Capítulo 5 Boldrini

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Lista de Exerc´ıcios (Cap. 5 - Boldrini)
1. Seja T : V → W uma func¸a˜o. Mostre que:
(a) Se T e´ uma transformac¸a˜o linear, enta˜o T (000) = 000.
(b) Se T (000) 6= 000, enta˜o T na˜o e´ uma transformac¸a˜o linear.
2. Determine quais das seguintes func¸o˜es sa˜o aplicac¸o˜es lineares:
(a) f : R2 → R2R2 → R2R2 → R2
(x, y) 7→ (x+ y, x− y)
(b) g : R2 → RR2 → RR2 → R
(x, y) 7→ xy
(c) g :M2 → RM2 → RM2 → R[
a b
c d
]
7→ det
[
a b
c d
]
(d) k : P2 → P3P2 → P3P2 → P3
ax2 + bx+ c 7→ ax3 + bx2 + cx
(e) M : R3 → R2R3 → R2R3 → R2
(x, y, z) 7→ (x, y, z)
1 20 −1
1 1

(f) N : R→ RR→ RR→ R
x 7→ |x|
3. (a) Ache a transformac¸a˜o linear T : R3 → R2R3 → R2R3 → R2 tal que T (1, 0, 0) =
(2, 0), T (0, 1, 0) = (1, 1) e T (0, 0, 1) = (0,−1).
(b) Encontre vvv de R3R3R3 tal que T (vvv) = (3, 2).
4. (a) Qual e´ a transformac¸a˜o linear T : R2 → R3R2 → R3R2 → R3 tal que T (1, 1) =
(3, 2, 1) e T (0,−2) = (0, 1, 0)?
(b) Ache T (1, 0)eT (0, 1).
(c) Qual e´ a transformac¸a˜o linear S : R3 → R2R3 → R2R3 → R2 tal que S(3, 2, 1) =
(1, 1) e S(0, 1, 0) = (0,−2) e S(0, 0, 1) = (0, 0)?
(d) Ache a transformac¸a˜o linear P : R2 → R2R2 → R2R2 → R2 tal que P : S ◦ T .
1
5. (a) Ache a transformac¸a˜o T do plano no plano que e´ uma reflexa˜o em
torno da reta x = y.
(b) Escreva-a em forma matricial.
6. No plano, uma rotac¸a˜o anti-hora´ria de 45◦ e´ seguida por uma dilatac¸a˜o
de
√
2. Ache a aplicac¸a˜o A que representa esta transformac¸a˜o no plano.
7. Qual e´ a aplicac¸a˜o A que representa uma contrac¸a˜o de
1√
2
seguida por
uma rotac¸a˜o hora´ria de 45◦
8. Sejam R, S e T treˆs transformac¸o˜es lineares de R3R3R3 em R3R3R3. Se [R] =1 0 12 1 1
0 −1 1
 e [S] =
−2 1 −13 1 2
1 −2 0
, ache T tal que R = S ◦ T .
9. Sejam α = {(1,−1), (0, 2)} e β = {(1, 0,−1), (0, 1, 2), (1, 2, 0)} bases de
R2R2R2 e R3R3R3 respectivamente e [T ]αβ =
1 01 1
0 −1

(a) Ache T.
(b) Se S(x, y) = (2y, x− y, x), ache [S]αβ .
(c) Ache uma base γ de R3R3R3 tal que [T ]αγ =
1 00 0
0 1
.
10. Se [R] =
[
1 2
−1 3
]
e [S] =
[
1 0 −1
2 1 1
]
, ache R ◦ S.
11. Seja V o espac¸o vetorial de matrizes 2× 2 com base
β =
{[
1 0
0 0
] [
0 1
0 0
] [
0 0
1 0
] [
0 0
0 1
]}
.
Se T : V → R2R2R2 e´ dada por T
([
a b
c d
])
= (a+ d, b+ c),
(a) Ache [T ]βα, onde α e´ a base canoˆnica de R2R
2R2.
2
Se S : R2R2R2 → V e [S]αβ =

2 1
1 −1
−1 0
0 1
,
(b) Ache S e, se for poss´ıvel, (a, b) tal que S(a, b) =
[
1 0
0 1
]
.
12. Seja T : R2 → R2R2 → R2R2 → R2 tal que [T ] =
[−1 −2
0 1
]
. Ache os vetores u, vu, vu, v tal que
(a) T (uuu) = uuu
(b) T (vvv) = −v−v−v
13. Mostre que se T : V → W e´ uma transformac¸a˜o linear,
(a) Im(T ) e´ um subespac¸o de W .
(b) Ker(T ) e´ um subespac¸o de V .
14. Sejam S e T aplicac¸o˜es lineares de V em W . Definimos S + T como
(S + T )vvv = S(vvv) + T (vvv) para do vvv ∈ V e definimos αS como (αS)vvv =
αS˙(vvv) para todo α ∈ RRR e vvv ∈ V .
(a) Mostre que S + T e´ uma transformac¸a˜o linear de V em W .
(b) Mostre que αS e´ uma transformac¸a˜o linear de V em W .
(c) Mostre que X = {T | T : V → W} e´ um espac¸o vetorial sobre RRR.
(d) Suponha que dim V = 2 e dimW = 3. Tente procurar dimX.
15. Considere a transformac¸a˜o linear T : R3 → R3R3 → R3R3 → R3 dada por T (x, y, z) =
(z, x− y,−z).
(a) Determine uma base do nu´cleo de T .
(b) Deˆ a dimensa˜o da imagem de T .
(c) T e´ sobrejetora? Justifique.
(d) Fac¸a um esboc¸o de Ker T e Im T .
16. Deˆ, quando poss´ıvel, exemploes de transformac¸o˜es lineares T , S, L, M
e H satisfazendo:
3
(a) T : R3 → R2R3 → R2R3 → R2 sobrejetora
(b) S : R3 → R2R3 → R2R3 → R2, com Ker S = {(0, 0, 0)}
(c) L : R3 → R2R3 → R2R3 → R2, com Im L = {(0, 0)}
(d) M : R3 → R3R3 → R3R3 → R3, com Ker M = {(x, y) ∈ R2R2R2;x = y}
(e) H : R3 → R3R3 → R3R3 → R3, com Ker H = {(x, y, z) ∈ R3R3R3; z = −x}
17. Sejam α = {(0, 2), (2,−1)} e β = {(1, 1, 0), (0, 0,−1), (1, 0, 1)} bases de
R2R2R2 e R3R3R3.
[S]αβ =
2 04 0
0 −4

Deˆ a expressa˜o para S(x, y).
4