Limites fundamentais, teoremas

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Aula 8
Outros Teoremas sobre Limites
8.1 Teorema do Confronto
Os dois próximos teoremas nos dão propriedades de limites muito
importantes:
Teorema 8.1.1. Seja r > 0 e sejam duas funções f (x) e g(x) tais que f (x) ≤ g(x)
quando 0 < |x− a| < r. Se os limites de f e g ambos existem quando x→ a, então
lim
x→a
f (x) ≤ lim
x→a
g(x).
Teorema 8.1.2 (Teorema do confronto). Sejam três funções f , g e h e r > 0. Se
f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) para 0 < |x − a| < r e se
lim
x→a
f (x) = L = lim
x→a
h(x),
então lim
x→a
g(x) = L. A figura abaixo mostra um esquema gráfico deste teorema.
90
 
Demonstração. Tome ϵ > 0 arbitrariamente pequeno. Como lim
x→a
f (x) = L,
existe um δ1 tal que se |x − a| < δ1 então | f (x) − L| < ϵ. Analogamente,
como lim
x→a
h(x) = L, existe um δ2 tal que se |x − a| < δ2 então |h(x) − L| < ϵ.
Tome agora δ = min{δ1, δ2}. Temos que se |x − a| < δ, então | f (x) − L| < ϵ e
|h(x) − L| < ϵ. De forma equivalente, dizemos que |x − a| < δ implica que
L − ϵ < f (x) < L + ϵ e L − ϵ < h(x) < L + ϵ.
Assim, usando a hipótese, concluímos que se |x − p| < δ, teremos:
L − ϵ < f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) < L + ϵ,
isto é, |g(x) − L| < ϵ. !
Observação: OTeoremadoConfronto tambéméconhecido comoTeorema
do Sanduíche. Ele continua válido se trocarmos x → a no enunciado por
qualquer uma das condições: x→ a+, x→ a−, x→ +∞ ou x→ −∞.
Exemplo 8.1.1. Mostre que lim
x→0
x2 sen
1
x
= 0.
Solução: Note primeiramente que não podemos usar a regra do produto:
lim
x→0
x2 sen
1
x
! lim
x→0
x2 lim
x→0
sen
1
x
,
91
pois lim
x→0
sen
1
x
não existe. No entanto, como
−1 < sen 1
x
< 1,
segue que
−x2 < x2 sen 1
x
< x2.
Aplicando o Teorema do Confronto considerando f (x) = −x2, g(x) =
x2 sen
1
x
e h(x) = x2 e observando que:
lim
x→0
−x2 = 0 e lim
x→0
x2 = 0,
então teremos que ter
lim
x→0
x2 sen
1
x
= 0.
A seguir enumciaremos um corolário importante do Teorema do Con-
fronto.
Corolário. Sejam f e g funções reais tais que lim
x→a
f (x) = 0 e g(x) é limitada, ou
seja, existe um número real M > 0 tal que |g(x)| ≤M para todo x ∈ R, então
lim
x→a
f (x)g(x) = 0.
Exemplo 8.1.2. Mostre que lim
x→∞
e sen (πx)
x
= 0.
Solução: Sejam f (x) =
1
x
e g(x) = e sen (πx)
Então
lim
x→∞
f (x) = lim
x→∞
1
x
= 0
e
|g(x)| ≤ e ∀x ∈ R, pois | sen (πx)| ≤ 1 ∀x ∈ R
Portanto pelo corolário acima
lim
x→∞
f (x)g(x) = lim
x→∞
e sen (πx)
x
= 0
92
8.2 Limites fundamentais
8.2.1 Limite Trigonométrico Fundamental
Teorema 8.2.1. lim
x→0
sen x
x
= 1.
Demonstração. Considere o círculo de raio 1 como mostra a figura abaixo:
X
Y
M
M’ A
T
x
O
Lembramos ainda que a área de setor circular de arco s e raio r é dado pela
expressão A =
1
2
rs e que a medida do ângulo central x é igual à medida do
arco ÂM
Considerando 0 < x < π/2, podemos afirmar que:
área∆MOA < área setorMOA < área∆AOT
|OA||M′M|
2
<
|OA||ÂM|
2
<
|OA||AT|
2
|M′M| < |ÂM| < |AT|
sen x < x < tg x
Como sen x > 0 para 0 < x < π/2, dividmos a última desigualdade toda
por sen x para obter:
1 <
x
sen x
<
1
cos x
.
93
Invertendo as frações, obtemos:
cos x <
sen x
x
< 1.
Como lim
x→0+
cos x = 1 e lim
x→0+
1 = 1 e usando o Teorema do Confronto,
concluímos que:
lim
x→0+
sen x
x
= 1.
A demonstração do limite lim
x→0−
sen x
x
= 1 é análoga. Como os limites
laterais são iguais, segue que:
lim
x→0
sen x
x
= 1.
!
Exemplo 8.2.1. Calcule os seguintes limites
1. lim
x→0
sen (ax)
x
2. lim
x→0
tg (ax)
bx
Solução
1.
lim
x→0
sen (ax)
x
= lim
x→0
a · sen (ax)
ax
= lim
u→0
a · sen (u)
u
, mudança u = ax
= a · 1 = a
2.
lim
x→0
tg (ax)
bx
= lim
x→0
sen (ax)
bx · cos (ax)
= lim
x→0
a
b
· sen (ax)
ax
· 1
cos (ax)
=
a
b
· 1 · 1 = a
b
94
8.2.2 Limite Exponencial Fundamental
Teorema 8.2.2. Considere a função f : R\[−1, 0]→ R definida por
f (x) =
(
1 +
1
x
)x
.
Definimos o número neperiano e " 2, 71828 como o seguinte limite,
lim
x→+∞
(
1 +
1
x
)x
= e.
Observação: o limite lim
x→+∞
(
1 +
1
x
)x
é uma indeterminação do tipo 1∞
Exemplo 8.2.2. Calcule os seguintes limites:
(a) lim
x→−∞
(
1 +
1
x
)2x
(b) lim
x→0+
(1 + x)1/x (c) lim
x→+∞
(
x + 1
x − 1
)x
(d) lim
x→+∞
(
x2 + 1
x2 − 3
)x2
Solução:
(a) lim
x→−∞
(
1 +
1
x
)2x
= lim
x→−∞
[(
1 +
1
x
)x]2
=
[
lim
x→−∞
(
1 +
1
x
)x]2
= e2
(b) Fazendo a mudança u =
1
x
temos que quando x→ 0+, u→ +∞. Logo
lim
x→0+
(1 + x)1/x = lim
u→+∞
(
1 +
1
u
)u
= e
(c) lim
x→+∞
(
x + 1
x − 1
)x
= lim
x→+∞
(
x − 1 + 2
x − 1
)x
= lim
x→+∞
(
1 +
2
x − 1
)x
= lim
u→+∞
(
1 +
2
u
)u+1
Fazendo a mudança u = x − 1
= lim
u→+∞
(
1 +
2
u
)u
· lim
u→+∞
(
1 +
2
u
)
= e2 · 1 = e2
95
(d) lim
x→+∞
(
x2 + 1
x2 − 3
)x2
= lim
x→+∞
(
x2 − 3 + 4
x2 − 3
)x2
= lim
x→+∞
(
1 +
4
x2 − 3
)x2
= lim
u→+∞
(
1 +
4
u
)u+3
Fazendo a mudança u = x2 − 3
= lim
u→+∞
(
1 +
4
u
)u
· lim
u→+∞
(
1 +
2
u
)3
= e4 · 1 = e4
Teorema 8.2.3. lim
x→0
ax − 1
x
= ln a, a > 0, a ! 1.
Demonstração. Fazendo a mudança de variável t = ax − 1, temos que:
ax = t+1⇒ x ln a = ln(t+1)⇒ x = ln(t + 1)
ln a
. Quando x→ 0, t = ax−1→ 0.
Daí,
lim
x→0
ax − 1
x
= lim
t→0
t
ln(t+1)
ln a
= lim
t→0
t
1
ln a
ln(t + 1)
= ln a lim
t→0
1
ln(1+t)
t
= ln a lim
t→0
1
ln(1 + t)1/t
= ln a
limt→0 1
limt→0 ln(1 + t)1/t
= ln a
1
1
= ln a.
!
96
Exemplo 8.2.3. Calcule o limite
lim
x→2
ex − e2
x − 2
Resolução Fazendo a mudança de variável u = x − 2, temos que:
x = u + 2⇒ ex = eu+2. Quando x→ 2, u = x − 2→ 0. Daí,
lim
x→2
ex − e2
x − 2 = limu→0
eu+2 − e2
u
= e2 lim
u→0
eu − 1
u
= e2 · ln e
= e2
8.3 Exercicios
1. Use o Teorema do Confronto para mostrar que lim
x→0
x2 cos (20πx) = 0.
2. Use o Teorema do Confronto para mostrar que
lim
x→0
√
x3 + x2 lim
x→0
sen (π/x) = 0.
3. Se 4x − 9 ≤ f (x) ≤ x2 − 4x + 7 para x ≥ 0, encontre lim
x→4
f (x). Resp: 7
4. Se 2x ≤ g(x) ≤ x4 − x2 + 2 para todo x, encontre lim
x→1
g(x). Resp: 2.
5. Demonstre que lim
x→0
x4 cos (2/x) = 0.
6. Demonstre que lim
x→0+
√
xe sen (π/x) = 0.
7. Mostre que lim
x→1
(x − 1)2ecos ( 1x−1 ) = 0
8. Mostre que lim
x→0
x − sen x
x2
= 0
(Dica: tg x > x para x > 0)
97
9. Seja f é uma função definida em R tal que
−x2 + 3x ≤ f (x) ≤ x
2 − 1
x − 1 , ∀ x ! 1.
Prove que lim
x→1
f (x) = 2.
10. Calcule os seguintes limites:
(a) lim
x→0
sen ax
x
. Resp: a.
(b) lim
x→0
tg ax
bx
, com a, b ! 0.
Resp:
a
b
.
(c) lim
x→0
1 − cos x
x2
. Resp:
1
2
.
(d) lim
x→0
tg x − sen x
sen 2x
. Resp: 0.
(e) lim
x→π
sen x
x − π . Resp: −1.
(f) lim
x→a
sen x − sen a
x − a .
Resp: cos a.
(g) lim
x→a
cos x − cos a
x − a .
Resp: − sen a.
(h) lim
x→0
tg x
x
. Resp: 1.
(i) lim
x→0
x
sen x
. Resp: 1.
(j) lim
x→0
sen 3x
sen 4x
. Resp:
3
4
.
11. Calcule os seguintes limites:
a. lim
x→+∞
(
1 +
1
x
)3x
. Resp: e3.
b. lim
x→+∞
(
1 +
1
x
)x+2
. Resp: e.
c. lim
x→+∞
(
1 +
4
x
)x
. Resp: e4.
d. lim
x→+∞
(
1 +
2
x
)3x
. Resp: e6.
e. lim
x→+∞
(
1 +
3
x
) x
4 . Resp: e3/4.
f. lim
x→+∞
( x
x + 1
)x
. Resp:
1
e
.
g. lim
x→+∞
(
1 − 3
x
)2x
. Resp:
1
e6
h. lim
x→+∞
(x + 4
x − 3
)x
. Resp: e7.
i. lim
x→−∞
(x + 2
x + 1
)x
. Resp: e.
j. lim
x→−∞
(x − 3
x + 2
)x
. Resp: e−5.
k. lim
x→+∞
(x − 4
x − 1
)x+3
. Resp: e−3.
l. lim
x→+∞
(x2 + 1
x2 − 3
)x2
. Resp: e4.
m. lim
x→+∞
(2x + 3
2x + 1
)x
. Resp: e.
n. lim
x→−∞
(2x − 1
2x + 1
)x
. Resp: 1.
98
o. lim
x→−∞
(3x + 2
3x − 1
)2x
. Resp: e2
p. lim
x→0
e2x − 1
x
. Resp: 2.
q. lim
x→0
23x − 1
x
. Resp: 3 ln 2.
r. lim
x→0
e2x − 1
e3x − 1. Resp:
2
3
.
s. lim
x→0
32x − 1
25x − 1. Resp:
2 ln 3
5 ln 2
t. lim
x→2
ex − e2
x − 2 . Resp: e
2
u. lim
x→3
2x − 23
x − 3 . Resp: 8 ln 2.
v. lim
x→0
ln(1 + x)
x
. Resp: 1.
w. lim
x→0
log(1 + x)
x
. Resp: log 2.
x. lim
x→0
ln(1 + 2x)
x
. Resp: 2
y. lim
x→0
log(1 + 3x)
x
. Resp:
3
ln 10
.
z. lim
x→0
x√
1 − 2x. Resp: e−2.
99