Dinâmica Cinemática corpos rigidos

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FACULDADE DO CENTRO LESTE 
1 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br 10/03/2016 
DINÂMICA 
10 de março de 2016 
Cinemática do movimento 
plano de um corpo rígido 
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Partícula (Ponto Material): Ponto geométrico que 
representa o Corpo Material. Um corpo pode ser tratado 
como uma partícula se o seu movimento pode ser 
caracterizado pelo movimento do seu centro de massa. 
Qualquer rotação do corpo em torno do seu centro de 
massa pode ser desconsiderado. 
sss ' 
Movimento Retilíneo das Partículas 
Posição: Trajetória da partícula será definida por um 
eixo Coordenado (s ou x). Origem “O” é uma 
referência fixa. A localização do ponto P em cada 
instante é dada pela magnitude da distância “s” . A 
direção é definida pelo sinal algébrico de “s” . 
 
Deslocamento: É definido como a mudança de 
posição da partícula. Se a partícula move-se de P 
para P’, sofrerá um deslocamento s. 
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Velocidade: Se a partícula move-se com um deslocamento s, durante o intervalo de 
tempo t, a velocidade média da partícula será: 
t
s
limv
0t 

 

dt
ds
v 
t
s
vméd 


Movimento Retilíneo das Partículas 
t
s
v tméd)perc( 

ou 
Tomando-se valores cada vez menores para t, teremos s cada vez menores. A 
velocidade instantânea é definida como: 
A Velocidade média de percurso é definida como a distância total percorrida pela 
partícula st dividida pelo tempo decorrido t. 
A intensidade da velocidade é conhecida 
com velocidade escalar. 
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Aceleração: Se a variação da velocidade da partícula é conhecida entre dois pontos, 
durante um intervalo de tempo t, a sua aceleração média é definida como: 
t
v
améd 


Para intervalos de Δt cada vez menores, corresponderão a valores cada vez menores 
de v: 
t
v
lima
0t 

 

dt
dv
a 
2
2
dt
sd
a 
Movimento Retilíneo 
ou 
ou 
dvvdsa 
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Movimento Retilíneo Uniforme: 
.const
t
s
v 

 vtss 0 
 
s
s
t
00
dtvds
vtss 0 
 
Movimento Retilíneo Uniformente acelerado: 
.const
t
v
a 

 atvv 0  
v
v
t
00
dtadv
atvv 0 
  
Movimento Retilíneo 
Velocidade Constante: Se a velocidade é constante a aceleração é nula. 
Aceleração Constante: 
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Movimento Retilíneo Uniformente acelerado: 
atvv 0    
s
s
t
0
0
0
dt)atv(ds
 

atv
dt
ds
0 
2
00 at
2
1
tvss  200 at
2
1
tvss 

dsadvv  
 
v
v
s
s0 0
dsavdv  0
2
0
2 ssav
2
1
v
2
1
 

)ss(a2vv 0
2
0
2 
sa2vv 20
2  
Movimento Retilíneo 
Aceleração Constante: 
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O gráfico abaixo mostra a variação do deslocamento em relação tempo, de t1 a t2, de um 
determinado movimento retilíneo. A velocidade representa a inclinação da curva (tangente) para 
qualquer instante de tempo t. 
Movimento Retilíneo – análise gráfica 
dt
ds
v 
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Traçando-se o gráfico da variação da velocidade pelo tempo, para o mesmo movimento retilíneo, 
verificamos que a área abaixo da curva é igual vdt, que é igual a ds. A aceleração da partícula 
representa a inclinação da curva v-t, para qualquer instante t. 
dsdtv  
Movimento Retilíneo – análise gráfica 
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Traçando-se o gráfico da variação da aceleração pelo tempo, para o mesmo movimento retilíneo, 
verificamos que a área abaixo da curva é igual adt, que é igual a dv. 
dvdta  
dt
dv
a 
Movimento Retilíneo – análise gráfica 
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10 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br 10/03/2016 
Um carro move-se em linha reta de tal maneira que por um curto período de tempo, a sua 
velocidade é definida por v = (0,9t2 + 0,6t) m/s, onde t está em segundos. Determine a sua 
posição e aceleração quando t = 3 s. Quando t = 0, s = 0. 
R: s = 10,8 m 
 a = 6,0 m/s2 
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Um carro parte do repouso e move-se com aceleração constante de 1,5 m/s2 até alcançar uma 
velocidade de 25 m/s. Em seguida, move-se com velocidade constante por 60 segundos. 
Determine a velocidade escalar e a distância total percorrida. 
R: v = 22,3 m/s 
 s = 1078,3 m 
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Movimento curvilíneo 
Movimento Curvilíneo x, y, z: 
Posição: 
A intensidade do vetor posição r é dada por: 
O movimento curvilíneo ao longo da trajetória 
curvilínea s , pode ser decomposto em um 
movimento retilíneo ao longo dos eixos x, y, z. A 
posição da partícula, num dado instante é 
determinada pelo vetor posição r, que liga a 
origem O do sistema de coordenadas à partícula. 
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Velocidade: 
A intensidade do vetor velocidade v é dada por: 
Derivando-se o vetor posição r em relação ao tempo resulta na velocidade da partícula. 
A direção do vetor velocidade é sempre tangente à trajetória. 
Movimento curvilíneo 
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Aceleração: 
A intensidade do vetor aceleração a é dada por: 
A aceleração da partícula é obtida através da derivação do vetor velocidade. 
Representa a variação temporal tanto na intensidade quanto da direção da velocidade. 
Movimento curvilíneo 
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Movimento de um projétil: 
O movimento em vôo livre de um projétil segue uma trajetória parabólica. Ele possui 
velocidade constante na direção horizontal, e aceleração constante, para baixo, igual a 
g = 9,81 m/s2 na direção vertical. 
Movimento curvilíneo 
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Movimento de um projétil: 
 
Movimento Horizontal: ax = 0 ; vx = constante 
Movimento Vertical: ay = -g = -9,81 m/s
2 
Movimento curvilíneo 
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Movimento curvilíneo n, t: 
ou 
Se os eixos normal e tangencial são 
usados para a análise, então v está 
sempre na direção t positiva. 
A componente tangencial da aceleração 
at, leva em consideração a variação na 
intensidade da velocidade. A 
componente normal da aceleração 
(aceleração centrípeta) an, leva em 
consideração a variação na direção da 
velocidade. Essa componente está 
sempre na direção n positiva. 
Movimento curvilíneo 
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Movimento curvilíneo r, θ: Velocidade 
Aceleração 
Velocidade angular [rad/s] 
Aceleração 
angular [rad/s2] 
Se a trajetória do movimento é expressa em 
coordenadaspolares, então as componentes da 
velocidade e aceleração podem ser relacionadas 
derivadas em relação o tempo r e θ. 
Se a trajetória r = f (θ) é dada, então pode-se utilizar a 
regra da cadeia do cálculo as derivadas temporais. 
Movimento curvilíneo 
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Um veículo parte do repouso em uma estrada cujo raio de curvatura constante é de 40 m, com 
inclinação lateral de 10°. O movimento ocorre no plano horizontal. Se a aceleração constante 
do veículo, para a frente, é de 1,8 m/s2, determine o módulo da aceleração total após 5 
segundos da sua partida. 
R: a = 2,71 m/s2 
 
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Movimento Relativo entre duas Partículas 
Movimento relativo entre duas 
partículas usando eixos de translação: 
Se duas partículas A e B realizam 
movimentos independentes, esses 
movimentos podem ser relacionados ao seu 
movimento relativo através de eixos de 
translação, ligados a uma das partículas. 
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O jato de passageiros B está voando para o norte com velocidade vB = 600 km/h, quando uma 
aeronave menor A passa por baixo do jato, dirigido na direção a 60°, conforme mostrado. 
Para os passageiros do jato B, no entanto, a aeronave A aparenta estar voando lateralmente e 
movendo-se para leste. Determine a velocidade real de A e a velocidade que A aparenta ter 
em relação a B. 
R: vA = 1200 km/h 
 vA/B = 1039,2 km/h 
 
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O trem A viaja com velocidade constante vA = 120 km/h ao longo da estrada de ferro em linha 
reta e horizontal. O motorista do carro B, antecipando a passagem de nível C reduz a 
velocidade do carro de 90 km/h na taxa constante de 3 m/s2. Determine a velocidade e a 
aceleração do trem em relação ao carro. 
R: vA/B = (70,9i – 46,9j) km/h 
 aA/B = (1,5i + 2,6j) m/s
2 
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24 
Movimento Absoluto entre duas Partículas 
Movimento absoluto dependente de 
duas partículas: 
A altura h e comprimento total l são constantes. A 
primeira derivada temporal da equação fornece a 
relação entre as velocidades dos blocos. A segunda 
derivada temporal fornece a relação entre as 
acelerações. 
O movimento dependente de dois blocos suspensos por 
cabos e polias pode ser relacionado pela geometria do 
sistema, estabelecendo-se coordenadas de posição 
medidas a partir de uma origem fixa para cada bloco, 
direcionada ao longo da linha de movimento do bloco. 
Os comprimentos em vermelho são fixos e não se 
alteram. 
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Em um dado instante, o cilindro A tem velocidade para baixo de 0,8 m/s e com uma 
aceleração para cima de 2 m/s2. Determine a velocidade e a aceleração correspondente ao 
cilindro B. 
R: vB = - 1,2 m/s 
 aB = 3,0 m/s
2 
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Um veículo equipado com um guincho motorizado puxa a si próprio para cima em um plano 
inclinado com o arranjo de cabo e polia mostrado. Se o cabo é enrolado sobre o tambor do 
guincho na taxa de 40 mm/s, quanto tempo levará para subir 4 m de aclive? 
R: t = 200 s ( 3 min e 20 s) 
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Corpo rígido: É um corpo cuja massa está distribuída em todo o seu volume 
ocupado no espaço e as mudanças na sua forma são desprezíveis 
comparadas com as dimensões gerais do corpo, ou seja, a distância entre 
dois pontos deste corpo não podem ser alteradas. O corpo é considerado 
quando existe a possibilidade de rotação do corpo, ou seja, mudança de 
orientação em relação a um sistema de coordenadas definido. 
Movimento Plano 
Partícula (Ponto Material): Ponto geométrico que representa o Corpo 
Material. Um corpo pode ser tratado como uma partícula se o seu movimento 
pode ser caracterizado pelo movimento do seu centro de massa. Qualquer 
rotação do corpo em torno do seu centro de massa pode ser desconsiderado. 
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Movimento Plano 
Trajetória de 
translação retilínea 
Rotação em torno 
de um eixo fixo 
Trajetória de 
translação curvilínea 
Movimento plano geral 
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Movimento Plano 
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Translação Retilínea e Curvilínea 
Derivando a expressão em relação ao tempo: 
 A direção de qualquer linha reta dentro do corpo 
rígido é constante durante o movimento; 
 Todas as partículas do corpo movem-se em 
trajetórias paralelas (retas) ou de mesmo formato e 
eqüidistantes (curvas). 
A e B são duas partículas quaisquer do corpo 
B/AAB rrr 
rB/A => Direção e intensidade constantes 
B/AAB rrr   AB vv 
Derivando novamente a expressão em relação ao 
tempo: 
B/AAB rrr   AB aa 
Todos os pontos do corpo rígido têm a mesma 
velocidade e a mesma aceleração. 
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Rotação em torno de um eixo fixo 
Posição Angular de r 
É definida pelo ângulo , medido de uma linha de referência fixa em 
relação a r 
Deslocamento Angular 
É a mudança de posição angular, que pode ser medida como um vetor 
diferencial d. 
Velocidade Angular () 
É a taxa de variação da posição angular no 
tempo. 
[rad/s] 


 
dt
d
Aceleração Angular () 
dt
d
 
Mede a taxa temporal de variação da velocidade angular. 
[rad/s2] 
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dt
d
 
dt
d
 
 dd 
Rotação em torno de um eixo fixo 
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)θ(θα2ωω
)θ(θα)ω(ω
2
1
 dθ αω dω dαω dω
0c
2
0
2
0c
2
0
2
θ
θ
c
ω
ω
c
00

 
 
2
t
αtωθ θ 
2
t
αtωθθ
tdt αdtωdθ t)dt α(ω dθtαω 
dt
dθ
ω
2
c00
2
c00
t
o
c
t
o
0
θ
θ
c0c0
0

 
tαω ω dtαdω dt α dω 
dt
dω
α c0
t
o
c
ω
ω
cc
0
 
Velocidade angular em função do tempo: 
Posição angular em função do tempo: 
Velocidade angular em função da posição angular: 
Aceleração Angular constante 
Rotação em torno de um eixo fixo 
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Na medida em que o corpo rígido gira, o ponto P se 
desloca ao longo de uma trajetória circular de raio r 
com o centro no ponto O. 
Movimento do ponto P 
A posição de P é definida pelo vetor posição r, que se 
estende de O a P, Se o corpo gira dθ , então P vai se 
deslocar ds = r dθ. 
Posição e deslocamento do ponto P 
Rotação em torno de um eixo fixo 
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A velocidade de P tem a sua intensidade determinada por: 
rv  Velocidade do ponto P 
dt
rd
dt
ds
v

 

 
dt
d
como: 
A direção de v é tangente à trajetória circular. A intensidade e a 
direção de v também podem ser obtidas através do produto 
vetorial de ω e rP (vetor dirigido de qualquer ponto sobre o eixo 
de rotação até o ponto P). 
Prω v   senrv P  senrr P 
como: 
rv  
Rotação em torno de um eixo fixo 
rω v 
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ra 2n  rat  
A aceleração de de P pode ser expressa pelas suas componentes normais 
e tangenciais: 
Aceleração do ponto P 
dt
dv
at 
r
como: 
A componente tangencial da aceleração at representa a taxa de variação, 
em relação ao tempo, na intensidade da velocidade. 

2
n
v
a 
, 
rv 
dt
d
 
, , 
A componente normal da aceleração an representa a taxa de variação, em 
relação ao tempo, na direção da velocidade. 
Rotação em torno de um eixo fixo 
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nt aaa 
Assim como a velocidade, a aceleração pode ser expressa em termos de 
produto vetorial: 
Aceleração do ponto P 
dt
d
 
dt
d
dt
d
dt
d P
P
r
ωr
ωv
a 
como: 
P
P
dt
d
rω
r
v 
 PP rωωrαa 
rsenra Pt   
Então: 
Prα 
Prωv  
rsenra 2P
2
n   Pvω 
  rrαa 2
2
n
2
t aaa 
Rotação em torno de um eixo fixo 
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Rotação em torno de um eixo fixo 
 A rotação de um corpo rígido em torno de eixo fixo pode ser 
definido pelo movimento de uma placa representativa em um 
plano de referência perpendicular ao eixo de rotação. 
Rotação de uma placa representativa 
rk v ω
Velocidade de qualquer ponto P da placa: 
 rωωrka  α
Aceleração de qualquer ponto P da placa: 
rrka
2ωα 
ra
2
n 
rk a t
 rat 
2
n ra 
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Movimento Plano Geral 
O movimento plano geral pode ser sempre considerado como uma soma de uma translação e 
uma rotação. 
Movimento Plano Geral 
 Movimento Plano = Translação + Rotação 
 O deslocamento dos pontos A1 e B1, para A2 e B2, pode ser dividido em duas partes: 
1) Translação para A2 e B’1; 
2) Rotação de B’1 para B2, em torno de A2. 
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Movimento Plano Geral 
 Movimento Plano = Translação + Rotação 
 Movimento Plano = Translação + Rotação 
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Movimento Plano Geral 
Considerando que a velocidade vA seja conhecida, podemos definir a 
velocidade vB em termos de vA, l e . A velocidade absoluta é dada por: 
B/AAB vvv 
Se as direções das velocidades vA e vB/A são conhecidas, podemos definir as 
intensidades vB e ω: 
 Movimento Plano = Translação + Rotação 


tan
tan
AB
A
B
vv
v
v






cosl
v
l
v
cos
l
v
v
v
AA/B
A
AB
A


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Movimento Plano Geral 
À medida que o bloco A se desloca horizontalmente para a esquerda com velocidade 
vA, ele faz com que a manivela CB gire no sentido anti-horário, de tal maneira que o 
vetor vB é dirigido em direção tangente à sua trajetória circular. A biela AB é submetida 
ao movimento plano geral e, no instante mostrado , ele tem velocidade angular ω . 
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O pinhão A do motor de elevação aciona a engrenagem B, que está presa ao tambor de 
elevação. A carga P é elevada a partir da sua posição de repouso a adquire uma velocidade 
para cima de 2 m/s em uma distância vertical de 0,8 m/s com aceleração constante. Quando a 
carga passa por esta posição, calcule (a) a aceleração do ponto C no cabo em contato com o 
tambor e (b) a velocidade angular e a aceleração angular do pinhão A. 
R: aC = 10,3 m/s
2 
 A = 15 rad/s 
 A = 18,75 rad/s
2 
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A rotação do braço robótico ocorre em virtude do movimento linear dos cilindros hidráulicos 
A e B. Se esse movimento faz com que a engrenagem em D gire com velocidade de 5 rad/s, 
no sentido horário, determine a intensidade da velocidade e da aceleração da peça C, segura 
pela garra do braço. 
R: vC = 6,36 m/s 
 aC = 31,75 m/s
2 
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Se o motor gira o eixo A em ωA= 40 rad/s, determine a velocidade angular do eixo de 
transmissão , ωB. O raio primitivo de cada engrenagem está listado abaixo: 
 
R: B = 89,6 rad/s 
 
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Análise do movimento relativo 
Esta análise envolve dois conjuntos de eixos coordenados. O 
sistema fixo mede a posição absoluta dos pontos A e B. O 
sistema x’, y’ está conectado ao ponto base A e translada 
mas não gira. 
B/AAB rrr 
Análise do movimento relativo: Velocidade 
 Posição: 
 Deslocamento: 
B/AAB rrr ddd 
Durante um intervalo de tempo dt, os pontos A e B sofrem 
deslocamentos drA e drB. 
Rotação em A 
Translação de A 
Translação e Rotação 
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Para determinar a relação entre as velocidades dos pontos A e B => derivada temporal 
Velocidade: 
dt
d
dt
d
dt
d B/AAB rrr  B
dt
d
v
rB  A
dt
d
v
rA 
, 

 A/BA/BA/B rr
dt
d
r
dt
d
  
rB/A
B/AAB vvv 
B/AAB rvv  
A/BrkvB/A 


Análise do movimento relativo 
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51 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br 10/03/2016 
O ponto A, na barra de ligação, desloca-se ao longo de uma trajetória horizontal e o ponto 
desloca-se ao longo de uma trajetória circular. As direções dos vetores vA e vB são tangentes às 
sua respectivas trajetórias de movimento. 
A roda é um elemento que “rola sem deslizar”, ou seja, o ponto 
A, momentaneamente, tem velocidade igual a zero, uma vez que 
o solo não se move. 
O centro da roda B, se desloca-se longo de uma trajetória 
horizontal e a direção de vB é horizontal. 
Análise do movimento relativo 
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A manivela CB oscila em torno de C através de um arco limitado, obrigando a manivela OA a 
oscilar em torno de O. Quando o mecanismos passa pela posição mostrada, com CB na 
horizontal e OA na vertical, a velocidade angular de CB é de 2 rad/s no sentido anti-horário. 
Para esse instante, determine as velocidades angulares de OA e AB. 
 
R: AB = - 0,857 rad/s 
 OA = - 0,429 rad/s 
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Determinar a velocidade do centro de gravidade G da biela no 
instante mostrado. O pistão P estáse deslocando para cima com 
uma velocidade de 7,5 m/s. 
 
R: vG = (-4,67i + 6,82j) m/s; vG = 8,27 m/s 
  = 124,4° 
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A unidade de bombeamento consiste da manivela AB, da barra de ligação BC, do balancim 
CDE e do tirante F, Se a manivela está girando com uma velocidade angular de ω = 10 
rad/s, determine a velocidade angular do balancim e a velocidade do tirante EFG, no 
instante mostrado. 
 
R: CDE = 6,9 rad/s 
 vE = 12,42 m/s 
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Movimento Plano Geral 
Se o ponto base A é escolhido como tendo velocidade nula, então a equação da velocidade 
relativa se reduz a: 
Centro Instantâneo de Velocidade Nula 
Momentaneamente, o corpo B 
parece girar em torno de CI do 
eixo instantâneo, em uma 
trajetória circular. Devido a este 
fato, a direção de vB é, sempre, 
perpendicular a rB/CI. 
B/AAB rωvv 
B/AB rωv 
B/CIB rωv 
0Av
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Movimento Plano Geral 
Centro Instantâneo de Velocidade Nula 
 Localização do CI 
A velocidade vA de um ponto A e a 
velocidade angular ω são conhecidas. 
Traçando-se uma linha perpendicular a 
vA, no ponto A . A distância de A até 
CI é dada por: 
1) 
ω
v
r AA/CI
Localização do CI 
conhecendo-se vA e ω 
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Movimento Plano Geral 
Localização do CI: 
As linhas de ação de duas velocidades não paralelas 
vA e vB são conhecidas. Traçando-se linhas 
perpendiculares a vA e vB, partindo dos pontos A e 
B, estendendo estas linhas até o ponto de 
interseção. 
2) 
Localização do CI 
conhecendo-se as 
direções de vA e vB. 
A intensidade e direção de duas velocidades 
paralelas vA e vB são conhecidas. O CI é definido 
através de do método de semelhança de triângulos. 
3) 
ω
v
r AA/CI
ω
v
r BB/CI
Se a distância d é conhecida, então: 
drr CI/B A/CI
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Movimento Plano Geral 
Localização do CI: 
O ponto escolhido como centro instantâneo de 
velocidade nula para um corpo somente pode ser 
utilizado no instante considerado. 
O lugar geométrico dos pontos que definem a 
localização do CI durante o movimento do corpo é 
chamado de Centrodo. Cada ponto sobre o Centrodo 
atua como CI do corpo somente em um 
determinado instante. 
No CI, apesar da velocidade ser nula, a aceleração, 
normalmente, não é nula. 
A linha de ação de cada vetor velocidade v é perpendicular 
à sua linha radial associada r, e o sentido de direção tende 
a deslocar o ponto de maneira consistente com a rotação 
angular ω. 
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Movimento Plano Geral 
Centro Instantâneo de Velocidade Nula 
O vetor velocidade vB, é perpendicular à trajetória AB , que forma um ângulo  com a 
vertical. O vetor velocidade vC tem a sua direção na horizontal, devido ao movimento 
restrito do pistão neste sentido. Se traçarmos linhas perpendiculares a estes vetores, 
partindo da sua origem, o ponto CI, será no ponto de intersecção destas linhas. 
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Movimento Plano Geral 
Centro Instantâneo de Velocidade Nula 
Os pontos B e C seguem trajetórias circulares em torno de eixos que passam por A e D, 
respectivamente. Portanto, vetor velocidade vB e vC são perpendiculares às respectivas 
trajetórias AB e BC. Se traçarmos linhas perpendiculares a estes vetores, partindo da sua 
origem, obteremos duas linhas paralelas, ou seja, o ponto CI estará no infinito. 
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A extremidade A da barra possui velocidade descendente vA de 2 m/s durante um intervalo 
de seu movimento. Para a posição na qual  = 30°, determine a velocidade angular  de AB 
e a velocidade vG do ponto central G da barra. 
 
R: AB = 11,55 rad/s 
 vG = 1,155 m/s 
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Se o segmento CD tem velocidade angular CD = 6 rad/s, determine a velocidade do ponto E 
no segmento BC e a velocidade angular do segmento AB, no instante mostrado. 
R: AB = 6,0 rad/s 
 vE = 4,76 m/s 
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A unidade de bombeamento consiste da manivela AB, da barra de ligação BC, do balancim 
CDE e do tirante F, Se a manivela está girando com uma velocidade angular de ω = 10 
rad/s, determine a velocidade angular do balancim e a velocidade do tirante EFG, no 
instante mostrado. 
 
R: CDE = 6,9 rad/s 
 vE = 12,42 m/s 
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A unidade de bombeamento de petróleo consiste do balancim AB, da barra de ligação BC e 
da manivela CD. Se a manivela gira com taxa constante de 6 rad/s, determine a velocidade 
da barra H, no instante mostrado. 
 
R: vH = 5,4 m/s 
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Análise do movimento relativo: Aceleração 
Para relacionarmos as acelerações de dois pontos sobre um corpo rígido submetido ao 
movimento plano geral, podemos obter uma equação, diferenciando a equação: 
Movimento Plano Geral 
A/BAB vvv 
dt
d
dt
d
dt
d A/BAB vvv 
Medidas num sistema de eixos fixos x,y. Logo, 
são acelerações absolutas dos pontos A e B 
Aceleração de B em relação a A, medida por 
um observador fixo num sistema de eixos x’,y’ 
em translação, que têm como origem o ponto 
de base A. 
B
B a
dt
d

v
A
A a
dt
d

v
A/B
A/B a
dt
d

v
, 
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Análise do movimento relativo: Aceleração 
Para o observador, o ponto B parece se deslocar ao longo de uma trajetória circular de raio 
rB/A. 
Movimento Plano Geral 
A/BAB aaa   nA/BtA/BAB )()( aaaa 
Componente tangencial da aceleração relativa de B em relação a A. 
O módulo é (aB/A)t = rB/A e a direção é perpendicular a rB/A. 
Componente normal da aceleração relativa de B em relação a A. O 
módulo é (aB/A)n = 
2rB/A , a direção é a de B/A e o sentido é sempre 
de B para A. 
tA/B )a(
nA/B )a(
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Análise do movimento relativo: Aceleração 
Em um dado instante, a aceleração de B é determinada considerando-se que a barra 
translada com aceleração aA e, simultaneamente rotaciona em torno do ponto base A com 
velocidade angular instantânea ω e aceleração angular  . 
Movimento Plano Geral 
= + 

nA/BtA/BAB )()( aaaa  )()( A/B
2
A/BAB r r αaa 
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Análise do movimento relativo: Aceleração 
O movimento acelerado de um corpo rígido conectado por um pino a dois outros corpos, os 
pontos coincidentes no pino, se deslocam coma mesma aceleração, pois ambos descrevem a 
mesma trajetória. 
Movimento Plano Geral 
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Análise do movimento relativo: Aceleração 
Se dois corpos estão em contato, sem deslizar, e os pontos em contato descrevem trajetórias 
diferentes, as componentes tangenciais da aceleração serão iguais. Porém, as componentes 
normais poderão não ser iguais. 
Movimento Plano Geral 
tAtA )()(  aa nAnA )()(  aa
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No instante mostrado, o bloco deslizante B está se deslocando para a direita com velocidade 
e aceleração mostradas. Determine a aceleração angular da roda, nesse instante. 
R: A = 0,232 rad/s
2 
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Determine a velocidade angular e a aceleração angular da placa CD do mecanismo britador, 
no instante em que AB está na horizontal. Neste instante,  = 30° e  = 90°. O elemento de 
acionamento AB está girando com velocidade angular constante de AB = 4 rad/s. 
R: CD =1,0 rad/s 
 CD = -10,93 rad/s
2
 
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Taxa de variação no tempo de um vetor unitário: 
j i u  sencosA 
)cossen(A j i u   
k ω A
)sencos(AA j i k u ω   
)cossen(AA j i u ω   
AAA u ωu 
A derivada em relação ao tempo de um vetor unitário é igual ao produto vetorial da 
velocidade angular do vetor com ele mesmo. 
Sistema de eixos em rotação 
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Sistema de eixos em rotação 
Análise do movimento relativo : Sistema de eixos em rotação 
Situações que envolvem elementos conectados que deslizam um em relação ao outro, ou 
pontos não localizados no mesmo corpo podem ser analisados utilizando-se um sistema de 
coordenadas que translade e rotacione. 
Posição: 
X, Y, Z – sistema de coordenadas fixo 
x, y, z– sistema de coordenadas que pode 
transladar e rotacionar em relação ao 
sistema de referência fixo X, Y, Z 
jir BBA/B yx 
No instante considerado: 
, 
Ponto A => vA; aA 
Eixos x,y => 
Velocidade angular:  
Aceleração angular: 
dt
dΩ
Ω 
A/BAB rrr 
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Velocidade Relativa: 
k j i r zyxA/P A/PAP rrr 
, 
A/PAP rrr  
)zyxzyx(AP k j i k j i vv
 
)(z)(y)(xzyx(AP kΩ jΩ i Ωk j i vv  
)]zyx([)zyx(AP k j i Ω k j i vv  
xyzA/PA/PAP )( vrΩvv 
Componentes da velocidade de P, medidas por observador 
fixo no sistema de coordenadas móvel x, y, z. Pode ser 
representado por : 
xyzA/P )(v
Taxa de variação temporal instantânea dos vetores unitários i, 
j e k medida por observador no sistema de coordenadas fixo 
X, Y, Z. Pode ser representado por: 
)zyx( k j i Ω 
Sistema de eixos em rotação 
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Velocidade: 
velocidade absoluta de P, medida a partir da referência fixa X, Y, Z 
velocidade absoluta da origem A, da referência fixa x,y,z, medida a partir da 
referência X, Y, Z 
velocidade de “P em relação a A”, medida por um observador fixo à referência em 
rotação x, y, z 
xyzA/P )( v
Pv
Av
 P/Ar Ω
efeito da velocidade angular causado pela rotação da referência x, y, z, observado a 
partir da referência X, Y, Z 
Onde: 
A/PAP r ωvv  xyzA/PA/PAP
)( vrΩvv 
Sistema de eixos em rotação 
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Aceleração Relativa: 
)zyx()]zyx([AP k j i k j i Ωvv  
)zyxzyx(
])zyxzyx([)]zyx([AP
 k j i k j i 
k j i k j i Ωk j i Ωaa




])(z)(y)(x[
)zyx(]})(z)(y)(x[{
)zyx([)( A/PAP
 k Ω j Ω i Ω
k j i kΩ j Ω i ΩΩ
 k j i ΩrΩaa






Sistema de eixos em rotação 
xyzA/PxyzA/PA/PAP )()v()()( a 2ΩrΩΩrΩaa P/A 

xyzA/P )(v
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80 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br 10/03/2016 
aceleração absoluta de P, movimento de B observado a partir do sistema X, Y, Z 
aceleração absoluta da origem A, da referência x,y,z, movimento do sistema x, y, z, 
observado do sistema X, Y, Z 
Efeito combinado da P deslocando-se em relação às coordenadas x, y, z e da rotação 
do sistema x, y, z 
 xyzA/B )(2 vΩ
Ba
Aa
 B/Ar Ω

efeito da aceleração angular causado pela rotação da referência x, y, z, movimento do 
sistema x, y, z, observado a partir da referência X, Y, Z 
Onde: 
 )( B/Ar Ω Ω
efeito da velocidade angular causado pela rotação do sistema x, y, z, movimento do 
sistema x, y, z, observado a partir do sistema X, Y, Z 
xyzA/B )(a
aceleração de P em relação a A, movimento observado a partir do sistema 
x, y, z 
Sistema de eixos em rotação 
xyzA/PxyzA/PA/PA/PAP )()(2)( a v Ωr Ω Ωr Ωaa 

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81 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br 10/03/2016 
Aceleração de Coriólis, que representa a diferença na aceleração de P quando 
medida a partir dos eixos x, y, z em rotação e sem rotacionar. É sempre perpendicular 
a ambos  e (vP/A)xyz. É uma componente importante da aceleração que tem de ser 
considerado sempre que sistema de referência em rotação são utilizados. 
 xyzA/P )(2 vΩ
Reescrevendo a equação: 
A/P
2
A/PAP rr αaa 
xyzA/PxyzA/PA/PA/PAP )()(2)( a v Ωr Ω Ωr Ωaa 

)( A/PA/PAP rΩΩr Ωaa 


E comparado-a com: 
xyzA/P )(a
aceleração de P em relação a A, movimento observado a partir do sistema 
x, y, z 
Diferença 
Sistema de eixos em rotação 
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82 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br 10/03/2016 
No instante mostrado, a esfera B está rolando ao longo da ranhura no disco com velocidade 
de 600 mm/s a aceleração de 150 mm/s2, ambas medidas em relação ao disco e dirigidas 
para longe do centro O do disco. Se no mesmo instante, o disco tem velocidade angular e 
aceleração mostradas, determine a velocidade e aceleração da esfera, neste instante. 
R: vB = {0,6 i + 2,4 j} m/s 
 aB = {- 14,25 i + 8,4 j} m/s
2 
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83 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br 10/03/2016 
O braço telescópico do guindaste gira com velocidade angular e aceleração angular 
mostradas. No mesmo instante, a seção da lança está estendendo-se com velocidade 
constante de 0,15 m/s, medida em relação ao braço. Determine as intensidades da 
velocidade e aceleração do ponto B, nesse instante. 
R: vB = 0,39 m/s; vB = {0,36 i + 0,15 j} m/s 
 aB = 0,186 m/s
2; aB = {0,186 i + 0,15 j} m/s
2 
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84 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br 10/03/2016 
A calha basculante é articulada em torno do ponto C e é operada pelo cilindro hidráulico AB. 
Se o cilindro está estendendo-se a uma taxa constante de 0,15 m/s, determine a velocidade 
angular ω da calha no instante em que ela está na posição horizontal, mostrada. Utilizar o 
método da aceleração de Coriólis para solucionar o problema. 
 
R: BC = 0,833 rad/s 
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85 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br 10/03/2016 
10/03/2016 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br 85 
Devido à ação da correnteza, o centro de massa B, do barco, se movimenta com velocidade 
vB = 1m/s e velocidade angular ω =1°/s, em relação ao eixo vertical. A velocidade do ponto 
B é constante, mas a velocidade angular ω decresce a uma taxa de 0,5°/s. Uma pessoa está 
parada no ponto A. Determine a velocidade e a aceleração que o ponto A, parece ter, quando 
observado por um passageiro, fixo, girando junto com o barco, posicionado em B. Considere 
o problema em duas dimensões. 
 
R: (vA/B)xyz = {-2,71i - 0,259 j} m/s (aA/B)xyz = {0,864i +0,064j} m/s
2 
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86 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br 10/03/2016 
10/03/2016 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br 86 
A manivela OA gira com velocidade angular constante de 10 rad/s, no sentido horário. Para 
a posição  = 30°, determine a velocidade angular do elemento com ranhura CB e a 
aceleração de A medida em relação à ranhura de CB. 
R:  = 5,0 rad/s (aA/C)xyz = -8,65 m/s
2