lista 05 Fatorial, Combinação e Permutação

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FACULDADE ESTACIO DO RECIFE. CURSO DE SISTEMA DE INFORMAÇÃO/ADS. 
MATEMATICA APLICADA A COMPUTAÇÃO. LISTA 05 
 
FATORIAL. Definimos o fatorial de um número inteiro n>1 como o produto de todos os inteiros de n até 1. 
 
Notação n! = n. (n-1).(n-2) ... 2.1 
 
Exemplo 1. 5! = 5.4.3.2.1 = 120 3! = 3. 2. 1= 6 2! = 2.1 = 2 
 
Obs. Sabemos que 4! = 4.3.2.1 = 4. 3! 5! = 5.4.3.2.1. 5.4! 
 
De modo geral podemos escrever n! = n.(n-1)! 
 
Além disso, definimos 1! = 1 e 0! = 1 
 
Simplifique: a) 
!6
!8
= b) 
!3!.6
!5!.4
 c) 
!12
!10
 d) 
!3!.8
!6!.5
 e) 
!4!.2
!6
 f) 
5! !3
!8
 g) 
!4 !0
!5
 
h) 
𝑛!
(𝑛+1)!
 i) 
(𝑛+2)!
(𝑛−1)!
 j) 
𝑛!(𝑛−2)!
(𝑛−1)!(𝑛−1)!
 
 
PERMUTAÇÕES. 
 
 O Princípio Multiplicativo e suas generalizações aplicam-se freqüentemente quando fazemos várias 
escolhas de um único conjunto e temos interesse na ordem em que são feitas. 
 Suponha que temos n elementos (n  1) e queremos formar grupos com p elementos distintos, 0  p  n , 
que diferem entre si pela ordem ou pela natureza dos p elementos que compõem cada grupo. Qualquer 
um desses arranjos será chamado de permutação. 
 Pelo Princípio Multiplicativo, temos que a 1ª escolha pode ser feita de n maneiras diferentes, a segunda 
pode ser feita de n-1 formas, a 3ª de n-2 formas, e assim, sucessivamente, até que o p-ésimo elemento é 
escolhido de n- (p-1) maneiras. Assim, o número de permutações 
n
pP
que podemos formar com p elementos 
é: n. (n-1).)(n-2 ) . [n- (p-1)] = n. (n-1).)(n-2 ) . [n- (p-1)]. (n-p). (n-p-1) .... 2 . 1 
 (n-p). (n-p-1) .... 2 . 1 
 
 
)!(
!
pn
n
Pnp


 
 
 Quando p = n, cada grupo é formado de n elementos e P
n
n
 = n! 
 COMBINAÇÕES 
 Desejamos selecionar p objetos de um grupo de n objetos, onde 0  p  n, mas não desejamos relevar 
a ordem na qual eles aparecem no agrupamento. Queremos assim encontrar o número de agrupamentos de p 
elementos que sejam diferentes apenas pela natureza de pelo menos um elemento. Esses agrupamentos 
são chamados de combinações e o número de combinações é dado por: 
 
 C
)!(!
!
pnp
nn
p


 
Como distinguir agrupamento tipo permutação do tipo combinação? 
Suponha que dispomos dos objetos A, B e C e queremos formar agrupamento de dois elementos. 
Primeiro, forme um agrupamento: AB, em seguida mude a ordem de seus elementos: BA. 
Pergunte se AB = BA ou AB  BA. 
Se AB = BA devemos fazer combinações. Se AB  BA, devemos fazer permutações. 
 
Exemplo 2. Com cinco pedaços de tecidos nas cores amarela, azul, verde, vermelho e branco, quantas 
bandeiras tricolores podemos formar supondo que os tecidos são colocados só em tiras verticais? 
Dispomos de n = 5 pedaços de tecido e queremos escolher p = 3 pedaços de tecido para formar uma 
bandeira de três cores distintas. 
 Forma-se uma bandeira com os pedaços de cores A B V. Mude a ordem dos pedaços de tecidos: 
BVA. Agora, pergunte: a bandeira ABV é igual ou diferente da bandeira BVA? É claro que as bandeiras são 
diferentes pela ordem com que os pedaços de tecido aparecem, a partir da haste da bandeira. Logo, bandeiras 
tricolores são agrupamentos que diferem pela ordem ou pela natureza de seus elementos (pedaços de tecido), 
constituindo-se permutações de 3 elementos escolhidos dentre 5. Assim podemos formar 
603.4.5
!2
!55
3
P
 bandeiras. 
Exemplo 3. Uma pessoa manifestou interesse por cinco livros diferentes numa feira de livros. Todos os 
livros estavam em promoção por um preço único. No entanto, a pessoa só dispõe de dinheiro para adquirir 
apenas três deles. De quantos modos podem ser feita a escolha de três desses livros? 
 Ora, dispondo de n = 5 livros, escolher p = 3 entre os cinco, é formar agrupamentos de três livros 
ABC. Agora mude a ordem dos livros: CAB, e indague se a escolha é a mesma ou diferente... É claro que 
elas são iguais, pois foram escolhidos os mesmos livros. Para uma escolha diferente, será necessária a troca 
de pelo menos um dos livros escolhidos inicialmente. Trata-se, portanto, de agrupamento tipo combinação. 
 O número de escolhas é 
10
2
4.5
!2!.3
!55
3
C
 
 Exemplo 4. Há 15 estações num ramal de uma estrada de ferro. Quantos tipos de bilhetes de passagem são 
necessários para permitir a viagem entre duas estações quaisquer? 
A viagem entre as estações C e D é diferente da viagem entre D e C. Trata-se, portanto de permutação de n = 
15 com p = 2 estações. De modo que teremos 
21014.15
!13
!1515
2
P
. 
Exemplo 5. Numa empresa de Tecnologia da Informação trabalham 22 pessoas, todas disponíveis para 
exercer diversas atividades em quatro projetos atualmente em execução. Há necessidade de escolher seis 
pessoas para o projeto um, quatro pessoas para o projeto 2, seis para o projeto 3 e duas pessoas responsáveis 
pelo projeto 4. De quantas formas é possível fazer-se a escalação, sabendo que uma pessoa pode atuar 
apenas em um projeto? 
Resposta: 
6
2
12
6
16
4
22
6 ... CCCC
 
 
APRENDA PRATICANDO: EXERCÍCIO PROPOSTO 
 
1) Num hospital existem 3 portas de entrada que dão para um amplo saguão no qual existem 5 elevadores. Um 
visitante deve se dirigir ao 6º andar utilizando-se um dos elevadores. De quantas maneira diferentes poderá fazê-lo? 
2) Uma companhia de móveis tem dez desenhos para mesas e quatro desenhos para cadeiras. Quantos pares de 
desenhos de mesa e cadeira pode a companhia formar? 
3) Quantos números de três algarismos podem ser formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9 ? 
4) Quantos números de três algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9? 
5) Quantos números de três algarismos podem ser formados com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9? 
6) Quantos números de três algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9? 
7) Quantos números pares de quatro algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 
9? 
8) Quantos números pares de quatro algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 
8, 9? 
9) Quantos números ímpares de quatro algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 
8, 9? 
10) Quantos números ímpares de quatro algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 
7, 8, 9? 
11. O corpo docente de um curso de Sistemas de Informação de uma faculdade é composto por nove professores 
portadores do título de mestrado e quatro professores com título de doutorado. De quantas maneiras podemos formar 
uma comissão para revisão curricular do curso composta por cinco professores, sendo dois mestres e três doutores? 
12) Quantos números múltiplos de cinco com quatro algarismos podem ser formados com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 
5, 6, 7, 8, 9? 
13) Quantos são os números compreendidos entre 2000 e 3000, formados por algarismos distintos escolhidos entre 1, 
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9? 
14) Cinco homens e uma mulher pretendem utilizar um banco de 5 lugares. De quantas maneiras diferentes podem se 
sentar-se nunca ficando em péa mulher? 
15) Quantos são os anagramas da palavra café? 
16) Quantos anagramas da palavra (editora) começam pela letra (a)? 
17) Quantos anagramas da palavra (editora) começam pela letra (a) e terminam pela letra (e)? 
18) Quantos anagramas da palavra (problema) começam por vogal? 
19) Formados e dispostos em ordem crescente, os números que se obtêm permutando-se os algarismos 2, 3, 4, 8 e 9, 
que lugar ocupa o número 43 892? 
20) Quantas comissões de 7 membros pode-se formar com 10 alunos? 
21) De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salão, dispondo de 8 jogadores? 
22. Numa classe existem 8 alunas, uma das quais se chama Maria e sete alunos um dos quais se chama José. 
Formam-se comissões de 5 alunas e 4 alunos. Quantas são as comissões das quais: 
a) Maria participa? b) Maria participa sem José? c) José participa? d) José participa sem Maria? e) 
Maria e José participam simultaneamente? f) Maria e José são excluídos? g) Ou Maria ou José 
participa? 
23) Em um campeonato de dois turnos, em que devem jogar 12 equipes de futebol, qual o número total de jogos a 
serem realizados 
24. Há quatro estradas diferentes entre as cidades A e B; 3 estradas diferentes entre B e C e 2 estradas 
diferentes entre A e C. De quantas maneiras podemos: 
a) ir de A para C, passando por B? b)ir de A até C, passando ou não por B ? 
c)ir de A até C e voltar ? d)ir de A até C e voltar, passando pelo menos uma vez por B ? 
d)ir de A até C e voltar, sem passar duas vezes pela mesma estrada ? 
 
25. Quantas senhas de três letras podemos formar com as letras A, B, C, D e E ? 
Quantas senhas de três letras sem repetição? 
Quantas senhas de três letras diferentes não contêm a letra A? 
Quantas senhas de três letras diferentes contêm a letra B ? 
 
26. Cinqüenta corredores competem em uma corrida de 10 quilômetros. Quantos resultados são possíveis, 
nos seguintes casos, sem considerar empates: 
a) Quando queremos saber em que lugar cada corredor terminou a corrida. 
b) A corrida é uma prova de qualificação, e desejamos apenas saber quais são os dez corredores mais 
rápidos. 
c) A corrida é um evento olímpico final e só interessa quem ganha medalha de ouro, prata e bronze. 
 
27. Um saco contém 20 fichas idênticas, numeradas de 1 a 20. Extraem-se aleatoriamente cinco fichas. 
Calcular de quantas formas cinco fichas podem ser extraídas, nos seguintes casos: 
a) As fichas são extraídas uma a uma, sem reposição. Uma vez extraída uma ficha, ela não é reposta no 
saco. Assim, extrair as fichas 1, 2, 3, 4 e 5 é diferente de extrair as fichas 5, 4, 3, 2 e 1. 
b) As fichas são extraídas todas de uma vez, sem reposição. Assim, extrair as fichas 1, 2, 3, 4 e 5 é o 
mesmo que extrair as fichas 5, 4, 3, 2 e 1. 
c) As fichas são extraídas uma de cada vez, com reposição. Cada ficha extraída é devolvida ao saco. 
Assim, extrair as fichas 1, 2, 2, 4, 5 é diferente de extrair 2, 4, 1, 2, 5 . 
28. Calcule: 
 a) 
8
5
5
4
6
3
P
PP 
= b) 
n
n
P
P
2
3
 c) 
5
2
3
3
8
5
P
PC 
 d) 
nn
n
CC
P
23
2

 e) 
4
2
4
4
10
6
8
3
.CP
CP 
 
29. De quantos modos é possível colocar 8 pessoas em fila de modo que duas dessas pessoas, Vera e Paulo, 
não fiquem juntas e duas outras, Helena e Pedro, permaneçam juntas? 
30. De quantos modos é possível dividir 15 atletas em três times de 5 atletas? 
31. De quantos modos podemos formar uma palavra de 5 letras de um alfabeto de 26, se a letra A deve 
figurar na palavra mas não pode ser a primeira letra? E se a palavra devesse ter letras distintas?