MAtemática aplicada   Unidade II
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MAtemática aplicada Unidade II


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4 Receita total
Xerox teve alta em 7% na receita de negócios com serviços no ST12
A Xerox (NYSE: XRX) anunciou seu resultado no primeiro trimestre de 2012, que inclui 
lucro ajustado por ação de US$ 0,26, excluindo US$ 0,04 relativos à amortização de 
intangíveis \u2013 resultando no lucro líquido por ação de US$ 0,229. A receita total no período, 
de US$ 5,5 bilhões, teve queda de 1%, ou aumento de 1% em moeda constante. A receita 
de negócios com serviços subiu 7%.
\u201cCom mais da metade de nossa receita total vindo de serviços, acelerar o crescimento nesse 
segmento é uma prioridade\u201d, afirmou Ursula Burns, presidente e CEO da Xerox. \u201cOs resultados 
do segundo trimestre reflete um progresso sólido nos negócios de BPO com crescimento de 
8% no segmento, 9% de crescimento em outsourcing de TI e crescimento de 6% em gestão de 
documentos, sempre desconsiderando os efeitos cambiais\u201d (FATOR BRASIL, 2012).
A receita total é fruto da multiplicação do preço pela quantidade vendida.
Conforme Silva (2011), seja U uma utilidade (bem ou serviço) cujo preço de venda por unidade seja um preço 
fixo P0, para quantidades entre q1 e q2 unidades. A função dada por RT = P0 · q, com q1 < q < q2, é denominada 
função receita total ou simplesmente receita total (valor total recebido por uma quantidade de produtos vendidos).
\u2022 Exemplo
RT = 3·q, 0 < q < 6.
Para representar graficamente essa situação, podemos construir a seguinte tabela:
q RT
 0
 6
Atenção: respeitamos a restrição em q colocada pelo problema.
Para q = 0, RT = 3·(0) = 0.
Para q = 6, RT = 3·(6) = R$ 18,00.
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q RT
 0 0
 6 18
RT (R$)
18
0 6 q (quantidade)
Figura 12 \u2013 Representação gráfica de RT = 3·q, 0 < q < 6
A receita total é o valor recebido pela venda de q produtos. No exemplo anterior, observamos que a 
receita total é limitada ao valor de R$ 18,00 quando a quantidade vendida é de 6 unidades, pois o valor 
unitário do produto é fixo e equivale a R$ 3,00.
 observação
Quando o preço da mercadoria não é fixo, a receita total pode variar, pois, 
se o preço varia, a demanda também se altera, mudando assim a receita total.
RT = P·D.
 lembrete
Você provavelmente deva estar pensando: isto é muito fácil! Mas 
lembre\u2011se de que preços diferentes provocam demandas diferentes.
Simplesmente subir preços não garante aumento da receita total. Veja o exemplo:
Dada a demanda de mercado D = 20 \u2013 2P, a variação de preço (primeira coluna) altera a receita total:
P D RT = P·D
1 20 \u2013 2·(1) = 18 unidades RT = 1·18 = R$ 18,00
3 20 \u2013 2·(3) = 14 unidades RT = 3·14 = R$ 42,00
5 20 \u2013 2·(5) = 10 unidades RT = 5·10 = R$ 50,00
7 20 \u2013 2·(7) = 6 unidades RT = 7·6 = R$ 42,00
9 20 \u2013 2·(9) = 2 unidades RT = 9·2 = R$ 18,00
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 observação
Conforme o preço (P) aumenta, a procura (D) pelo produto diminui. No 
entanto, a receita total (RT) varia de acordo com o preço do produto e a 
quantidade de procura (D) por essa mercadoria.
\u2022 Observe:
\u2014 se o preço (P) for muito baixo, existirá grande procura (D) pelo produto, mas não necessariamente 
teremos uma receita total (RT) máxima;
\u2014 se o preço (P) for muito alto, existirá pouca procura (D) pelo produto, e também não 
necessariamente teremos uma receita total (RT) máxima;
\u2014 existirá um preço (P) adequado que corresponderá a uma procura (D), a qual, por sua vez, 
proporcionará uma receita total (RT) máxima.
 Saiba mais
Leia em <http://www.gazetadopovo.com.br/economia/conteudo.
phtml?id=1265226> alguns exemplos de variação de preços afetando as 
vendas.
Para maximizar a receita total, podemos seguir estes passos:
Considerando D = 48 \u2013 2P, vamos estabelecer a expressão da receita total RT = P·D somente em 
função da variável D:
1) \u201cIsolando\u201d P em função de D:
D = 48 \u2013 2P
D + 2P = 48
2P = 48 \u2013 D
P = 48 \u2013 D = 48 \u2013 D
 2 2 2
P = 24 \u2013 0,5D.
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2) \u201cSubstituindo\u201d em RT = P·D:
RT = (24 \u2013 0,5D)·D
RT = 24D \u2013 0,5D2
Qual deverá ser o valor de D (quantidade de procura) que tornará a receita total (RT) máxima?
Vamos calcular:
RT = 24D \u2013 0,5D2
1) Considerar RT = 0:
24D \u2013 0,5D2 = 0
24D \u2013 0,5D2 = 0 (a = \u2013 0,5 b = 24 c = 0)
D = b2 \u2013 4·a·c
D = (24)2 \u2013 4·(\u2011 0,5)·(0) = 576 + 0 = 576
D = \u2013 b + \u2013 ÖD
 2·a
D =
\u2212 ±
\u22c5( ) = \u2212
±
\u2212
24 576
2 0 5
24 24
1,
D\u2019 = 0 D\u201d = 48
2) Receita total (RT) máxima em função da procura (D) por determinado produto:
D = \u2011b = \u2013 (24) = 24 unidades
 2·a 2·(\u20110,5)
RT = 24D \u2013 0,5D2 = 24 . 24 \u2013 0,5 . 242 = 576 \u2013 0,5 . 576 = 288
3) Preço correspondente à demanda de 24 unidades do produto:
P = 24 \u2013 0,5D
P = 24 \u2013 0,5·(24)
P = 24 \u2013 12 = R$ 12,00
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Portanto, existirá, ao preço (P) de R$ 12,00, uma demanda (D) de 24 unidades do produto para que 
a receita total (RT), nesse caso, seja a maior possível. Veja o gráfico:
RT (R$)
480
288
D (quantidade)
24
Vértice (24;288)
Figura 13 \u2013 Representação gráfica de D = 48 \u2013 2P, para RT = P·D somente em função de D
Observando os cálculos e o gráfico anterior, podemos dizer que, nesse caso, ao preço (P) de R$ 12,00, 
temos uma demanda (D) de R$ 24,00, que proporciona uma receita total (RT) máxima de R$ 288,00. Ou 
seja, com esses parâmetros, ocorre a maximização da receita.
 observação
Cuidado para não confundir maximização da receita com maximização 
do lucro.
A maximização da receita trata de identificar a melhor solução entre 
demanda e preço, mas não necessariamente traz a melhor solução no 
tocante a lucro unitário.
4.1 exercícios resolvidos passo a passo
1. Um restaurante tem um cardápio com preço fixo de R$ 13,50 e consegue atender até 256 pessoas 
por dia.
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Figura 14
Considere a função RT = 13,5·q, na qual o preço é fixo (R$ 13,50) e q é a quantidade de produtos 
vendidos diariamente, que pode variar de zero a 256 (0 < q < 256 unidades). Se a ocupação do restaurante 
for de 50%, qual será o valor recebido em decorrência da venda dos produtos?
Nesse caso, a metade dos produtos vendidos corresponde a 128 unidades, visto que a quantidade 
varia entre 0 e 256 unidades.
RT = 13,5·(128) = R$ 1.728,00.
Portanto, o valor recebido pela metade dos produtos vendidos é de R$ 1.728,00.
2. Uma empresa de ônibus interurbanos oferece em determinada linha o preço de R$ 20,50 e precisa 
ter, no mínimo, uma receita de R$ 1.025,00.
Figura 15
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Considere a função RT = 20,5·q, na qual o preço é fixo (R$ 20,50) e q é a quantidade de produtos 
vendidos (0 < q < 120 unidades). Qual será a quantidade de produtos vendidos quando a receita total 
atingir o valor de R$ 1.025,00?
Sabendo que RT = 1.025,00, podemos afirmar que:
RT = 1.025
20,5·q = 1.025
Q = 1.025
 20,5
Q = 50 unidades vendidas.
Portanto, a receita total atinge o valor de R$ 1.025,00 quando são vendidas 50 unidades do produto.
5 cUSto