F129 - Lista 3B de Física Experimental 1

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Método dos Mínimos Quadrados e Propagação de Erros
Suplemento e Lista de Exercícios 3-B
Esta lista vale 10,0, valor que será reescalado para 3,0. A prova será reescalada para valer 8,0.
A soma das duas notas será a nota da P2 (limitada a 10,0).
Este texto não substitui a leitura da apostila
1 Porque uma Gaussiana?
A grande maioria das distribuições aleatórias na natureza obedece uma distribuição Gaussiana.
Isto é o que ocorre quando realizamos um conjunto de medidas em condições um pouco variadas.
Mas porque isto ocorre?
Ao efetuarmos uma medida, diversos fatores introduzem flutuações. Temperatura, pressão,
operador, imperfeições na peça, etc. Para cada fator temos uma distribuição de probabilidades de
influência na medida (veja a Seção 3.4 do Vuolo [1]).
Considere o ato de se medir o comprimento de uma barra de aço de 5 metros. Vamos considerar
apenas a influência da temperatura e do operador sobre resultado final. Para simplificar ainda
mais vamos supor distribuições retangulares para estas flutuações (ou seja, há chances iguais de
a temperatura - ou o operador - alterar a medição para menos ou para mais). Veja a Figura 1.
Tabela 1: Influência da temperatura na medida
Probabilidade 0 0 0 0 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0 0 0 0
Flutuação XT (mm) -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
Tabela 2: Influência do operador na medida (mm)
Probabilidade 0 0 0 0 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0 0 0 0
Flutuação XO (mm) -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-6 -4 -2 2 4 6
Flutuação
0.05
0.10
0.15
0.20
Probabilidade
Figura 1: Distribuição retangular de probabilidades de ocorrência de flutuação (o mesmo para
influências da temperatura ou do operador).
Consideramos todos os valores possíveis de flutuação total através da Tabela 3:
1
Douglas
Textbox
nullnullPara aulas particulares na UNICAMP:nullDouglas - delgadosouza@gmail.com 
Tabela 3: Tabela de cálculo das flutuações
XT = −2 XT = −1 XT = 0 XT = 1 XT = 2
XO = −2 -4 -3 -2 -1 0
XO = −1 -3 -2 -1 0 1
XO = 0 -2 -1 0 1 2
XO = 1 -1 0 1 2 3
XO = 2 0 1 2 3 4
Multiplicando-se as probabilidades de ocorrência de XT e XO (obtendo a probabilidade con-
junta) e contando as repetições de resultados de saída obtemos a tabela de probabilidade da
influência conjunta da temperatura e do operador sobre a medida:
Tabela 4: Probabilidade de ocorrência de flutuação na medida
Probabilidade 0 0 0.04 0.08 0.12 0.16 0.2 0.16 0.12 0.08 0.04 0 0
Flutuação -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
Na Figura 2 temos uma comparação desta distribuição com uma distribuição gaussiana.
-6 -4 -2 2 4 6
Flutuação
0.05
0.10
0.15
0.20
Probabilidade
Figura 2: Gráfico da probabilidade de ocorrência de flutuações (pontos azuis e linha tracejada) e
curva gaussiana (linha verde sólida).
Por fim, como muitas distribuições (muitos fatores) são combinadas ao realizarmos uma me-
dida, o formato individual de cada distribuição não importa muito e na combinação obtemos uma
gaussiana. Um grande conjunto de medidas gera um histograma na forma de uma gaussiana.
Questão 1 (1,5 pontos)
Considere além dos dois fatores anteriores (temperatura e operador) outros dois fatores: pressão
e imperfeições na peça, assumindo novamente a mesma distribuição quadrada de probabilidades
para cada flutuação. Faça um gráfico análogo à Figura 2 (mas não precisa plotar a gaussiana)
neste caso. Utilize softwares para facilitar as contas (o Excel serve bem - resolvi o problema em
10min).
2
2 Ajustando um modelo teórico
Em ciência e tecnologia é muito comum a análise de um grande conjunto de dados, normalmente
escritos na forma de uma tabela. Para uma visualização do significado e comportamento desses
dados, em geral fazemos um gráfico, transformando números em posições no espaço (que nossos
olhos estão mais acostumados a observar e tratar). Este é o primeiro passo no sentido de se tornar
mais cognoscível um conjunto de dados.
Do gráfico observamos o comportamento dos pontos e automaticamente imaginamos uma curva
passando por estes pontos. Esta curva dá origem a um modelo matemático (uma função) para
a descrição dos dados. Esta função é uma matematização da natureza e é dela que mais tarde
retiraremos informações sobre o mecanismo por trás dos fenômenos.
Funções envolvem parâmetros, e estes parâmetros ajudam a dar forma à função. Descobrir a
função que descreve um conjunto de dados não é uma tarefa fácil, ainda mais quando os dados
possuem erros. Por outro lado, muitas vezes conhecemos de antemão a regra (modelo) que os
dados devem obedecer, nos restando apenas o ajuste dos parâmetros da função.
Como exemplo, suponha que queiramos encontrar a função que melhor ajusta o conjunto de
pontos abaixo.
5 10 15 20 25 30
-1
0
1
2
3
4
Aparentemente a função é oscilante (talvez um seno) e começa em zero. Com uma visão mais
afastada observamos uma "rampa" de subida, que pode ser uma reta, por exemplo. Vamos supor
que a função seja algo da forma f(x) = ax + b sin cx. Nos resta agora encontrar os melhores
parâmetros a, b e c que fazem com que a função passe o mais próximo possível dos pontos. Vamos
chutar b = 0.8 e variar os outros dois parametros, fazendo uma busca por tentativa e erro. Na
Tabela 5 chutamos diversos valores para os parâmetros a e c e plotamos a função e os pontos.
3
Tabela 5: Pontos experimentais e função a ser ajustada.
c = 0.5 c = 0.6 c = 0.7
a = 0.05
5 10 15 20 25 30
-1
0
1
2
3
4
5 10 15 20 25 30
-1
0
1
2
3
4
5 10 15 20 25 30
-1
0
1
2
3
4
a = 0.1
5 10 15 20 25 30
-1
0
1
2
3
4
5 10 15 20 25 30
-1
0
1
2
3
4
5 10 15 20 25 30
-1
0
1
2
3
4
a = 0.15
5 10 15 20 25 30
-1
0
1
2
3
4
5 10 15 20 25 30
-1
0
1
2
3
4
5 10 15 20 25 30
-1
0
1
2
3
4
Observe que provavelmente 0.1 < a < 0.15 e 0.6 < c < 0.7. Fazendo uma busca trabalhosa
podemos encontrar esses valores, mas neste ponto nos perguntamos: Existe uma forma metódica
de ajustarmos os parâmetros de uma função? E a resposta é: Sim. E uma destas técnicas é
chamada Método dos Mínimos Quadrados.
O primeiro passo é quantificarmos o quão distante estão os pontos experimentais da função
que queremos ajustar. Por fim procuramos os parâmetros (aqui, a, b e c) que minimizam esta
distância.
Questão 2 (1,0 ponto)
Invente uma "medida da distância entre a função e os pontos". Perceba que esta medida deve ser
sempre M ≥ 0 pois não faz sentido uma "distância" negativa. Não explicite a forma da função,
chame-a de f(xi). NÃO LEIA A PRÓXIMA QUESTÃO ANTES DE FAZER ESTA (acredite,
você vai se arrepender).
3 Quantificando a distância entre a função escolhida e os
pontos experimentais - χ2 (qui-quadrado)
Emprestado da estatística, χ2 é uma forma de se medir esta "distância". Ele é simplesmente a
soma do quadrado das distâncias verticais entre os pontos e a função. Na Figura 3 as barras
verticais em preto representam as distâncias verticais dos pontos à função.
χ2 = ∑Ni=1 [yi − f (xi)]2 (definição provisória: errada)
4
5 10 15 20 25 30
-1
0
1
2
3
4
Figura 3: Função mal ajustada (vermelho) e pontos experimentais (azuis). A distância vertical
entre cada ponto e a função está representada por uma barra preta.
Questão 3 (1,0 ponto)
Já se perguntou porque soma de quadrados? (não precisa responder essa)
Considere os três pontos na reta real {2, 3, 15} plotados na figura abaixo:
0 5 10 15
(a) Definindo como medida M = ∑3i=1 |xi − xM |, encontre xM que minimiza esta soma de dis-
tâncias M . Este ponto xM parece ajustar bem os três pontos plotados?
(b) Agora defina a medida χ2 = ∑3i=1 (xi − xM)2 e encontre xM que minimiza χ2. E este ponto,
ajusta bem os dados?
(c) Adapte a medida que você inventou na questão anterior para a situação neste problema e
encontre xM que minimiza seu valor.Mas e se alguns dados são mais precisos do que outros? Suponha que o erro y associado à
medida do ponto de abscissa 30 seja muito pequeno e o erro associado ao ponto de abscissa 10 seja
muito grande. Neste caso o melhor ajuste deve fazer a curva estar mais próxima do ponto com
x = 30, mesmo que para isso ele se afaste um pouco do ponto com x = 10. Pensando em termos
de probabilidade e gaussiana, estamos tentando escolher a curva mais provavel que descreva os
dados, portanto, quanto mais no interior do intervalo ±σ das medidas a curva passar, melhor. É
para isso que acrescentamos pesos à somatória do χ2:
χ2 =
N∑
i=1
wi [yi − f (xi)]2
Onde os pesos são os wi (de weight). Se quanto maior o erro menor a importância da medida
na somatória e vice-versa podemos escolher os pesos como:
wi =
( 1
σi
)2
5
4 Minimizando a distância da função aos pontos experi-
mentais
Observe a Figura 3 e imagine um cadarço que passa pelos pontos (furos) e pela função (um arame
rígido). Puxando este cadarço aproximamos a função dos pontos, isto é, reduziremos a quantidade
de cadarço enrolado pelos pontos. Isto é basicamente o mesmo que minimizar χ2.
Do cálculo sabemos que quando a derivada (inclinação) de uma função é nula em certo ponto,
este ponto é ponto de extremo (máximo, mínimo ou inflexão). Podemos usar este fato para mini-
mizar a função χ2 (a, b, c) onde a, b e c são os parâmetros que dão forma à função que escolhemos
para ajustar os pontos. Fazemos:
∂χ2
∂a
= 0; ∂χ
2
∂b
= 0; ∂χ
2
∂c
= 0
E resolvemos o sistema de três equações e três incógnitas (ou mais equações e incógnitas caso
existam mais parâmetros a serem ajustados!).
Para a função χ2 em geral temos ∂2χ2
∂a2
∣∣∣
a=amin
> 0; ∂2χ2
∂b2
∣∣∣
b=bmin
> 0 e ∂2χ2
∂c2
∣∣∣
c=cmin
> 0 (o ponto
é um mínimo).
Questão 4 (0,6 ponto)
Porque o Método dos Mínimos Quadrados NÃO pode ser usado para encontrar os três parametros
da função f(x) = ax+ b sin cx, usada no exemplo anterior?
Questão 5 (2,5 pontos)
(a) Sabendo que c = 0.650, utilize o Método dos Mínimos Quadrados (não do Origin!!!) e encon-
tre os parâmetros a e b (com 3 algarismos significativos) que ajustam a curva aos pontos da
tabela abaixo. Suponha que x seja exato e todos os yi possuem o mesmo erro experimental
de 0.01.
Tabela 6: Pontos "experimentais" para ajuste.
xi 0 5 10 15 20 25 30
yi 0.00 0.53 1.40 1.59 2.79 2.67 4.17
(b) Faça um gráfico desses pontos, juntamente com a curva de ajuste (aqui pode usar o Origin
ou qualquer outro software).
5 Propagação de erros
Muitas medidas não precisam ser realizadas diretamente por um único instrumento, caso contrá-
rio teríamos uma imensidão de equipamentos de medição em um mesmo laboratório. Todas as
quantidades físicas são na verdade combinações de apenas 7 unidades básicas (as unidades do SI).
6
Quantidades como densidade e velocidade são compostas por quantidades mais fundamentais e
podem ser medidas desta forma. Para estas medidas indiretas também temos uma imprecisão
associada aos diversos fatores experimentais e é dever de um bom experimentalista estimar a qua-
lidade de sua medida. Nesta seção tentaremos justificar a expressão para a propagação de erros
de forma mais intuitiva.
Considere uma função simples, algo como v (x) = x3 (volume de um cubo em função da aresta).
Para um grande conjunto de medidas da aresta do cubo poderíamos calcular o volume para cada
valor de aresta e a seguir calcular o erro estatístico desses volumes. Aqui veremos que existe uma
forma mais fácil. Suponha o conjunto de medidas {2, 912; 3, 000; 3, 088}.
Média e desvio padrão de diversas "medidas" calculadas
Os três valores de volume para estas arestas são {24, 693; 27, 000; 29, 446}. A média destes volumes
é V¯ = 27, 0465cm3. Para o erro estatístico temos:
∆V¯ =
√
(24, 693− 27, 0465)2 + (27, 000− 27, 0465)2 + (29, 446− 27, 0465)2√
3− 1√3
= 1, 3724cm3
A medida indireta do volume fica portanto V = (27± 1) cm3.
Média e propagação de erros
A aresta mede X = (3, 00± 0, 05) cm. Intuitivamente sabemos que o valor médio V¯ deve ser
muito próximo de v
(
X¯
)
, V¯ ≈ v (3, 00) = 27, 00cm3. Mas como obter ∆V¯ ? Para isso podemos nos
aproveitar do comportamento da função conhecida ao redor do ponto médio. Neste caso usamos
o conceito de derivada e calculamos o quanto a função varia para um pequeno deslocamento ∆X¯:
∆V¯ = ∂v (x)
∂x
∣∣∣∣∣
x=X¯
∆X¯ = 3X¯2∆X¯ = 3× (3, 00)2 × 0, 05 = 1, 35cm3 (1)
A medida neste caso seria V = (27± 1) cm3, idêntica ao cálculo anterior.
1 2 3 4 5
Aresta X HcmL
20
40
60
80
100
120
Volume V Hcm3L
2.9 3.0 3.1 3.2
Aresta X HcmL
24
26
28
30
32
Volume V Hcm3L
Figura 4: Gráfico do volume do cubo em função da aresta v (x) = x3 e detalhe do pequeno
incremento causado por um deslocamento sobre uma reta tangente à curva no ponto X¯ = 3, 00.
Uma generalização da Eq.1 para o erro estatístico de uma medida indireta dependente de
diversas variáveis deve ser feita como:
7
σ2F¯ =
[(
∂f
∂x
)
x=X¯
σX
]2
+
(∂f
∂y
)
y=Y¯
σY
2 + ... [(∂f
∂z
)
z=Z¯
σZ
]2
Questão 6 (0,8 ponto)
Uma vara de pescar telescópica possui N gomos de mesmo tamanho C = (20, 00± 0, 05) cm. Qual
o tamanho total da vara se ela possui
(a) N = 3 gomos;
(b) N = 12 gomos;
Questão 7 (1,6 pontos)
(a) Mostre que para uma quantidade que depende de outras na forma w (x, y, z) = Axlymzn,
a expressão para a propagação de erros acima se reduz à expressão
(
σw¯
w¯
)2
= l2
(
σx¯
x¯
)2
+
m2
(
σy¯
y¯
)2
+ n2
(
σz¯
z¯
)2
.
(b) Pense bem, a constante A influencia no valor do erro σw¯? Porque?
(c) Para quais valores l,m, n é válida esta "fórmula"?
Questão 8 (1,0 ponto)
A constante elástica de uma mola é função de várias características da mola, como mostrado na
expressão abaixo:
k = µd
4
8ND3
Onde N é o número de espiras da mola, D é o diâmetro da "argola" da mola, d é o diâmetro do
fio que constitui a mola e o fator µ é chamado "módulo de elasticidade transversal" do material.
Uma mola típica do laboratório possui as seguintes características:
µ = (7, 64± 0, 02) 104N/mm2
N = (200± 3) espiras
d = (0, 500± 0, 001)mm
D = (5, 00± 0, 05)mm
Calcule a constante elástica k¯ ±∆k¯ usando a propagação de erros para este caso.
8
Referências
[1] Vuolo, J.H. Fundamentos da Teoria de Erros, São Paulo: Editora Edgard Blücher
Ltda, 1992.
[2] ThyssenKrupp - Molas (site de uma fabricante de molas helicoidais)
Disponível em <http://www.tkbilstein.com.br/index.php?area=tecnologia&subarea=constanteElastica>
Acessado em 29/05/2011.
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Douglas
Textbox
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