Análise Hierárquica Processo AHP

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A metodologia AHP 
Desenvolvida por Thomas Saaty em 1971, a AHP (Analytic Hierarchy Process) é uma metodologia de análise multicritério utilizada mundialmente no auxílio à tomada de decisão. Atualmente encontra-se estruturada em software (Decision Lens®, Expert Choice) e é aplicada em diversas situações de apoio à decisão: alocação de recursos, avaliação de funcionários, decisões em grupo, gestão de conflitos, análise custo/ benefício, formulação e avaliação de políticas, seleção de fornecedores, entre outras.
O método AHP reflete o que parece ser um método natural de funcionamento da mente humana: ao defrontar-se com um grande número de elementos, controláveis ou não, que abrangem uma situação complexa, ele os agrega em grupos, segundo propriedades comuns. Analogamente ao modelo cerebral, o AHP permite uma repetição desse processo, constituindo elementos de um nível mais elevado no sistema, até atingir-se um único elemento máximo que muitas vezes pode ser identificado como o objetivo do processo decisório.
Na verdade, o que acaba de ser descrito pode ser denominado como hierarquia, ou seja, um sistema de níveis estratificados, compostos por determinados elementos, chamados de fatores ou critérios. A questão central em termos da hierarquia é determinar com que peso os critérios individuais do nível mais baixo da hierarquia influenciam o objetivo geral da decisão.
Esta estrutura hierárquica, representada na figura 5, apresenta um objetivo ou meta que pode ser alcançado através da escolha de diferentes alternativas. A seleção da melhor alternativa pode ser bem complexa, principalmente quando existe um grande número de possibilidades ou objetivos conflitantes como ao comprar um carro usado com melhor estado de conservação, pagando o menor preço possível. Neste caso, analisam-se as alternativas (carros) diante da importância relativa dos critérios - estado de conservação, preço, desempenho, design .
Figura 1 - Exemplo de árvore hierárquica de decisão
Para determinar a prioridade ou importância dos critérios da árvore hierárquica, constrói-se uma matriz de comparação para cada par de critérios do mesmo nível que represente os julgamentos realizados. Para tanto, propõe a utilização de uma escala de intensidades que possibilita a comparação através de variáveis lingüísticas, como exemplificado no quadro abaixo. 
	Intensidade de importância
	Definição
	Explicação
	1
	Mesma importância
	As duas atividades contribuem igualmente para o objetivo.
	3
	Importância pequena de uma sobre a outra
	A experiência e o julgamento favorecem levemente uma atividade em relação à outra.
	5
	Importância grande ou essencial
	A experiência e o julgamento favorecem fortemente uma atividade em relação à outra.
	7
	Importância muito grande ou demonstrada
	Uma atividade é muito fortemente favorecida em relação à outra; sua dominação de importância é demonstrada na prática.
	9
	Importância absoluta
	A evidência favorece uma atividade em relação à outra com o mais alto grau de certeza.
	2, 4, 6, 8
	Valores intermediários entre os valores adjacentes
	Quando se procura uma condição de compromisso entre duas definições.
Quadro 1 - Escala de intensidades proposta por Saaty (1991)
Na figura abaixo temos um exemplo de matriz de comparação para determinar a importância relativa dos critérios A, B, C, D e E. Por convenção, a matriz é sempre preenchida comparando-se a característica que aparece na coluna à esquerda em relação à característica que aparece na linha superior (Saaty, 1991). Na relação A/B, por exemplo, lê-se o quanto a característica A é mais importante que a característica B. Ao final do preenchimento, pode ser observado que a diagonal da matriz será igual a 1, já que um elemento é igualmente importante quando comparado com ele próprio. Na parte superior, poderíamos ter como valores possíveis, 1, 1/3, 5, 1/7, 9, segundo a escala proposta por Saaty (1991). Já na parte inferior da matriz, teríamos os valores recíprocos apropriados: 1, 3, 1/5, 7 e 1/9.
Figura 2 - Exemplo de matriz de comparação de critérios
Por meio do cálculo de autovetores e autovalores das matrizes chegamos aos pesos dos critérios e à medida de inconsistência dos julgamentos, respectivamente. Um exemplo clássico é o processo de escolha de um carro. Neste caso, poderiam ser considerados como critérios, o preço do automóvel, o design e o desempenho, conforme tabela 1.
	
	Preço
	Design
	Desempenho
	Preço
	1
	7
	3
	Design
	1/7
	1
	1/5
	Desempenho
	1/3
	5
	1
Tabela 1 - Exemplo de matriz de comparação de critérios para a escolha de um carro
Fonte: Elaboração própria
Saaty (1991) sugere quatro métodos para obter o autovetor que originará o peso dos critérios. Através do primeiro somam-se os elementos em cada linha e normaliza-se o resultado dividindo-se cada soma pelo total de todas as somas, chegando-se ao autovetor. Já pelo segundo, toma-se a soma dos elementos em cada coluna e formam-se os recíprocos destas somas. Em seguida dividem-se cada recíproco pela soma dos recíprocos. No terceiro método, normalizam-se os elementos de cada coluna e, então, somam-se os elementos em cada linha resultante e divide-se pelo número de elementos na linha. 
Por se tratar de um método gerador de bons resultados, na visão de Saaty (1991), escolheu-se o quarto método. Através dele multiplicam-se os n elementos em cada linha e em seguida calcula-se a raiz n-ésima do resultado obtido, conforme mostrado na tabela 2. Neste exemplo, como existem somente três critérios, n = 3 e, portanto, tira-se a raiz cúbica dos elementos multiplicados. Em seguida, efetua-se a normalização dos valores encontrados, ou seja, divide-se cada valor da raiz n-ésima pela soma dos valores desta coluna. Este resultado final equivale ao peso de cada critério em relação aos demais. No exemplo, o peso do critério preço (C1) = 0,6491, o que corresponde a aproximadamente 64,9% da decisão. Em seguida temos o critério desempenho, correspondendo a 27,89% e por último o critério design com aproximadamente 7,19% do peso total da decisão. 
	
	C1=Preço
	C2=Design
	C3=Desempenho
	C1*C2*C3
	Raiz n-ésima
	Autovetor normalizado
	Percentagem
	C1=Preço
	1
	7
	3
	21
	2,7589
	0,6491
	64,91%
	C2=Design
	0,1429
	1
	0,2
	0,0286
	0,3057
	0,0719
	7,19%
	C3=Desempenho
	0,3333
	5
	1
	1,6667
	1,1856
	0,2789
	27,89
Tabela 2 - Pesos dos critérios utilizados para a escolha de um carro
Fonte: Elaboração própria
Para verificar a consistência da matriz, é necessário criar um novo vetor-coluna, obtido através da multiplicação da matriz pelo autovetor normalizado. O primeiro elemento do novo vetor-coluna será gerado a partir do seguinte somatório: (1 x 0,6491) + (7 x 0,0719) + (3 x 0,2789) = 1,9894. Após repetir esta operação para as três linhas, teremos o novo vetor-coluna [1,9894; 0,2204; 0,8549]. Em seguida, divide-se cada elemento do vetor-coluna pelo seu correspondente no autovetor normalizado. Para o critério preço (C1) temos 1,9894/ 0,641 = 3,0648. O resultado encontra-se na tabela 3:
	Vetor-coluna
	Vetor-coluna/ autovetor normalizado
	1,9894
	3,0649
	0,2204
	3,0650
	0,8549
	3,0650
Tabela 3 - Primeira etapa do teste de consistência
Em seguida calcula-se a média entre esses últimos valores encontrados: (3,0649 +3,0650 + 3,0650) /3 = 3,0650. Esta operação resulta no autovalor máximo (λmáx), que é a medida de consistência do julgamento. Quanto mais este valor se aproximar de n (no caso n = 3), mais consistente será o resultado. O desvio da consistência, também chamado de índice de inconsistência (IC), pode ser representado como: (λmáx –n)/(n – 1). Neste exemplo teríamos: IC = (3,0650 – 3)/( 3 – 1) = 0,0325. 
Segundo Saaty (1991), os índices randômicos (IR) são valores médios para IC de uma matriz recíproca gerada randomicamente cujos resultados estão reproduzidos na tabela 4:
	1
	2
	3
	4
	5
	6
	7
	8
	9
	10
	11
	12
	13
	14
	15
	0,00
	0,00
	0,58
	0,901,12
	1,24
	1,32
	1,41
	1,45
	1,49
	1,51
	1,48
	1,56
	1,57
	1,59
Tabela 4 - Índices randômicos
Fonte: Adaptado de Saaty (1991)
Para n = 3, IR = 0,58. A razão de IC para IR média, para matrizes de mesma ordem é chamada de razão de consistência (RC). Uma razão de consistência de 0,10 ou menos é considerada aceitável (Saaty, 1991). Para Neto (2007), o cálculo desta medida de inconsistência serve como um sinalizador do nível de entendimento e alinhamento dos decisores, permitindo retornar aos julgamentos para modificá-los em alguns pontos, a fim de melhorar a consistência geral da avaliação. 
No exemplo proposto, RC = 0,0325/0,58 = 0,0560. É, portanto, considerada aceitável, permitindo prosseguir a análise.
Estas comparações estabelecem as prioridades dos elementos de um nível de uma hierarquia com respeito a um elemento do nível seguinte. Se existirem mais de dois níveis, os vários vetores de prioridade podem ser combinados em matrizes de prioridades, que darão o vetor de prioridade final para o nível base (Saaty, 1991). 
Assim, a metodologia pode ser útil para formular problemas incorporando conhecimento e julgamentos, de forma que as questões envolvidas sejam claramente articuladas, avaliadas, debatidas e priorizadas.