Apostila de Física 2

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Campus- Maracanaú Prof: Carlos 1 
 
 
 Objetivos da Disciplina Física 2 
 
Transmitir conhecimentos, possibilitando a formação crítica. 
Aplicar conceitos, leis, teorias, demonstrações em sala de aula e estabelecer um diálogo 
com o cotidiano. 
 
Programa da disciplina: 
 
1. Equilíbrio e Elasticidade 
2. Gravitação Universal 
3. Noções de Mecânica dos Fluidos 
4. Análise das Oscilações 
5. Estudo das Ondas 
6. Temperatura e Calor 
7. Gases e Termodinâmica 
 
Bibliografia Mínima: 
 
HALLIDAY, RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de Física. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e 
Científicos, 9ª edição, volume 2 
SERWAR, Princípios da Física, volume 2 
NUSSENZVEIG, H. M. Curso de Física Básica. São Paulo volume 2 
FRANCO BRUNETTI, Mecânica dos Fluidos 
‘Física é uma ciência empírica, a ciência da medida. 
“Tenho afirmado frequentemente que, quando se pode medir aquilo de que se está falando 
e exprimir essa medida em números, fica-se sabendo algo a seu respeito; mas quando não 
se pode exprimi-la em números, o conhecimento é limitado e insatisfatório. Ele pode ser o 
começo do conhecimento, mas o pensamento terá avançado muito pouco para o estágio 
científico, qualquer que seja o assunto”. 
 
(Lorde Kelvin, 1824-1907) 
 
 
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1.Equilíbrio e Elasticidade: 
 
Objetivo Geral: 
 
Compreender os principais conceitos relacionados com equilíbrio e Elasticidade e analisar 
as condições de equilíbrio. 
 
I.Introdução: 
 
 Se um corpo estiver estacionário, e permanecer estacionário, diz-se que o corpo está 
em equilíbrio estático. A determinação das forças que atuam sobre um corpo em equilíbrio 
estático tem muitas aplicações importantes, particularmente em engenharia. Por exemplo, 
as forças exercidas pelos cabos de uma ponte precisam ser conhecidas a fim de que os 
cabos sejam projetados de modo a poder suportá-los. Neste capítulo, examinaremos os 
dois aspectos principais da estabilidade: O equilíbrio de forças e torques que atuam sobre 
objetos rígidos e a elasticidade de objetos não rígidos, uma propriedade que determina 
como tais objetos podem ser deformados. Quando essa Física é feita de forma correta ela é 
assunto de incontáveis artigos publicados em periódicos de Física e Engenharia; quando é 
feita de forma errada é assunto de incontáveis matérias nos jornais e em periódicos da área 
jurídica. 
II.Principais Conceitos: 
a)Ponto material ou partícula: 
 
 
 
 
b)Corpo extenso: 
 
 
 
c)Centro de Massa: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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d)Centro de Gravidade: 
 
 
 
 
 
e)Translação: 
 
 
 
 
 
 
f)Rotação: 
 
 
 
 
 
g)Torque: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
h)Corpo Rígido: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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III.Como resolver problemas de Física: 
 
1ª ETAPA: LER O PROBLEMA: É preciso saber ler, quer dizer, ser capaz de imaginar a cena 
que o enunciado descreve. Nem sempre entendemos tudo o que está escrito, mas 
podemos estar atentos aos detalhes para "visualizar" corretamente o que se está dizendo. 
2ª ETAPA: FAZER UM ESQUEMA: Fazer um esquema ou desenho simples da situação ajuda 
a visualizá-la e a resolvê-la. Procure indicar em seus esquemas informações básicas como o 
sentido e os valores envolvidos. 
3ª ETAPA: MONTE AS EQUAÇÕES E FAÇA AS CONTAS: Uma equação só faz sentido se você 
sabe o que ela significa. Sabemos que é possível resolver a nossa questão porque há a 
conservação da quantidade movimento total de um sistema, como por exemplo.Quer dizer, 
a soma das quantidades de movimento antes e depois do choque deverá ter o mesmo 
valor. Com isso, você consegue montar as contas. 
4ª ETAPA: INTERPRETE OS VALORES. (A ETAPA MAIS IMPORTANTE!) Muito bem, você achou 
um número! Mas ainda não resolveu o problema. Não queremos saber somente o número, 
mas também o que aconteceu. O número deve nos dizer isso. Olhando para ele você deve 
ser capaz de chegar a alguma conclusão. DESCONFIE DOS NÚMEROS!!! Existe uma coisa 
que se chama erro nas contas, que pode nos levar a resultados errados. Pense bem no que 
o número está lhe dizendo e avalie se é uma coisa razoável. Se achar que há um erro, 
confira suas contas. 
 
IV.Condições de Equilíbrio: 
 
Considere os seguintes objetos: (1) Um livro em repouso sobre uma mesa. (2) Um 
disco deslizando com velocidade constante sobre uma superfície sem atrito. (3) as pás de 
um ventilador de teto em rotação e, (4) a roda de uma bicicleta que se desloca ao longo de 
uma trajetória retilínea com velocidade constante. Para cada um desses objetos, temos: 
a) O momento linear P de seu centro de massa é constante. 
b) Seu momento angular L em torno de seu centro de massa, ou em torno de qualquer 
ponto, também é constante. 
Nossa preocupação neste assunto são as situações nas quais as constantes acima são 
iguais a zero; ou seja, estamos interessados principalmente em objetos que absolutamente 
não se movem em translação nem em rotação, no sistema de referencia a partir do qual os 
observamos. Partiremos agora da segunda lei de Newton em termos de momento linear e 
momento angular e mostrar as condições de equilíbrio. 
 
 
 
 
 
 
 
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V.Elasticidade: 
 
Quando inúmeros átomos se juntam para formar um sólido metálico, como por 
exemplo, um cubo de ferro, eles atingem posições de equilíbrio em uma rede 
tridimensional, um arranjo repetitivo no qual cada átomo está em uma distância de 
equilíbrio bem definida de seus vizinhos mais próximos, então os átomos são mantidos 
juntos por forças interatômicas modeladas por pequenas molas. A rede é bastante rígida, o 
que é outra maneira de dizer que “molas interatômicas” são extremamente duras. É por 
esta razão que sentimos muitos objetos como escadas, mesas e colheres de metal, por 
exemplo, como perfeitamente rígidos. Outros objetos, como mangueiras de jardim e luvas 
de borracha, não nos parecem de forma alguma rígidos. Os átomos que constituem esses 
objetos não formam uma rede rígida, mais estão alinhados em cadeias moleculares longas 
e flexíveis, cada cadeia sendo apenas fracamente ligada às suas vizinhas. 
Todos os corpos “rígidos’ reais são até certos pontos elásticos, o que significa que 
podemos modificar suas dimensões ligeiramente puxando-os, empurrando-os, torcendo-os, 
comprimindo-os. Para se ter uma ideia das ordens de grandeza envolvidas, considere uma 
haste de aço de 1 m de comprimento e 1 cm de diâmetro presa no teto de uma fabrica. Se 
você pendurar um carro compacto na extremidade livre desta haste, ela esticará, mas por 
apenas 0,5 mm ou 0,05% e a haste retornará ao seu comprimento original quando o carro 
for removido. 
Se você pendurar dois carros na haste, ela ficará permanentemente esticada e não 
mais retornará ao seu comprimento original quando você remover a carga. Se você 
pendurar três carros, o que acontecerá fisicamente? A haste arrebentará imediatamente 
antes da ruptura, o alongamento da haste será menor do que 0,2%. Embora deformações 
deste tamanho pareçam pequenas, elas são importantes na pratica da engenharia. (Se uma 
asa vai permanecer presa ao corpo de um avião é obviamente uma questão importante). 
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Na figuras abaixo, temos 3 maneiras segundo as quais um sólido pode mudar suas 
dimensões quando forças atuam sobre ele, um cilindro é deformado por uma força 
perpendicular ao seu eixo maior, de modo parecidocom a deformação em uma pilha de 
cartas de baralho ou em um livro, um objeto sólido mergulhado em um fluido sob alta 
pressão é comprimido uniformemente em todas as direções. O que esses três 
comportamentos tem em comum é que uma tensão, ou força deformadora por unidade de 
área, produz uma deformação específica. A tensão de tração (associada com alongamento) 
é ilustrada em (a), a tensão de cisalhamento em (b), e a tensão hidráulica em (c) 
a) Cilindro submetido a uma tensão de tração: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Cilindro submetido ao Cisalhamento: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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c) Esfera submetida a Compressão Hidráulica: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Importante: As tensões e deformações tomam formas diferentes nas 3 situações. Mas em 
um amplo intervalo de aplicabilidade, tensão e deformação são proporcionais uma à outra. 
A constante de proporcionalidade é chamada de módulo de elasticidade, fisicamente vale a 
relação: 
Tensão = módulo x deformação 
 
Desafio: Prove a seguinte situação física: Se o campo gravitacional é o mesmo para todos os 
elementos de um corpo, então o centro de gravidade do corpo coincide com o centro de 
massa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Lista 1:Equilíbrio e Elasticidade 
 
 
 
 
 
 
 
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2.Gravitação Universal: 
 
Objetivo Geral: 
 
Compreender a lei geral da Gravitação Universal e as Leis de Kepler 
 
I.Introdução: 
 
Desde que começou a brilhar no cérebro do homem a luz da racionalidade, o brilho e 
o movimento dos astros desafiaram sua curiosidade. Em todas as etapas da civilização o 
homem procurou dar uma explicação para os fascinantes problemas da gravitação 
universal, os sábios gregos, por exemplo, deduziram que a terra ocupava o centro do 
universo e em torno dela giravam os demais planetas em perfeitos círculos. O homem era 
assim, o centro e a medida de todas as coisas, pensando de modo diferente, porém, o 
astrônomo grego Aristarco de Samos (310-230 a.C) foi o primeiro a afirmar que todos os 
planetas, inclusive a terra, giravam em torno do sol, deste modo surgiu o sistema 
heliocêntrico, que privilegiava o sol, contrário ao geocentrismo que destacava a terra. A 
teoria heliocêntrica não se firmou de imediato, pois a sabedoria grega admirava mais a 
ideia de que o homem ocupava o lugar central do universo. No século II d.C. , o sistema 
geocêntrico foi desenvolvido e consagrado por Ptolomeu, grande matemático com várias 
contribuições na geometria, para ele a terra era fixa e ocupava o centro das órbitas 
circulares dos planetas. 
Somente no século XVI foi que a teoria heliocêntrica se firmou novamente: o 
estudioso polonês Nicolau Copérnico renovou a teoria de Aristarco, afirmando que o sol 
ocupava o centro do universo. 
Levantaram-se muitos debates em torno desta reafirmação, uma vez que os 
cientistas da época e a própria igreja católica só aceitava o geocentrismo. O dinamarquês 
Brahé, concluiu que os planetas giravam em torno do sol e a lua girava em torno da terra, 
suas observações e conclusões levaram o alemão Johannes Kepler a elaborar algumas leis 
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que convenceram os pesquisadores a respeito da teoria heliocêntrica. O físico e 
matemático Galileu Galilei, um dos maiores inovadores da pesquisa e das ciências, foi 
acusado de herege, processado pela igreja católica e julgado em tribunal por afirmar que a 
terra não era fixa e fazia parte do sistema solar. Todas essas conclusões foram coroadas 
pela contribuição de Isaac Newton, físico e matemático inglês, autor da lei gravitação 
universal, que explica a mecânica celeste. 
 
II.Lei da Gravitação: 
 
Em 1965, Isaac Newton, aos 23 anos, deu uma contribuição fundamental á Física 
quando mostrou que a força que mantém a lua em sua órbita é da mesma natureza da 
força que faz uma maça cair. Hoje em dia, tornamos este conhecimento como tão certo que 
não é fácil para nos compreendermos a antiga crença de que o movimento de corpos 
terrestres e o de corpos celestes eram de natureza diferente e que eram governados por 
leis diferentes. Newton concluiu não somente que a terra atrai maças e a lua, mais também 
que cada corpo no universo atrai os demais; esta tendência dos corpos de se moverem uns 
em direção aos outros é chamada de gravitação. Uma das aplicações da teoria da 
gravitação universal seria, por exemplo, os satélites em órbita da terra, com as mais 
diversas finalidades: observações meteorológicas, telecomunicações, pesquisas etc 
Newton propôs uma lei de força que denominamos lei de Newton da gravitação: 
toda partícula atrai outra partícula qualquer com uma força gravitacional de modulo. 
 
 
 
 
 
 
III.Gravitação nas proximidades da terra: 
 
Vamos supor que a terra seja uma esfera uniforme de massa M. O módulo da força 
gravitacional que a terra exerce sobre uma partícula de massa m, localizada fora da terra a 
uma distância r do centro da terra, é dada como: 
 
 
 
 
 
 
 
Se a Partícula for solta, ela cairá em direção ao centro da terra, em consequência da 
força gravitacional F, com uma aceleração que chamaremos de aceleração da gravidade ag. 
A segunda lei de Newton nos diz que os módulos de F e ag são relacionados por 
 
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Agora igualando as duas expressões e resolvendo para ag encontramos: 
 
 
 
 
 
 
Esse resultado é muito interessante e nos diz que o valor do campo gravitacional em 
um dado ponto depende somente da massa da terra e da distância do ponto ao centro da 
terra e não depende da massa de prova e mais: a intensidade do campo gravitacional 
terrestre varia com a altitude e é atrativo 
 
IV.Energia Potencial Gravitacional: 
 
A energia potencial gravitacional de um sistema de duas partículas de massas M e m, 
separadas por uma distância r, é igual ao negativo do trabalho que seria realizado pela 
força gravitacional de uma partícula agindo sobre a outra se a distância entre elas mudasse 
de infinita (muito grande) até r. Matematicamente essa energia é dada por: 
 
 
 
 
 
V.Leis de Kepler: 
 
Quando o ser humano iniciou a agricultura, ele necessitou de uma referência para 
identificar as épocas de plantio e colheita. Ao observar o céu, os nossos ancestrais 
perceberam que alguns astros descrevem um movimento regular, o que propiciou a eles 
obter uma noção de tempo e de épocas do ano. 
Primeiramente, foi concluído que o Sol e os demais planetas observados giravam em 
torno da Terra. Mas este modelo, chamado de Modelo Geocêntrico, apresentava diversas 
falhas, que incentivaram o estudo deste sistema por milhares de anos. 
Por volta do século XVI, Nicolau Copérnico (1473-1543) apresentou um modelo 
Heliocêntrico, em que o Sol estava no centro do universo, e os planetas descreviam órbitas 
circulares ao seu redor. No século XVII, Johanes Kepler (1571-1630) enunciou as leis que 
regem o movimento planetário, utilizando anotações do astrônomo Tycho Brahe (1546-
1601). 
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1º lei) Lei das Órbitas: Adotando-se o sol como referencial, todos os planetas movem-
se descrevendo órbitas elípticas, tendo o sol como um dos focos da elipse.2º lei) Lei das áreas: A linha que liga o planeta ao sol varre áreas iguais no plano da 
órbita do planeta em intervalos de tempo iguais; isto é a taxa dA/dt na qual ela varre a área 
A é constante. 
 
 
 
 
 
 
 
3ºLei) dos períodos: O quadrado do período do planeta (tempo para dar uma volta 
completa em torno do sol) é proporcional ao cubo da sua distância média do sol. 
 
 
 
 
 
 
VI.Curvatura no espaço: 
 
Até aqui explicamos a gravitação como resultado da força entre massas. Einstein 
mostrou que, em vez disso, a gravitação é devida a uma curvatura do espaço que é causada 
pelas massas. O espaço e o tempo estão entrelaçados, de maneira que a curvatura da qual 
Einstein falou é na verdade a curvatura do espaço-tempo, a combinação das quatro 
dimensões do nosso universo. 
É difícil ilustrar como o espaço (assim como o vácuo) pode ter curvatura. Uma 
analogia pode nos ajudar. Suponha que estejamos em órbita observando uma corrida na 
qual dois barcos partem do equador da terra separados de 20 km e se dirigem para o sul. 
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Para os navegantes, os barcos se deslocam ao longo das suas trajetórias planas e paralelas, 
entretanto, com o passar do tempo os barcos tendem a se aproximar até que nas 
proximidades do pólo sul, eles se tocam. Os navegantes em cada um dos barcos podem 
interpretar esta aproximação em termos de uma força que atua sobre os barcos. 
Observando-os do espaço, entretanto, podemos ver que os barcos se aproximam 
simplesmente por causa da curvatura da superfície da terra. Podemos constatar isso 
porque estamos observando a corrida de um local “fora” daquela superfície. 
Outra situação seria de duas maçãs separadas horizontalmente soltas da mesma altura 
acima da superfície da terra. Embora as maças aparentem se mover ao longo das trajetórias 
paralelas, elas na verdade se aproximam porque ambas caem em direção ao centro da 
terra. Podemos interpretar o movimento das maçãs em termos da força gravitacional 
exercida pela terra sobre as maçãs. Podemos também interpretar o movimento em termos 
da curvatura do espaço próximos da terra, uma curvatura devido á presença da massa da 
terra. Desta vez não podemos observar a curvatura por que não podemos nos posicionar 
“fora” do espaço curvo, como fizemos no exemplo dos barcos. Neste caso as maças se 
moveriam ao longo de uma superfície que se curva em direção á terra por causa da massa 
da terra. 
 
Desafio: Suponha um corpo de massa m lançado verticalmente para cima a partir da 
superfície da terra a uma distância R do centro da terra. Obtenha a expressão da energia 
potencial estudada no tópico IV. 
Sugestão: Use a expressão do trabalho mecânico na notação de vetorial 
 
Lista 2:Gravitação Universal 
 
 
 
 
 
 
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3.Noções de Mecânica dos Fluidos: 
 
Objetivo Geral: 
 
Analisar as leis ou Teoremas relacionados com os fluidos e interpretar a equação de 
Bernoulli em certos tipos de escoamentos 
 
I.Introdução: 
 
Fluidos compreendem líquidos e gases. Os líquidos escoam sob a ação da gravidade 
até preencherem as regiões mais baixas possíveis dos vasos que os contém. Os gases se 
expandem até ocuparem todo o volume do vaso, qualquer que seja a sua forma. As 
moléculas em um gás não têm restrição de movimento dentro do recipiente que o contém, 
e podem se deslocar através de toda essa região do espaço, já o líquido está restrito a se 
mover abaixo da sua superfície. 
Nos líquidos grande parte de suas moléculas não têm energia suficiente para vencer 
essa barreira imposta pela superfície, daí a contenção entre a sua superfície e as paredes do 
recipiente. A física dos fluídos é a base da engenharia hidráulica, um ramo de engenharia 
aplicada em muitos campos, tais como por exemplo: Um engenheiro médico poderia 
estudar o fluxo de sangue nas artérias de um paciente, já um engenheiro ambiental poderia 
analisar a drenagem de depósitos de lixo ou irrigação de plantações, por outro lado um 
engenheiro nuclear poderia estudar o escoamento de um fluído no sistema hidráulico de 
um reator nuclear, enfim a física dos fluidos que veremos agora está muito relacionado 
com o nosso dia a dia e pode ser dividida em duas formas: 
a) Fluido-estática: Estuda os fluidos em repouso 
b) Fluido-dinâmica: Estuda os fluidos em movimento 
 Os fluidos são formados por moléculas em constante movimento e com ocorrências 
de colisões entre elas. Desta forma consideram-se os fluidos como sendo formados por 
pequenas partículas, cada uma contendo muitas moléculas, trata-se o fluido como um meio 
contínuo composto de partículas fluidas que interagem entre si e o meio. Algumas 
aplicações típicas da Mecânica dos fluidos na engenharia, são: 
 Redes de distribuição de água, combustíveis (gás natural, gases de petróleo), de 
vapor de água 
 Ventilação em edifícios urbanos 
 Máquinas de conversão de energia (turbinas hidráulicas, turbinas eólicas, bombas 
hidráulicas) 
 Transferência de calor e massa em equipamentos térmicos (caldeiras, trocadores de 
calor, motores de combustão interna) 
 Transporte de veículos (resistência ao avanço, sustentação de aeronaves, controle de 
ruído e circulação de ar no interior de veículos. 
 Vibrações e esforços de origem aerodinâmica. 
 Estudos de qualidade de água e qualidade de ar, entre outro 
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II.Conceitos e Princípios: 
 
a) Fluido: É uma substância que não tem uma forma própria, assume o formato do 
recipiente, é toda substância capaz de fluir, isto é escoar facilmente, por isso os líquidos e 
gases são chamados de fluidos, ou ainda fluido é uma substância que se deforma 
continuamente, quando submetido a uma força tangencial constante. 
 
b) Tensão de Cisalhamento: É o quociente entre o módulo da componente tangencial da 
força e a área sobre a qual está aplicada, ou seja: 
 
 
 
 
 
c) Viscosidade absoluta ou Dinâmica: Propriedade que os fluídos têm de resistirem à força 
cisalhante, propriedade que indica a maior ou menor dificuldade de o fluido escoar. 
 
 
 
 
 
d) Massa específica: É definida como a relação entre a massa e o volume do corpo, cuja 
unidade é o Kg/m3 ou g/cm3 
 
 
 
 
 
e) Peso específico: É o peso do fluido por unidade de volume 
 
 
 
 
 
f) Pressão: Essa grandeza é calculada pela razão entre a intensidade da força e a área em 
que a força se distribui cuja unidade é o N/m2. 
 
 
 
 
 
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g) Pressão de uma coluna de líquido: Considere um cilindro que contém um líquido de 
densidade d, em um local onde a aceleração é g. O líquido contido no cilindro tem peso P e 
exerce sobre a base do recipiente uma pressão dada por: 
 
 
 
 
 
h) Pressão Atmosférica: Em torno da terra há uma camada de ar denominada atmosfera, 
constituída de uma mistura de gases (oxigênio, nitrogênio, gás carbônico, vapor d’agua etc) 
cuja altura é da ordem de 18km , essa massa de ar exerce pressão sobre todos os corpos no 
seu interior, pressão essa que é denominada pressão atmosférica. 
Nota: foi o físico italiano Torricelli que foi o primeiro que mediu essa pressão atmosférica, 
utilizando um tubo cheio de mercúrio de 1m de comprimento e chegando a seguinte 
conclusão: que a 1atm é igual a 1,01.105 N/m2 
i) Princípio de Pascal: Aumentando-se a pressão em um ponto de um líquido em equilíbrio, 
este aumento transmite-se integralmente a todos os pontos do líquido. 
nota: Uma das aplicaçõesdeste princípio seria a prensa hidráulica que consiste em dois 
cilindros verticais, de seções diferentes ligados por um tubo, no interior do qual existe um 
líquido que sustenta dois êmbolos de áreas também diferentes, o principal objetivo deste 
dispositivo é multiplicar a força, logo: 
 
 
 
 
j) Empuxo: Se você estiver sustentando em suas mãos um objeto e mergulhá-lo em um 
líquido qualquer, vai perceber que ele lhe aparecerá mais leve. Isto ocorre porque o líquido 
exerce sobre o corpo nele mergulhado uma força vertical, dirigida para cima, e assim você 
terá que fazer uma força menor para sustentar o objeto. O princípio de Arquimedes diz o 
seguinte: Todo corpo mergulhado em um líquido recebe um empuxo vertical, para cima, 
igual ao peso do líquido deslocado pelo corpo. 
 
 
 
 
 
nota: Este princípio também se aplica a um corpo imerso em um gás, por exemplo, quando 
um balão sobe na atmosfera, o empuxo do ar sobre ele é maior que o seu peso, ou seja, 
fisicamente a densidade média do balão é menor que a do ar. Um corpo poderá afundar ou 
emergir em um líquido se sua densidade sofrer variações, uma pessoa afunda na água, 
entretanto a mesma pode boiar, enchendo os pulmões de ar que leva a um aumento de 
volume da pessoa e sua densidade então diminui. Do mesmo jeito um peixe regula sua 
densidade expandindo ou contraindo uma câmara de ar interna que possui o que faz variar 
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sua densidade, desta maneira o mesmo consegue se mover para cima e para baixo na água. 
Um fato interessante é observado com o crocodilo: normalmente este animal flutua com 
boa parte do seu corpo fora d’água. Para se aproximar de sua presa sem ser percebido, o 
crocodilo engole pedras que aumentam sua densidade, fazendo com que ele afunde, 
ficando apenas parte de sua cabeça fora d’água. 
III. Tipos de Escoamentos: 
 Para uma descrição completa dos escoamentos, segue abaixo um fluxograma. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Quanto à direção da trajetória: 
 Laminar: Ocorre quando as partículas de um fluido movem-se ao longo de 
trajetórias bem definidas, apresentando lâminas ou camadas (daí o nome laminar) 
cada uma delas preservando suas características no meio. Este escoamento 
ocorre geralmente a baixas velocidades; 
 Turbulento: Ocorre quando as partículas do fluido não se movem ao longo de 
trajetórias bem definidas, as partículas descrevem trajetórias irregulares, com 
movimento aleatório, produzindo uma transferência de quantidade de 
movimento entre regiões de massa líquida. 
b) Quanto à variação no tempo: 
 Permanente: Neste tipo de escoamento as propriedades do fluido não variam no 
tempo, como por exemplos a velocidade e pressão. 
Escoamento dos Fluidos 
Quanto à 
direção da 
trajetória 
Quanto à 
variação na 
trajetória 
Quanto ao 
movimento de 
rotação 
Quanto à 
variação no 
tempo 
Quanto à 
dependência 
espacial 
 
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𝑑𝑝
𝑑𝑡
 = 0 
𝑑𝑣
𝑑𝑡
 = 0 
 Não-Permanente ou Transitório: Ocorre quando as propriedades do fluido em 
cada ponto apresentam variação com o tempo. 
c) Quanto à variação na trajetória: 
 Uniforme: Todos os pontos da mesma trajetória possuem a mesma velocidade, 
ocorre, por exemplo, em líquidos sob pressão constante em longas tubulações; 
 Variado: Todos os pontos da mesma trajetória possuem velocidades diferentes, 
ocorre, por exemplo, no golpe de aríete. 
d) Quanto ao movimento de Rotação: 
 Rotacional: Ocorre quando as partículas de um fluido, numa certa região 
apresentam rotação em relação a um eixo qualquer; 
 Irrotacional: Ocorre quando as partículas de um fluido, numa certa região não 
apresentam rotação em relação a um eixo qualquer. 
e) Quanto à dependência espacial: 
 Unidimensional: Sua propriedade se exprime em apenas uma dimensão, além do 
tempo. 
V= f(x,t) 
 Bidimensional: A velocidade é função das duas coordenadas x e y. 
V= f(x,y,t) 
 Tridimensional: A velocidade é função de x,y e z 
V= f(x,y,z,t) 
Importante: Reynolds verificou que o fato de um movimento ser laminar ou 
turbulento depende do valor do número adimensional dado por: 
 
 
 
 
 
 
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Reynolds verificou que, no caso de tubos, seriam observados os seguintes valores: 
 
 
 
 
 
 
 
IV. Vazão e Equação da Continuidade: 
Em hidráulica ou em mecânica dos fluidos, define-se vazão como a relação entre o 
volume e o tempo. A vazão pode ser determinada a partir do escoamento de um fluido 
através de determinada seção transversal de um conduto livre (canal, rio ou tubulação 
aberta) ou de um conduto forçado (tubulação com pressão) 
 
 
 
 
 
 
 Tomemos um tubo de fluxo em que a seção reta não seja constante, supondo o fluído 
ideal e, portanto incompressível, para qualquer intervalo de tempo, o volume que passa 
por S1 é igual ao que passa por S2, logo a vazão permanece constante e temos a equação da 
continuidade dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Campus- Maracanaú Prof: Carlos 22 
 
V. Velocidade e Aceleração nos Escoamentos de Fluidos: 
 A descrição de qualquer propriedade do fluido como densidade, pressão, velocidade 
e aceleração é formulada em função das partículas. A representação dos parâmetros dos 
fluidos em função das coordenadas espaciais denominam-se campo de escoamento. 
Existem dois métodos em mecânica dos fluidos para análise de movimento: 
a) Método de Lagrange: Descreve o movimento de cada partícula, acompanhando-a na 
trajetória total, este método apresenta grandes dificuldades nas aplicações práticas. 
b) Método de Euler: Consiste em adotar um certo intervalo de tempo, escolher um 
ponto do espaço e considerar todas as partículas que passam por esse ponto. Neste 
método a pressão, velocidade e aceleração serão funções das coordenadas e do 
tempo, por sua vez as coordenadas podem depender ou não do tempo. 
Admitindo que a velocidade V seja função da posição e do tempo, podemos encontrar 
com o uso de derivadas parciais as relações das velocidades e acelerações para o regime 
permanente e variado do movimento dos fluidos. Vejamos: 
a) Regime Permanente: Regime onde, nem a velocidade e nem suas componentes 
serão função do tempo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Campus- Maracanaú Prof: Carlos 23 
 
b) Regime Variado: Regime no qual existe variação com o tempo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VI. Tipos de Energia associadas a um fluido e Equação de Bernoulli: 
 
 Com base no fato de que a energia não pode ser criada nem destruída, mais apenas 
transformada, é possível construir uma equação que permitirá fazer o balanço das energias, 
da mesma forma como foi feita para as massas, por meio da equação da continuidade. A 
equação que permite tal balanço chama-se equação da energia e nos permitirá associada à 
equação da continuidade, resolver inúmeros problemas práticos como, por exemplo: 
determinação da potência de máquinas hidráulicas, determinação de perdas em 
escoamento, transformação de energia etc. 
 Outra equação muito usada na mecânica dos fluidos ou fenômenos de transportes é 
a equação de Bernouilli, que relaciona a pressão com o nível e a velocidade do fluido, suas 
hipóteses simplificadoras são: 
a) Regime permanente 
b) Sem máquina no trecho do escoamento 
c) Sem perdas por atrito 
d) Fluido incompressívele sem trocas de calor 
Tipos de energias associadas a um fluido e equação de Bernouilli 
 
a) Energia potencial: 
 
 
 
 
 
Campus- Maracanaú Prof: Carlos 24 
 
b) Energia cinética: 
 
 
 
 
 
c) Energia de pressão: 
 
 
 
 
 
d) Energia mecânica: 
 
 
 
Desafio: Deduza a equação de Bernouilli , usando o princípio de conservação de energia 
para ser aplicada em mecânica dos fluidos e Hidraúlica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Campus- Maracanaú Prof: Carlos 25 
 
Lista 3: Noções de Mecânica dos Fluidos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Campus- Maracanaú Prof: Carlos 26 
 
 
 
 
4.Análise das Oscilações: 
 
Objetivo Geral: 
 
Analisar o fenômeno do M.H.S e encontrar as relações de velocidade e aceleração com o 
uso de derivadas. 
 
I.Introdução: 
 
 O nosso mundo está repleto de oscilações, nas quais os objetos se movem 
repetidamente de uma lado para o outro. Muitas são curiosas ou desagradáveis, mas outras 
podem ser economicamente importantes ou perigosas. Eis alguns exemplos: Quando o 
vento balança uma linha de transmissão de energia elétrica, a linha às vezes oscila com 
tanta intensidade que pode romper, interrompendo o fornecimento energia elétrica, nos 
aviões a turbulência do ar que passa pelas asas faz com que oscilem, causando fadiga no 
metal que pode fazer com que as asas se quebrem, quando um trem faz uma curva, as 
rodas oscilam horizontalmente quando são forçadas a mudar de direção, produzindo um 
som peculiar. Quando acontece um terremoto nas vizinhanças de uma cidade, os edifícios 
sofrem oscilações tão intensas que podem desmoronar. O estudo e o controle da oscilações 
são dois dos objetivos importante da física e engenharia, neste capítulo vamos analisar o 
chamado Movimento Harmônico Simples e como se comporta os tipos de energia: Cinética 
e Potencial. 
II. Principais Conceitos: 
 Para um entendimento melhor do M.H.S segue abaixo alguns conceitos e fórmulas 
principais: 
a) Movimento Periódico ou Movimento Harmônico Simples: 
 
 
 
 
 
b) Período T: 
 
 
 
 
Campus- Maracanaú Prof: Carlos 27 
 
c) Frequência f: 
 
 
 
 
 
d) Velocidade Angular: 
 
 
 
 
 
e) Velocidade Linear: 
 
 
 
 
 
f) Aceleração Centrípeta: 
 
 
 
 
III. Trigonometria e Derivadas no M.H.S: 
 Considere um ponto P’ executando um movimento circular uniforme em volta de um 
círculo de raio R, cuja projeção é P e executa um movimento harmônico simples. Podemos 
usar relações trigonométricas e derivadas para encontrar as funções horárias do M.H.S. 
 
a) Função do Deslocamento: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Campus- Maracanaú Prof: Carlos 28 
 
b) Função da Velocidade: 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Função da Aceleração: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) Relação entre Deslocamento e Velocidade: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) Relação entre Deslocamento e Aceleração: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Campus- Maracanaú Prof: Carlos 29 
 
f) Gráficos do M.H.S: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Campus- Maracanaú Prof: Carlos 30 
 
IV. A lei do Movimento Harmônico Simples: 
 Uma vez conhecida a forma como a aceleração de uma partícula varia com o tempo, 
podemos aplicar a segunda lei de Newton para determinar qual é a força que deve agir 
sobre a partícula para que ela adquira essa aceleração. O M.H.S é o movimento executado 
por uma partícula sujeita a uma força de módulo proporcional ao deslocamento da 
partícula e orientada no sentido oposto. Iremos encontrar a frequência angular e o período 
do M.H.S. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
V. Energia no M.H.S: 
 Uma partícula em M.H.S possui em qualquer instante, uma energia cinética e energia 
potencial, caso não haja atrito a energia mecânica permanece constante mesmo que a 
cinética e a potencial variem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Campus- Maracanaú Prof: Carlos 31 
 
VI. Equação Diferencial do M.H.S: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Campus- Maracanaú Prof: Carlos 32 
 
VII. Equação Diferencial do M.H.S.A: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Campus- Maracanaú Prof: Carlos 33 
 
Desafio: Dado um corpo de massa m em M.H.S no eixo X, mostre que a energia mecânica 
se conserva. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lista 4:Análise das Oscilações 
 
 
 
 
Campus- Maracanaú Prof: Carlos 34 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Campus- Maracanaú Prof: Carlos 35 
 
5.Estudo das Ondas: 
 
Objetivo Geral: 
 
Compreender os tipos de Ondas e deduzir a equação de onda 
 
I.Introdução: 
 
 Considere duas pessoas segurando as extremidades de uma corda. Se uma delas fizer 
um movimento vertical brusco, para cima e depois para baixo, causará uma perturbação na 
corda, originando uma sinuosidade, que se deslocará ao longo da corda aproximando-se da 
outra pessoa, enquanto a extremidade que recebeu o impulso retorna à posição inicial, por 
ser a corda um meio elástico. Neste exemplo, a perturbação denomina-se pulso, o 
movimento do pulso denomina-se onda, a mão da pessoa que faz o movimento é a fonte e 
a corda onde se propaga a onda é denominado meio. Se provocarmos vários pulsos 
sucessivos com o movimento de sobe-desce, teremos várias ondas propagando-se na 
corda, uma atrás da outra, formando o que se chama de um trem de ondas. Fisicamente 
podemos definir onda como o movimento causado por uma perturbação que se propaga 
através de um meio. Uma onda transmite energia sem o transporte de matéria. 
II. Classificação das Ondas: 
Quanto à Natureza: 
a) Ondas Mecânicas: São aquelas que precisam de um meio para se propagar, como por 
exemplo ondas em cordas e ondas sonoras 
b) Ondas Eletromagnéticas: São geradas por cargas elétricas e não necessitam de um 
meio para se propagarem, como por exemplo ondas de rádio, de televisão, de luz, 
ondas de radar 
Quando à direção de Propagação: 
a) Unidimensional: Se propagam em apenas uma direção, como por exemplo ondas em 
cordas. 
b) Ondas Bidimensionais: Se propagam num plano, como por exemplo ondas na 
superfície de um lago. 
c) Ondas Tridimensionais: Se propagam em todas as direções, como por exemplo ondas 
sonoras 
Quanto à direção de Vibração: 
a) Transversais: São aquelas cujas vibrações são perpendiculares à direção de 
propagação, como por exemplo ondas em cordas. 
b) Longitudinais: São aquelas onde as vibrações coincidem com a direção de 
propagação, como por exemplo ondas sonoras. 
 
 
 
 
 
Campus- Maracanaú Prof: Carlos 36 
 
III. Ondas Senoidais e seus elementos: 
 Para descrever uma onda em uma corda, precisamos de uma função que forneça a 
forma da onda, isso significa que precisamos de uma relação da forma y = h(x,t) , onde y é o 
deslocamento transversalde um elemento da corda e h é uma função da posição x e do 
tempo t do elemento de corda. Vamos considerar uma onda senoidal se propagando no 
sentido positivo do eixo x, quando a onda passa por elementos da corda, os elementos 
oscilam paralelamente ao eixo y. Em um instante t, o deslocamento y do elemento da corda 
situado na posição x é dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Campus- Maracanaú Prof: Carlos 37 
 
IV. Velocidade de uma Onda em uma Corda Esticada: 
 
 Considere uma corda de massa m e comprimento L, sob a ação de uma força de 
tração F. Suponha que a mão de uma pessoa, agindo na extremidade livre da corda, realize 
um movimento vertical, periódico, de sobe e desce. Uma onda passa a se propagar 
horizontalmente com velocidade v dada por: 
 
 
 
 
 
 
Desafio: Usando derivadas parciais e partindo da equação de uma onda senoidal explicada 
no tópico III, deduza a equação diferencial parcial da Onda. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Campus- Maracanaú Prof: Carlos 38 
 
Lista 5: Estudo das Ondas 
 
 
 
 
 
 
 
 
Campus- Maracanaú Prof: Carlos 39 
 
 
 
 
6.Temperatura e Calor: 
 
Objetivo Geral: 
Compreender o conceito de temperatura e calor, juntamente com os processos de 
transferência de calor 
 
I. Introdução: 
 De todas as grandezas físicas, a temperatura é a que produz maior impacto na 
biosfera. A existência da vida na terra só é possível dentro de uma estreita faixa de 
temperatura, pois cada célula, cada sistema biológico e cada ser vivo altera o seu 
metabolismo quando a temperatura muda, como por exemplo ocorre um aumento na 
temperatura do corpo para combater uma “invasão” de bactérias ou de vírus, desta forma 
um aumento anormal da temperatura indica que existe a possibilidade de uma infecção. 
 Neste capítulo trataremos sobre a temperatura e o calor, que são duas grandezas 
escalares de fundamental importância para o entendimento da Termodinâmica. 
II. Conceito de temperatura: 
 O nível de energia interna de um corpo depende da velocidade com que suas 
partículas se movimentam. Se o movimento é rápido, o corpo possui um nível de energia 
interna alto; se o movimento é lento, o corpo tem nível de energia interna baixo. Com base 
nesta explicação a temperatura é uma grandeza escalar que mede o estado de agitação das 
partículas de um corpo, caracterizando o seu estado térmico. Fisicamente a temperatura 
pode ser medida em 3 escalas, cujas relações estão abaixo. 
 
 
 
Campus- Maracanaú Prof: Carlos 40 
 
Notas: 
 
 
 
 
III. Dilatação Térmica: 
 Um dos efeitos da variação da temperatura é provocar a variação de um corpo, de 
forma geral, o aumento da temperatura de um corpo provoca neste um aumento de suas 
dimensões, em função da maior agitação apresentada pelos seus átomos, ocasionando 
maior número de choques entre eles e, consequentemente, aumentando o espaçamento 
entre eles. O estudo da dilatação térmica dos sólidos é experimental. Para facilitar esse 
estudo, costuma-se dividir a dilatação em 3 tipos, conforme o número de dimensões que 
são analisadas 
a) Dilatação Linear: 
 
 
 
 
b) Dilatação Superficial: 
 
 
 
 
c) Dilatação Volumétrica: 
 
 
 
Campus- Maracanaú Prof: Carlos 41 
 
IV. Calorimetria: 
 Conceito de calor: Dados dois corpos de temperaturas diferentes, dizemos que o 
calor é a energia que é transferida do corpo de maior temperatura para o corpo de menor 
temperatura, ou seja o calor não é a energia térmica contida no corpo, mas sim uma 
energia em trânsito, devido exclusivamente da diferença de temperatura entre eles. 
 Fisicamente, temos dois tipos de calor: 
a) Calor sensível: Aquele que ocorre apenas com variação de temperatura. 
Forma simples Forma diferencial 
 
 
 
b) Calor latente: ocorre com mudança de fase 
 
 
 
 A caloria é a quantidade de calor necessária para elevar a temperatura de um grama 
para que sua temperatura varie de 1ºC. 
 Capacidade Térmica: Quociente entre a quantidade de calor recebido ou cedido pelo 
corpo e a variação de temperatura. 
 
 
 
Princípio da troca de calor: Quando dois ou mais corpos, com temperaturas 
diferentes, são postos em contato, eles trocam calor entre si, até atingir o equilíbrio 
térmico. 
 
 
 
Campus- Maracanaú Prof: Carlos 42 
 
Mudanças de Fase: Do ponto de vista da química um sólido é formado por átomos 
agrupados de forma regular constituindo a rede cristalina. As ligações interatômicas são 
forças de atração (forças eletrostáticas) que permitem aos átomos vibrarem em torno de 
uma posição de equilíbrio. Com o aumento da temperatura, há aumento das vibrações dos 
átomos. Assim, a distância média entre os átomos aumenta e, consequentemente, 
diminuem as forças de atração entre eles. Quando a temperatura de fusão do sólido é 
atingida essa ligações são rompidas, a rede cristalina desaparece e o corpo passa para fase 
líquida. 
 
Curvas de Aquecimento ou Resfriamento: São curvas que relacionam a variação de 
temperatura sofrida por um corpo com a quantidade de calor trocada por ele. 
 
 
 
 
Campus- Maracanaú Prof: Carlos 43 
 
V. Propagação de calor: 
 A propagação de calor entre dois sistemas pode ocorrer através de 3 processos 
diferentes: a condução, a convecção e a irradiação. 
 A condução térmica é um processo lento de transmissão de energia, de molécula 
para molécula, sem que elas sejam deslocadas. 
 A convecção é o movimento das massas de ar quente e frio. 
 A irradiação é a propagação de energia através de ondas eletromagnéticas e é a única 
que pode ocorrer no vácuo. 
 A propagação de calor por condução difere de substância para substância, mesmo 
entre os metais (bons condutores) encontramos aqueles que conduzem melhor o calor do 
que outros, como por exemplo, o cobre conduz melhor o calor que o alumínio. A prata é 
um dos melhores condutores de calor. Existem, no entanto substâncias em que a condução 
térmica ocorre de modo pouco intenso, sendo denominados maus condutores ou isolantes 
térmicos, como por exemplo a madeira, tijolo de barro, gelo etc... 
 Podemos calcular o fluxo de calor que passa por uma superfície em um intervalo de 
tempo, como sendo a razão entre a quantidade de calor e a variação de tempo, 
matematicamente, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Campus- Maracanaú Prof: Carlos 44 
 
VI. Lei de Fourier: 
 Considere uma placa com área da face igual a A e de espessura l, cujas faces são 
mantidas nas temperaturas TQ = T1 e TF = T2 por um reservatório quente e um frio, como 
mostra a figura abaixo: 
 
 
 
 
 Segundo a lei de Fourier, o fluxo de calor é diretamente proporcional a diferença de 
temperatura e a área da secção transversal, mais é inversamente proporcional ao 
comprimento, essa lei é expressa da seguinte forma: 
Forma simples Forma diferencial 
 
 
 
 
 
VII. Lei de Resfriamento de Newton: 
 A taxa de diminuição da temperatura de um corpo é proporcional à diferença de 
temperatura entre o corpoe o meio ambiente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Campus- Maracanaú Prof: Carlos 45 
 
Lista 6:Temperatura e Calor