
zero
-
-1,9
+10,0+
+5,0+
+
+5,0
+9,85
+4,85
--15,1
Gabaritos de Mcsol2/P2-1sem11-noturno.pdf
Gabaritos de Mcsol2/P2_1oSem_2016-noturno.pdf
Scanned by CamScanner
Scanned by CamScanner
Scanned by CamScanner
Scanned by CamScanner
Scanned by CamScanner
Scanned by CamScanner
Gabaritos de Mcsol2/P2-2sem16-diurno.pdf
Gabaritos de Mcsol2/GABARITO_P2-mcsol2-1sem13-diurno.pdf
C
D F
X
3a
A3 A4
4a/3
5a
F
BA
3aA1
B
A
X
8a/3
A2
)
1ª Questão (valor: 5,0) - Resolver a estrutura hiperestática da figura abaixo utilizando o processo da 
analogia de Mohr para o cálculo dos deslocamentos necessários. Considerar a força transmitida para a 
escora BC, como a incógnita hiperestática. Fornecer com clareza as isostáticas adotadas sob os 
respectivos esforços aplicados. 
 São conhecidos: w, a. Barras AB e DF: EI Escora BC: EA I /Aa2 = 0,8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
F 
3a 2a 2a 
D 
C 
A 
3a 
w 
B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2ª Questão (valor: 4,0) – Para a estrutura da figura abaixo, aplique o teorema de 
Castigliano e calcule o deslocamento angular do nó A.
w
D
E
C
B
A
F
2a2a2a
2a
2a
a
wa
12wa2
8wa2
EI = constante
Mo 
M 
1 
8wa2 
2 
2 
1 
1 
1 
12wa2 
12wa2 
4wa2 
4wa2 
3wa 
1/2a 
1/2a 
= 
 
 
 
 
 
 
 
Gabaritos de Mcsol2/P2-2sem13-diurno.pdf
1
a
 Questão ( valor: 5,0) – A estrutura da figura é uma vez hiperestática. Escolher como respectiva incógnita a 
reação em A e calcular: 
a) A força exercida na mola. 
b) O diagrama final do momento fletor 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EI
a
EI
a
R
EI
a
EI
a
R
EI
a
EI
a
R
33
3
33
2
33
1
75,4
3
75,43
08,1
2
72,03
83,10
2
28,25,9












 
EI
a
DaRaRaDM B
3
21 17,824,024,23

 
 
EI
a
aRaDyA
4
3,
21,35
25,23

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2ω 
E D 
C 
B 
A 
3a 3a a a 
EI 
2EI 
K = 8EI / a
3
 
3ωa2 
R1 R2 
R3 
D 
3ωa2 
9,5ωa2 
4,75ωa2/EI 
9,5ωa2/EI 
3 ωa2/EI 
R1 R2 
D 
9,5ωa2/EI 
3 ωa2/EI 
0,72a 
B 
0,24a 
2,57a 
2,25a 
D 
C 
B 
A 
X 
3Xa 
1,5Xa/EI 
3Xa/EI 
D 
R5 R4 2a 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EI
Xa
EI
Xaa
R
EI
a
DaRaDM
EI
Xa
EI
Xaa
R
B
2
5
2
4
2
4
25,2
2
5,13
3
23
5,4
2
33









 
 
EI
Xa
aRaDy XA
3
5,
5,13
23 
 
 
 
 
 
 
aX
EI
Xa
K
X
EI
Xa
EI
a
yytosdeslocamendeidadecompatibildeEquação molaXAA


53,2
8
5,1321,35 334
,,


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D 
3Xa/EI 
2a 
B 
R4 
 
 
1,8 
3,0 
1,4 
[ωa2] 
[ M ] 
2,4ωa 5,2ωa 
1,6ωa 
 
 
 
 
2ª Questão (valor: 5,0) – Para o pórtico da figura abaixo são dados a, ω e EI = constante. Aplique o teorema de 
Castigliano e calcule: 
a) A rotação no ponto G 
b) O deslocamento vertical do ponto E. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EI
a
EI
aa
EI
aa
EI
aa
A
3222 19,94
3
4.33,41.33,1
3
5.33,25.33,0
3
2.10.1   
 
 
 
 
EI
a
EI
aaa
EI
aaa
VE
422
,
33,389
3
4.33,41.4
3
5.33,25.4   
6ωa2
4ωa2 10ωa
3ω
5ω
2
a
2
a
4a
2a2a
3
a
G
F
E
DC
B
A
Mo 
b) M a) M 
6 
0,33 
[ωa
2
]
10 
25,33 
41,33 
30 20 
4a 
1 
1,33 
4a 
10,33ωa 
5,33ωa 
14,33ωa 
4,67ωa 
0,33/a 
1 
1 
1 
0,33/a 
0,33/a 
0,33/a 
( 1,5 ) 
( 0,75 ) 
( 0,75 ) 
( 1,0 ) ( 1,0 ) 
Gabaritos de Mcsol2/gabarito-1 2.pdf
Gabaritos de Mcsol2/P2-1sem16-diurno.pdf
Gabaritos de Mcsol2/2012_1_Gabarito_02_ME_6620_ P2_A-1.pdf
Questão 1 – (1,5 Pontos) : Um ponto crítico de uma estrutura aeronáutica sob investigação está sob um Estado 
Triplo de Tensões (ETT) com carga estática, sendo conhecidas as tensões σx, σy, σz, τxy, τxz, e τyz, todas diferentes 
de zero. Ainda, os engenheiros sabem que o material apresenta comportamento dúctil e eles conhecem suas 
propriedades de tração convencional. Neste contexto, responda: 
i) qual das tensões mencionadas acima você deve utilizar para descrever a severidade do carregamento no ponto 
e explique o porquê? 
ii) qual critério de falha você escolheria para verificar a segurança do componente e por quê? 
i) __A resposta correta é “nenhuma das tensões fornecidas acima isoladamente, mas sim todas 
combinadas de tal modo a calcular uma tensão única equivalente ao ETT e que caracterize a severidade 
no ponto material”. Esta tensão equivalente poderia, então, ser comparada aos dados de tração (tensões-
limite) que são uniaxiais, fornecendo o nível de segurança do equipamento à solicitação estática. 
ii)__ Por se tratar de um material dúctil, eu escolheria um critério de falha ao escoamento mediante carga 
estática e, sendo assim, as possibilidade são os critérios de von Mises ou de Tresca. Estes poderiam ser 
alimentados pelas tensões normais e cisalhantes cartesianas fornecidas resultando na tensão equivalente 
desejada, assim como no C.S. da aplicação.__________________________________________________ 
 
Questão 2 – (3,5 Pontos) : Utilizando o teorema de Castigliano e resolvendo o problema literalmente por meio das 
integrações dos devidos esforços (indicar as equações dos esforços internos solicitantes utilizados), determinar o 
ângulo de rotação do ponto A (φA) da estrutura abaixo: * Normal e cortante podem ser desprezadas. 
 
Dados:
EI = cte.
* Todas as vigas
‘C
‘A
‘B
‘D
P
PaPa
2a a
3a
 
 
Segundo o Teorema de Castigliano neste caso, tem-se que: 
dzMM
EI
A  0
1
 
 
1º) Determinação dos diagramas de M0 (momento das cargas dadas) e de M (momento para binário unitário em 
A – aqui aplicado no sentido horário): 
 
 Reações de apoio para as cargas dadas: 
.0,1;5,1;5,1  PHPVPV ACA
 
 
 Reações de apoio para a carga unitária: 
    .0;2/1;2/1 '''  ACA HaVaV
 
 
 Diagramas de 
0M
 e de 
M
, incluindo as formulações de M(z) e M(z’) para todos os trechos de interesse: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Continuação da 2
a
 questão. 
 
0M
 
M
 
-Pa+3Pa
+3Pa
1,5P
1,5P
1,0P
+
-
z’
z
 
+1
+1
1/(2a)
+
1/(2a)
z’
z
 
Trecho AB: 
PzM 0
 
 
Trecho BC: 
'5,10 PzM 
 
Trecho AB: 
1M
 
 
Trecho BC: 
 azM 2/'
 
 
2º Implementando as formulações de momentos no teorema de Castigliano: 
 
 
  
BCTrecho
a
ABTrecho
a
A dz
a
zPz
EI
dzPz
EI
dzMM
EI

























 
2
0
3
0
0 '
2
'
2
'31
1
11 
 
BCTrecho
a
ABTrecho
a
A
a
Pz
EI
Pz
EI
dzMM
EI






























 
2
0
3
3
0
2
0
12
'31
2
11 
 
BCTrechoABTrecho
A
a
Pa
EI
Pa
EI
dzMM
EI

























  12
241
2
911 32
0 
 
 
Resulta como deslocamento angular do ponto A: 
 
EI
Pa
A
2
13 2

 (sentido horário) 
Gabaritos de Mcsol2/P2_questao_1.pdf
Gabaritos de Mcsol2/P2_NM7620_1sem2015_GABARITO.pdf
Gabaritos de Mcsol2/P2-1sem14-not.pdf
Gabaritos de Mcsol2/P2-2sem12-noturno.pdf
Gabaritos de Mcsol2/P2-1sem12-diurno.pdf
Questão 1 – (1,5 Pontos) : Um ponto crítico de uma estrutura aeronáutica sob investigação está sob um Estado 
Triplo de Tensões (ETT) com carga estática, sendo conhecidas as tensões σx, σy, σz, τxy, τxz, e τyz, todas diferentes 
de zero. Ainda, os engenheiros sabem que o material apresenta comportamento dúctil e eles conhecem suas 
propriedades de tração convencional. Neste contexto, responda: 
i) qual das tensões mencionadas acima você deve utilizar para descrever a severidade do carregamento no ponto 
e explique o porquê? 
ii) qual critério de falha você escolheria para verificar a segurança do componente e por quê? 
i) __A resposta correta é “nenhuma das tensões fornecidas acima isoladamente, mas sim todas 
combinadas de tal modo a calcular uma tensão única equivalente ao ETT e que caracterize a severidade 
no ponto material”. Esta tensão equivalente poderia, então, ser comparada aos dados de tração (tensões-
limite) que são uniaxiais, fornecendo o nível de segurança do equipamento à solicitação estática. 
ii)__ Por se tratar de um material dúctil, eu escolheria um critério de falha ao escoamento mediante carga 
estática e, sendo assim, as possibilidade são os critérios de von Mises ou de Tresca. Estes poderiam ser 
alimentados pelas tensões normais e cisalhantes cartesianas fornecidas resultando na tensão equivalente 
desejada, assim como no C.S. da aplicação.__________________________________________________ 
 
Questão 2 – (3,5 Pontos) : Utilizando o teorema de Castigliano e resolvendo o problema literalmente por meio das 
integrações dos devidos esforços (indicar as equações dos esforços internos solicitantes utilizados), determinar o 
ângulo de rotação do ponto A (φA) da estrutura abaixo: * Normal e cortante podem ser desprezadas. 
 
Dados:
EI = cte.
* Todas as vigas
‘C
‘A
‘B
‘D
P
PaPa
2a a
3a
 
 
Segundo o Teorema de Castigliano neste caso, tem-se que: 
dzMM
EI
A  0
1
 
 
1º) Determinação dos diagramas de M0 (momento das cargas dadas) e de M (momento para binário unitário em 
A – aqui aplicado no sentido horário): 
 
 Reações de apoio para as cargas dadas: 
.0,1;5,1;5,1  PHPVPV ACA
 
 
 Reações de apoio para a carga unitária: 
    .0;2/1;2/1 '''  ACA HaVaV
 
 
 Diagramas de 
0M
 e de 
M
, incluindo as formulações de M(z) e M(z’) para todos os trechos de interesse: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Continuação da 2
a
 questão. 
 
0M
 
M
 
-Pa+3Pa
+3Pa
1,5P
1,5P
1,0P
+
-
z’
z
 
+1
+1
1/(2a)
+
1/(2a)
z’
z
 
Trecho AB: 
PzM 0
 
 
Trecho BC: 
'5,10 PzM 
 
Trecho AB: 
1M
 
 
Trecho BC: 
 azM 2/'
 
 
2º Implementando
as formulações de momentos no teorema de Castigliano: 
 
 
  
BCTrecho
a
ABTrecho
a
A dz
a
zPz
EI
dzPz
EI
dzMM
EI

























 
2
0
3
0
0 '
2
'
2
'31
1
11 
 
BCTrecho
a
ABTrecho
a
A
a
Pz
EI
Pz
EI
dzMM
EI






























 
2
0
3
3
0
2
0
12
'31
2
11 
 
BCTrechoABTrecho
A
a
Pa
EI
Pa
EI
dzMM
EI

























  12
241
2
911 32
0 
 
 
Resulta como deslocamento angular do ponto A: 
 
EI
Pa
A
2
13 2

 (sentido horário) 
Gabaritos de Mcsol2/P2_questao_2.pdf
Gabaritos de Mcsol2/P2-1sem14-diurno.pdf
Gabaritos de Mcsol2/P3-diurno-2sem16.pdf
Gabaritos de Mcsol2/P2-2sem17-D.pdf
Gabaritos de Mcsol2/GABARITO_P2_2sem_2015_NM7620.pdf
Scanned by CamScanner
Scanned by CamScanner
Scanned by CamScanner
Scanned by CamScanner
Gabaritos de Mcsol2/P2-not-1s2017.pdf
Gabaritos de Mcsol2/2010_2_Gabarito_03_ME_6620_P3_A.pdf
Gabaritos de Mcsol2/P2-1sem11-diurno.pdf
 Nº 
 
DISC: ME6620 P 2 – Prova A DATA: 03 / 06 / 11 
NOME: *** GABARITO *** NOTA: 
1. Preencha com seu nome e número. 2. Faça as questões com clareza e de maneira organizada nos espaços 
reservados. 3. Coloque as respostas nos quadros indicados. 4. Só é permitido consulta ao formulário que deverá ser 
devolvido sem rasuras e anotações. 5. Duração: 80 min. 6. É permitido somente o uso de calculadoras científicas 
convencionais (não alfa-numéricas ou gráficas). 
 
Continuação da 3a questão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nº SEQ.: 
Respostas
VA = ( ) ↑ ( ) ↓
HA = ( ) → ( ) ←
MA =
( ) horário
( ) anti-horário
VD = ( ) ↑ ( ) ↓
HD = ( ) → ( ) ←
Integrais de 
produtos de 
funções
sik
[ ]12212211 226 kikikiki
s
+++
( )
6
2 21 kiis +( )
6
2 21 kiis +( )
2
21 kiis +
2
sik
2
sik
2
sik
3
sik
6
sik
6
sik
3
sik
2
sik ( )
2
21 kksi +
( )
6
2 21 kksi +
( )
6
2 21 kksi +
s
k
s
i
s
i
s
i
s
i1 i2
s
k
s
k
s
k1 k2
Questão 1 – (2 Pontos) : Com base em qual princípio físico experimentado por estruturas em geral que o Teorema 
de Menabrea é capaz de resolver as reações de apoio de estruturas hiperestáticas? 
_____________________________________________________________________________________ 
 Segundo o Teorema de Menabrea, “uma incógnita hiperestática de uma estrutura pode ser 
encontrada de tal sorte que minimize a função de energia de deformação desta”. Ou seja, fisicamente, 
achar uma incógnita hiperestática é determinar um valor que equilibre a estrutura. Lembrando, o 
equilíbrio representa uma condição de mínima energia potencial do sistema estrutural. 
_____________________________________________________________________________________ 
 
Questão 2 – (4 Pontos) : A estrutura da figura é constituída de uma barra sobre 2 apoios, em B e G, com balanço 
AB. Sob os carregamentos indicados na figura, determinar pelo processo da analogia de Mohr: 
a) O deslocamento angular (rotação) na seção A; 
b) O deslocamento vertical (flecha) na seção A; 
c) O deslocamento angular (rotação ) na seção B. 
São conhecidos: p, F, a, E, I. Considerar: F = 3.p.a/2 ; EI = constante 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 3 – (4 Pontos) : Utilizando o Teorema de Menabrea e a estratégia de integração gráfica, resolver a 
estrutura proposta adotando EI = cte. para: 
 
a) Reações de apoio nos pontos A e D; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Grau de hiperestaticidade = 5 – 3 = 2 , portanto, das equações de Font-Viollant vem o sistema para a solução: 
 



=⋅+⋅+
=⋅+⋅+
0
0
22221120
12211110
aXaXa
aXaXa
 
 
Diagramas de esforços sobre a isostática fundamental: 
 
M0 M1 M2 
P
-
-
-1,5 P
-1,5 P
 
+
2,5
+
+
1
2,5
1,0
 
0,5
1
0,5
-1,0
-
-2,0
- -
 
 
Cálculo dos coeficientes por integração gráfica: 
 
( )
EI
P
k
k
Pi
s
EI
kksi
k
Pi
s
EI
sik
a
555,12
5,2
1
5,1
12,2
6
2
5,2
5,1
5,2
2
1
21
10
−
=
=
=
−=
=
+
+
=
−=
=
= , analogamente para os demais: 
EI
a
EI
P
a
EI
aa
EI
a
708,3
;
8125,2
;
6875,5
;
985,22
2220211211 ==
−
=== 
 
Resolvendo o sistema: 
 
↑= PX 578,01 = VB 
 
→= PX 128,02 = HB 
 
1,5 m
1,5 m
1,0 m
1,0 m
P
‘A
‘B
‘C
‘D
1,0 
m
HA 
VA MA 
VB=X1 
VA=X2 
Por Estática as demais podem ser determinadas: 
 
↑= PVA 422,0 
 
←−= PH A 128,0 
 
horárioAntiPM A _311,0−= 
 
 
Gabaritos de Mcsol2/GABARITO_NM7620_P3_2sem2015.pdf
Scanned by CamScanner
Scanned by CamScanner
Scanned by CamScanner
Scanned by CamScanner
Gabaritos de Mcsol2/P2_questao_3_1.pdf
Gabaritos de Mcsol2/P2-diurno-1sem2015.pdf
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1ª Questão (valor: 3,0): Para o pórtico da figura abaixo, aplique o Teorema de Castilhano, com o uso das 
Tabelas para Integração Gráfica, e calcule a rotação do ponto A.
2a
ωa
EI = cte
F E
DC
B
A
a
a
2a
ω
0,8ωa2
0,7wa2
1
1/a
1/a0,7wa2
-
-
-
-
-
+
+
+
+
+
+
1,4
1,4
0,2
0,8
0,60,5
1
1
1
1
1
[ωa2]
Mo
M
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2ª Questão (valor: 2,0) – A estrutura da figura é plana com o carregamento aplicado no plano da 
própria estrutura. Aplique o Teorema de Castilhano e calcule o deslocamento horizontal em B.
EI = cte
R
CBA R
ω
R
CBA θ
R
CBA R
ω
θ
(R-R.cosθ)
R
BA θ
(R-R.cosθ)
R
BA θ
R.senθ
1
1
ωR
ωR2/2
 
 
3ª Questão (valor: 5,0) – A estrutura hiperestática da figura (EI = cte) é formada pela barra AD, 
engastada em A e com apoio na mola em C. Utilize a Analogia de Mohr e determine a força na mola e 
forneça o diagrama final de momentos fletores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
8ωa2 
A B C D 
ω 
Km 
3a 2a 3a 
 
Gabaritos de Mcsol2/P3-1sem12-noturno.pdf
Gabaritos de Mcsol2/GABARITO_P2_NM7620_2oSem_201 7.pdf
Gabaritos de Mcsol2/GABARITO P3-diurno2sem16.pdf
Gabaritos de Mcsol2/P3-2sem11-not.pdf
Gabaritos de Mcsol2/GABARITO_P2_NM7620_25112013.pdf
Gabaritos de Mcsol2/P2-2sem12-diurno.pdf
Gabaritos de Mcsol2/GABARITO_P3_NM7620_2oSem2016 (3).pdf
Gabaritos de Mcsol2/P2-1sem11-not 3q.pdf
Gabaritos de Mcsol2/GABARITO (4).pdf
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1ª Questão (valor: 3,0): Para o pórtico da figura abaixo, aplique o Teorema de Castilhano, com o uso das 
Tabelas para Integração Gráfica, e calcule a rotação do ponto A.
2a
ωa
EI = cte
F E
DC
B
A
a
a
2a
ω
0,8ωa2
0,7wa2
1
1/a
1/a0,7wa2
-
-
-
-
-
+
+
+
+
+
+
1,4
1,4
0,2
0,8
0,60,5
1
1
1
1
1
[ωa2]
Mo
M
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2ª Questão (valor: 2,0) – A estrutura da figura é plana com o carregamento aplicado no plano da 
própria estrutura. Aplique o Teorema de Castilhano e calcule o deslocamento horizontal em B.
EI = cte
R
CBA R
ω
R
CBA θ
R
CBA R
ω
θ
(R-R.cosθ)
R
BA θ
(R-R.cosθ)
R
BA θ
R.senθ
1
1
ωR
ωR2/2
 
 
3ª Questão (valor: 5,0) – A estrutura hiperestática da figura (EI = cte) é formada pela barra AD, 
engastada em A e com apoio na mola em C. Utilize a Analogia de Mohr e determine a força na mola e 
forneça o diagrama final de momentos fletores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
8ωa2 
A B C D 
ω 
Km 
3a 2a 3a 
 
Gabaritos de Mcsol2/P2_MecSol_II_Noturno_2oSem2014_GABARITO.pdf
 
 
Gabaritos de Mcsol2/GABARITO_NM7620_P3_2oSem_2017.pdf
Gabaritos de Mcsol2/P3-1sem14-diu.pdf
3Pa
4a
2a
4a
F
E
DC
B
A H
G
2aa
P
 
 
 
 
1ª Questão (valor: 5,0): A figura abaixo representa um pórtico plano produto de rigidez constante (EI = 
cte). Calcular: a) o deslocamento vertical em D; b) o deslocamento horizontal em F; c) calcular o valor da 
força horizontal que aplicada no ponto F anula seu deslocamento horizontal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) ( ) 
 
 
( ) ( ) 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) ( ) 
 
 
( ) ( ) 
 
 
( ) ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
∫ 
 
P 
1 P 
P 
2Pa 
10Pa 
7Pa 
2Pa 
2Pa 
6Pa 
4a 
1 
4a 
2a 
2a 
1 1 
a) 
b) 
( Mo ) ( Ma ) 
( Mb ) 
5Pa 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FE
EI
F
ω
E
EI
a2a2a
DC BA
EIEIEI
 
2ª Questão ( valor: 5,0) – A estrutura composta da figura abaixo tem como ligação a escora rígida EC. 
Pede-se, em função de ω, a, E, I: 
a) Calcular a força transmitida pela escora rígida à barra AD (valor: 3,5). 
b) Calcular o deslocamento vertical do ponto D da barra AD (valor: 1,5). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a2a2a
F
ω
Barra rígida
E
DC BA
EIEIEI
EI
X 
X 2a 
2a 
2ωa
2
/EI 
2ωa
2
 
2Xa 
2Xa/EI 
R3 R3 
R1 
R2 
3a/2 4a/3 
X/2 X/2 
Xa 
Xa/EI 
R3 
R3 2a/3 
Gabaritos de Mcsol2/Gab_P2_ME6620_NOV2015.pdf