Lista 2 - Análise A - 2015 - Brietzke

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MAT01057 – 2015 LISTA 2 Prof. Eduardo
NOTAC¸A˜O: Denotamos por (an) a sequeˆncia (lista infinita)
a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , · · · · · ·
1. Verifique se sa˜o enumera´veis ou na˜o, justificando sua resposta:
(i) O conjunto C de todos os pontos da circunfereˆncia x2+y2 = 1 que sa˜o ve´rtice de algum pol´ıgono
regular inscrito na circunfereˆncia e que tenha (1, 0) como um de seus ve´rtices.
(ii) A = {(an) | ∀n , an ∈ N e an = 0 exceto para um nu´mero finito de n’s } .
(iii) F = {f : N→ {1, 2, 3, 4, 5}}.
(iv) F = {f : N→ {1, 2, 3, 4, 5} | f(n) ≥ f(n+ 1), ∀n}.
(v) O conjunto de todas as sequeˆncias formadas de 0’s e 1’s, contendo uma infinidade de 0’s e uma
infinidade de 1’s.
(vi) D = {(an) | ∀n , an+1 e´ um divisor de an} (OBS: e´ equivalente a dizer que an e´ mu´ltiplo de
an+1).
(vii) E = {(an) | ∀n , an+1 e´ mu´ltiplo de an}.
2. Encontre uma bijec¸a˜o entre
(i) N e Z.
(ii) Os intervalos (0, 1) e (a, b).
(iii) (0, 1) e R.
(iv) [0, 1) e (0, 1).
3. SejaX um conjunto infinito qualquer. Sabemos que todo conjunto infinito conte´m um subconjunto
infinito enumera´vel.
(i) Seja c um elemento fixado em X. Encontre uma bijec¸a˜o entre X e X \ {c}. Sugesta˜o: Tome
um subconjunto A = {a1, a2, a3, . . .} infinito enumera´vel de X \ {c}. Defina f : X → X \ {c}
pondo f(x) = x, se x 6∈ A ∪ {c}, f(c) = a1 e f(an) = an+1, ∀n ∈ N.
Conclua que um conjunto X e´ infinito se e somente se existe uma bijec¸a˜o entre X e uma parte
pro´pria Y de X (isto e´, Y contido em X, Y 6= X).
(ii) Seja B = {b1, b2, b3, . . .} um conjunto infinito enumera´vel tal que B ∩ X = ∅. Encontre uma
bijec¸a˜o f : X → X ∪ B. Sugesta˜o: Considere um subconjunto A = {a1, a2, a3, . . .} infinito
enumera´vel de X.
4. (Exerc. 24 do livro) Prove que todo conjunto infinito se decompo˜e como uma unia˜o de uma
infinidade enumera´vel de conjuntos infinitos dois a dois disjuntos (n 6= m =⇒ An ∩ Am = ∅).
5. (Exerc. 26 do livro) Prove que o conjunto das sequeˆncias crescentes (n1 < n2 < n3 < · · · ) de
nu´meros naturais e´ na˜o enumera´vel.