Fluidodinâmica da Partícula

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Operações Unitárias I – Notas de Aula 
Centro de Tecnologia – Departamento de Engenharia Química 
 
 
Capítulo 2 
 
2.1 - Fluidodinâmica da Partícula 
 
 Mecanismo do movimento da partícula 
 Equação para o movimento unidimensional 
 Velocidade terminal 
 Coeficiente de Arraste 
 Equação do movimento para partículas esféricas 
 Critério para determinação do Regime de Escoamento 
 Correlações empíricas para o coeficiente de arraste 
 Determinação da velocidade terminal à partir do coeficiente de arraste 
 Efeito de população 
 Exercícios 
2.2 - Separação Sólido-Fluido em Sistemas Diluídos: 
 Classificação e Separação por densidades no campo gravitacional 
 Elutriação 
 Câmaras Gravitacionais; decantação. 
 Separação centrífuga: Ciclones e Hidrociclones 
 Centrifugação 
 Separação eletromagnética 
 Exercícios 
 21
 
Fluidodinâmica da Partícula 
Introdução - Muitas etapas de processos, especialmente as separações mecânicas, envolvem o 
movimento de partículas sólidas, ou gotas de um líquido, através de um fluido - líquido ou gás - 
escoando ou estagnado. São exemplos disto a remoção de pós e fumos do ar, ou de um gás de 
chaminé, a remoção dos sólidos de líquidos residuais antes de sua descarga nos sistemas públicos 
de drenagem, ou ainda a recuperação da névoa ácida do gás perdido numa planta industrial de 
produção de ácido. 
Dinâmica da Partícula Sólida em Suspensão - Para que uma partícula se desloque através de um 
fluido, é necessário que exista uma diferença de densidade entre a partícula e o fluido e, obviamente, 
que uma força externa atue sobre o sistema proporcionando o movimento relativo sólido-fluido. A 
força externa normalmente é a gravitacional, mas, quando a partícula é muito pequena, tornando a 
gravidade ineficaz para movê-la através do fluido, aplica-se uma força centrífuga. Quanto maior a 
diferença de densidades, mais eficaz o processo. Se o fluido e a partícula têm densidades iguais, o 
empuxo causado por sua imersão será igual à força externa, e ela não se moverá através do fluido. 
Pelo menos três forças atuam sobre uma partícula submersa num fluido: 
1. Força externa, FE – Impulsora da partícula, pode ser de origem 
gravitacional ou centrífuga. 
2. Força de empuxo, FB – Descrita pelo princípio de Archimedes, é 
paralela à força externa e tem sentido contrário. 
3. Força de arraste, FD - se apresenta sempre que ocorre movimento 
relativo sólido-fluido; opõe-se ao movimento da partícula, atuando na 
mesma direção do seu deslocamento e em sentido oposto. 
Em princípio, a direção do movimento da partícula em relação ao fluido pode não ser paralela 
à direção das forças externa e de empuxo; então a força de arraste faz um ângulo com as outras 
duas. Neste caso, a força de arraste deverá ser decomposta em componentes, resultando um 
escoamento bidirecional, complicando o tratamento da mecânica do escoamento da partícula. Na 
literatura existem equações disponíveis para o movimento bidirecional, mas aqui consideraremos 
apenas o movimento unidirecional, onde as linhas de ação de todas as forças que atuam sobre a 
partícula são colineares. 
Movimento unidirecional de partículas submersas num fluido 
Considere uma partícula de massa m, movendo-se através de um fluido sob ação de uma força 
externa FE. Sejam U a velocidade relativa, FB o empuxo sobre a partícula e FD a força de arraste. A 
força resultante sobre a partícula será: 
∑ −−= DBEi FFFF 
 
 22
A aceleração da partícula é “d(m.v)/dt" e, como a massa é constante, o movimento de sólidos 
através de fluidos se fundamenta no conceito do movimento de queda livre dos corpos: 
∑ −−== DBEi FFFdtdvmdtdvmF ou 
A força externa é dada pela Lei de Newton: EE maF = onde aE é a aceleração externa (gravitacional 
ou centrífuga) que atua sobre a partícula. A força de empuxo, pelo princípio de Archimedes, é igual 
ao peso do volume de fluido deslocado pela partícula. O volume da partícula é ( m /ρS ) e é igual ao 
volume de fluido deslocado. Logo, a massa de fluido deslocado é: 
e, portanto, a força de empuxo será: 
a força de arraste é dada por: 
 (2.4) 
2
2 UCAF DPD ρ= 
onde CD é o coeficiente de arraste, adimensional, AP é a área projetada da partícula, medida na 
direção perpendicular à direção do escoamento e U é a velocidade relativa sólido-fluido, ou seja, U = 
u - v. Substituindo esses valores, obtém-se a equação do movimento para a partícula sólida 
submersa num fluido: 
Simplificando, 
a) equação do movimento da partícula no campo gravitacional: 
Sob ação do campo gravitacional, a aceleração externa aE é a aceleração da gravidade, g = 981 
cm/s2 e a equação 2-6 torna-se 
b) equação do movimento sob campo centrífugo: 
Uma força centrífuga aparece sempre que a direção do movimento da partícula é mudada. A 
aceleração centrífuga, no movimento circular, é aE = r ω2 , sendo r o vetor posição e ω a aceleração 
angular (radianos/segundo). Substituindo na equação 2-6, 
ρ



ρ= .SF
mm
(2.3) E
S
B amF 



ρ
ρ=
(2.5) 
2
2UCAamma
dt
dvm DpE
S
E
ρ−ρ
ρ−=
(2.6) 
.2
2
m
UCAa
dt
dv Dp
S
FS
E
ρ−ρ
ρ−ρ=








( ) a)-(2.6 
2
1 2
m
UCAg
dt
dv DP
S
FS ρ−ρ
ρ−ρ=
( ) b)-(2.6 
2
1 22
m
UCAr
dt
dv DPS ρ−ρ
ρ−ρω=
 23
 
Velocidade terminal - Na sedimentação gravitacional g é constante, mas o arraste sobre a 
partícula aumenta sempre que a velocidade aumenta. Na equação do movimento, observa-se que a 
aceleração decresce com o tempo e aproxima-se de zero. A partícula alcança rapidamente uma 
velocidade constante, máxima sob as circunstâncias, denominada velocidade terminal. 
 A equação para a velocidade terminal, no campo gravitacional, é obtida desprezando-se, na 
equação do movimento, a aceleração instantânea da partícula (dv/dt = 0), que na prática é da ordem 
de um décimo de segundo. A expressão resultante é: 
( ) (2.7) 
 
2
 ρρ
ρ−ρ=
DP
t
CsA
msgv 
No campo centrífugo, a velocidade depende do raio e a aceleração não é constante se a 
partícula estiver se movimentando em relação ao fluido. Nos vários usos práticos da força centrífuga, 
entretanto, dv/dt é muito pequeno comparado com os outros dois termos da equação 2-7 e pode ser 
desprezado. A velocidade terminal no campo centrífugo, a um raio qualquer dado, pode então ser 
definida pela equação: 
( ) (2.8) 2 ρρ
ρ−ρω=
sCA
msrv
DP
t 
Coeficiente de Arraste 
 O uso das equações anteriores requer que sejam estimados valores numéricos para o 
coeficiente de arraste, CD. O gráfico da Figura 1 mostra a curva experimental do coeficiente de 
arraste em função do número de Reynolds, Re, para esferas. 
Para partículas não esféricas, são obtidas curvas para cada forma diferente de partícula, em 
função da esfericidade. Essas curvas, na prática, aplicam-se somente para uma orientação 
especificada da partícula. Partículas não esféricas, em queda livre, têm sua orientação 
constantemente alterada, consumindo energia e aumentando o arraste efetivo sobre a partícula, 
fazendo com que o coeficiente de atrito, CD, seja maior que no escoamento do fluido ao redor de uma 
 24
partícula estacionária. Assim, a velocidade terminal, especialmente para partículas em forma de 
discos, será menor do que a estimada nas curvas obtidas para partículas com orientação fixa. 
No tratamento a seguir as partículas serão consideradas esféricas, pois uma vez conhecido o 
coeficiente de arraste para o movimento livre desta espécie, os mesmos princípios aplicam-se a 
quaisquer formas.(Pettyjohnand Christiansen: Chem. Eng. Prog., 48:157(1948)) 
Quando as partículas estão a uma distância suficiente das paredes do recipiente e de outras 
partículas, de modo que seu movimento não seja afetado por elas, o processo é chamado 
sedimentação livre. Se o movimento da partícula é impedido por outras partículas, o que fatalmente 
ocorrerá quando as partículas estão próximas umas das outras, mesmo que não em trajetórias 
colidentes, o processo é chamado sedimentação retardada (ou impedida). O coeficiente de arraste na 
sedimentação retardada é maior que na sedimentação desimpedida. 
Quando as partículas são de tamanho muito reduzido (2 -3 µm) aparece o efeito do movimento 
Browniano, que é um movimento aleatório provocado pelo choque da partícula com moléculas do 
fluido que a cerca. Esse efeito predomina sobre a força da gravidade em partículas de 0,1µm ou 
menores. O movimento randômico da partícula tende a suprimir o efeito da força externa e o seu 
deslocamento pode não ocorrer. A aplicação de uma força centrífuga reduz o efeito relativo ao 
movimento Browniano. 
1. - SEDIMENTAÇÃO LIVRE – Equação do movimento para partículas 
esféricas 
Se a partícula é uma esfera de diâmetro DP, sua massa é obtida do produto da densidade pelo 
volume, ou 
Substituindo m e DP na equação 2-7 
Na velocidade terminal, a partícula não tem aceleração, então (dv/dt) = 0, e 
O coeficiente de arraste gerado pelo movimento relativo entre o fluido e uma esfera sólida 
movendo-se sob ação da gravidade será, portanto, 
4
A e
6
2
P 
3
P
S
p DDm π=ρπ=
( ) ) 2.9 ( 
.4
3 .
PS
tD
S
S
E
D
vCa
dt
dv
ρ
ρ−ρ
ρ−ρ=
( )
P
tDs
E
D
vCa
2.
4
3=ρ
ρ−ρ
( ) ) 2.10 ( 
.3
4
2
T
PFS
D
v
DgC ρ
ρ−ρ=
 25
A equação acima não permite a estimativa direta da velocidade terminal uma vez que o 
coeficiente de arraste é uma função do número de Reynolds, CD = ƒ(Re), que por sua vez é função 
direta da velocidade e do tamanho da partícula Re = ƒ (ρ, Dp, vT, µ-1). Este problema pode ser 
contornado pela utilização de métodos gráficos ou analíticos, conforme descreveremos a seguir. 
 
1.1 – ESTIMATIVA DA VELOCIDADE TERMINAL POR MÉTODO GRÁFICO 
 
Admitiremos que a partícula apresenta um certo grau de "uniformidade". Seja o diâmetro da 
esfera de igual volume, Dp, é a dimensão característica da partícula; da equação anterior, para 
movimento no campo gravitacional, 
 ( ) 2.10 Eq. 
.3
4
2
T
D
v
gsDpC ρ
ρ−ρ= 
Aplicando as propriedades do logaritmo à equação, 
( ) )log(2
3
4loglog tD vgDpsC −


ρ
ρ−ρ= 
Podemos eliminar vt na expressão acima, tomando o logaritmo do número de Reynolds 
correspondente à velocidade terminal: 
)log( logRelog tvDp +



µ
ρ= 
e assim, ( ) 


µ
ρρ−ρ+−=
2
3
3
4logRelog2log gsDpCD 
Figura 2 – Coeficiente de arraste x número de Reynolds para partículas de diferentes formas
 26
Esta é a equação de uma reta de inclinação −2, passando pelos pontos Re = 1 e CD = 
( ) 23 34 µρρ−ρ Dpsg . Como a expressão não contém vt., é possível determinar-se a velocidade 
terminal traçando a reta definida por estes pontos no Gráfico “CD x Re” . A perpendicular ao eixo das 
abscissas, traçada a partir da interseção desta reta com a curva de esfericidade apropriada, dará o 
valor numérico do número de Reynolds correspondente à velocidade terminal desta partícula de 
tamanho conhecido (veja a Figura 2). Conhecido o número de Reynolds, se determina então vt. 
Estimativa de Dp à partir da velocidade terminal: 
Por procedimento análogo se obtém uma expressão independente do tamanho da partícula, Dp. 
A equação é: 
( ) 


ρ
µρ−ρ+=
323
4logReloglog
v
sgCD 
A expressão acima corresponde também a equação de uma reta, de inclinação +1, passando 
pelo ponto “Re = 1” e “CD = ( ) 3234 vsg ρµρ−ρ ”. A interseção desta reta com a curva de esfericidade 
adequada dará o número de Reynolds na velocidade terminal, a partir do qual se obtém Dp. 
1.2 – MÉTODOS ANALÍTICOS: 
2.1 – Equações aproximadas para cálculo do coeficiente de arraste de 
esferas 
 Apesar da relação “CD x R e ” na Figura 2 ser uma curva contínua, para simplificar 
os cálculos, ela pode ser substituída por três linhas retas sem perda considerável na 
 27
precisão[McCabe-Smith, 1976]. Cada uma dessas linhas cobre uma faixa definida de 
números de Reynolds, como mostrado pelas linhas tracejadas na Figura 2-3 
 
As equações para as linhas retas e as faixas do número de Reynolds onde cada uma se 
aplica, são: 
Região de Stokes: Re < 2 
Re
24=DC 
ptD DvF πµ= 3 
( )
µ
ρ−ρ=
18
pE
t
Dsav 
Região Intermediária: 2 < Re < 500 
6,0Re
18=DC 
( ) 4,06,04,131,2 ρµπ= ptD DvF 
( )
43,029,0
71,014,171,0153,0
µρ
ρ−ρ= sDav pEt 
Região de Newton: 500 < Re < 200.000 
44,0=DC 
( ) ρπ= 255,0 ptD DvF 
( ) 2/175,1 


ρ
ρ−ρ= pe Dsavt 
Critério para identificar o regime de escoamento (K) – Quando se deseja 
estimar a velocidade terminal de uma partícula de diâmetro conhecido, e o valor 
numérico de Reynolds é desconhecido (pois é função de DP e vt), a escolha da equação 
adequada só poderá ser feita por tentativas. Neste caso, para identificar em que região 
ocorrerá o movimento da partícula, elimina-se o termo de velocidade na expressão do 
número de Reynolds, substituindo vt pela equação correspondente ao regime laminar 
resultando, para a faixa da lei de Stokes: 
( ) ( )
2
32
1818
Re µ
ρρ−ρ=µ
ρ−ρ
µ
ρ=µ
ρ= SEppSEptp aDDaDvD
 28
Pelas considerações feitas anteriormente, a lei de Stokes aplica-se para números 
de Reynolds menores que 2. Um critério conveniente para identificação do regime de 
escoamento pode ser obtido fazendo-se 
Então, da equação anterior, 
3,336K 2, Re para 
18
Re 3
3 ==== K 
Se o tamanho da partícula é conhecido, o K pode ser calculado e, se K < 3,3 aplica-se a 
lei de Stokes (regime laminar). 
Procedendo de modo análogo para a região onde vale a lei de Newton, obtém-se 
Re = 1,74K1, 5. Fazendo Re = 500 (limite inferior da região) e resolvendo, dá K = 43,6. 
Então, se K é maior que 3,3 e menor que 43,6, o escoamento ocorre na região 
intermediária. Se o valor de K está compreendido entre 43,6 e 2.360 a Lei de Newton é 
válida. Quando K é maior que 2.360, o coeficiente de arraste pode mudar abruptamente 
com pequenas mudanças na velocidade do fluido. Sob essas condições a velocidade 
terminal é calculada da equação 2-10, estimando-se o valor de CD na Figura 3. 
QUADRO RESUMO - Critério para identificar o regime 
em que ocorre o movimento da partícula (McCabe-Smith)
( )
3
2µ
ρρ−ρ= saeDK p 
K < 3,3 - ⇒ Lei de Stokes (regime laminar) 
3,3 < K < 44 - ⇒ Região intermediária 
44 < K < 2360 - ⇒ Lei de Newton (regime turbulento) 
K > 2360 ⇒ Re > 200.000 (turbulência na camada limite) 
 
EXEMPLO - Gotas de óleo de 15 µm de diâmetro devem ser separadas de sua mistura com 
ar, por sedimentação. a massa específica do óleo é 0,90, e o ar está a 70 ºF (21,1 ºC) e 1 
atm. O tempo de sedimentação disponível é de 1 minuto. Que altura deverá ter a câmara para 
permitir a sedimentação dessas partículas? (McCabe-Smith, exemplo 7.1, p.156). 
SOLUÇÃO - Os efeitos do fluxo dentro das gotas e o período inicial de aceleração são 
desprezados. Além disso, a densidade do ar é muito pequena em comparação com a das 
gotas de modo que ρp pode ser usada em lugar de (ρP - ρ). A densidade do ar a 70 ºF e 1 
atm. é 0,018 cP (0,018 x 6,72 x 10-4) = 1,21 x 10-5 lb/ft-s. A densidade das partículas é 
(0.90 x 62,37) = 56,1 lb/ft3 
K x= =−4 92 10 32 17 56 1 0 075
1 21 10
0 4795,
(, )
,, , ,x x
2x
-103
( )
3
2µ
ρρ−ρ= SEp aDK
 29
O movimento das gotas está bem dentro da região da lei de Stokes, então: 
( )
µ
ρ−ρ=
18
pE
t
Dsav 
Em 1 minuto, as partículas sedimentam 0,02 x 60 = 1,2 ft (0,37m), então a altura da 
câmara não deverá ser maior que este valor. 
 
Outra maneira de eliminar a dificuldade ao se estimar o coeficiente de arraste na 
equação 2.10, pelo fato deste ser função da esfericidade e do número de Reynolds, (cuja 
determinação implica conhecimento de vT e Dp ), é a utilização do número de Galileu: 
 
Como se pode ver, esse grupo adimensional independe da velocidade terminal, vt. 
 
 
QUADRO III - Pontos de transição para Ga 
REGIME NGa 
Laminar 
Intermediário 
Newton 
< 60 
entre 60 e 140.000 
> 140.000 
 Um outro grupo adimensional, independente do diâmetro da partícula e função da 
velocidade terminal, é “CD / Re”: 
 
v ft s m st = =
−32,17 4,92 10 56,1
18 1,21 10
x 
2
x 
10
x 
x x
- 5
( ) , / ( , / )0 020 0 0061
2
22
µ
ρ= gDGa P
( )
2
222
2
2
.
3
4Re µ
ρ
ρ
ρ−ρ== PT
T
S
D
Dv
v
gCGa
( ) 2.11 
3
4Re
2
3
2
µ
ρρ−ρ= EPSD aDC
( )
tPt
SPD
vDv
gDC
.2 .
.
3
4
Re ρ
µ
ρ
ρ−ρ=
( ) ) 2.12 ( 
3
4
Re 32U
aC ESD
ρ
ρ−ρµ=
 30
QUADRO IV - Pontos de transição para CD/Re 
REGIME NGa 
Laminar 
Intermediário 
Newton 
> 7,5 
entre 7,5 e 0,00115 
< 0,00115 
 
A equação 11 pode ser usada para o cálculo de vt, pois CDRe2 não inclui esta 
variável; já a equação 12 deve ser utilizada no cálculo de Dp já que o adimensional CD/Re 
independe do diâmetro. Em ambos os casos, vt e Dp são obtidos a partir do número de 
Reynolds (Tabelas 1 a 4; gráficos 2 e 3) 
As correlações nas Tabelas I a IV aplicam-se ao movimento de partículas 
isométricas isoladas em fluidos newtonianos. Embora a Tabela III inclua a partícula 
esférica, nos cálculos com partículas desta forma deve-se usar a Tabela II para maior 
precisão. 
A Tabela IV fornece diretamente a expressão para cálculos da velocidade relativa 
partícula - fluido e do diâmetro da partícula, quando prevalece o regime de Stokes (Re < 
0,5) ou o de Newton (103 < Re < 2x105) 
Tabela I - Partícula esférica isolada; correlações de Coelho & Massarani (1996) com 
base nos dados de Lapple & Shepherd (1940) e Pettyjohn & Christiansen 
(1948). 
 
Re < 5x104 
Descrição n Valor médio e desvio 
padrão 
nnnCD 

 +

= 43,0
Re
24 
 
0,63 
( )
( ) 09,000,1Re
expRe ±=
cor
 
nnCnC DD 12
43,0
Re
24
ReRe
22 −


 −

+−

= 
 
0,95 
( )
( ) 06,000,1Re
expRe ±=
cor
 
nn
C
n
C DD
1
Re
43,02
Re
24Re 





+


= 
 
0,88 
( )
( ) 09,000,1
exp ±=
corC
C
D
D 
 
onde 
 
 
 
 
( ) ( )
32
D
2
3
2 .
3
4
Re
C ,
3
4Re ,Re
U
aDaCUD
F
EFSPEFSF
D
FP
ρ
µρ−ρ=µ
ρ−ρρ=µ
ρ=
 31
Tabela 2 - Partícula isométrica isolada: correlações de Coelho & Massarani (1966) com 
base nos dados de Pettyjohn & Christiansen (1948) 
 
0,65 < φ ≤ 1 e Re < 5x104 
 
Descrição 
 
n 
Valor médio e desvio 
padrão 
nnK
n
K
CD
1
Re
24
2
1


 +

= 0,85 13,000,1
exp ±=
Dcor
D
C
C 
( )
nn
C
Kn
CK DD
1
Re
2
Re
24Re 2
1






+


= 
 
1,2 
( )
( ) 10,000,1Re
expRe ±=
cor
 
nn
K
CnCK DD 12Re
24
ReRe
2
221 −

 −

+−

=
 
 
1,3 
( )
( ) 14,0100
expRe ±=
corCD
 
 
Onde: 
φ−=

 φ= 88,431,5 e 
065,0
log843,0 2101 KK 
 
 
 
 
Tabela 3 - Fluidodinâmica da partícula isométrica isolada; cálculo da velocidade e do 
diâmetro da partícula (Pettyjohn & Christiansen, 1948) 
 
0,65 < φ ≤ 1 
Variável a ser 
estimada 
Regime de Stokes 
Re < 0,5 
Regime de Newton 
103 < Re < 5 x 104 
 
CD Re
24
1K
 
 
K2 
 
U 
 ( )
µ
ρ−ρ
18
2
1 PFSE DaK 
( )
23
4
K
Da PEFS
ρ
ρ−ρ 
 
DP ( ) EFS aK
U
ρ−ρ
µ
1
18 ( ) ES
F
a
UK
ρ−ρ
ρ
4
3 22 
 
no campo gravitacional, b = g = 981 cm/s2; no campo centrífugo, b = r.ω2 
 
 
 
 
 
 
 
( ) ( )
32
D
2
3
2 .
3
4
Re
C ,
3
4Re ,Re
U
aDaCUD
F
EFSPEFSF
D
FP
ρ
µρ−ρ=µ
ρ−ρρ=µ
ρ=
 32
 
 
 
 
Influência da presença de fronteiras rígidas 
 
Tabela 4 - Efeito de parede na fluidodinâmica da partícula isométrica em fluido 
newtoniano (Almeida, 1995): 0,65 < φ < 1 e 0 < DP/DT ≤ 0,5 
 
µ
ρ=∞ ∞vDpRe
 
t
PT
P
D
D
v
vk =β=
∞
 e 
 
< 0,1 
(Francis, 1933) 
 
4
475,01
1 


β−
β−=Pk 
 
0,1 − 103 
β−==
+=
−β
∞
281,01017,1 ,91,8
Re1
10
379,2 xBeA
A
k BP 
>103 
(Francis, 1933) 
231 β−=Pk 
 ( )
φ−=

 φ=
ρ
ρ−ρ=<µ
ρ==−
β=
88,431,5 ,
065,0
log843,0
3
4 ,35Re 0,85n ,
)(
)54,3exp(24Re
2101
21
21
KK
v
gDCvD
KCK t
PS
D
tP
nnnD
 
 
 
2. – SEDIMENTAÇÃO OBSTADA: PARTÍCULA ESFÉRICA E EFEITO DE POPULAÇÃO 
Quando um fluido contém muitas partículas em suspensão, ocorre uma 
interferência mútua no movimento destas, e a velocidade de sedimentação é muito 
menor do que a prevista pelas equações deduzidas sob a hipótese de movimento livre 
das partículas. A partícula sedimenta, neste caso, através de um lodo ou suspensão de 
outras partículas no fluido, ao invés do fluido puro. 
Um aumento na concentração da suspensão acarreta uma substancial redução na 
velocidade terminal do conjunto de partículas, fato importante no estudo da separação 
sólido-fluido. Uma correlação clássica, de Richardson e Zaki (1954), é válida para 
porosidades inferiores a 75%: 
nvv tt ε= ∞ 
 33
onde vt∞ é a velocidade terminal da partícula à diluição infinita, isto é, escoando 
livremente sem interferência de outras partículas ou das vizinhanças, e o expoente n é 
um parâmetro que depende do número de Reynolds 
Re∞ n 
< 0,2 4,65 
0,2 − 1 4,4 Re∞-0,03 
1-500 4,4 Re∞-0,1 
> 500 2,4 
 
Para sistemas de baixa porosidade a velocidade terminal pode ser calculada com 
auxílio do Gráfico mostrado na figura abaixo (Massarani, 1979, p.57): 
Embora se possa considerar a velocidade de deposição constante para todas as 
partículas, será diferente de acordo com a concentração da suspensão. Para definir a 
velocidade da suspensão pode-se recorrer à sua porosidade, ε, introduzindo-a na fórmula 
de Stokes para regime laminar. A equação resultante é: 
( ) (13) 
18
2
SUSP
PSUSPS
sus
Dgv µ
ρ−ρε= 
sendo ρsus e µsus a massa específica e a viscosidade da suspensão. O valor de ρsus é 
calculado pela média ponderada de ρp (partícula) e ρ (líquido), ou seja, 
 34
( )
( ) ( ) ) 2.14 ( 
e1 
ρ−ρε=ρ−ρ
ρε−+ερ=ρ
SSUSPS
SSUSP 
 Quanto à viscosidade da suspensão, várias tem sido as tentativas de correlação, 
uma das quais é a seguinte (Coulson, vol. II, p.189 e Foust, p. 452) 
Substituindo (14) e (15) em (13), vem: 
 
A viscosidade também pode ser corrigida pelo fator empírico ϕP (McCabe-Smith, p. ). 
A relação entre ϕP e ε, entretanto, não é conhecida em toda a faixa de números de 
Reynolds. Para partículas esférica escoando em regime laminar, 
Utilizando este fator de correção, a velocidade terminal de uma suspensão de 
partículas esféricas, em regime laminar, será dada por: 
A viscosidade a ser empregada na equação acima é a do fluido puro, pois o efeitoda 
concentração de sólidos sobre a viscosidade será corrigido pela relação ϕP / µ. Esta 
equação só aplica-se para regime laminar, ou seja, quando o critério de sedimentação, K, 
for menor que 3,3. Para a sedimentação retardada, o critério para identificação do 
regime de escoamento fica... 
 
 
Parte II: Separação sólido-fluido em sistemas diluídos 
 
Finalidade: 
• Promover a separação de partículas suspensas em fluidos (ou, inversamente, mantê-
las em suspensão), para vazões definidas em função da capacidade de produção 
fixada 
 
 
 
 
 
) 2.15 ( 10
)1(82,1
εµ=µ
ε−
SUSP
( ) ) 2.16 ( 
18
10
22
)1(82,1
µ
ρ−ρε= ε−− gDv SPSUSP
)1(19,4 ε−−=ϕ eP
µ
ρ−ρϕε= 


18
. 2.. PSUSPSPE
SUSP
Da
v
( ) 3,3. 31
2
2 ≤


µ
ϕρ−ρρ= pmSmEP aDK
 35
Quadro 1 – Campos de força para separação de partículas sólidas 
 
Dimensão (µm) Designação Campos de força 
0,1 Fumos Elétrico 
 
0,1 a 0,4 
 
Fumos 
Elétrico 
Filtros de pano 
Lavadores de poeira 
 
1 a 10 
 
Poeiras 
Elétrico 
Filtros de pano 
Lavadores de poeira 
 
10 a 100 
 
Poeiras 
Centrífugo 
Filtros de pano 
Filtros recobertos 
viscosos 
100 a 1000 Poeiras Centrífugo 
Gravidade 
> 1000 Poeiras Gravidade 
 
PARTE DOIS 
Separação sólido-fluido em Sistemas Diluídos 
2.I - Campo Gravitacional 
2.I.1 ELUTRIAÇÃO - É a operação de separação (ou classificação por tamanhos) de 
partículas, obtida mediante uma corrente ascendente de líquido em contracorrente com 
os sólidos. Quando o objetivo é a classificação por tamanhos de partículas de um único 
material homogêneo, a separação é obtida com base apenas na diferença de velocidades 
terminais das diversas partículas: aquelas que tiverem uma velocidade de queda menor 
que a velocidade de ascensão do líquido serão arrastadas por este, enquanto que as de 
maior velocidade sedimentarão e serão coletadas no fundo do vaso. 
Quando se trata de uma mistura de dois materiais diferentes, a separação é 
conseguida em função do tamanho das partículas e da diferença de densidades entre 
estas. Assim, as partículas mais densas sedimentarão com maior velocidade, devendo a 
velocidade de ascensão do líquido ser ajustada num valor entre a velocidade terminal da 
menor partícula do material mais denso, e a maior partícula do material menos denso. 
Quando isto é possível, a sedimentação é completa. 
 
4 
3 
4 
3 
g D 
C 
g D
C 
s A 
D A 
s B
D B
ρ ρ 
ρ 
ρ ρ 
ρ 
− = − D
D
C 
C 
A
B
B
A
D A 
D B 
ρ ρ 
ρ ρ 
lifica nd
 36
Sejam dois materiais A e B, sendo A mais denso que B. Se a faixa de tamanhos for 
grande, é possível que a velocidade terminal das maiores partículas de B sejam 
superiores às das menores partículas de A. Ocorrendo isto, evidentemente a separação não 
será completa. O intervalo de separação possível (razão de separação) pode ser determinado 
à partir da relação entre as dimensões das partículas de A e B que têm mesma velocidade 
terminal. Então, igualando as velocidades terminais de A e B, 
D
D
D v
D v
A
B
B
A
B B
A A
= −−
ρ ρ
ρ ρ
µ ρ
µ ρ
24
24 
Ocorrem dois casos extremos: a) No regime laminar, (para baixos valores do número de 
Reynolds), CD = 24/ Re. Substituindo e simplificando a expressão resultante, temos: 
b) No caso de partículas de mesma esfericidade sedimentando a altos números de 
Reynolds (alta vazão ou grandes dimensões), o coeficiente de arraste é 
aproximadamente constante e igual a 0,44. Desse modo, teremos: 
D
D
A
B
B
A
= −−
ρ ρ
ρ ρ
0.5
 
Conclusão: a separação de dois materiais diferentes será possível se a razão de 
separação for maior do que: 
D 
D 
A 
B 
B 
A 
> − − 
ρ ρ 
ρ ρ 
n 
 
 
sendo n = 0,5 no regime laminar 
 0,5 < n < 1,0 no regime de transição 
 n = 1,0 no regime turbulento 
EXEMPLO: Uma mistura de galena (densidade 7.500 kg/m3) e sílica (densidade 2.650 kg/m3), 
deve ser separada por Elutriação. A mistura tem dimensões entre 0,7 e 0,8mm. 
Admitindo que a esfericidade de ambos os materiais é a mesma e igual a 0,806, 
determine: 
a) Qual a velocidade da água para se ter como produto a galena pura (admitir 
sedimentação livre a 20ºC. viscosidade = 0,001 N.s/m2). 
b) Qual o intervalo de dimensões da galena obtida como produto?(Foust, 
exemplo 22.2 p.543) 
ρ 
ρ ρ 
 37
 
2.I-2 CÂMARAS GRAVITACIONAIS - As câmaras gravitacionais e câmaras de poeira, 
destinam-se à separação de partículas relativamente grandes em suspensão num líquido 
ou num gás. A representação esquemática destes equipamentos é mostrada na figura 
abaixo: 
 
A separação, a baixas concentrações de sólido, pode ser estudada através da análise 
do comportamento dinâmico das partículas individuais. A tendência de uma partícula, ao 
ser atirada num fluido escoando entre placas paralelas, é cair e ser arrastada ao mesmo 
tempo, como indica a Figura a seguir: 
A suspensão, ao sair da tubulação e ser introduzida na 
câmara, encontra uma área disponível ao escoamento 
muitas vezes maior, havendo em conseqüência uma 
redução brusca na velocidade, tendendo então os sólidos 
suspensos a sedimentar, de acordo com o tamanho, numa 
posição mais próxima ou mais afastada do ponto de 
alimentação. 
 
Desprezando a aceleração da partícula e decompondo a equação do movimento em 
suas componentes, resulta: 
componente x: 
 
como a gravidade não tem componente no eixo x, o primeiro termo do lado direito da 
igualdade se anula e, para que a expressão seja verdadeira é necessário que ux = vx , 
isto é, a componente da velocidade do fluido é igual à componente da velocidade da 
partícula, na direção x. 
componente Y 
 
 
= + − −A v u vP P F x F D x xρ ρ
 38
 
 
Não há movimento de fluido na direção perpendicular ao escoamento, então, uy = 0. Por 
definição, o módulo da diferença de velocidades é: 
Como uy = 0 e ux = vx, resulta 
 
 
 
Substituindo esses valores na equação do movimento, chega-se a 
 
 
Se fizermos, na expressão acima, o volume e a área iguais aos de uma esfera, 
obteremos a expressão geral para a velocidade terminal como na Lei de Newton. 
 
Diâmetro da menor partícula que pode ser coletada na câmara: 
 O diâmetro crítico de separação pode ser obtido se analisarmos a condição de a 
menor partícula, lançada na condição mais desfavorável, ser coletada. Admite-se que 
esta partícula sedimente Admite-se que esta partícula sedimente na extremidade oposta 
da câmara, ou seja, em l = L . O tempo necessário para que a partícula de diâmetro 
crítico percorra na direção x a distância L é: 
u
Lt = 
onde u é a velocidade média do fluido entre as placas, relativa à vazão Q. (
HB
Qu = ). 
O tempo necessário para que a partícula de diâmetro crítico percorra na direção y a 
distância H, é: 
tv
Ht = 
0 
2
= − + − −V g A u v C u vP P F y F D y yρ ρ ρ
u v u v u vx x y y− = − + −2 2
u v v v vy y t− = − = =2
v v
V g
A C
y t
p p
p D
= = −2 ρ ρρ
 39
Para a partícula ser coletada, estes tempos devem ser iguais. Igualando-se as 
expressões, obtemos a equação para o cálculo da velocidade terminal da partícula de 
diâmetro crítico: 
L
uHvt = 
Como nos interessa o diâmetro dessa partícula, podemos estimá-lo através do grupo 
CD / Re ou com auxílio do gráfico CD x Re. A velocidade pode também ser dada em 
função da vazão, como: 
projA
Q
BL
Qvt == 
O diâmetro crítico está relacionado às condições de operação (vazão da suspensão) e 
às dimensões do equipamento. Partículas maiores que aquelas de diâmetrocrítico são 
também coletadas com eficiência de 100%; as menores, com eficiência inferior. No 
escoamento lento de partículas esféricas, teremos: 
 
 
EXEMPLO: Uma suspensão diluída de cal em água, contém areia como produto indesejável. 
Determinar a capacidade da unidade abaixo esquematizada para a separação completa da 
areia (m3 suspensão /h). Não há efeito de população pois a suspensão é bem diluída. Determine 
também a percentagem de cal perdida na separação. 
DADOS: Faixa granulométrica da areia = 70 < Da < 250 µm 
Para a cal: esfericidade = 0,80; densidade = 2,2 g/cm3 
Para a areia: esfericidade = 0,7; densidade = 2,6 g/cm3 
Temperatura de operação = 30ºC 
 
Análise granulométrica das partículas de cal 
Dp(µm) 20 30 40 50 60 70 80 100 
% < Dp 15 28 48 54 64 72 78 88 
(G.Massarani, Problemas em Sistemas Particulados IV, Publicação Didática-PDD 03/82, COPPE/UFRJ, p.17, 
1982) 
D Hu
gL
HQ
gVS S
= − ≡ −
18 18µ
ρ ρ
µ
ρ ρ sendo V = HBL 
 40
 
SOLUÇÃO: 
Diâmetro crítico da areia = 0,70µm vt = 
L
uH
 
 
 
scm
H
Lvu
scm
Dp
vt
t /27,2
/17,0.Re
==
=ρ
µ=
 
Q = u H B = 2,04x104 cm3/s = 73,4 m3s 
b) Cálculo da quantidade de cal depositada: 
 Qual o diâmetro da partícula que sedimenta com velocidade terminal de 0,17 cm/s? A 
determinação pode ser feita com auxílio do gráfico CD / Re x Re: 
 
 
mcmx
v
Dp
t
µ==ρ
µ= − 641047,6Re 3 
No gráfico da distribuição (% < Dp x Dp) encontramos, para Dp = 64µ, a ordenada 
correspondente é 69. Logo, a perda de cal será (100 - 69) = 31%.(Gráfico abaixo) 
C 
gD
D 
S PR e , Re2 
2
2
 ,= − = ⇒ =4
3
7 18 0 12
ρ ρ ρ
µ
C gSD 
2
t
3v
 ,
Re 
. Re= − = ⇒ =4
3
3 195 0 11 
ρ ρ µ
ρ
 41
 
2.II - Separação no Campo Centrífugo 
A separação de partículas em suspensão num fluido por ação da gravidade é 
limitada, principalmente, pela dimensão dessas partículas. Quando os sólidos têm 
tamanhos muito reduzidos, o processo de separação por decantação pode ser acelerado 
pela aplicação de uma força centrífuga. Os separadores centrífugos são recomendados, 
neste caso, por sua grande eficiência no tratamento de partículas, ou gotas, de reduzido 
tamanho. 
No campo centrífugo, as componentes da velocidade do fluido são ( Bird, Stewart e 
Lightfoot, 1960, p.96): 
Ω=
=
θ ru
ur 0
 
onde Ω é a velocidade angular (radianos/segundo) e r o vetor posição num dado 
instante. A intensidade do campo centrífugo é dada por: 
 
desprezando a aceleração da partícula e substituindo os valores acima, resulta para a 
equação do movimento: 
componente tangencial: 
 
 
30.00 50.00 70.00 90.00
20.00 40.00 60.00 80.00 100.00
0.00
20.00
40.00
60.00
80.00
100.00
15.0
28.0
48.0
54.0
64.0
72.0
78.0
88.0
20.0 40.0 60.0 80.0 100.0
Dp
% < Dp
 
a
ac gencial a
ac radial a v rr
= = == =
.tan
.
θ
θ
0
2 
0 
2
= − + − −V a A u v C u vSρ ρ ρθ θ θ
θ θ
D
da expressão se conclui que: u = v = r Ω 
 42
componente radial: 
 
 
Substituindo os valores acima, a expressão para a velocidade terminal no campo 
centrífugo fica: 
 
 
 
 
II.2-1 CICLONES E HIDROCICLONES 
 
Os Ciclones e Hidrociclones são separadores usados para a remoção de partículas 
finas em suspensão num fluido, que consistem numa carcaça fixa de geometria 
cilíndrica/cônica. O movimento centrífugo desenvolvido pelo fluido no interior do 
aparelho, é obtido pela injeção da suspensão a ser tratada tangencialmente à parede 
interna do equipamento. 
Geralmente, os ciclones são constituídos de um corpo cilíndrico assentado sobre um 
tronco de cone, como mostra a figura abaixo. O fluido com impurezas, é introduzido 
tangencialmente no topo da parte cilíndrica, e os sólidos adquirem um movimento 
espiralado (pela ação centrífuga) e descendente (pela ação da gravidade). 
Neste movimento, os sólidos perdem quantidade de movimento e são recolhidos na 
base cônica do vaso. Enquanto isso, a corrente fluida, líquida ou gasosa, menos densa e 
livre dos sólidos, ao atingir o defletor na base da região cônica inferior, inverte o seu 
movimento helicoidal que passa a ser ascendente, saindo por uma tubulação fixada na 
região central superior do equipamento. 
As variáveis de projeto dos ciclones e hidrociclones são a seção transversal da 
entrada da alimentação, â altura, os diâmetros das saídas de topo (overflow) e de fundo 
(underflow) e o diâmetro da seção cilíndrica, em função da qual todas as outras medidas 
são estabelecidas. 
Os diferentes modelos de ciclones caracterizam-se pelas proporções peculiares 
entre suas dimensões. O modelo Lapple, para separação sólido-gás, é o que foi mais 
0 
2 
= − + − −
− = − − =
V a A u v C u v 
u v u v u v v 
S r r r
r
ρ ρ ρ
θ θ θ θ
D
2 2+
v v t 
V r 
v t 
V r 
v 
r 
S
er al
S
radial
= = −
= − =
2 
2 
ρ ρ
ρ
ρ ρ
ρ
Ω
Ω
2
D
D
AC
ACmin
 43
profundamente estudado (Perry e Green, 1984, p.20-83) e está esquematizado na figura 
a seguir. 
Proporções Ciclone Lapple 
Bc / Dc 
De / Dc 
Hc / Dc 
Lc / Dc 
Sc / Dc 
Zc / Dc 
Jc / Dc 
0,25 
0,50 
0,50 
2,00 
0,13 
2,00 
0,25 
Na prática os ciclones operam numa faixa 
de velocidade do gás na entrada, entre 20 e 70 
ft/s. Recomenda-se uma velocidade média de 50 
ft/s, que também é o valor utilizado em cálculos 
de projeto. 
A queda de pressão, na qual o ciclone é projetado para operar, pode variar em até 
20 vezes a pressão cinética inicial. Nos ciclone do tipo Lapple, a queda de pressão é 
24 up ρ=∆ 
Diâmetro de corte no ciclone: A partícula com o diâmetro de corte Dpc atravessa a 
espessura de separação Bc /2, figura abaixo, no tempo de residência do fluido no ciclone: 
 
 
onde Va é o volume ativo do ciclone, Q a vazão volumétrica de 
suspensão e aE = rΩ 2 a intensidade média do campo centrífugo. 
Considera-se nesta análise que prevaleça o regime de Stokes, que 
a partícula seja esférica, que 
Ω= ru 
e que 
QVs
Ne
/
2π=Ω 
 
 
V
Q
Bc
D
a
s pc
= −
2
ρ ρ µ2 ea 18
 44
u e Ne são respectivamente o valor médio da velocidade da suspensão na seção de 
entrada e o número de espiras que o fluido forma no interior do ciclone. Resulta da 
 
 
 combinação das equações acima, a expressão para o diâmetro de corte no ciclone 
Para o modelo Lapple verifica-se que na condição de operação recomendada, 6 < u 
< 21 m/s, verifica-se experimentalmente que Ne ≅ 5. Portanto, 
resultado que pode ser expresso como 
 
 
 
onde Dc é o diâmetro da parte cilíndrica do ciclone, BcHc a área da seção transversal da 
alimentação de suspensão, sendo Bc = Dc/4 e Hc = Dc/2, de modo que 
2
8
Dc
Q
BcHc
Qu == 
Generalizando a equação para os ciclones a gás, 
 
 
 e para os hidrociclones que trabalham com suspensões mais concentradas, 
 
 
onde K é um fator que depende da configuração do ciclone, Rf é o quociente das vazões 
volumétricas na descarga de sólidos e na alimentação e P um fator que leva em conta a 
concentração de sólidos na alimentação. 
EXEMPLO: Estimar a bateria de ciclones Lapple (ciclones iguais, em paralelo) para operar 
com 3500 ft3/ min de ar (520ºC, 1 atm) contando cinzas de carvão. A eficiência global de 
coleta deve ser da ordem de 85%. A densidade das partículas sólidas é ρs = 2,3 g/cm3. A 
análise granulométrica dos sólidos é a seguinte: 
D B
N u
c
e s
pc = −
9
2
µ
π ρ ρ
D B
u
c
s
pc = −
9
10
µ
π ρ ρ
D
D
Dpc
c
c
SQ -
= 0 095, µρ ρ
D
D
K Dpc
c
c
SQ -
= µρ ρD
D
K Dpc
c
c
S
f
0,5
Q -
1 R P= −µρ ρ
 45
D(µm) 5 10 15 20 30 40 
100X 12 27 48 63 80 88 
SOLUÇÃO Pode-se verificar que a análise granulométrica pode ser representada pelo 
modelo log-normal, com D50 = 15,5 e σ = 2,3. 
Propriedades do fluido: ρ = 4,43 x 10-4 g/cm3 e µ = 0,035 centipoise. 
O gráfico de eficiência de coleta em ciclones (η x D50/Dpc), permite calcular o valor 
D50/Dpc = 3,3 correspondente à eficiência global de coleta de η = 0 85, (Massarani, 1984, 
p.113). Portanto, Dpc = 4,7 µm. 
Admitindo que a velocidade do gás na seção de alimentação seja o valor recomendado u 
= 50 ft/s, resulta da equação 
 
 
 
que o diâmetro da parte cilíndrica do ciclone é 30,7 cm. Em conseqüência, o número de 
ciclones em paralelo será: 
 
Assim, seja a bateria constituída por 10 ciclones em paralelo. Redimensionando o 
diâmetro do ciclone, podemos usar a equação: 
 
 
resultando Dc = 30cm e u = 48,6 ft/s (dentro da faixa recomendada). A queda de pressão na 
bateria é de 3,9 cm de coluna de água e, portanto, a potência do soprador pode ser estimada 
em 1,5 HP. 
 
n Q
uB H
º ,= =
c c
9 1
D B
u
c
s
pc = −
9
10
µ
π ρ ρ
D
D
Dpc
c
c
SQ -
= 0 095, µρ ρ
 46
HIDROCICLONE 
O hidrociclone, ou ciclone líquido 
sólido, é um centrifugador a úmido, 
sem partes móveis em sua carcaça 
cilindro-cônica, na qual a suspensão é 
introduzida sob pressão tangenciando 
a parede. O modo como a suspensão é 
introduzida lhe confere um rápido 
movimento centrífugo, resultando na 
formação de dois vórtices: um externo 
(fase densa), cujo componente axial do 
fluxo é dirigido para o vértice do cone 
(apex), e outro interno em sentido 
contrário, na direção do topo. 
Os ciclones têm sido usados 
extensivamente para substituir as câmaras de poeira que, além de ocupar muito espaço 
são ineficientes na separação de partículas pequenas. Devido a força centrífuga 
desenvolvida pelos vórtices formados nos ciclone ser muito alta (atinge cerca de 2.500 
vezes a força gravitacional), é possível se obter separações muito finas num hidrociclone 
de pequeno tamanho. Uma característica fundamental do hidrociclone é ser um 
equipamento compacto, de alta pressão e grande eficiência. 
 
 
A tabela abaixo mostra a relação entre as 
dimensões características (conforme explicitadas na 
figura da página anterior) para três tipos de 
hidrociclones comerciais: 
 
 
HIDROCICLONE RIETEMA BRADLEY CBV-CEMCO 
Di / Dc 0,28 1/7 0,3 
Do / Dc 0,34 1/5 0,25 
L / Dc 5 - 3,8 
l / Dc 0,40 1/3 0,5 
θ 10 - 20º 9º 22º 
 47
 
 
 
Como visto anteriormente, que para um hidrociclone genérico, 
 
 
 
Para o hidrociclone CBV-DEMCO, a equação fica 
Onde c é concentração de sólidos na suspensão (c = 1 − ε). Nos hidrociclones CBV-
DEMCO a queda de pressão é dada por 
2Qp α=∆ 
2min)(l
psi=α 
Ciclone CBV 2" → α = 1,16x10-2 
Ciclone CBV 4H" → α = 3,86X10-4 
e a eficiência de coleta nestes equipamentos é: 
 
 
 
Operação - A polpa a ser tratada no hidrociclone, geralmente tem diluição 
relativamente alta, até 30%, e é introduzida tangencialmente através do injetor, sob 
pressão (entre 10 e 50 psi), adquirindo movimento espiralado e descendente ao longo 
das paredes do cilindro e do cone, de modo que nas vizinhanças do ápice do cone uma 
parte desta corrente turbilhonar reverte-se para cima, constituindo o overflow 
(sobrenadante). Nesse movimento, os sólidos são centrifugados e lançados contra as 
paredes, sendo descarregados em sua maioria como underflow. 
Tamanho de Separação - Tratando-se de partículas de mesma densidade, ou 
valores próximos, invariavelmente os tamanhos maiores descarregam-se pelo underflow 
D 
D 
K D pc
c
c
S
f
0,5
Q -
1 R P= −µρ ρ
D 
D 
D pc
c
c
S
4c
Q -
 e= 0 056 , µρ ρ
η = 
 | | 
| | 
0 5 , D
D 50
NA FAIXA 
50
PARA 
50
 
 0,1 < D
D
< 2
1 D
D
< 2
 48
e as maiores pelo overflow, sendo necessário determinar o tamanho de separação destas 
duas classes. 
Entretanto, não há uma separação nítida, ou seja, uma determinada dimensão tal 
que as partículas maiores saiam no underflow e as menores no overflow, mas há sempre 
uma determinada classe de partículas, isto é, um determinado tamanho tais que 50% 
delas saem pelo underflow e os outros 50% pelo overflow: é o tamanho cinqüenta por 
cento, ou diâmetro de corte, convencionalmente denotado d50 ou Dpc 
Uma maneira simples de determinar este ponto d50 é traçar as curvas das 
percentagens simples, tomadas em relação à alimentação: retidas versus tamanhos, 
traçando-se uma curva para o underflow e outra para o overflow. A interseção das duas 
curvas dá o tamanho da partícula de corte, d50: 
 
Influência do Diâmetro do Ciclone na Separação: 
A medida do diâmetro influi no tamanho 
de separação. Quando menor o diâmetro, 
mais fino será o tamanho de separação, 
variando de 5-29 mícrons. Quando o ciclone é 
usado como deslamador nesta faixa finíssima, 
usam-se unidades de diâmetro pequeno; para 
separa partículas minerais em faixa mais 
grossa, usam-se os de maior diâmetro (Hugo 
Arrunátegui, p.24) 
 
Tipos de Ciclones: Os ciclones são classificados em três tipos, segundo a operação a 
realizar: 
Ciclones Classificadores (Deslamadores ou Desarenadores) - Usados na separação 
de partículas, em relação a um tamanho de referência, classificando partículas maiores e 
partículas menores que o tamanho dado. 
Quando a classificação ou corte se dá em torno de 200 mesh (74 mícrons), a 
operação é uma deslamagem ou desarenagem,; neste caso a finalidade é descartar as 
lamas para recuperar as areias ou descartar as areias para recuperar as lamas (no 
tratamento de minérios). Nestes casos define-se um coeficiente de deslamagem que é a 
relação da percentagem de sólidos abaixo de 200 mesh da alimentação que se 
descarrega no underflow, para a percentagem de água total que sai no underflow. 
 
 49
 
Ciclones Separadores ou Lavadores - São usados na separação de partículas de 
acordo com as densidades, separando as mais pesadas das mais leves em relação a uma 
dada densidade de separação ou meio denso. 
Nos ciclones que usam como fluido um meio denso, a separação se dá em função 
da massa dos sólidos e não do seu tamanho. A densidade de separação é tomada 
convencionalmente como aquela que corresponde à descarga de 50% no underflow e 
50% no overflow. Uma característica dos ciclones separadores é o ângulo do cone, que 
atinge até 60º. 
 
Ciclones Espessadores - Usados na separação dos sólidos em relação ao líquido em 
que estão suspensos, em operações tais como espessamento e clarificação. Esta 
operação não se consegue completamente, pois é praticamente impossível separar por 
ciclonagem partículas abaixo de 2 mícrons (3200 mesh). Na operação com estes ciclones, 
deve-se considerar as seguintes observações segundo Bradley: 
- O limite superior do tamanho de espessamento no ciclone é de 200 mícrons, 
embora acima de 44 mícrons (350 mesh) seja preferível fazer-se a separação em 
peneiras vibratórias. 
- Abaixo de 2 mícrons só é possível separar as partículas suspensas por 
centrifugação, elutriação ou sedimentação com floculantes. 
Não obstante estas limitações, o ciclone é de baixo custo de instalação e 
operação, ocupa pouco espaço e tem elevada capacidade. Estes motivos quase sempre 
justificam o seu emprego nas faixas apropriadas. 
 
Variáveis de Operação dos Ciclones - Vazão ou volume injetado na unidade de tempo 
 Pressão de alimentação 
 Características dos sólidos (ou da polpa) 
 Características do meio (granulometria, ρ e µ) 
A vazão é um fator importantena operação, guardando estreita dependência com o 
tamanho da separação. O regime de funcionamento normal do ciclone está relacionado 
com a constância da vazão. 
 50
Um aumento da pressão leva a um corte mais fino, embora menos preciso, 
provocando maior densidade do overflow: uma diminuição conduz a efeitos inversos. 
Além disso, o aumento da pressão exige bombas mais potentes e mais custosas, 
agravando também o problema da abrasão. Geralmente opera-se numa faixa de 10 a 50 
psi, quando da separação de minérios. 
Para ciclones classificadores em circuito de moagem, usam-se pressões de 2 a 12 
psi, mas para se obter um overflow mais fino, é necessário uma pressão maior. 
 
Exemplo 
R. Peçanha (“Avaliação do desempenho de hidrociclones”, Tese de Mestrado, 
COPPE/UFRJ, 1979), estudando o desempenho de ciclones CBV-Demco, estabeleceu as 
seguintes expressões para o diâmetro d50 (diâmetro das partículas que são coletadas 
com eficiência de 50%) e para a eficiência de coleta da partícula de diâmetro d50: 
 
 
 
 
 
Dc é o diâmetro da parte cilíndrica do ciclone, Q a vazão de alimentação de cada 
hidrociclone e “c” a fração volumétrica de sólidos na alimentação. Com base nessas 
expressões 
a) Especificar a bateria de ciclones CBV 4H (Dc = 4”) para operar com 4.800 l/min de 
suspensão de minério de ferro (ρs = 4,9 g/cm3) com uma concentração de 20% em peso 
de sólidos. Queda de pressão = 35 psi; Temperatura = 30ºC. 
b) Estimar a eficiência global de coleta das partículas 
Dados: Capacidade de 1 ciclone 4H 
 
∆P(psi) 20 25 30 35 40 45 50 
Q(l/min) 232 256 280 300 330 340 360 
 
D 
D 
D pc 
c 
c
SQ -
 exp(4c)= 0 056 , µρ ρ
η = | | | 
0 5 D 
D 50 50
 
50
 
para 0,1 < D
D
< 2
1 para D
D
< 2
 51
Análise Granulométrica: 122,9 g de amostra 
D(µ) < 10 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70 
m de cada fração 15,4 38,7 27,1 17,1 13,5 8,6 2,5 
(Massarani, Problemas em Sistemas Particulados, 1982, p.22) 
Solução: Propriedades físicas: ρs = 4,9 g/cm3; ρ = 1 g/cm3; µ = 0,8 centipoise. 
Diâmetro do ciclone = 4 in. Vazão = 300 l/min. 
Concentração da suspensão: 20 g em peso. Base de cálculo = 100 g de suspensão. 
05,0
1
80
9,4
20
9,4
20
=
+
=c 
a) Cálculo do número de hidrociclones: Dos dados da tabela de capacidade, o 
hidrociclone 4H operando a ∆p = 35 psi, tem uma capacidade de 300 l/min. Como a 
vazão de suspensão a tratar é de 4.800 l/min, serão necessários: 
neshidrociclon 16
300
4800 == 
b) Cálculo da eficiência global: 
 
cmxe
x
xxDpc x 4)05,04(
3
2
1018,14
)9,3(
60
10300
)54,24)(10)(8,0(
)54,24(056,0 −
− == 
Dpc = 14,1µm 
 
D 
D 
D pc
c
c
SQ -
 exp(4c)= 0 056 , µρ ρ 
 52
Com os dados da tabela, traça-se o gráfico “ηi x fração > D” e a eficiência global 
η é obtida por integração gráfica (dada pela ordenada tal que a área a seja igual a 
área b) 
 
 
 
 
II.2-2 CENTRÍFUGAS 
 
Existem três tipos principais de centrifugadores que se distinguem pela força 
centrífuga desenvolvida, pela faixa de produção que se obtém e pela concentração dos 
sólidos que podem ser operados (Foust, p.548, 1982): 
1. Centrífuga Tubular - Gira com elevada velocidade de rotação, atingindo forças 
centrífugas da ordem de 13.000 vezes a força da gravidade, porém opera com pequenas 
capacidades, na faixa de 3 a 30 litros/minuto. Como não dispões de dispositivo para 
remoção contínua de sólidos, opera intermitentemente com pequenas concentrações de 
sólidos. 
2. Centrifugador a Discos - Este equipamento é de 
tamanho maior que o anterior, mas atinge menor velocidade 
de rotação, desenvolvendo uma força centrífuga até 7.000 
vezes maior que a da gravidade. . Pode ser projetada para 
operar até 5.000 gal/h (310 l/min), com quantidade moderada 
de sólidos que são descarregados continuamente numa 
corrente concentrada. 
3. Centrifugador Decantador Contínuo - Destina-se a separação de sistemas 
sólido-líquido, operando como um espessador (a ser estudado no capítulo 4). Operam 
D(µ) fração > 
D 
D/D50 η 
10 0,875 0,71 0,25 
20 0,560 1,42 1 
30 0,340 2,13 1 
40 0,200 2,84 1 
50 0,090 3,55 1 
60 0,020 4,25 1 
70 0,000 4,46 1 
 
 
 53
com sólidos até uma taxa de 50 ton./h. São construídos com diâmetros variando entre 4 
e 54 polegadas. Estas máquinas podem ser utilizadas como classificadores, ajustando-se 
as taxas de alimentação e velocidade do vaso de modo que as partículas pequenas não 
tenham tempo de sedimentar e saiam com o filtrado. A Centrífuga decantadora provoca 
forças centrífugas 3.000 vezes maior que a da gravidade, com velocidades que vão até 
6.000 rpm, permitindo efetuar separações de partículas na faixa de 1 mícron. 
 
Cálculos da Centrifugação 
Na seção anterior estabelecemos que a expressão da velocidade terminal para 
uma partícula no campo centrífugo é dada por 
 
Vamos agora estabelecer a relação entre o 
diâmetro de corte, Dpc e as propriedades físicas do 
sistema sólido-fluido, as dimensões do equipamento e as 
condições de operação. Seja a centrífuga decantadora 
tubular mostrada na figura abaixo. As hipóteses de cálculo 
são: 
a) As partículas estão igualmente espalhadas em z = 
0, independentemente do tamanho; a trajetória 
assinalada na figura representa a partícula Dpc coletada 
 
 
com eficiência de 50%, onde 
e portanto, 
b) Prevalece o regime de Stokes 
c) Movimento empistonado do fluido na centrífuga. 
Em relação à trajetória crítica assinalada na figura, o tempo necessário para que 
a partícula percorra a distância L na vertical é 
e o tempo necessário para que a partícula percorra a distância radial de R1 a R é 
 
R R R1
2
0
2
2
= −
v v
r m 
A C
t R
s
D S 
= −Ω 2 ρ ρρ ρ
π πR R R R2 12 12 02− = −
 
t L
u
L
Q
R R
= =
−π 2 02
 54
Combinando as expressões para o tempo e fazendo 
202
202
1 3
ln
RR
RR
R
R
+
−= , resulta 
para o diâmetro de corte Dpc: 
Explicitando a vazão da alimentação, e multiplicando e dividindo a expressão resultante 
 
 
por 2g, vem: 
 
 
 
vt é a velocidade terminal da partícula de diâmetro Dpc no campo gravitacional e Σ um 
fator característico da centrífuga. No caso da centrífuga tubular, 
Para a centrífuga de discos, 
 
onde n é o número de canais formados por discos adjacentes e θ o ângulo de inclinação 
dos discos 
 
 
O resultado expresso pela equação que relaciona a vazão à velocidade terminal e 
ao fator Σ, sugere que na ampliação de escala (scale-up) entre centrífugas do mesmo 
tipo, operando com uma mesma suspensão (Perry-Green, 1984, p.19-96) 
 
 
Separação líquido-líquido 
Os vertedores de saída constituem-se no parâmetro mais importante na separação 
líquido-líquido: eles controlam o volume de líquido retido no centrifugador, o diâmetro 
crítico das partículas e indicam se a separação é possível. Na figura abaixo, são 
mostrados diagramas esquemáticos de centrífugas tubulares para a separação sólido-
líquido e líquido-líquido. 
D Q 
k 
 
L R R s 
pc 
1 2 2 2
0,5
= 
+
18 
3 0
µ 
ρ ρ π Ω − 
Q 
k g D L 
g 
s = −2 3 1 pc 
2 2
0
2
2
t 
18
R +R
2
Q = 2(v ) 
ρ ρ 
µ
π Ω
Σ 
v v dr 
dt 
t dr 
v 
t 
k D 
R 
R 
R t
t Ro 
R 
pc 
= = ∴ = 
=
 
-2 S 2 1 
1 
1
18 µ 
ρ ρ Ω ln 
Σ Ω= −2 2 1
2
3 3
3g
π θn r r g cot 
Σ Ω= +πL 
g 
R R 
2
2 2
2
3 0
Q Q 
Σ Σ1 2=
 55
 
Localização da Interface líquido-líquido 
Sejam: r1 - raio da interface da camada leve 
 r2 - raio da interface líquido-líquido 
 r3 - raio da borda externa dovertedor 
 r4 - raio da superfície do líquido leve à jusante do vertedor. 
O equilíbrio de forças provocadas pelas pressões hidrostáticas nos permite escrever: 
∫∫∫ ==
rf
ri
E
rf
ri
rf
Ri A
dma
A
dFdP . 
dm = ρ (2π r L) dr 
∫ ∫∫ Ωρ=ππΩ=
rf
ri
rf
ri
rf
ri
rdr
rL
rLdrrdP 2
2
2
2)( 
( )222
2
if rrP −Ωρ= 
Em r2 (interface entre as duas camadas), a pressão é a mesma em ambos os lados da 
interface. Temos então para a fase pesada: 
( )24222
2
rrP PP −Ωρ= 
para a fase leve: ( ) PLL PrrP =−Ωρ= 21222
2
 
 
 
 56
( )
( )2122
24
2
2
rr
rr
P
L
−
−=



ρ
ρ 
 
Portanto, para haver a separação das fases a interface deve estar num raio menor que r3 
e maior que o raio do topo da superfície do líquido pesado à jusante do vertedor, ou 
seja: r4 < r2 < r3. 
Exemplo: 
Na refinação primária de óleos vegetais, o óleo cru é parcialmente saponificado com 
um álcali e o óleo refinado é imediatamente separado, mediante centrifugação do sabão 
formado. Num destes processos, a densidade do óleo é 0,92 g/cm3 e a viscosidade 20 
centipoise; a densidade da fase sabão é de 0,98 g/cm3 e a viscosidade 300 centipoise. 
Procura-se separar uma destas fases num centrifugador tubular de 2 polegadas de 
diâmetro interno e 30 polegadas de comprimento, girando a 18.000 rpm. O raio do 
vertedor por onde transborda a fase leve é r1 = 0,50 in e o do vertedor da fase pesada é 
r4 = 0,510 in. Determine a localização da interface líquido-líquido no interior da 
centrífuga.(Foust et alli. Exemplo 22.4, p554, 1982). 
Solução: ( )( )2122
24
2
2
rr
rr
P
L
−
−=



ρ
ρ 
222
222
50,0
51,0
98,0
92,0
−
−=
r
r 
0,939(r22- 0,250) = r22 - 0,260 
r22 = 0,426 
 
2.III - Separação Eletrostática 
Hugo Arrunátegui .pp237-246 
Sendo hoje o consumo de matérias-primas industrializadas cada vez mais 
elevado, existindo o problema da escassez dos materiais básicos e custos ascendentes, 
tornou-se economicamente viável o emprego dos separadores eletrostáticos para 
recuperar e separar minérios, materiais e produtos que no passado eram considerados 
de difícil beneficiamento e considerados como rejeito. 
A atualização tecnológica participou diretamente para o sucesso, desenvolvendo 
equipamentos cada vez mais aperfeiçoados, dependendo porém das propriedades físicas 
e químicas dos materiais da alimentação, para definir o sistema mais apropriado de 
processamento. 
 57
Os diferentes parâmetros que agem sobre os resultados finais de uma separação 
eletrostática de certas misturas de materiais, obrigam em muitos casos utilizar processos 
gravimétricos e magnéticos, anteriores ao emprego dos separadores eletrostáticos. Como 
exemplo, pode-se citar o processamento de minerais de cassiterita, pirita, magnetita, 
sílica, etc., da região de São João Del Rei, cujo processamento se efetuava numa 
instalação com equipamentos para realizar uma separação magnética primária, 
completando-se o processo com uma separação eletrostática, obtendo-se em cada 
operação produtos diferentes, de acordo com as propriedades magnéticas eletrostáticas 
dos diferentes minerais. 
Enquanto outros equipamentos efetuam separações por diferença de peso 
específico ou de susceptibilidade magnética, os separadores eletrostáticos utilizam a 
diferença de condutibilidade elétrica. Os elementos são classificados, segundo a 
condutibilidade em condutores e não-condutores. 
Os separadores eletrostáticos e eletrodinâmicos utilizam a ação de um campo 
elétrico de alta tensão, permitindo por via seca, a classificação de partículas minerais em 
condutoras e não-condutoras. 
 
Descrição Geral dos Separadores Eletrostáticos e Eletrodinâmicos 
São equipamentos fabricados com perfilados e laminados de aço-carbono, 
soldados, formando uma estrutura resistente. São compostos das seguintes peças: 
Moegas (Hoppers) - Fabricadas em aço carbono, a moega de alimentação possui 
regulagem de descarga e fecho rápido. A moega de descarga possui divisores 
que separam os produtos tratados. Quando a alimentação é de fluxo difícil, 
aplica-se um alimentador vibratório para alimentar os rolos. 
Rolos - São fabricados em aço carbono ou inox, com diâmetro variável de 15 a 30 cm. Os 
rolos são montados sobre rolamentos superdimensionados, protegidos contra o 
pó, com rotação variável de 50 até 400 rpm. O rolo e a armação são ligados à 
terra evitando qualquer descarga elétrica. 
Eletrodos - Em número de três para cada rolo, são fabricados com tubo de alumínio, 
possuindo regulagem de posicionamento. O eletrodo dinâmico possui um fio de 
tungstênio montado ao longo do tubo, trabalhando com corrente contínua, em 
conjunto com o estático. 
 58
O eletrodo de limpeza montado debaixo do rolo (que destaca os materiais não 
condutores do rolo), também possui um fio de tungstênio montado ao longo do 
tubo. Este eletrodo trabalha com corrente alternada. 
Todos estes eletrodos são montados sobre material isolante, evitando qualquer 
descarga direta na armação. 
 
Fenômenos e Efeitos dos Eletrodos 
 
Num fio metálico fino, ligado a uma fonte de corrente 
contínua de alta tensão, cria ao seu redor um campo circular 
de alto gradiente (efeito corona) traduzindo-se em uma 
emissão de íons. 
Quando as partículas transportadas pelos rolos são 
submetidas a esta constante elétrica, adquirem cargas de 
magnitude variável e com a mesma polaridade da fonte. 
As partículas condutoras perdem rapidamente sua carga ao entrarem em contato 
com o rolo e são pouco ou não desviadas de sua trajetória normal. As partículas não 
mantêm sua carga por mais tempo e aderem aos rolos, que as transportam em sua 
rotação, separando-as assim dos condutores, devido a esse fenômeno de fixação. 
Se o fio metálico fino é substituído por um cilindro de 
diâmetro maior, o gradiente do campo obtido é mais fraco. As 
partículas condutoras levadas pelo rolo no campo recebem 
instantaneamente a carga normal e as não condutoras recebem 
uma carga reduzida, libertando-se do rolo com facilidade. 
As partículas condutoras removidas pelo eletrodo cilíndrico 
seguem sua trajetória natural, separando-se das não condutoras, devido ao fenômeno 
da deflexão(desvio) (eletrodo estático). 
 
 
 
 59
Associando os dois tipos de eletrodos mencionados, os 
separadores eletrostáticos e eletrodinâmicos Mineralmaq possuem 
uma capacidade superior de separação, com menos problemas de 
temperatura e umidade dos produtos alimentados. 
Também há o efeito da umidade relativa do ar ambiente 
torna-se praticamente nulo (eletrodo dinâmico) 
Transformadores - Normalmente são utilizados dois 
transformadores para cada separador: um para a corrente 
contínua e outro para a corrente alternada 
Operação 
Além da diferença de condutibilidade das partículas, que permite a sua seleção, 
existem outros fatores que agem sobre a separação eletrostática, tais como: a 
granulometria, a densidade e a forma das partículas, que modificam a trajetória, 
influenciados pela força centrífuga e pelo peso. 
A umidade, a temperatura, o estado da superfície das partículas e a presença de 
impurezas aderentes às partículas a serem separadas, alteram parcialmente a separação. 
As misturas de produtos que podem ser tratados nos separadores eletrostáticos 
devem ser da faixa granulométrica de 6 a 200 mesh, necessitando utilizar uma faixa 
granulométrica mais estreita para os finos ou grossos ou quando as diferenças de 
condutibilidade entre os materiais são pequenas. A temperatura de tratamento é 
freqüentemente elevada, entre 50 e 120ºC. 
A superfície das partículasdeve ser limpa, sem pó, o que exige às vezes lavagens 
anteriores à separação eletromagnética. O estado da superfície contaminada pode ser 
modificado com uma simples lavagem de água limpa ou por reações químicas, 
empregando vapores de ácidos e outros produtos. 
Outros fatores importantes que afetam uma boa separação são: a) o diâmetro dos 
rolos usados; b) a velocidade dos rolos; c) o número de passes; d) a alimentação e a 
posição dos divisores reguláveis sobre as moegas de coleta. 
 
Principais aplicações: 
Separação de scheelita da pirita ou wolframita 
Separação da Monasita de Ilmenita 
 
 60
Concentração de Vermiculita 
Enriquecimento de concentrados de fosfato 
Limpeza de carvão. 
 
EXERCÍCIOS 
1) Dispõe-se de um conjunto de 3 ciclones em paralelo na configuração Lapple, em 
razoável estado de conservação. O diâmetro do ciclones é 20 in. Estimar: 
a) A capacidade do conjunto 
b) O diâmetro da partícula que é coletada com eficiência de 95% 
c) A potência do soprador usado na operação 
Considerar que o gás tenha as propriedades física do ar a 200ºC e 1 atm e que as 
partículas sólidas tenham densidade 3 g/cm3. 
Resposta 
Capacidade da bateria de ciclones: 87 m3/min 
Diâmetro da partícula com eficiência de 95% = 20 microns 
Potência do soprador: ≅ 3 cv (eficiência 0,5). 
2) Estuda-se a possibilidade de reduzir o teor de cinzas de um carvão através da 
separação em hidrociclone operando em fase densa. A alimentação contém 2 partes 
de carvão para 1 de cinzas, em massa. A concentração volumétrica de carvão e cinzas 
na alimentação é de 5%. Carvão e cinzas apresentam a mesma distribuição 
granulométrica: 
 
 
Estimar o teor de cinzas do concentrado de carvão (overflow) que deve ser alcançado 
numa bateria de hidrociclone em paralelo de 2 in de diâmetro, nas configurações (a) 
Bradley e (b) Rietema, operando a uma queda de pressão de 45 psi. Fornecer também 
a capacidade de cada hidrociclone. 
Densidade do carvão e cinzas, respectivamente, 1.25 e 2.10 g/cm3 
Propriedades do fluido: densidade 1,21 g/cm3 e viscosidade 2,7 cP. 
Resposta: 
Fixando a relação entre os diâmetros de descarga (underflow) e da parte cilíndrica do 
hidrociclone em 0,15, na operação a 45 psi: 
Configuração Bradley Rietema 
Q por hidrociclone (m3/h) 1,901,90 4,74 
Relação % vazões 62,3 98,2 
X D= − −1
21 5
exp
,
1,35
 Dem m µ
 61
(overflow/alimentação) 
% carvão no underflow 58,8 41,1 
% carvão no overflow 75,4 75,6 
Total % de carvão perdido pelo 
underflow 
46,4 16,0 
3) Determinar a velocidade de sedimentação de uma suspensão de partículas esféricas 
de vidro, 30 mícrons de diâmetro, em glicerina. Sabe-se que a concentração de 
sólidos é de 300 g/litro de suspensão, as densidades do sólido e do líquido são 
respectivamente 2,6 g/cm3 e 1,3 g/cm3 e que a viscosidade do líquido é 18 centipoise. 
4) Foi conduzido no laboratório um ensaio de separação de argila (ρs = 2,64 g/cm3) de 
uma suspensão aquosa, em centrífuga tubular. Propriedades do fluido: ρ = 1,0 g/cm3 
e µ = 1 cP. Dimensões da centrífuga: R0 = 1,1 cm, R = 2,2 cm, L = 20 cm; Número de 
rotações da centrífuga: 20.000rpm. Capacidade para obter um sobrenadante 
satisfatório: 8 cm3/s. 
Determinar a produção da centrífuga industrial operando com a mesma suspensão a 
15.000 rpm. Suas dimensões são R0 = 5,21cm, R = 8,16cm e L = 73,4 cm. 
Determinar, também, o diâmetro de corte d50 (diâmetro da partícula que é coletada 
com eficiência de 50%) (L.Svarovsky, “Solid-liquid Separation”, Butterworths, 
Londers, p.132, 1977). 
5) O separador de poeira abaixo esquematizado opera em 3 compartimentos. Estimar a 
faixa de diâmetros das partículas retidas em cada compartimento. Dados: Vazão de 
gás = 5.000 ft3/min (ar a 20ºC e 1 atm); densidade das partículas, ρs = 3 g/cm3; 
esfericidade φ = 0,75