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Campus Varginha
Instituto de Ciências Sociais Aplicadas
Bacharelado Interdisciplinar em Ciência e Economia
Cálculo de Probabilidade
Dra. Letícia Lima Milani Rodrigues
1a LISTA
1. [Morettin;Bussab, 2002] Uma urna contém duas bolas brancas (B) e três bolas verme-
lhas (V). Retira-se uma bola ao acaso da urna. Se for branca,lança-se uma moeda; se
for vermelha, ela é devolvida à urna e retira-se outra. Dê um espaço amostral para o
experimento.
2. [Fonseca;Martins, 1996] Lance um dado e uma moeda.
(a) Construa o espaço amostral.
(b) Enumere os seguintes eventos
A={Coroa,marcado por número par}
B={cara, marcado por número ímpar}
C={múltiplo de 3}
(c) Expresse os eventos
i) B¯
ii) A ou B ocorrerem
iii) B e C ocorrerem
iv) A ∪B
(d) Verifique dois a dois os eventos A, B e C e diga quais são mutuamente exclusivos.
3. [Fonseca;Martins, 1996] Determine a probabilidade de cada evento:
(a) Um número par aparece no lançamento de um dado não viciado; (1/2)
(b) Um rei aparece ao extrair-se uma carta de um baralho; (1/13)
(c) Pelo menos uma cara aparece no lançamento de 3 moedas; (7/8)
(d) Uma carta de copas e uma de ouros aparecem ao extraírem-se duas cartas de um
baralho. (13/102)
4. [Fonseca;Martins, 1996] Um número inteiro é escolhido dentre os números 1, 2, 3, ...,
50. Qual a probabilidade de:
(a) o número ser divisível por 5; (1/5)
(b) terminar em 3; (1/10)
(c) ser primo; (3/10)
(d) ser divisível por 6 ou 8; (0,24)
5. [Fonseca;Martins, 1996] Qual a probabilidade de sair um rei ou uma carta de copas,
quando retiramos uma carta de um baralho? (4/13)
6. [Fonseca;Martins, 1996] Dois dados são lançados simultaneamente. Qual a probabili-
dade de:
(a) a soma ser menor que 4; (1/12)
(b) a soma ser 9; (1/9)
(c) o primeiro resultado ser maior do que o segundo; (5/12)
7. [Fonseca;Martins, 1996] Numa urna são misturadas dez bolas numeradas de 1 a 10.
Duas bolas são retiradas (a, b) sem reposição. Qual a probabilidade de a+b = 10? (4/45)
8. [Fonseca;Martins, 1996] Uma urna contém 5 bolas brancas e 6 pretas. Três bolas são
retiradas. Calcular a probabilidade de:
(a) todas pretas; (4/33)
(b) exatamente uma branca; (5/11)
(c) ao menos uma preta; (31/33)
9. [Morettin;L.G.; 2010] Sejam A, B e C três eventos de um espaço amostral. Exprimir os
eventos abaixo usando as operações: união, intersecção e complemento.
(a) somente A ocorre;
(b) A e C ocorrem, mas B não;
(c) pelo menos um ocorre;
(d) exatamente um ocorre;
(e) nenhum ocorre;
(f) exatamente dois ocorrem;
(g) pelo menos dois ocorrem;
(h) na máximo dois ocorrem;
10. [Morettin;L.G.; 2010] O seguinte grupo de pessoas está numa sala: 5 rapazes com mais
de 21 anos, 4 rapazes com menos de 21 anos, 6 moças com mais de 21 anos e 3 moças com
menos de 21 anos. Uma pessoa é escolhida ao acaso entre as 18. Os seguintes eventos são
definidos:
A: a pessoa tem mais de 21 anos;
B: a pessoa tem menos de 21 anos;
C: a pessoa é um rapaz;
D: a pessoa é uma moça.
Calcular:
(a) P (B ∪D); (13/18)
(b) P (A¯ ∩ C¯) (1/6)
11. [Magalha˜es;Lima, 2010] Para cada um dos casos abaixo, escreva o espaço amostral cor-
respondente e conte seus elementos.
(a) Uma urna contém 10 bolas azuis e 10 vermelhas com dimensões rigorosamente iguais.
Três bolas são selecionadas ao acaso com reposição e as cores são anotadas.
(b) Dois dados são lançados simultaneamente e estamos interessados na soma das faces
observadas.
(c) Em uma cidade,famílias com 3 crianças são selecionadas ao acaso, anotando-se o
sexo de cada uma.
(d) Uma moeda é lançada consecutivamente até o aparecimento da primeira cara.
12. [Magalha˜es;Lima, 2010] Sendo A e B dois eventos em um mesmo espaço amostral, "tra-
duza"para a linguagem da Teoria de Conjuntos, as seguintes situações:
(a) Pelo menos um dos eventos ocorre;
(b) O evento A ocorre mas B não;
(c) Nenhum deles ocorre;
(d) Exatamente um dos eventos ocorre.
13. [Magalha˜es;Lima, 2010] Uma universidade tem 10 mil alunos dos quais 4 mil são consi-
derados esportistas. Temos, ainda, que 500 alunos são do curso de biologia diurno, 700
da bilogia noturno, 100 são esportistas e da biologia diurno e 200 são esportistas e da
biologia noturno. Um aluno é escolhido, ao acaso, e pergunta-se a probabilidade de:
(a) ser esportista; (0,4)
(b) ser esportista e aluno da biologia noturno; (0,02)
(c) Não ser da biologia; (0,88)
(d) Ser esportista ou aluno da biologia; (0,49)
(e) Não ser esportista, nem aluno da biologia. (0,51)
14. [Magalha˜es;Lima, 2010] Sejam A e B dois eventos em um dado espaço amostral, tais que
P (A) = 0, 2, P (B) = p, P (A∪B) = 0, 5 e P (A∩B) = 0, 1. Determine o valor de p. (0,4)
15. Uma moeda é lançada três vezes. Descreva o espaço amostral. Considere os eventos Ai:
cara no i-ésimo lançamento, para i = 1, 2, 3. Determine os seguintes eventos:
(a) A¯1 ∩ A2;
(b) A¯1 ∪ A2;
(c) A¯1 ∩ A¯2
(d) A1 ∩ (A2 ∪ A3)
16. A, B e C são três eventos e um mesmo espaço amostral, tais que: P (B) = 0, 5, P (C) = 0, 3,
P (B|C) = 0, 4 e P (A|(B ∩ C)) = 0, 5. Calcule P (A ∩B ∩ C).
17. Óleos de cozinha são produzidos em duas principais variedades: monoinsaturados e po-
linsaturados. Duas matérias primas para óleos de cozinha são; milho e canola. A tabela
a seguir mostra o número de garrafas destes óleos em um supermercado.
Canola Milho
Monoinsaturado 7 13
Polinsaturado 93 77
(a) Se uma garrafa de óleo é selecionada aleatoriamente, qual a probabilidade de ser um
óleo polinsaturado? (0,8947)
(b) Se uma garrafa de óleo é selecionada aleatoriamente, qual a probabilidade de ser
monoinsaturado de canola? (0,0368)
18. Qual é a probabilidade de observar quatro números diferentes ao lançar 4 dados? (0,2778)
19. Uma caixa contém 24 lâmpadas, das quais 4 são defeituosas. Se uma pessoa seleciona
4 lâmpadas aleatoriamente desta caixa, qual é a probabilidade das 4 lâmpadas serem
defeituosas? (0,000094)
20. Um empreiteiro apresentou orçamentos separados para a execução da parte elétrica e
da parte de encanamento de um edifício. Ele acha que a probabilidade de ganhar a
concorrência da parte elétrica é de 50%. Caso ele ganhe a parte elétrica, a chance de
ganhar a parte de encanamento é de 3/4, caso contrário esta probabilidade é de 1/3.
(a) Qual a probabilidade do empreiteiro ganhar os dois contratos? (0,375)
(b) Qual a probabilidade do empreiteiro ganhar apenas um contrato? (0,291667)
(c) Qual a probabilidade do empreiteiro perder a parte elétrica e perder a parte de
encanamento? (0,333333)
21. Um certo tipo de motor elétrico falha se ocorrer uma das seguintes situações: emper-
ramento dos mancais, queima dos rolamentos ou desgaste das escovas. Suponha que o
emperramento seja duas vezes mais provável do que a queima, esta sendo quatro vezes
mais provável do que o desgaste das escovas. Qual é a probabilidade de que a falha seja
devida a cada uma dessas circunstâncias? (8/13, 4/13, 1/13)
22. [Morettin;Bussab, 2002] Lance um dado até que a face 5 apareça pela primeira vez.
Enumere os possíveis resultados desse experimento.
23. Uma urna contém 4 válvulas defeituosas e 6 perfeitas. Duas válvulas são extraídas juntas.
Sabendo que uma delas é perfeita, qual é a probabilidade da outra válvula também ser
perfeita? (5/9)
24. [Morettin;Bussab, 2002] Defina um espaço amostral para cada um dos seguintes experi-
mentos aleatórios:
(a) Lançamento de dois dados; anota-se a configuração obtida;
(b) Investigam-se famílias com três crianças, anotando-se a configuração segundo o sexo;
(c) De um grupo de cinco pessoas {A,B,C,D,E}, sorteiam-se duas, uma após a outra
com reposição, e anota-se a configuração formada;
25. [Morettin;Bussab, 2002] Considere uma urna contendo três bolas pretas e cinco bolas
vermelhas. Retire duas bolas da urna, sem reposição.
(a) Obtenha os resultados possíveis e as respectivas probabilidades.
(b) Mesmo problema,para extrações com reposição.
26. [Morettin;Bussab, 2002] Considere uma urna contendo três bolas pretas e cinco bolas
vermelhas. Retire duas bolas da urna, sem reposição. Calcule as probabilidades dos
eventos:
(a) Bola preta na primeira e segunda extrações;
(b) Bola preta na segunda extração;
(c) Bola vermelha na primeira extração.
27. [Morettin;Bussab, 2002] A probabilidade de que A resolva um problema é de 2/3, e a
probabilidade de que B o resolva é de 3/4. Se ambos tentarem independentemente, qual
a probabilidade de o problema ser resolvido?
28. [Morettin;Bussab, 2002] Na tabela abaixo, os números que aparecem são probabilidades
relacionadas com a ocorrência de A, B, A ∩ B, etc.. Assim, P (A) = 0, 10, enquanto
P (A ∩B) = 0, 04.
B Bc Total
A 0,04 0,06 0,10
Ac 0,08 0,82 0,90
Total 0,12 0,88 1,00
Verifique se A e B são independentes.
29. [Morettin;Bussab, 2002] Um restaurante popular apresenta apenas dois tipos de refei-
ções: salada completa ou um prato à base de carne. Considere que 20% dos fregueses do
sexo masculino preferem a salada, 30% das mulheres escolhem carne, 75% dos fregueses
são homens e os seguintes eventos:
H: freguês é homem A: freguês prefere salada
M: freguês é mulher B: freguês prefere carne.
Calcular:
(a) P (H), P (A|H), P (B|M) (0, 75; 0, 20; 0, 30)
(b) P (A ∩H), P (A ∪H) (0, 15; 0, 925)
(c) P (M |AM) (0, 538)
30. [Morettin;Bussab, 2002] Uma companhia de seguros analisou a frequência com que 2.000
segurados (1.000 homens e 1.000 mulheres) usaram o hospital. Os resultados são apre-
sentados na tabela:
Homens Mulheres
Usaram o hospital 100 150
Não usaram o hospital 900 850
(a) Qual a probabilidade de que uma pessoa segurada use o hospital?
(b) O uso do hospital independe do sexo do segurado?
31. [Morettin;Bussab, 2002] As probabilidade de três motoristas serem capazes de guiar até
em casa com segurança, depois de beber, são de 1/3, 1/4 e 1/5, respectivamente. Se
decidirem guiar até em casa, depois de beber numa festa, qual a probabilidade de to-
dos os três motoristas sofrerem acidentes? Qual a probabilidade de pelo menos um dos
motoristas guiar até em casa a salvo?
32. Em um lote de 100 chips semicondutores, 20 são defeituosos. Dois deles são selecionados
ao acaso e sem reposição.
(a) Qual é a probabilidade do primeiro chip selecionado ser defeituoso? (0,20)
(b) Qual é a probabilidade do segundo chip selecionado ser defeituoso, dado que o pri-
meiro deles é defeituoso? (0,191919)
(c) Como a resposta do item (b) mudaria se os chips selecionados fossem repostos antes
da próxima seleção? (0,20)
33. Amostras de uma peça de alumínio fundido são classificadas em duas categorias de aca-
bamento:”excelente” e “bom”. Uma outra classificação divide as peças em duas categorias
de comprimento: “excelente” e “bom”. A tabela abaixo exibe o número de peças por
categorias de um determinado lote:
Comp. Excelente comp. Bom
Acab. Excelente 75 7
Acab. Bom 10 8
Suponhamos que uma peça é selecionada aleatoriamente deste lote.
(a) Qual é a probabilidade da peça ter um excelente acabamento na superfície? (0,82)
(b) Qual é a probabilidade da peça ter um excelente comprimento? (0,85)
(c) Se a peça selecionada tiver excelente acabamento na superfície, qual é a probabilidade
do comprimento ser excelente? (0,914634)
(d) Se a peça selecionada tiver bom comprimento, qual é a probabilidade do acabamento
na superfície ser excelente? (0,46667)
34. Suponha que temos duas urnas, I e II, cada uma com duas gavetas. A urna I contém uma
moeda de ouro em uma gaveta e uma moeda de prata na outra gaveta, enquanto a urna
II contém uma moeda de ouro em cada gaveta. Uma urna é escolhida ao acaso e, em
seguida, uma de suas gavetas é aberta ao acaso. Sabendo que a moeda encontrada nesta
gaveta é de ouro, qual a probabilidade de que a moeda provenha da urna II? (2/3)
35. Em uma fábrica de parafusos, as máquinas A, B e C produzem 25%, 35% e 40% do total,
respectivamente. Da produção de cada máquina, 5%, 4% e 2%, respectivamente, são
parafusos defeituosos. Escolhe-se ao acaso um parafuso e verifica-se que é defeituoso.
(a) Qual a probabilidade de que o parafuso tenha sido produzido na máquina A? (0,362318)
(b) Qual a probabilidade de que o parafuso tenha sido produzido na máquina B? (0,40579)
(c) Qual a probabilidade de que o parafuso tenha sido produzido na máquina C? (0,231892)
36. Uma urna contém 4 bolas brancas e 6 bolas pretas. Duas bolas são retiradas da urna
sucessivamente e sem reposição. Determine a probabilidade da primeira bola ser branca
sabendo que a segunda bola é branca. (1/3)
37. Suponha que 80% de todos os estatísticos sejam tímidos, enquanto apenas 15% de todos os
economistas seja tímidos. Suponha também que 90% das pessoas em um congresso sejam
economistas e os outros 10% sejam estatísticos. Se você estiver no congresso e conhecer, ao
acaso, uma pessoa tímida, qual é a probabilidade de que ela seja um estatístico? (0,37209)
38. No design preliminar de produtos são utilizadas avaliações de clientes. No passado, 95%
dos produtos de alto sucesso receberam boas avaliações, 60% dos produtos de sucesso
moderado receberam boas avaliações, e 10% dos produtos de pobre desempenho receberam
boas avaliações. Além disso, 40% dos produtos tiveram alto sucesso, 35% tiveram sucesso
moderado e 25% tiveram desempenho pobre.
(a) Qual é a probabilidade de que o produto consiga uma boa avaliação? (0,615)
(b) Se um novo design obtém uma boa avaliação, qual a probabilidade de que ele tenha
alto sucesso? (0,6178)
(c) Se um produto não recebe uma boa avaliação, qual é a probabilidade de que ele
tenha alto sucesso? (0,0519)
39. Um dado é lançado e, independentemente, uma carta é extraída de um baralho completo.
(a) Qual é a probabilidade de obter um número par no dado e uma carta de naipe
vermelho? (1/4)
(b) Qual é a probabilidade de obter um número par no dado o uma carta de naipe
vermelho? (3/4)
40. Sejam A e B dois eventos em um espaço de probabilidade, tais que P (A) = 1/2, P (B) =
1/4 e P (A ∩B) = 1/5. Calcule as probabilidades dos seguintes eventos:
(a) A não ocorre. (1/2)
(b) B não ocorre (3/4)
(c) Pelo menos um de A e B ocorre. (11/20)
(d) A não ocorre e B sim. (1/20)
(e) B não ocorre e A sim. (3/10)
(f) Não ocorre nenhum de A e B. (9/20)
(g) Pelo menos um de a e B não ocorre. (4/5)