NÚMEROS COMPLEXOS AFA 1998 A 2017

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NÚMEROS COMPLEXOS 
RESUMO TEÓRICO E QUESTÕES DA AFA DE 1998 A 2017 
 
 
UNIDADE IMAGINÁRIA 
 
2i 1 
 
 
NÚMERO COMPLEXO 
 
z x y i  
, onde 
x, y
 e 
i
 é a unidade imaginária 
 
Parte real de 
z
: 
 x Re z
 
Parte imaginária de 
z
: 
 y Im z
 
A notação acima é denominada forma algébrica do número complexo. 
Conjunto dos números complexos: 
 2z x y i | x, y i 1       
 
 
IGUALDADE 
 
Sejam 
z, w
, então 
 
       z w Re z Re w Im z Im w    
 
 
POTÊNCIAS DE 
i
 
 
0
4k 0
1
4k 1 1
2
4k 2 2
3 2
4k 3 3
4 3 2
i 1
i i 1
i i
i i i
i 1 , k
i i 1
i i i ( 1) i i
i i i
i i i ( i) i i ( 1) 1



 
   
  
   
    
   
       
   
          
 
 
Ex.: 273 4.68 1 1i i i i   
 
MÓDULO 
 
Seja 
z x y i  
, 
x, y
, então o módulo de 
z
 é denotado por 
z
 e dado por 
 
2 2z x y 
 
 
Propriedades 
 
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z w z w  
 
z z
w w

 nnn z z   
 
OPERAÇÕES ALGÉBRICAS 
 
Sejam 
z a b i  
 e 
w c d i  
, 
a,b,c,d
. 
 
Adição e subtração 
 
   z w a c b d i     
 
   z w a c b d i     
 
 
Ex.: 
z 2 4i 
 e 
w 3 2i 
 
    z w 2 3 4 2 i 5 2i        
 
    z w 2 3 4 2 i 1 6i        
 
 
Multiplicação 
 
      2z w a bi c di ac adi bci bdi ac bd ad bc i           
 
 
Ex.: 
z 2 4i 
 e 
w 3 2i 
 
    2z w 2 4i 3 2i 6 4i 12i 8i 14 8i           
 
 
Divisão 
 
2 2 2 2
z a bi a bi c di ac bd bc ad
z w i
w c di c di c di c d c d
    
      
    
 
 
Ex.: 
z 2 4i 
 e 
w 3 2i 
  2
2 2
2 4i 2 4i 3 2i 6 8i 4i 12i 2 16i 2 16
z w i
3 2i 3 2i 3 2i 13 13 133 2
       
        
   
 
 
CONJUGADO 
 
Seja 
z x y i  
, 
x, y
, então o conjugado de 
z
 é denotado por 
z
 e dado por 
 
z x y i  
 
 
Propriedades: 
 
 z z 2Re z 
 
 z z 2Im z i  
 
   22 2z z x yi x yi x y z      
 
z w z w  
 
z w z w  
 z z
w w
 
 
 
 
1
2
z
z
z
 
 
 
 
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PLANO DE ARGAND - GAUSS 
 
 
O ponto 
 P x, y
 é denominado afixo do número complexo 
z x yi 
. 
 x Re z
 
 y Im z
 
Módulo: 
2 2OP z x y    
 
 
LUGARES GEOMÉTRICOS 
 
A distância entre os afixos dos números complexos 
z
 e 
0z
 é 
0z z
. 
 
 
 
O conjunto dos pontos do plano complexo tais que 
0z z r 
, onde 
*r 
, é uma circunferência de centro em 
0z
 e raio 
r
. 
 
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O conjunto dos pontos do plano complexo tais que 
1 2z z z z  
 é a mediatriz do segmento determinado 
pelos afixos de 
1z
 e 
2z
. 
 
 
 
O conjunto dos pontos do plano complexo tais que 
1 2z z z z 2a   
, onde 
1 22a z z 
, é uma elipse de 
focos 
1z
 e 
2z
, e eixo maior 
2a
. 
 
O conjunto dos pontos do plano complexo tais que 
1 2z z z z 2a   
, onde 
1 22a z z 
, é um ramo de 
hipérbole (ramo mais próximo de 
2z
) de focos 
1z
 e 
2z
, e eixo real 
2a
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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FORMA TRIGONOMÉTRICA 
 
 
Módulo: 
2 2OP z x y    
 
Forma trigonométrica: 
 
x y
z x yi i cos sen i cis
 
              
 
 0,2 
 é chamado de argumento principal do número complexo 
z
. 
 
Conjugado de um número complexo na forma trigonométrica: 
 z r cis z r cis     
 
 
Multiplicação e divisão de complexos na forma trigonométrica 
 
   
z r cis z r
z w rs cis e cis
w s cis w s
   
         
  
 
 
Inverso de um número complexo: 
 
 
2 2
1 1 1 r cis z
cis
z r cis r r z
 
    
 
 
 
PRIMEIRA FÓRMULA DE DE MOIVRE 
 
 n nz cis z cis n     
 
 
SEGUNDA FÓRMULA DE DE MOIVRE 
 
 n n
2k
z cis z cis , k 0,1,2, , n 1
n
 
       
 
 
 
 
 
 
 
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RAÍZES DA UNIDADE 
 
As raízes de nz 1 , *n , são denominadas raízes n-ésimas da unidade e são dadas por: 
 
 
k
2k
cis , k 0,1,2, , n 1
n

   
 
 
Os afixos das raízes n-ésimas da unidade são vértices de um polígono regular de gênero 
n
 inscrito em uma 
circunferência de raio 
1
. 
 
Observe que 
p q p q   
. 
 
 
ENUNCIADOS DOS EXERCÍCIOS 
 
 
1) (AFA 1998) A solução da equação 
   
x
10 21
10 68 4i 2 2 17 4i 2
 
    
 
, 
i 1 
 é: 
a) 
21 11
 
b) 
2
 
c) 
31 12
 
d) 
4
 
 
2) (AFA 1999) Os valores reais de 
x
, para os quais a parte real do número complexo 
x 2i
z
x i



 é negativa, 
pertencem ao conjunto (intervalo) 
a) 
 
. 
b) 
 0
. 
c) 
 1,1
. 
d) 
 2, 2
. 
 
3) (AFA 2000) Seja 
z
 o conjugado do número complexo 
1 i
z
2 2
 
. A sequência de todos os valores de 
n
, 
tal que 
  nz
 seja um imaginário puro, é uma progressão 
a) aritmética com primeiro termo igual a 
2
 e razão 
8
. 
b) geométrica com primeiro termo igual a 
2
 e razão 
2
. 
c) aritmética com primeiro termo igual a 
2
 e razão 
4
. 
d) geométrica com primeiro termo igual a 
2
 e razão 
1
. 
 
4) (AFA 2000) Considere o polinômio 
  2P z z 2z iw  
, 
w
. Se 
 P 3 2i 1 10i  
, onde 
i 1 
, então 
uma forma trigonométrica de 
w
 é: 
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a) 
2 2 cos isen
4 4
  
 
 
 
b) 
3 3
2 2 cos i sen
4 4
  
 
 
 
c) 
5 5
2 2 cos i sen
4 4
  
 
 
 
d) 
7 7
2 2 cos i sen
4 4
  
 
 
 
 
5) (AFA 2001) A soma dos treze primeiros termos da progressão geométrica 
 2i, 2,
, onde 
i 1 
, é 
a) 
0
 
b) 
2i
 
c) 
2i
 
d) 
2i 2
 
 
6) (AFA 2002) Considere no campo complexo uma curva tal que 
2
Im k
z
 
 
 
, onde z é um complexo não nulo. 
Se 
k 2
, tem-se sua representação gráfica dada pelo 
a) círculo de raio 
1
4
 e tangente ao eixo real. 
b) círculo de raio 
1
2
 e tangente ao eixo imaginário. 
c) conjunto de pontos do plano complexo exterior ao círculo de raio 
1
2
 e centro 
1
, 0
2
 
 
 
 
d) círculo de raio 
1
2
 e tangente ao eixo real. 
 
7) (AFA 2002) Os pontos A, B e C são afixos das raízes cúbicas do número complexo 
z
. Se 
n
 é o menor 
natural não nulo para oqual nz é um real positivo, então n é igual a 
 
a) 
8
 
b) 
6
 
c) 
4
 
d) 
2
 
 
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8) (AFA 2003) Analise as alternativas e marque a correta. 
a) Dado o complexo 
z m mi 
, onde *m e i é a unidade imaginária, pode-se dizer que o afixo de  2z é, 
em relação à origem, simétrica do afixo 
 22m ,0
. 
b) No plano de Argand-Gauss os complexos 
z
, tais que 
z 1 1 
, são representados pelos pontos do círculo de 
centro 
 0,1
 e raio unitário. 
c) Se 
n
 e 
i
 a unidade imaginária, então  8n 1 ni i  é um número real maior do que zero. 
d) Se 
z a bi 
 ( *a , b e i é a unidade imaginária) é um complexo, então z z é sempre um número 
complexo imaginário puro. 
 
9) (AFA 2004) Analise as sentenças abaixo, classificando-as em VERDADEIRA(S) ou FALSA(S), 
considerando 
i 1 
. A seguir, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta. 
I) A representação geométrica dos números complexos 
z
 tais que 
 z 1 i 2  
 é um círculo de centro 
 C 1, 1
 e raio 
2
. 
II) A forma trigonométrica de 
1 i
z
i


 é 
7 7
z 2 cos isen
4 4
  
  
 
. 
III) Se 
z cos isen  
, então 2z z i   ,  . 
a) V, V, V 
b) V, V, F 
c) F, F, V 
d) V, F, V 
 
10) (AFA 2005) Considere 2i 1  e 
 0, 2 
, 
2

 
 e 
3
2

 
. Se 
z tg i  
, então a soma dos valores de 

 para os quais 
z 2
 é igual a 
a) 
2
 
b) 
3
 
c) 
4
 
d) 
5
 
 
11) (AFA 2005) Considere o número complexo z tal que 
z z 2 i  
, onde 
i 1 
 e identifique entre as 
opções abaixo, as que são corretas. 
(01) O afixo de 
z
 é ponto do 1o quadrante. 
(02) 10023
z
4
 
 
 
 é real positivo. 
(04) O menor inteiro positivo 
n
 para o qual n1
z
4
 
 
 
 é real negativo pertence ao intervalo 
 2,5
. 
A soma das opções corretas é igual a 
a) 
6
 
b) 
5
 
c) 
3
 
d) 
2
 
 
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12) (AFA 2006) Considere o número complexo 
1 i 3
z
2 2
 
 e calcule nz . No conjunto formado pelos quatro 
menores valores naturais de 
n
 para os quais nz é um número real, 
a) existem números que estão em progressão aritmética de razão igual a 
4
. 
b) há elementos cuja soma é igual a 
30
. 
c) existe um único número ímpar. 
d) existe apenas um elemento que é número primo. 
 
13) (AFA 2006) Analise as afirmativas abaixo referentes aos números complexos 
3 i
z
2 2
 
 e 
w 1 i 
. 
(01) 10z w é um número imaginário puro. 
(02) O afixo de 1w é o ponto 1 1
,
2 2
 
 
 
. 
(04) A forma trigonométrica de 
11 11
z cos i sen
6 6
 
 
. 
(08) As raízes quartas de 
w
 são vértices de um quadrado inscrito numa circunferência de centro na origem e 
raio 
4r 2
. 
Somando-se os números associados às afirmativas verdadeiras obtém-se um total 
t
, tal que 
a) 
 t 1, 4
 
b) 
 t 5,8
 
c) 
 t 9,12
 
d) 
 t 13,15
 
 
14) (AFA 2007) Seja 
z
 um número complexo não nulo e 
i
 a unidade imaginária ( 2i 1  ), z i . O conjunto 
de todos os valores de 
z
, para os quais 
z i
1 i z

 
 é um número real, representa um(a) 
a) elipse. 
b) hipérbole. 
c) circunferência. 
d) círculo. 
 
15) (AFA 2008) Considere no Plano de Argand-Gauss os números complexos 
1z x 2i  
, 
2z 2i 
, 
3z 2 3i  
 e 
4z x yi 
, onde 
x
 e 
y
 são números reais quaisquer e 2i 1  . Sobre o conjunto desses números 
complexos que atendem simultaneamente às condições 
I) 
   1 2 1 2Re z z Im z z  
 
II) 
3 4z z 2 
 
É correto afirmar que 
a) possui vários elementos que são números reais. 
b) seu elemento 
z
 de menor módulo possível possui afixo que pertence à reta 
 r 2x 3y 0 
. 
c) representa uma região plana cuja área é menor que 
6
 unidades de área. 
d) possui vários elementos que são números imaginários puros. 
 
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16) (AFA 2009) Considere todos os números complexos 
z x yi 
, onde 
x
, 
y
 e 
i 1 
, tais que 
2
z 1
1 i
  

. Sobre esses números complexos 
z
, é correto afirmar que 
a) nenhum deles é imaginário puro. 
b) existe algum número real positivo. 
c) apenas um é número real. 
d) são todos imaginários. 
 
17) (AFA 2010) Sejam 
z x yi 
 ( *x , *y e i a unidade imaginária), z o conjugado de z e  o lugar 
geométrico dos pontos 
 P x, y
 do plano cartesiano para os quais 
z z 2x 3  
. Se 
A
 e 
B
 são os pontos de 
interseção de 

 com o eixo 
Oy
 e se 
A'
 é o ponto de interseção de 

 com o eixo 
Ox
 que possui a menor 
abscissa, então a área do triângulo 
A 'AB
 é, em unidades de área, igual a 
a) 
2 3
 
b) 
2 2
 
c) 
3
 
d) 
2
 
 
18) (AFA 2011) O número complexo 
z a bi 
 é vértice de um triângulo equilátero, como mostra a figura 
abaixo. 
 
É correto afirmar que o conjugado de 2z tem afixo que pertence ao 
a) 1º quadrante. 
b) 2º quadrante. 
c) 3º quadrante. 
d) 4º quadrante. 
 
19) (AFA 2012) O valor de 
n
 tal que 
 
n
j
j 1
1 i 31 i

  
, sendo 
i
 a unidade imaginária, é 
a) par menor que 
10
. 
b) primo maior que 
8
. 
c) ímpar menor que 
7
. 
d) múltiplo de 
9
. 
 
20) (AFA 2013) Considerando os números complexos 
1z
 e 
2z
, tais que: 
 • 
1z
 é a raiz cúbica de 
8i
 que tem afixo no segundo quadrante 
 • 
2z
 é a raiz da equação 4 2x x 12 0   e 
 2Im z 0
 
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Pode-se afirmar que 
1 2z z
 é igual a 
a) 
2 3
 b) 
3 3
 c) 
1 2 2
 d) 
2 2 2
 
 
21) (AFA 2014) Considere no plano complexo, o conjunto dos números 
z x yi 
; 
 x, y 
 e 2i 1  que 
satisfazem a condição 
z 2z 1 
. 
É FALSO afirmar que 
a) este conjunto pode ser representado por um círculo de raio igual a 
1
3
. 
b) 
z 1 
 é o elemento de maior módulo, neste conjunto. 
c) 
1
z
3
 
 é o elemento de maior argumento, neste conjunto. 
d) não existe 
z
, neste conjunto, que seja imaginário puro. 
 
22) (AFA 2015) Considere os números complexos 
1z x i 
, 
2
1
z i
2

, 
3z 1 2i  
 e 
4z x yi 
 em que 
x
, 
*y 
 e 2i 1  e as relações: 
I. 
   1 2 1 2Re z z Im z z  
 
II. 
3 4z z 5 
 
O menor argumento de todos os complexos 
4z
 que satisfazem, simultaneamente, as relações I e II é 
a) 
6

 b) 
0
 c) 
2

 d) 
3

 
 
23) (AFA 2016) Considere no Plano de Argand-Gauss os números complexos 
z x yi 
, onde 
i 1 
 e cujos 
afixos são os pontos 
  2P x, y 
. Dada a equação 
 4z 1 i 1  
, sobre os elementos que compõem seu 
conjunto solução, é INCORRETO afirmar que 
a) apenas um deles é imaginário puro. 
b) todos podem ser escritos na forma trigonométrica. 
c) o conjugado do que possui maior argumento é 
1 2i
. 
d) nem todos são números imaginários. 
 
24) (AFA 2017) Resolva a equação 3z 1 0  no conjuntodos números complexos. Considerando as raízes 
encontradas, analise as proposições abaixo e classifique-as em V (VERDADEIRA) ou F (FALSA). 
( ) A equação possui três raízes de multiplicidade 1. 
( ) Os afixos das raízes formam um triângulo equilátero cuja área é 
3 3
2
 unidades de área. 
( ) Duas das raízes são conjugadas. 
( ) Todas as raízes têm o mesmo módulo. 
A sequência correta é 
a) V – F – V – V b) V – V – F – V c) F – F – V – F d) V – F – V – F 
 
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RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS 
 
 
1) (AFA 1998) A solução da equação 
   
x
10 21
10 68 4i 2 2 17 4i 2
 
    
 
, 
i 1 
 é: 
a) 
21 11
 
b) 
2
 
c) 
31 12
 
d) 
4
 
 
RESOLUÇÃO: a 
      
10
10 10 2 2
1068 4i 2 68 4i 2 68 4 2 10      
 
      
21
21 221 2 212 17 4i 2 2 17 4i 2 2 17 4 2 10      
 
     
x
x10 21 10 21 11x 21 2110 68 4i 2 2 17 4i 2 10 10 10 10 10 11x 21 x
11
 
             
 
 
 
 
2) (AFA 1999) Os valores reais de 
x
, para os quais a parte real do número complexo 
x 2i
z
x i



 é negativa, 
pertencem ao conjunto (intervalo) 
a) 
 
. 
b) 
 0
. 
c) 
 1,1
. 
d) 
 2, 2
. 
 
RESOLUÇÃO: a 
  
 
 
 
2 2 2
2 2 2 2
2
2
2
x 2i x i x 2i x i x xi 2xi 2i x 2 3xi
z
x i x i x i x 1 x 1
x 2
Re z 0 x 2 0 2 x 2 x 2, 2
x 1
        
    
     

              

 
 
 
3) (AFA 2000) Seja 
z
 o conjugado do número complexo 
1 i
z
2 2
 
. A sequência de todos os valores de 
n
, 
tal que 
  nz
 seja um imaginário puro, é uma progressão 
a) aritmética com primeiro termo igual a 
2
 e razão 
8
. 
b) geométrica com primeiro termo igual a 
2
 e razão 
2
. 
c) aritmética com primeiro termo igual a 
2
 e razão 
4
. 
d) geométrica com primeiro termo igual a 
2
 e razão 
1
. 
 
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RESOLUÇÃO: c 
1 i 1 2 2 1 1
z i cis z cis
2 2 2 2 4 42 2 2
    
          
   
 
     
n nn n n n
z 2 cis 2 cos isen
4 4 4
    
    
 
 
Para que 
  nz
 seja imaginário puro, devemos ter 
n n
cos 0 k , k n 2 4k, k
4 4 2
  
         
 
Logo, 
n
 deve pertencer a uma P.A. de primeiro termo 
2
 e razão 
4
. 
 
 
4) (AFA 2000) Considere o polinômio 
  2P z z 2z iw  
, 
w
. Se 
 P 3 2i 1 10i  
, onde 
i 1 
, então 
uma forma trigonométrica de 
w
 é: 
a) 
2 2 cos isen
4 4
  
 
 
 
b) 
3 3
2 2 cos i sen
4 4
  
 
 
 
c) 
5 5
2 2 cos i sen
4 4
  
 
 
 
d) 
7 7
2 2 cos i sen
4 4
  
 
 
 
 
RESOLUÇÃO: d 
     2P 3 2i 3 2i 2 3 2i iw 1 8i iw 1 10i iw 2 2i w 2i 2                  
 
2 2 7
w 2 2 i 2 2cis
2 2 4
  
    
 
 
 
 
5) (AFA 2001) A soma dos treze primeiros termos da progressão geométrica 
 2i, 2,
, onde 
i 1 
, é 
a) 
0
 
b) 
2i
 
c) 
2i
 
d) 
2i 2
 
 
RESOLUÇÃO: b 
1a 2i
; 
2a 2 
 
2
1
a 2
q i
a 2i

  
 
     13 131
13
a q 1 2i i 1 2i i 1
S 2i
q 1 i 1 i 1
    
   
  
 
 
 
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6) (AFA 2002) Considere no campo complexo uma curva tal que 
2
Im k
z
 
 
 
, onde z é um complexo não nulo. 
Se 
k 2
, tem-se sua representação gráfica dada pelo 
a) círculo de raio 
1
4
 e tangente ao eixo real. 
b) círculo de raio 
1
2
 e tangente ao eixo imaginário. 
c) conjunto de pontos do plano complexo exterior ao círculo de raio 
1
2
 e centro 
1
, 0
2
 
 
 
 
d) círculo de raio 
1
2
 e tangente ao eixo real. 
 
RESOLUÇÃO: d 
 
2 2 2 2 2 2
2 x yi2 2 2x 2y
z x yi i
z x yi x y x y x y

      
   
 
2 2
2 2 2 2 2
2 2
2 2y 1 1
Im 2 2 2y 2x 2y x y y 0 x y
z 2 2x y
     
                   
     
 
A última equação representa um círculo de centro 
1
0,
2
 
 
 
 e raio 
1
2
, que tangencia o eixo real. 
 
 
7) (AFA 2002) Os pontos A, B e C são afixos das raízes cúbicas do número complexo 
z
. Se 
n
 é o menor 
natural não nulo para o qual nz é um real positivo, então n é igual a 
 
a) 
8
 
b) 
6
 
c) 
4
 
d) 
2
 
 
RESOLUÇÃO: c 
O ponto 
A
 é afixo do complexo 
w 2cis30
, então  33 3z w 2cis30 2 cis90 8i   . 
 nn n nz 8i 8 i  
 
O menor natural 
n
 para o qual nz é um real positivo, então n 4 . 
 
 
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8) (AFA 2003) Analise as alternativas e marque a correta. 
a) Dado o complexo 
z m mi 
, onde *m e i é a unidade imaginária, pode-se dizer que o afixo de  2z é, 
em relação à origem, simétrica do afixo 
 22m ,0
. 
b) No plano de Argand-Gauss os complexos 
z
, tais que 
z 1 1 
, são representados pelos pontos do círculo de 
centro 
 0,1
 e raio unitário. 
c) Se 
n
 e 
i
 a unidade imaginária, então  8n 1 ni i  é um número real maior do que zero. 
d) Se 
z a bi 
 ( *a , b e i é a unidade imaginária) é um complexo, então z z é sempre um número 
complexo imaginário puro. 
 
RESOLUÇÃO: c 
a) FALSA 
       2 2 22 2 2z m mi z m mi m 1 i m 2i 2m i          
 
O afixo de 
 2z
 é 
 20, 2m
. 
O simétrico de 
 22m ,0
 em relação à origem é 
 22m ,0
. 
b) FALSA 
A inequação 
z 1 1 
 representa os pontos 
z
 cuja distância ao complexo 
1
, que está associado ao ponto 
 1,0
, 
é menor do que 
1
. Assim, representa um círculo de centro 
 1,0
 e raio 
1
. 
c) VERDADEIRA 
           
48 8 8 8 2 4n 1 n n n n 8ni i i i i i i 1 i 1 i 1 2i 16 
               
 
d) FALSA 
   z z a bi a bi 2bi     
 
Se 
b 0
, então 
z z 0  
. 
 
 
9) (AFA 2004) Analise as sentenças abaixo, classificando-as em VERDADEIRA(S) ou FALSA(S), 
considerando 
i 1 
. A seguir, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta. 
I) A representação geométrica dos números complexos 
z
 tais que 
 z 1 i 2  
 é um círculo de centro 
 C 1, 1
 e raio 
2
. 
II) A forma trigonométrica de 
1 i
z
i


 é 
7 7
z 2 cos isen
4 4
  
  
 
. 
III) Se 
z cos isen  
, então 2z z i   ,  . 
a) V, V, V 
b) V, V, F 
c) F, F, V 
d) V, F, V 
 
RESOLUÇÃO: a 
I) VERDADEIRA 
A inequação 
 z 1 i 2  
 representa os pontos 
z
 cuja distância ao complexo 
1 i
, cujo afixo é 
 1, 1
, é 
menor ou igual a 
2
, ou seja, um círculo de centro 
 1, 1
 e raio 
2
. 
II) VERDADEIRA 
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2
2
1 i i i 2 2 7
z 1 i 2 i 2cis
i 2 2 4i
   
       
 
. 
III) VERDADEIRA 
z cos isen z 1   
 
2 2 2z z z 1 1 i     
 
 
 
10) (AFA 2005) Considere 2i 1  e 
 0, 2 
, 
2

 
 e 
3
2

 
. Se 
z tg i  
, então a soma dos valores de 

 para os quais 
z 2
 é igual a 
a) 
2
 
b) 
3
 
c) 
4
 
d) 
5
 
 
RESOLUÇÃO: c 
 22 2 2z tg i z tg i z tg 1 tg 1 2 tg 1 4 tg 3                      
 
 2 4 5, , ,
3 3 3 3
   
 
 
Assim, a soma dos valores de 

 é 
2 4 5
4
3 3 3 3
   
    
. 
 
 
11) (AFA 2005) Considere o número complexo z tal que 
z z 2 i  
, onde 
i 1 
 e identifique entre as 
opções abaixo, as que são corretas. 
(01) O afixo de 
z
 é ponto do 1o quadrante. 
(02) 10023
z
4
 
 
 
 é real positivo. 
(04) O menor inteiro positivo 
n
 para o qual n1
z
4
 
 
 
 é real negativo pertence ao intervalo 
 2,5
. 
A soma das opções corretas é igual a 
a) 
6
 
b) 
5
 
c) 
3
 
d) 
2
 
 
RESOLUÇÃO: b 
z z 2 i z z 2 i      
 
 
2 2
2 2 x y x 2z x yi x y x yi 2 i
y 1
   
         

 
 22 2
3
x 1 2 x x 1 2 x x 2 x
4
           
 
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3
z i
4
  
 
(01) VERDADEIRA 
(02) FALSA 
 
1002 1002
4 250 2 23 3 3z i i i 1
4 4 4
              
   
 
(04) VERDADEIRA 
   
nn n
nn
n
1 3 1 2 2 n
z i 1 i 2 i 2cis 2 cis
4 4 4 2 2 4 4
         
                      
 
 n 4 2,5  
 
A soma das opções corretas é 
1 4 5 
. 
 
 
12) (AFA 2006) Considere o número complexo 
1 i 3
z
2 2
 
 e calcule nz . No conjunto formado pelos quatro 
menores valores naturais de 
n
 para os quais nz é um número real, 
a) existem números que estão em progressão aritmética de razão igual a 
4
. 
b) há elementos cuja soma é igual a 
30
. 
c) existe um único número ímpar. 
d) existe apenas um elemento que é número primo. 
 
RESOLUÇÃO: d 
n1 i 3 5 5nz cis z cis
2 2 3 3
 
    
 
n 5n 3kz k , k n
3 5

      
 
Os quatro menores valores naturais de 
n
 ocorrem para 
k 0, 5,10,15
 e são 
n 0, 3, 6, 9
, onde há apenas um 
número primo. 
 
 
13) (AFA 2006) Analise as afirmativas abaixo referentes aos números complexos 
3 i
z
2 2
 
 e 
w 1 i 
. 
(01) 10z w é um número imaginário puro. 
(02) O afixo de 1w é o ponto 1 1
,
2 2
 
 
 
. 
(04) A forma trigonométrica de 
11 11
z cos i sen
6 6
 
 
. 
(08) As raízes quartas de 
w
 são vértices de um quadrado inscrito numa circunferência de centro na origem e 
raio 
4r 2
. 
Somando-se os números associados às afirmativas verdadeiras obtém-se um total 
t
, tal que 
a) 
 t 1, 4
 
b) 
 t 5,8
 
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c) 
 t 9,12
 
d) 
 t 13,15
 
 
RESOLUÇÃO: b 
3 i
z cis
2 2 6

  
 e 2 2 7
w 1 i 2 i 2cis
2 2 4
  
     
 
 
(01) VERDADEIRA 
10
10 57 70 3z w 1 2cis 2 cis 32cis 32i
4 4 2
   
        
 que é um imaginário puro. 
(02) VERDADEIRA 
1
2
1 1 i 1 1 1 1
w 1 i w i ,
1 i 2 2 2 21 i
            
  
 
(04) VERDADEIRA 
11
z cis z cis cis
6 6 6
   
     
 
 
(08) FALSA 
As raízes quartas de 
w
 são os vértices de um quadrado inscritos numa circunferência de raio 
4 w
. 
4 84 4w w 2 2  
 
 t 1 2 4 7 5,8     
 
 
 
14) (AFA 2007) Seja 
z
 um número complexo não nulo e 
i
 a unidade imaginária ( 2i 1  ), z i . O conjunto 
de todos os valores de 
z
, para os quais 
z i
1 i z

 
 é um número real, representa um(a) 
a) elipse. 
b) hipérbole. 
c) circunferência. 
d) círculo. 
 
RESOLUÇÃO: c 
 
 
 
 
   
 
 
 
2 2
2 22 2
x y 1 i 1 y xix yi i x y 1 i 2x 1 x y iz i
1 i z 1 i x yi 1 y xi 1 y x 1 y x
                    
          
 
2 2 2 21 x y 0 x y 1      
 que é uma circunferência. 
 
 
15) (AFA 2008) Considere no Plano de Argand-Gauss os números complexos 
1z x 2i  
, 
2z 2i 
, 
3z 2 3i  
 e 
4z x yi 
, onde 
x
 e 
y
 são números reais quaisquer e 2i 1  . Sobre o conjunto desses números 
complexos que atendem simultaneamente às condições 
I) 
   1 2 1 2Re z z Im z z  
 
II) 
3 4z z 2 
 
É correto afirmar que 
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a) possui vários elementos que são números reais. 
b) seu elemento 
z
 de menor módulo possível possui afixo que pertence à reta 
 r 2x 3y 0 
. 
c) representa uma região plana cuja área é menor que 
6
 unidades de área. 
d) possui vários elementos que são números imaginários puros. 
 
RESOLUÇÃO: d 
      1 2 1 2 1 2z z x 2i 2i 4 2xi Re z z 4 Im z z 2x              
 
   1 2 1 2Re z z Im z z 4 2x x 2       
 
   
3 4 4 4z z 2 2 3i z 2 z 2 3i 2          
 que é um círculo de centro 
 2, 3
 e raio 
2
. 
 
a) INCORRETA 
b) INCORRETA 
O elemento de menor módulo está na reta que liga á origem a 
3z
. Assim, 
   
 
y 3 3 0 3
y 3 x 2 3x 2y 0
x 2 2 0 2
   
        
 
. 
c) INCORRETA 
21S 2 2 6
2
    
 
d) CORRETA 
Dois dos elementos são imaginários puros 
2z 2i 
 e 
4z 3i 
. 
 
 
16) (AFA 2009) Considere todos os números complexos 
z x yi 
, onde 
x
, 
y
 e 
i 1 
, tais que 
2
z 1
1 i
  

. Sobre esses números complexos 
z
, é correto afirmar que 
a) nenhum deles é imaginário puro. 
b) existe algum número real positivo. 
c) apenas um é número real. 
d) são todos imaginários. 
 
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RESOLUÇÃO: c 
2 2 2
z 1 z i z i z i 1
1 i 1 i 2
           
 
 
Essa condição determina os complexos cuja distância ao complexo 
i
 é menor que 
1
, ou seja, um círculo de 
centro 
 0,1
 e raio 
1
. Esse círculo possui centro sobre o eixo imaginário e tangencia o eixo real na origem, 
então apenas um desses números (
z 0
) é um número real. 
 
 
17) (AFA 2010) Sejam 
z x yi 
 ( *x , *y e i a unidade imaginária), z o conjugado de z e  o lugar 
geométrico dos pontos 
 P x, y
 do plano cartesiano para os quais 
z z 2x 3  
. Se 
A
 e 
B
 são os pontos de 
interseção de 

 com o eixo 
Oy
 e se 
A'
 é o ponto de interseção de 

 com o eixo 
Ox
 que possui a menor 
abscissa, então a área do triângulo 
A 'AB
 é, em unidades de área, igual a 
a) 
2 3
 
b) 
2 2
 
c) 
3
 
d) 
2
 
 
RESOLUÇÃO: c 
 
2 22 2 2 2z z 2x 3 z 2x 3 x y 2x 3 x 1 y 2             
 
u : 3x y c 0  
 
3
x ,
4 4
  
  
 
 
Como A’ é o ponto de menor abscissa, então 
 A' 1,0 
. 
A 'AB
2 3 1
S 3 u.a.
2

 
 
 
 
18) (AFA 2011) O número complexo 
z a bi 
 é vértice de um triângulo equilátero, como mostra a figura 
abaixo. 
 
Écorreto afirmar que o conjugado de 2z tem afixo que pertence ao 
a) 1º quadrante. 
b) 2º quadrante. 
c) 3º quadrante. 
d) 4º quadrante. 
 
RESOLUÇÃO: a 
Elaborado pelo Professor Renato Madeira para http://madematica.blogspot.com 
 
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Como o triângulo é equilátero, 
3

 
. 
2 2 2 22 2z a bi a cis z a cis z a cis
3 3 3
   
         
 
 
Como o argumento de 2z é um ângulo do 3º quadrante, nesse quadrante encontra-se o afixo do complexo. 
 
 
19) (AFA 2012) O valor de 
n
 tal que 
 
n
j
j 1
1 i 31 i

  
, sendo 
i
 a unidade imaginária, é 
a) par menor que 
10
. 
b) primo maior que 
8
. 
c) ímpar menor que 
7
. 
d) múltiplo de 
9
. 
 
RESOLUÇÃO: d 
       
n
j 2 n
j 1
1 i 1 i 1 i 1 i

       
 
O somatório acima é a soma de uma P.G. de primeiro termo 
 1 i
 e razão 
 1 i
. 
 
   
 
 
 
n n 1n
j n 1
j 1
1 i 1 i 1 1 i 1 i
1 i 31 i 1 i 32i
1 i 1 i



       
       
 

 
   
n 1
n 1n 1 n 1 5 52
n 1
1 i 32i 1 i 32 2 2 2 2 5 n 9
2

  
             
 
 
 
20) (AFA 2013) Considerando os números complexos 
1z
 e 
2z
, tais que: 
 • 
1z
 é a raiz cúbica de 
8i
 que tem afixo no segundo quadrante 
 • 
2z
 é a raiz da equação 4 2x x 12 0   e 
 2Im z 0
 
Pode-se afirmar que 
1 2z z
 é igual a 
a) 
2 3
 
b) 
3 3
 
c) 
1 2 2
 
d) 
2 2 2
 
 
RESOLUÇÃO: a 
3
2k
5 32z 8i 8cis z 2cis , k 0,1,2 z 2cis z 2cis z 2cis
2 3 6 6 2

 
   
          
 
Como 
1z
 tem afixo no 
2
, então 
1
5 5 5 3 1
z 2cis 2 cos isen 2 i 3 i
6 6 6 2 2
    
           
  
. 
4 2 2 2x x 12 0 x 3 x 4 x 3 x 2i             
 
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Como 
 2Im z 0
, então 
2z 2i
. 
     
2 2
1 2z z 3 i 2i 3 3i 3 3 12 2 3            
 
 
 
21) (AFA 2014) Considere no plano complexo, o conjunto dos números 
z x yi 
; 
 x, y 
 e 2i 1  que 
satisfazem a condição 
z 2z 1 
. 
É FALSO afirmar que 
a) este conjunto pode ser representado por um círculo de raio igual a 
1
3
. 
b) 
z 1 
 é o elemento de maior módulo, neste conjunto. 
c) 
1
z
3
 
 é o elemento de maior argumento, neste conjunto. 
d) não existe 
z
, neste conjunto, que seja imaginário puro. 
 
RESOLUÇÃO: c 
2 2z x y 
 
     
22
2z 1 2x 1 2yi 2x 1 2y      
 
2 2 2 2 2 2 2 2z 2z 1 z 2z 1 x y 4x 4x 1 4y 3x 4x 3y 1 0               
 
2
2 2 22 4 1 4 2 1x 2 x y x y
3 9 3 9 3 9
 
            
 
 
Portanto, esse conjunto representa um círculo de centro 
2
z
3
 
 e raio 
1
3
, representado na figura seguinte. 
 
a) VERDADEIRA 
b) VERDADEIRA: o número complexo de maior módulo é o afixo do ponto 
 A 1,0
. 
c) FALSA: o número complexo de maior argumento é o afixo do ponto 
B
 e pode ser calculado como segue 
1
O 'B
3

; 
2
O 'O
3

2 2
2 2 1 3 3
OB OB
3 3 9 3
   
        
   
 
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2 1 3 3
BB' BB'
3 3 3 6
    
 (hipotenusa vezes altura é igual ao produto dos catetos) 
2
3 2 1
OB' OB'
3 3 2
 
    
 
 (quadrado do cateto é o produto da hipotenusa pela sua projeção) 
1 3
z i
2 6
   
 (complexo de maior argumento). 
d) VERDADEIRA: o círculo que representa o conjunto não tem interseção com o eixo imaginário, logo o 
conjunto não tem nenhum elemento que seja imaginário puro. 
 
 
22) (AFA 2015) Considere os números complexos 
1z x i 
, 
2
1
z i
2

, 
3z 1 2i  
 e 
4z x yi 
 em que 
x
, 
*y 
 e 2i 1  e as relações: 
I. 
   1 2 1 2Re z z Im z z  
 
II. 
3 4z z 5 
 
O menor argumento de todos os complexos 
4z
 que satisfazem, simultaneamente, as relações I e II é 
a) 
6

 
b) 
0
 
c) 
2

 
d) 
3

 
 
RESOLUÇÃO: d 
       1 2 1 2 1 2Re z z Re z z Re z Re z x 0 x      
 
   1 2
1 1 1
Im z z Im x i i Im x i
2 2 2
    
           
    
 
   1 2 1 2
1
Re z z Im z z x
2
    
 (*) 
 2 2 2 2 2 2
3 4 3 4z z z z 1 2 x y 5 x y 1          
 (**) 
Elaborado pelo Professor Renato Madeira para http://madematica.blogspot.com 
 
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Representando as condições (*) e (**) no plano de Argand-Gauss e considerando que 
x
 e 
*y 
, obtém-
se, para o lugar geométrico dos números complexos 
4z x yi 
, um arco de circunferência com extremidades 
em 
A
 e 
B
. 
Dentre esses números complexos, o de menor argumento é o com extremidade em 
A
, cujo argumento é 

 tal 
que 
1 2 1
cos rad
1 2 3

     
. 
 
 
23) (AFA 2016) Considere no Plano de Argand-Gauss os números complexos 
z x yi 
, onde 
i 1 
 e cujos 
afixos são os pontos 
  2P x, y 
. Dada a equação 
 4z 1 i 1  
, sobre os elementos que compõem seu 
conjunto solução, é INCORRETO afirmar que 
a) apenas um deles é imaginário puro. 
b) todos podem ser escritos na forma trigonométrica. 
c) o conjugado do que possui maior argumento é 
1 2i
. 
d) nem todos são números imaginários. 
 
RESOLUÇÃO: c 
 4 4
2k
z 1 i 1 1cis0 z 1 i 1 cis , k 0,1,2,3
4

         
 
0
1
k 0 : z 1 i cis0 1 i 1 2 i 5cis 2 arctg
2
  
             
  
 
1
2
k 1: z 1 i cis 1 i i 1 1cis0
4

        
 
2
4 3
k 2 : z 1 i cis 1 i 1 i 1cis
4 2
 
         
 
  3
6
k 3: z 1 i cis 1 i i 1 2i 5cis 2 arctg 2
4

           
 
 S 2 i,1, i,1 2i   
 
a) CORRETA: apenas 
i
 é imaginário puro. 
b) CORRETA: as representações dos quatro números complexos na forma trigonométrica encontram-se acima. 
c) INCORRETA: o número complexo de maior argumento é 
2 i
 e seu conjugado é 
2 i
. 
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d) CORRETA: 1 não é um número imaginário. 
 
 
24) (AFA 2017) Resolva a equação 3z 1 0  no conjunto dos números complexos. Considerando as raízes 
encontradas, analise as proposições abaixo e classifique-as em V (VERDADEIRA) ou F (FALSA). 
( ) A equação possui três raízes de multiplicidade 1. 
( ) Os afixos das raízes formam um triângulo equilátero cuja área é 
3 3
2
 unidades de área. 
( ) Duas das raízes são conjugadas. 
( ) Todas as raízes têm o mesmo módulo. 
A sequência correta é 
a) V – F – V – V b) V – V – F – V c) F – F – V – F d) V – F – V – F 
 
RESOLUÇÃO: a 
Vamos aplicar a 2ª fórmula de De Moivre para resolver a equação 3 3z 1 0 z 1.    
3 3 2k 2kz 1cis0 z 1cis , k 0,1,2 z 1cis , k 0,1,2
3 3
 
      
 
Calculando as raízes para cada um dos valores de k, temos: 
1k 0 z cis0 1   
 
2
2 1 2 1 3
k 1 z cis cis i
3 3 2 2
 
      
 
3
2 2 4 1 3
k 2 z cis cis i
3 3 2 2
 
      
 
Vamos agora analisar as quatro proposições: 
(V) A equação possui três raízes de multiplicidade 1.A equação possui três raízes distintas cada uma com multiplicidade 1. 
(F) Os afixos das raízes formam um triângulo equilátero cuja área é 
3 3
2
 unidades de área. 
As três raízes estão sobre um círculo de raio 1 e centro na origem e seus argumentos são 0, 
120
 e 
240 .
 Logo, 
elas formam um triângulo equilátero cujo raio do círculo circunscrito é 
R 1.
 Em um triângulo equilátero de 
lado L, o raio do círculo circunscrito é 
2
3
 da altura h. Assim, temos: 
2 2 L 3
R h 1 L 3.
3 3 2
      
 Logo, a área do triângulo é  22L 3 3 3 3 3
S .
4 4 4
  
 
Veja a seguir a representação das três raízes no plano de Argand-Gauss. 
Elaborado pelo Professor Renato Madeira para http://madematica.blogspot.com 
 
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(V) Duas das raízes são conjugadas. 
As raízes 
2
2 1 3
z cis i
3 2 2

   
 e 
3
4 1 3
z cis i
3 2 2

   
 são complexos conjugados. 
(V) Todas as raízes têm o mesmo módulo. 
As três raízes têm módulo1.