Unidade IV - teorico

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Pesquisa Operacional
Responsável pelo Conteúdo:
Prof. Dr. Luciano Rossi
Revisão Textual:
Aline Gonçalves
Teoria da Decisão 
Teoria da Decisão 
 
 
• Possibilitar a tomada de decisão com base em métodos quantitativos e probabilísticos que 
permitam a escolha racional em um conjunto de alternativas possíveis.
OBJETIVO DE APRENDIZADO 
• Análise de Decisão Bayesiana;
• Análise de Decisão Multicritério.
UNIDADE Teoria da Decisão 
Análise de Decisão Bayesiana
Vimos, nas unidades anteriores, que a Pesquisa Operacional é um conjunto de 
métodos e/ou técnicas que têm base no conhecimento científico, o qual fornece as 
ferramentas necessárias para possibilitar a tomada de decisão em um contexto de 
incerteza. Assim, o contexto que mais demanda esse tipo de aplicação é o organiza-
cional, onde se busca constantemente a obtenção de bens e/ou serviços que tragam 
o máximo ganho possível com o mínimo custo de operação.
As decisões, em um contexto organizacional, podem ser classificadas por meio 
do nível no qual elas ocorrem e pela complexidade que elas carregam. Quanto aos 
níveis, podemos ter as decisões sendo tomadas nos níveis (i) estratégico, (ii) tático e 
(iii) operacional, em que se observa diferentes impactos provenientes das decisões.
Nesta unidade, trataremos dos conceitos que são preconizados pela Teoria da 
 Decisão, que pode ser definida como um conjunto de técnicas que auxiliam na toma-
da de decisão. Em particular, estudaremos nesta primeira seção a Análise de Decisão 
Bayesiana, que é uma das técnicas relacionadas à Teoria da Decisão. Assim, vamos 
iniciar nossos estudos pelos componentes de uma análise de decisão bayesiana.
Componentes de uma Análise 
de Decisão Bayesiana
Os componentes em uma análise bayesiana consideram, basicamente, as infor-
mações disponíveis no momento da tomada de decisão. Por exemplo, quando somos 
obrigados a decidir em um contexto no qual não há possibilidade de se obter novas 
informações e contamos apenas com as experiências passadas, estamos realizando 
uma análise a priori para tomar a decisão. Por outro lado, se é possível obter novas 
informações que sejam úteis para a revisão da decisão a priori, realizaremos uma 
análise a posteriori. A análise denominada preposteriori ocorre quando o tomador 
de decisão adia a escolha, de modo que ele possa receber mais informações sobre 
o problema, o que ocasionará um impacto sobre os custos associados à decisão. 
 Finalmente, chamamos de decisões sequenciais aquelas tomadas de forma incremen-
tal em diferentes etapas do processo, possibilitando a análise do impacto de cada 
decisão e a correção de rumo em função dessas análises.
Probabilidade
A probabilidade é uma área da Matemática que estuda a chance de ocorrência 
de determinados eventos. Atribui-se a origem da probabilidade em associação com 
diversos tipos de jogos. Em um jogo, os eventos possíveis de ocorrer são aleatórios 
e a probabilidade nos apresenta a estimativa de ocorrência de um evento em um 
contexto de incerteza.
8
9
Consideremos um exemplo simples para ilustrar o conceito de probabilidade. 
Suponha que queiramos saber a probabilidade de ocorrência do número cinco 
em um jogo de dados honesto. Veja que os resultados possíveis em um jogo de 
dados são { }1,2,3,4,5,6S = , esse conjunto de possibilidades é denominado espaço 
amostral. Considerando que o nosso evento é representado por { }5A = , a proba-
bilidade de ocorrência desse evento é:
1 0,167 16,67%.
6
A
S
= = =
Onde A é a cardinalidade do conjunto A, ou o tamanho desse conjunto. Por 
tamanho de conjunto estamos nos referindo à quantidade de elementos que ele con-
tém. Veja que a probabilidade pode ser expressa de três formas; como uma fração 
1
6
 
 
 
, como um fator ( )0,167 ou como porcentagem ( )16,67% .
Considere agora que queremos saber a probabilidade de, em um jogo de mo-
edas e de dados, ocorrer cara e o número três, respectivamente, em cada tipo de 
jogo. Primeiro, precisamos definir nosso espaço amostral. Seja k cara= e c coroa=
, assim, nosso espaço amostral é { }1, 2, 3, 4, 5, 6, 1, 2, 3, 4, 5, 6S k k k k k k c c c c c c= . 
Essa representação considera o resultado do jogo da moeda associado com o resul-
tado do jogo de dado, por exemplo, 5k representa o resultado cara, para o jogo da 
moeda, e 5, para o jogo do dado. Como nosso evento é { }3A k= , temos:
1 0,08 8,33%.
12
A
S
= = =
Na próxima seção, estudaremos a utilização da probabilidade para auxiliar na 
tomada de decisão, por meio da análise de decisão bayesiana.
Exemplo de Aplicação
Para ilustrar a análise de decisão bayesiana vamos considerar um exemplo prático, o 
qual é uma adaptação da aplicação apresentada por Goldschmidt (1970). Uma grande 
rede de lojas de calçados masculinos decidiu abrir uma filial em uma grande cidade. 
Para o cargo de gerente da nova loja, os diretores da rede consideram a aplicação de um 
teste que foi especialmente desenvolvido por uma consultoria da área. A aplicação do 
teste, para a admissão do novo gerente, terá um custo total estimado em R$ 5.000,00 
e alguns membros da diretoria são contrários a assumir esse custo e defendem que o 
novo gerente seja contratado sem a aplicação do teste.
Após um período de discussão sobre o problema, ficou decidido que, caso o 
teste fosse aplicado, os candidatos com um conceito final (N ) maior ou igual a 100 
formariam um primeiro grupo de seleção para a vaga de gerente na nova loja, e os 
candidatos com conceito menor que 100 formariam um segundo grupo. Além disso, 
9
UNIDADE Teoria da Decisão 
a diretoria verificou que havia outras lojas do grupo que optaram pela realização do 
teste, conseguiram levantar os dados de vendas dessas lojas e correlacioná-los com 
o conceito do respectivo gerente. Assim, a Tabela 1 apresenta os resultados dessa 
análise de correlação entre conceito (N ) e volume de vendas.
Tabela 1 - Correlação entre o volume de vendas nas lojas do grupo e seu respectivo gerente 
Volume de vendas Percentual de gerentes com N ≥ 100
Alto 100%
Médio 60%
Baixo 0%
Ainda de acordo com os dados históricos, a diretoria verificou que, caso a contra-
tação do novo gerente fosse feita sem a aplicação do teste de seleção, as probabilida-
des de ocorrência de cada um dos volumes de vendas (alto, médio ou baixo) seriam 
equivalentes, então estabeleceram que o volume de vendas seria considerado alto se 
fossem vendidos 160 pares de sapatos por mês. Caso a venda mensal fosse em torno 
de 100 pares, o volume de vendas seria considerado médio e 40 pares definiria um 
baixo volume de vendas. O preço médio de cada par de sapatos é de R$ 500,00, e 
estima-se que o custo mensal com a contratação será de R$ 12.000,00.
Uma árvore de decisão é um modelo probabilístico utilizado para a representação 
gráfica das opções existentes em determinado problema e de uma probabilidade asso-
ciada a cada opção. Nesse contexto, cada “ramo” de uma árvore de decisão representa 
uma das opções possíveis e, a partir da seleção de um dos ramos, podemos ter outros 
desdobramentos que indicam novas opções possíveis. A Figura 1 apresenta a árvore 
de decisão que descreve as opções de escolha para o problema descrito.
R$ 80.000,00
R$ 50.000,00
R$ 20.000,00
R$ 0,00
R$ 80.000,00
R$ 50.000,00
R$ 20.000,00
R$ 0,00
R$ 80.000,00
R$ 12.00
0,00A
dmitir
Admitir
Admitir
Alto
Aplic
ar
N ≥ 1
00
N < 100
Não Admitir
Não Admitir
Não Admitir
Não Aplicar
R$ 12.00
0,00R$ 5
.000
,00
R$ 12.00
0,00
1/3
1/3
1/3
R$ 50.000,00
R$ 20.000,00
R$ 0,00
Médio
Baixo
Alto
Médio
Baixo
Alto
Médio
Baixo
Figura 1 – Árvore de decisão para o problema da loja de sapatos. 
Os losangos indicam pontos de decisão e os círculos representam eventos 
Fonte: Adaptado de GOLDSCHMIDT (1970)
Veja que, inicialmente, há um ponto de decisão que é representado pelo primeiro 
losango à esquerda na Figura 1; nesse caso, a escolha deve ser feita entre a opção de 
10
11
aplicar o teste ou não. Caso a opção seja por aplicar o teste, há o custode R$ 5.000,00 
dessa aplicação, o qual é representado na árvore de decisão destacado em vermelho. 
Por outro lado, se optarmos por não aplicar o teste, não haverá esse custo. 
Seguindo da esquerda para a direita na árvore de decisão, observamos um evento, 
representado por um círculo na figura, para o qual há uma distinção entre o grupo de 
candidatos a gerente que obtiveram a nota 100N ≥ no teste e os demais. A partir des-
se ponto, há outros pontos de decisão que representam a mesma escolha em ramos 
diferentes da árvore. A escolha, nesse caso, é de admitir ou não o gerente para a nova 
loja. Note que, para o caso de não admissão, o valor do faturamento da loja é zero, 
pois assumimos que sem a figura do gerente não haverá vendas.
Independentemente do ramo que seja seguido na árvore, a opção pela admissão 
do gerente representará um custo mensal de R$ 12.000,00, o qual é destacado, na 
figura, em vermelho. Note que todos os valores em vermelho definem um desembolso. 
O último evento representado nos diferentes ramos da árvore refere-se ao volume de 
vendas previsto. Esses volumes podem ser altos, médios ou baixos. Os valores que 
correspondem ao faturamento para os respectivos volumes de vendas são representa-
dos, na cor azul, à direita da Figura 1. O cálculo para a obtenção desses valores é feito 
considerando o volume de vendas previsto multiplicado pelo valor médio de cada par 
de sapatos. Assim, teremos os seguintes montantes para cada volume de venda:
:1 60 * 500 80000volume alto =
:100 * 500 50000volume médio =
: 40 * 500 20000volume baixo =
A árvore de decisão necessita de uma informação adicional para que possa ser 
considerada de forma efetiva. Nesse contexto, é preciso que tenhamos uma estima-
tiva da probabilidade de ocorrência de cada um dos ramos possíveis. A descrição do 
problema evidencia que, para o caso em que admitimos um gerente sem a aplicação 
do teste, as probabilidades de ocorrência para cada um dos três volumes de vendas 
são as mesmas, ou seja, 
1
3
 (podemos interpretar como sendo uma ocorrência em 
três possíveis). Esses valores são representados, na Figura 1, na cor verde. Essas pro-
babilidades não são válidas para os demais ramos, nos quais optamos pela realização 
do teste. Nesses casos, a probabilidade deve ser calculada.
A escolha de realizar o teste aos candidatos à vaga de gerente nos traz uma infor-
mação adicional que pode alterar o espaço amostral no qual estamos trabalhando. 
Assim, vamos utilizar o teorema de Bayes para calcular a probabilidade condicional de 
um candidato que tenha 100N ≥ , dado o volume de vendas. A fórmula do teorema de 
Bayes tem a seguinte forma geral:
( ) ( ) ( )
( ) ( )1
| *
| 
| *
i i
i n
j jj
P A B P B
P B A
P A B P B
=
=
∑
11
UNIDADE Teoria da Decisão 
Assim, o cálculo da probDar espaçoabilidade de o volume de vendas ser alto, dado 
que o candidato tenha obtido 100N ≥ no teste, será:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
100| *
| 100
100| * 100| * 100| *
P N A P A
P A N
P N A P A P N M P M P N B P B
≥
≥ =
≥ + ≥ + ≥
Essa equação demonstra o cálculo da probabilidade de o volume de vendas ser alto, 
dado que o gerente obteve nota maior ou igual a 100 ( ( | 100)P A N ≥ ). Assim, o teorema 
de Bayes descreve essa probabilidade como a razão entre a probabilidade de o gerente 
ter obtido nota maior ou igual a 100, dado que as vendas foram altas, e a soma dos pro-
dutos das probabilidades de o gerente ter obtido nota maior ou igual a 100, dado que os 
volumes de vendas foram alto, médio e baixo, respectivamente, e a probabilidade a priori 
de cada volume de vendas.
Aplicando o teorema para calcular a probabilidade de o volume de vendas ser alto 
( ( )P A ), dado que 100N ≥ , temos o seguinte:
( )
11* 53| 100
1 1 1 81* 0,6* 0*
3 3 3
P A N ≥ = =
     + +     
     
Nesse mesmo sentido, a probabilidade de o volume de vendas ser médio ( )( )P M , 
dado que 100N ≥ , é:
( )
10,6* 33| 100
1 1 1 81* 0,6* 0*
3 3 3
P M N ≥ = =
     + +     
     
Finalmente, a probabilidade de o volume de vendas ser baixo ( ( )P B ), dado que 
100N ≥ , é:
( )
10*
3| 100 0
1 1 11* 0,6* 0*
3 3 3
P B N ≥ = =
     + +     
     
A aplicação do teorema de Bayes para calcular a probabilidade do volume de 
vendas, dado que o gerente teve a nota de teste menor que 100, segue a mesma 
lógica utilizada para os cálculos anteriores. Assim, as probabilidades calculadas serão 
as seguintes:
( )| 100 0P A N < =
12
13
( ) 2| 100
7
P M N < =
( ) 5| 100
7
P B N < =
Note que, em ambos os casos, a soma das probabilidades é sempre igual a 1.
As probabilidades de ocorrência estão associadas com os eventos na árvore de 
decisão. Cada evento tem uma chance de ocorrer, a qual é representada pela proba-
bilidade. Anteriormente, calculamos as probabilidades para representar as chances 
de ocorrência dos eventos relacionados com os volumes de vendas. Há, também, a 
necessidade de se calcular as chances do evento relacionado com a nota do teste. 
Nesse caso, a probabilidade relacionada com o evento da nota ( ( )100P N ≥ ) é obtida 
por meio do produto da probabilidade a priori de cada evento de venda e a probabi-
lidade a posteriori de cada evento de venda. Por exemplo, a probabilidade de vendas 
altas sem a aplicação do teste é ( ) 1
3
P A = e a probabilidade de um gerente que tem
nota maior ou igual a 100, dado que as vendas foram altas, é ( 100 | ) 1.P N A≥ =
Nesse contexto, a probabilidade conjunta dos eventos considerados é:
( ) ( ) 1 1100| * 1*
3 3
P N A P A≥ = =
A somatória das probabilidades conjuntas dos eventos A, B e C resultará na pro-
babilidade marginal do evento ( )100P N ≥ , conforme descrito na Tabela 2.
Tabela 2 – Cálculo da probabilidade marginal para o evento de teste
P (A) P (M) P (B)
Probabilidade 
Marginal
( )100P N ≥ 1 11*
3 3
=
1 10,6*
3 5
=
10* 0
3
=
8
15
( )100P N < 10* 0
3
=
1 20,4*
3 15
=
11* 1
3
=
7
15
Probabilidade a priori
1
3
1
3
1
3
1
Fonte: GOLDSCHMIDT (1970) 
A probabilidade marginal é calculada por meio da somatória das probabilidades 
conjuntas. Note que, para ( 100)P N < , consideramos o complemento da probabilida-
de a posteriori de cada evento. A Figura 2 apresenta a árvore de decisão, referente 
ao nosso problema, com a representação das probabilidades associadas aos eventos 
e os valores esperados para cada ponto de decisão.
13
UNIDADE Teoria da Decisão 
R$ 68.750,00
R$ 56.750,00
R$ 30.266,00
R$ 7.733,00
R$ 16.571,00
R$ 28.571,00
R$ 38.000,00
R$ 50.000,00
R$ 20.000,00
R$ 0,00
R$ 80.000,00
R$ 50.000,00
R$ 20.000,00
R$ 0,00
R$ 80.000,00
R$ 12.00
0,00A
dmitir
Admitir
Admitir
Alto
Aplic
ar
N ≥ 1
00
N < 100
Não Admitir
Não Admitir
Não Admitir
Não Aplicar
R$ 12.00
0,00R$ 5
.000
,00
R$ 12.00
0,00
1/3
1/3
1/3
0
2/7
5/7
7/15
8/15
5/8
3/8
0
R$ 50.000,00
R$ 20.000,00
R$ 0,00
Médio
Baixo
Alto
Médio
Baixo
Alto
Médio
Baixo
Figura 2 – Árvore de decisão para o problema da loja de sapatos. As probabilidades 
são representadas em verde e os valores internos referem-se ao faturamento esperado
Fonte: Adaptado de GOLDSCHMIDT (1970)
Vamos analisar a árvore de decisão, na Figura 2, a partir dos ramos superiores. 
O evento referente à expectativa do volume de vendas é calculado pela média pon-
derada de cada volume e sua probabilidade associada. Assim, o volume de vendas 
esperado nesse ramo da árvore é:
( )5 3*80000 *50000 0*20000 68750
8 8
   + + =   
   
Esse valor não considera o custo da admissão do gerente, que é de R$ 12.000,00, 
o qual deve ser descontado, o que resultará no valor de R$ 56.750,00 de faturamento 
esperado no caso de admitirmos um gerente com 100N ≥ . Veja que a probabilidade 
marginal associada ao evento de contratar um gerente com 100N ≥ é de 
8
15
, assim, 
temos que multiplicar essa probabilidade pelo faturamento esperado, da seguinte forma:
8 *56750 30266.
15
=
Além disso, temos que descontar o custo da aplicação da prova, que é de 
R$ 5.000,00,o que nos fará chegar à conclusão de que, se admitirmos um gerente 
que realizou a avaliação e obteve uma nota maior ou igual a 100, nós teremos um 
faturamento esperado de R$ 25.266,00.
Considerando o mesmo procedimento para o evento do volume de vendas, no 
qual o gerente obteve uma nota inferior a 100, teremos o seguinte:
( ) 2 50*80000 *50000 *20000 28571
7 7
   + + =   
   
14
15
Realizando o desconto referente ao custo do processo de admissão de 
R$ 12.000,00, teremos um valor de R$ 16.571,00. Considerando, ainda, a probabi-
lidade marginal desse evento, temos:
7 *16571 7733
15
=
Por fim, descontando o custo da aplicação da prova, resta-nos um valor de 
R$ 2.733,00 que corresponde ao faturamento esperado no caso de admitirmos um 
gerente que realizou a avaliação e obteve uma nota inferior a 100.
Finalmente, vamos realizar a mesma análise para o caso no qual admitiremos um 
gerente sem a aplicação da avaliação. O faturamento esperado é dado por:
1 1 1*80000 *50000 *0 50000
3 3 3
     + + =     
     
Descontando o custo de admissão de R$ 12.000,00, restará o valor de 
R$ 38.000,00. Como não temos o custo da avaliação para esse caso, esse valor 
corresponde à expectativa de faturamento se ocorre de admitirmos um gerente sem 
a aplicação da avaliação. 
Observe que os ramos na árvore que representam os casos nos quais não houve a 
admissão do gerente para a nova loja de sapatos foram desconsiderados. Esses ramos 
nos levam a uma expectativa de faturamento igual a zero, o que corresponde à não 
realização de vendas devido à ausência de gerente.
De acordo com os resultados analisados na árvore de decisão, temos que a 
 opção que resultará em um maior faturamento mensal médio é a contratação de um 
 gerente para a nova loja sem a aplicação da avaliação. Essa opção resultará em um 
faturamento de R$ 38.000,00, valor que é superior aos associados às outras opções 
(R$ 25.266,00 e R$ 2.733,00).
Análise de Decisão Multicritério
 Os nossos estudos foram desenvolvidos sobre os principais temas voltados para a 
tomada de decisão, mais especificamente, consideramos métodos quantitativos para a 
modelagem e a seleção das melhores alternativas. Nesta seção, consideraremos uma 
abordagem menos matemática e mais gerencial. Trata-se do método denominado 
Análise de Decisão Multicritério. Nesse contexto, esse método busca fornecer uma 
abordagem mais simples para o tratamento de problemas complexos, sem que haja 
detrimento da eficácia e da eficiência na busca pelos resultados ótimos.
A Teoria da Decisão, a qual é o tema central nesta unidade, descreve diferentes ele-
mentos que são pertinentes ao processo decisório. O elemento central nesse processo 
15
UNIDADE Teoria da Decisão 
é o tomador de decisão, que pode ser um único indivíduo ou um grupo. Além do 
tomador de decisão, há sempre a alternativa mais viável, por meio da qual obteremos 
a melhor solução para o nosso problema. Outro elemento importante é o cenário 
(contexto) no qual a decisão está sendo tomada. Esse cenário, comumente, é uma 
 visão de futuro no qual se considera os impactos da decisão. A avaliação da alternativa 
selecionada é feita por meio de um critério específico que indicará o quão viável é a 
 alternativa escolhida. O critério é quantificado por meio de um atributo, que é um 
 valor de desempenho associado. Por fim, uma tabela de pagamentos mapeia os 
 valores esperados como retorno das diferentes alternativas.
Considere um exemplo no qual você precisa decidir entre quatro alternativas de 
investimento. Nesse contexto, o seu consultor financeiro estabeleceu três cenários 
distintos, os quais descrevem (i) a queda, (ii) a manutenção ou (iii) o aumento da taxa 
de juros atual. Além disso, o consultor estimou uma probabilidade de ocorrência para 
cada cenário, sendo 10%, 60% e 30%, respectivamente. Os ganhos esperados para 
cada uma das alternativas são descritos na Tabela 3.
Tabela 3 – Pagamentos com o mapeamento dos ganhos 
esperados em cada uma das alternativas consideradas
Alternativas
Cenários
10% 60% 30%
1 R$ 1.000,00 R$ 1.200,00 R$ 1.500,00
2 R$ 950,00 R$ 1.300,00 R$ 1.600,00
3 R$ 800,00 R$ 1.200,00 R$ 1.650,00
4 R$ 650,00 R$900,00 R$ 1 .720,00
Fonte: Adaptado de COSTA (2002)
O exemplo, anteriormente apresentado, pode ser detalhado por meio dos ele-
mentos da Teoria da Decisão:
• Tomador de decisão: você, leitor;
• Alternativa mais viável: é a solução buscada para o problema;
• Cenário: as variações futuras da taxa de juros;
• Critério: o maior ganho possível;
• Atributo: dinheiro, unidade financeira;
• Tabela de pagamentos: descrita na Tabela 3.
A análise multicritério, como o próprio nome se refere, aborda a solução de proble-
mas de decisão por meio de diferentes critérios. Nesse sentido, a análise multicritério é 
composta por um objetivo (identificar a alternativa mais adequada), um conjunto de cri-
térios e um conjunto de alternativas, todos esses elementos estão associados e formam 
um hierarquia de possibilidades. Assim, as análises podem ser conduzidas por meio da 
avaliação do desempenho das alternativas, de acordo com os critérios estabelecidos, 
e pela avaliação da importância dos critérios, em função do objetivo pretendido.
16
17
Uma especialização da análise multicritério é denominada Método da Análise 
Hierárquica, que tem por objetivo a seleção de alternativas em um processo decisó-
rio no qual haja distintos critérios de avaliação. O modelamento do problema é feito 
por meio da estruturação de uma hierarquia em camadas que definem: (i) o objetivo, 
(ii) os critérios e (iii) as alternativas. 
Considere um exemplo de problema no qual queremos realizar a compra de um 
automóvel, esse é o nosso objetivo na hierarquia. Temos como critérios: (a) o custo 
de aquisição, (b) o custo de manutenção, (c) o conforto, (d) o prestígio que o carro nos 
trará e (e) o desempenho. Suponha que, nesse exemplo, tenhamos subcritérios que 
nos ajudem a definir os critérios. Assim, os subcritérios para cada critério são: (a1) o 
preço, (a2) a forma de pagamento, (b1) o custo dos serviços, (b2) o custo das peças, (c1) 
a dirigibilidade, (c2) o espaço interno, (e1) a potência e (e2) a velocidade. Considere, 
também, que temos três alternativas de carros; A1, A2 e A3.
Objetivo Aquisição de um automóvel
(A1)
(a)
(a1) (a2) (b1) (b2) (c1) (c2) (e1) (e2)
(b) (c) (d) (e)
(A2) (A3)
Critérios
Subcritérios
Alternativas
Figura 3 – Hierarquia com duas camadas de critérios
Fonte: Adaptado de COSTA (2002)
A Figura 3 apresenta o esquema hierárquico que modela o problema da escolha 
de um automóvel para aquisição. Nessa representação podemos identificar os princi-
pais elementos para a construção da hierarquia. O primeiro elemento considerado é 
denominado de foco principal, que, no nosso exemplo, é definido como a aquisição 
de um automóvel. Outro elemento importante é o conjunto de alternativas viáveis 
que descreve as opções sobre as quais realizaremos a nossa escolha, e no exemplo 
as alternativas são os três automóveis que são disponíveis para a aquisição. O último 
elemento da hierarquia é o conjunto de critérios. Esse último elemento tem por obje-
tivo descrever, de maneira mais detalhada, os atributos associados às alternativas, de 
modo que possam facilitar a avaliação do seu desempenho. As características mais 
importantes referentes aos critérios são: (i) a completude, que garante que todas as 
propriedades importantes estão consideradas, (ii) a minimização, não permitindo a 
ocorrência de redundância, e (iii) a operacionalidade, que garante a fácil compreen-
são dos critérios pelo tomador de decisão.
O elemento da hierarquia que se refere aos critérios pode ser desdobrado em di-
versos níveis. Note que o exemplo apresentado na Figura 3 considera dois níveis de 
critérios. A quantidade de níveis utilizada é definida a partir do grau de complexidade 
do contexto da decisão. Quanto maior a complexidade, maior deve ser o número de 
camadas de critérios.17
UNIDADE Teoria da Decisão 
O processo de seleção da melhor alternativa é feito por meio da comparação, par a 
par, dos elementos de uma camada da hierarquia com os elementos da camada supe-
rior. Desse modo, faremos a comparação entre os desempenhos dos automóveis A1 e 
A2 nos elementos adjacentes, que são os subcritérios da camada superior. Em outras 
palavras, avaliaremos qual dos veículos apresenta o melhor preço, a melhor forma 
de pagamento, o melhor custo de manutenção, assim por diante. Note que devemos 
fazer a avaliação entre (A1 e A2), (A1 e A3) e (A2 e A3), assim, teremos um cenário 
comparativo entre todas as alternativas possíveis, segundo os subcritérios desejados.
O mesmo processo de avaliação pareada deve ser realizado entre as camadas dos 
subcritérios e dos critérios. Nesse caso, estamos interessados em estabelecer quais 
subcritérios são mais importantes para o respectivo critério. Por exemplo, vamos 
analisar os subcritérios preço e forma de pagamento e julgar qual deles é mais 
importante para o critério custo de aquisição. O objetivo aqui é estabelecer uma 
importância relativa para os subcritérios por meio do seu impacto no critério.
Para a camada dos critérios, faremos a avaliação pareada de acordo com o nosso 
foco principal. Considere, por exemplo, os critérios custo de aquisição e custo de 
manutenção. O objetivo é avaliar qual desses dois critérios é mais impactante no 
foco principal, que é a aquisição de um automóvel. Essa avalição deve ser feita 
para todos os pares de critérios.
A avaliação descrita aqui é qualitativa, ou seja, estamos estabelecendo valores 
não numéricos para a diferenciação entre os elementos da hierarquia. Desse modo, 
podemos considerar diferentes escalas para a designação de valores que diferenciem 
os elementos, par a par. Uma escala possível de se utilizar é composta por cinco 
diferentes graus de importância: (i) igual, (ii) moderada, (iii) forte, (iv) muito forte e 
(v) extrema. A utilização dessa escala é feita de acordo com o seguinte exemplo: o 
 tomador de decisão pode avaliar que o automóvel A1 tem um desempenho igual ao 
A2, quando estamos considerando o subcritério preço. Ou, ainda, pode-se conside-
rar que a importância do subcritério espaço interno é muito forte quando compa-
rado com o subcritério dirigibilidade, considerando-se o critério conforto.
A coleta dos dados de avaliação dos elementos da hierarquia pode ser feita por 
meio de formulários que avaliam pares de elementos no mesmo nível na hierarquia 
sob a ótica de um elemento no nível superior. Os tomadores de decisão devem ser 
indivíduos que tenham um bom nível de conhecimento a respeito daquilo que se 
pretende julgar.
O próximo passo para a escolha da melhor opção, segundo o método da análise 
hierárquica, é o estabelecimento de valores (escala quantitativa) associados aos graus 
de importância (escala qualitativa). Podemos considerar a correlação entre as escalas 
de acordo com o apresentado na Tabela 4.
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Tabela 4 – Correlação entre as escalas qualitativa e quantitativa
Escala qualitativa Escala quantitativa
Importância igual 1
Importância moderada 3
Importância forte 5
Importância muito forte 7
Importância extrema 9
Fonte: Adaptado de COSTA (2002)
Os resultados das avaliações pareadas são utilizados para a representação de tabelas 
onde os respectivos valores quantitativos são apresentados. Trata-se de representação 
de uma matriz recíproca, na qual as interseções entre linha e coluna contêm os valores 
do julgamento. Veja na Tabela 5 os resultados para a avaliação pareada dos critérios 
em função do objetivo.
Tabela 5 – Matriz recíproca para a avaliação dos critérios em função do foco principal 
Foco principal (a) (b) (c) (d) (e)
Custo de aquisição (a) 1 5 3 9 1/2
Custo de manutenção (b) 1/5 1 3 1/5 1/2
Conforto (c) 1/3 1/3 1 3 2
Prestígio (d) 1/9 5 1/3 1 1/3
Desempenho (e) 2 2 1/2 3 1
Fonte: Adaptado de COSTA (2002)
O preenchimento da Tabela 5 considera os resultados das avaliações pareadas. Por 
exemplo, na avaliação entre o custo de aquisição (a) e o custo de manutenção (b), con-
siderou-se que o primeiro tem uma importância forte em relação ao segundo, assim, 
a nota respectiva foi 5. Veja que, se invertemos a avaliação desses critérios, ou seja, o 
custo de manutenção (b) comparado com o custo de aquisição (a), o valor preenchido 
na célula é uma fração onde o denominador é igual à nota para os critérios na ordem 
inversa, e o numerador é igual a um (1/5). Essa característica é inerente às matrizes 
recíprocas. Veja também que nas células que estão na interseção do mesmo critério o 
valor preenchido é igual a 1, ou seja, se o critério é o mesmo, a importância é igual.
A construção das matrizes recíprocas deve ser feita para todos os elementos nos 
níveis da hierarquia. A Figura 4 apresenta as matrizes para a avaliação dos subcrité-
rios, de acordo com cada critério. 
Veja que o “prestígio” não apresenta subcritérios, assim, avaliamos as alternativas 
(A1, A2 e A3) segundo esse critério, visto que na hierarquia esses elementos são adja-
centes. As alternativas, no último nível da hierarquia, devem ser avaliadas de acordo 
com cada subcritério no nível superior, de maneira similar àquela considerada para 
o critério prestígio.
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UNIDADE Teoria da Decisão 
Custo de 
aquisição (a)
Preço (a1)
Forma de
pagamento (a2)
(a1)
1
1
5
1/5
(a2)
Prestígio (d)
A1
A2
A3
A3A1
1
1
1
3
1/3 1/3
1/5
35
A2 Desempenho (e)
Potência (e1)
Velocidade (e2)
(e1)
1
1
3
1/3
(e2)
Custo de
manutenção (b)
Custo de serviços
(b1)
Custo de peças
(b2)
(b1)
1
1
1/3
3
(b2) Conforto (c)
Dirigibilidade (c1)
Espaço (c2)
(c1)
1
1
1/3
3
(c2)
Figura 4 – Matrizes recíprocas para avaliação dos subcritérios em função dos respectivos critérios
Fonte: adaptado de COSTA (2002)
O passo seguinte do processo de avaliação consiste em normalizar os valores 
das tabelas. Essa normalização é feita dividindo os valores das células de cada colu-
na pela somatória desses valores nas respectivas colunas. Vamos considerar, como 
exemplo, a Tabela 5. Primeiro, calculamos a somatória de todas as colunas, assim, 
para a coluna (a) temos: 
1 1 11 2 3,64
5 3 9
+ + + + = . A seguir, dividimos cada valor da 
coluna pela somatória calculada:
1 3,64 0,27÷ =
1 3,64 0,05
5
÷ =
1 3,64 0,09
3
÷ =
1 3,64 0,03
9
÷ =
2 3,64 0,55.÷ =
Esses valores normalizados devem substituir os valores originais nas células. 
A Tabela 6 apresenta a matriz recíproca normalizada.
Tabela 6 – Matriz recíproca normalizada para a avaliação dos critérios em função do foco principal
Foco principal (a) (b) (c) (d) (e)
Custo de aquisição (a) 0,27 0,38 0,38 0,56 0,12
Custo de manutenção (b) 0,05 0,08 0,38 0,01 0,12
Conforto (c) 0,09 0,03 0,13 0,19 0,46
Prestígio (d) 0,03 0,38 0,04 0,06 0,08
Desempenho (e) 0,55 0,15 0,06 0,19 0,23
Fonte: Adaptado de COSTA (2002)
Após a normalização de todas as matrizes recíprocas, o próximo passo é o cálculo 
das médias locais (ML) para cada uma das linhas da matriz. O cálculo das ML é feito a 
20
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partir da soma de todos os valores das linhas dividido pelo número de valores. Assim, as 
ML para as linhas na Tabela 6 são:
( )0,27 0,38 0,38 0,56 0,12 5 0,34+ + + + ÷ =
( )0,05 0,08 0,38 0,01 0,12 5 0,13+ + + + ÷ =
( )0,09 0,03 0,13 0,19 0,46 5 0,18+ + + + ÷ =
( )0,03 0,38 0,04 0,06 0,08 5 0,12+ + + + ÷ =
( )0,55 0,15 0,06 0,19 0,23 5 0, 24+ + + + ÷ =
As ML calculadas definem um vetor de prioridades para cada elemento na ma-
triz. Assim, a média local para os critérios, de acordo com foco principal, é o vetor: 
[ ]0,34; 0,13; 0,18; 0,12; 0, 24Foco PrincipalML = . Veja que cada elemento no vetor repre-
senta a ML de um dos critérios avaliados. Dizemos que esses valores representam a 
prioridade de escolha dentre os critérios. 
O último passo para a seleção das alternativas, de acordo com a hierarquia esta-
belecida pelo foco principal e pelos critérios de seleção, é o cálculo da média global 
(MG). Nesse sentido,vamos considerar uma simplificação do exemplo anterior, com 
o objetivo de ilustrar de forma mais simples o cálculo e a interpretação das MG. 
 Considere a Figura 5, que apresenta uma hierarquia com uma única camada de cri-
térios e as respectivas ML calculadas.
Note que temos quatro critérios na hierarquia da Figura 5 e três alternativas. Os valo-
res acima dos critérios formam o vetor de priorização (ML), os quais indicam qual dos 
critérios deve ser escolhido em função da ML. Nesse caso, o critério (b) é o que apresenta 
a maior ML (0,45). Lembrando que esses valores são resultado da avaliação pareada dos 
critérios tendo em vista o foco principal. Abaixo de cada critério há o respectivo vetor 
de ML das alternativas. Assim, as cores que destacam os valores representam uma das 
três alternativas. Poderíamos interpretar esses valores da seguinte forma: sob a ótica do 
critério (a), a alternativa com maior prioridade (ML = 0,6) é A3.
0,09 0,45 0,06 0,22
Foco PrincipalObjetivo
ML
Critérios
Alternativas
ML
(A1)
0,1 ; 0,3 ; 0,6 0,5 ; 0,3 ; 0,2 0,4 ; 0,3 ; 0,2 0,6 ; 0,1 ; 0,3
(a) (b) (c) (d)
(A2) (A3)
Figura 5 – Hierarquia com uma única camada de critérios e os respectivos vetores de priorização
Fonte: Adaptado de COSTA (2002)
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UNIDADE Teoria da Decisão 
As ML não permitem que escolhamos uma das alternativas, pois não descrevem 
as prioridades de maneira global. Assim, a MG nos revelará uma prioridade, obtida a 
partir das ML, de modo a permitir a priorização. O cálculo da MG é feito por meio 
da soma dos produtos das ML em todos os níveis. Por exemplo, a MG de A1 será:
( ) ( ) ( ) ( )
1
0,09*0,1 0,45*0,5 0,06*0,4 0,22*0,6 0,39AMG = + + + =
Veja que multiplicamos a ML de (a) pela ML de A1 nos quatro vetores (valores em 
azul). Para o cálculo da MG de A2, o procedimento é o mesmo:
( ) ( ) ( ) ( )
2
0,09*0,3 0,45*0,3 0,06*0,3 0,22*0,1 0,20AMG = + + + =
Analogamente, a MG de A3 é:
( ) ( ) ( ) ( )
3
0,09*0,6 0,45*0,2 0,06*0,2 0,22*0,3 0,22AMG = + + + =
A representação das MG calculadas também é feita na forma de um vetor de prio-
ridade: [ ]0,39; 0, 20; 0, 22MG = , esses valores referem-se às prioridades para cada 
alternativa, sob a ótica do foco principal. Assim, para esse exemplo, selecionaríamos 
a alternativa A1, cuja 0,39MG = é a maior dentre as demais MG.
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Material Complementar
Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:
 Vídeos
 Probabilidade: Conceitos Básicos
O professor Paulo Pereira explica, no vídeo, os conceitos básicos de probabilidade, 
com experimentos aleatórios e determinísticos, Espaço Amostral e Eventos.
https://youtu.be/8g571hUvgeo
 Teorema de Bayes – Características (Probabilidade a Priori, Condicional e Conjunta)
No vídeo, você conhecerá melhor o Teorema de Bayes, explicando sobre 
probabilidade a priori, probabilidade condicional, probabilidade conjunta e 
probabilidade a posteriori.
https://youtu.be/78R1yNVGnSk
Árvore de Decisão: método simplificado
Aprenda uma maneira simplificada para aplicar a árvore de decisão em casos reais. 
https://youtu.be/dJxHpfZx__U
AHP: Analytic Hierarchy Process
Veja mais sobre o método de análise hierárquica no vídeo com explicações do 
professor Aneirson Silva, que traz a história do método, contextualização, aplicação, 
entre outros. 
https://youtu.be/da29aL_2Nio
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UNIDADE Teoria da Decisão 
Referências
ANDRADE, E. L. Introdução à pesquisa operacional: métodos e modelos para a 
análise de decisão. 4. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2011.
COSTA, H. G. Introdução ao método de análise hierárquica: análise multicritério 
no auxílio à decisão. Niterói: HGC, 2002.
GOLDSCHMIDT, P. C. A teoria da decisão bayesiana na estratégia mercadológica. 
Revista de Administração de Empresas, v. 10, n. 1, p. 65-77, 1970.
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