APRESENTACAO DA AULA 15

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CCE0044 – Cálculo Diferencial e Integral I
Aula 15: A Regra de L'Hôpital – Integrais Impróprias
Unidade V: Técnicas de integração: Regra de L’Hopital
Cálculo Diferencial e Integral I
AULA 15: TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO
 
A REGRA DE L’HOPITAL
INTEGRAIS IMPRÓPRIAS
1
PRÓXIMOS 
PASSOS
Unidade V: Técnicas de integração: Regra de L’Hopital
Cálculo Diferencial e Integral I
AULA 15: TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO
 
No cálculo de limites, por vezes, nos deparamos com formas indeterminadas do tipo 
.
0
0


0
x
x
x
42lim
0


0
0
Unidade V: Técnicas de integração: Regra de L’Hopital
Cálculo Diferencial e Integral I
AULA 15: TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO
 
Primeira forma da regra de L’Hôpital
Considere as funções f(x) e g(x), tais que, para um certo valor real c, temos
Se f’(c) e g’(c) existem, então
desde que
.
)()( cgcf 
 
 cg
cf
xg
xf
cx '
'
)(
)(lim 

  0' cg
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Cálculo Diferencial e Integral I
AULA 15: TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO
 
.
x
x
x
42lim
0


42)(  xxf xxg )(
0402)0( f 0)0( g
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Cálculo Diferencial e Integral I
AULA 15: TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO
 
.
x
x
x
42lim
0


42
1)('


x
xf
1)(' xg
4
1
402
1)0(' 

f
1)0(' g
4
1
1
4
1
42lim
0




 x
x
x
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Cálculo Diferencial e Integral I
AULA 15: TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO
 
Segunda forma da regra de L’Hôpital
Considere as funções f(x) e g(x) deriváveis em um intervalo I e que, para um certo 
valor, c desse intervalo. f(c) = g(c).
Considere, também, que para tem-se se . 
Então, podemos concluir que
se o limite à direita existir.
.
Ix 0)( xg ax 
)('
)('lim
)(
)(lim
xg
xf
xg
xf
cxcx 

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Cálculo Diferencial e Integral I
AULA 15: TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO
 
.
Pela primeira forma da regra de 
L’Hôpital, derivando novamente as 
expressões e calculando seus 
valores para x = 0. 
x
x
x
xx
xx 2
4
1
42
1
lim4
42
lim
020






   
64
1
2
404
1
2
44
1
lim
2
4
1
42
1
lim4
42
lim
33
0
020












x
x
x
x
xx
x
xx
Unidade V: Técnicas de integração: Regra de L’Hopital
Cálculo Diferencial e Integral I
AULA 15: TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO
 
Voltando às integrais...
Calcular a área sob o gráfico da função para x variando de 2 a . 
Se x tende ao infinito, então a área também não tenderá?
Não porque a função tende a zero.
.
para determinar essa área, vamos resolver a integral definida
2
1)(
x
xf  
dx
x
 1
2 2
 dxx
b
 1
2 2
2
111 1
2
2 2

≈
…



 bxdxx
b
b
Unidade V: Técnicas de integração: Regra de L’Hopital
Cálculo Diferencial e Integral I
AULA 15: TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO
 
Voltando às integrais...
Calcular a área sob o gráfico da função para x variando de 2 a . 
Se x tende ao infinito, então a área também não tenderá?
Não porque a função tende a zero.
.
A área será dada por:
2
1)(
x
xf  
2
1
2
10
2
11lim
 1lim 1
2 22 2












b
dx
x
dx
x
b
b
b
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Cálculo Diferencial e Integral I
AULA 15: TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO
 
Determine a área delimitada pelo eixo x e pela função com x entre 1 e 
.
integração por partes
2
ln)(
x
xxf  

b
dx
x
x
1 2
ln xu ln
dxxdv 2
dx
x
du 1
x
v 1
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Cálculo Diferencial e Integral I
AULA 15: TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO
 
Determine a área delimitada pelo eixo x e pela função com x entre 1 e 
.
2
ln)(
x
xxf  
11ln
11
1
1lnln11)(ln
111)(lnln
11
1
1
1 2

≈
…










≈
…




≈
…
























≈
…










 
bb
b
bb
b
xx
x
dx
xxx
xdx
x
x
bb
b
b
b
Unidade V: Técnicas de integração: Regra de L’Hopital
Cálculo Diferencial e Integral I
AULA 15: TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO
 
Determine a área delimitada pelo eixo x e pela função com x entre 1 e 
.
2
ln)(
x
xxf  
10lnlim
1lim1limlnlim
11lnlim
lnlimln
1 21 2
















b
b
bb
b
bb
b
dx
x
xdx
x
x
b
bbb
b
b
b
Unidade V: Técnicas de integração: Regra de L’Hopital
Cálculo Diferencial e Integral I
AULA 15: TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO
 
Determine a área delimitada pelo eixo x e pela função com x entre 1 e 
.
regra de L’Hôpital 
2
ln)(
x
xxf  
0
1
1
limlnlim 

b
b
b
bb
1ln
1 2


dx
x
x
Assuntos da próxima aula:
1. Integrais Impróprias – Convergência.
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