ATPS Calculo 3_Completa

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Universidade Anhanguera de São Paulo - Unian 
Engenharia civil 
4ºsemestre 
 
Beardsley Gomes nascimento RA:1299263241 
Diogo Ferreira Bispo dos Santos RA:6248215619 
Eliandro Gomes Moreira RA:203001630 
Ernando Antônio de Lima RA:6451327472 
 
 
 
 
ATPS Cálculo III 
Integral Definida e Indefinida 
Prof. Orientador: Paulo Jordá 
 
 
 
 
São Bernardo do Campo - SP 
2014 
Universidade Anhanguera de São Paulo - Unian 
 
 
Beardsley G. nascimento RA: 1299263241 
Diogo Ferreira Bispo dos Santos RA: 6248215619 
Eliandro Gomes Moreira RA: 2033001630 
Ernando Antônio de Lima RA: 6451327472 
 
 
 
 
São Bernardo do Campo - SP 
2014 
Relatório apresentado como 
requisito parcial para obtenção de 
aprovação na disciplina de Física III, 
no Curso de Engenharia Civil na 
Universidade Anhanguera de São 
Paulo-UNIAN. 
Prof.???? 
 
 
Sumario 
Introdução.................................................................................................4 
Etapa 1 
Passo 1......................................................................................................5 
Passo 2......................................................................................................6 
Passo 3......................................................................................................8 
Passo 4......................................................................................................8 
Etapa 2 
Passo 1......................................................................................................8 
Passo 2......................................................................................................9 
Passo 3......................................................................................................10 
Passo 4......................................................................................................11 
Etapa 3 
Passo 1......................................................................................................11 
Passo 2......................................................................................................11 
Passo 3......................................................................................................13 
Passo 4......................................................................................................13 
Etapa 4 
Passo 1......................................................................................................14 
Passo 2......................................................................................................14 
Passo 3......................................................................................................16 
Passo 4......................................................................................................16 
 
Referências Bibliográficas........................................................................17 
 
 
 
 
 4 
 
 
 
 
 
 
 
INTRODUÇÃO 
Aula Tema: Integral Definida e Integral Indefinida 
O Objetivo do desafio proposto foi encontrar por meio das integrais definidas e 
indefinidas, a quantidade total mensal de óleo, estimada pelos engenheiros da 
Petrofuels, que poderá ser extraído de um poço de petróleo recém descoberto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 5 
ATPS CÁLCULO III 
 
ETAPA 1 
Nesta etapa vamos desenvolver cálculos para fixar de forma pratica e teórica as 
integrais definidas e indefinidas 
Com o objetivo de encontrar o valor exato da área de uma região bidimensional. 
Passo 1 
O calculo integral se originou com problemas de quadratura e cubatura. Resolver um 
problema de quadratura significa encontrar o valor exato da área de uma região 
bidimensional cuja fronteira consiste de uma ou mais curvas, ou de uma superfície 
tridimensional, cuja fronteira também consiste de pelo menos uma curva. Em um 
problema de cubaturas a integral é usada para determinar o valor exato de um solido 
tridimensional limitado, pelo menos em parte, por superfícies curvas. 
Entre os diversos nomes que, de certa forma, moldaram a integral como a conhecemos 
hoje, pode-se citar: Hipócrates de Chios (aprox. 440 A.C.) executou as primeiras 
quadraturas e encontrou a áreas de certas lúnulas (região parecida com a lua próxima de 
seu quarto crescente). Antiphon (cerca de 430 A.C.) que alegou poder encontrar a área 
de um circulo com uma sequencia infinita de polígonos regulares inscritos, com cada 
vez mais lados, mas como sua quadratura exigia infinitos polígonos nunca poderia ser 
terminada sem o conceito moderno de limite. Ele deu origem ao método de exaustão. 
Arquimedes (287 – 212 A.C.) usou o método de exaustão para encontrar a quadratura da 
parábola, aproximando sua área com um grande número de triângulos. 
Durante o período medieval no Ocidente as ideias de calculo foram aplicadas a 
problemas de movimento. William Heytesbury (1335) encontrou métodos para a 
determinação da velocidade e a distância percorridos por um corpo supostamente sob 
acerelação constante (atualmente, os mesmos resultados são obtidos encontrando duas 
integrais indefinidas e antiderivadas). 
À medida que europeus começaram a explorar o globo, tornou-se necessário ter um 
mapa do mundo no qual certas retas representassem rumos sobre a superfície da Terra. 
Houve diversas soluções para esse problema, mas a solução mais famosa foi a projeção 
de Mercator, embora ele não tenha explicado seus princípios matemáticos. Aquela 
tarefa foi assumida por Edward Wright que também providenciou uma tabela que 
mostrava que as distancias ao longo das retas de rumo seriam bem aproximadas 
somando os produtos (sec f D f), onde f é a latitude; isto é, aproximadamente a integral 
de sec f. 
 
 
 
 
 6 
 
 
Passo 2 
Desafio A 
Qual das alternativas abaixo representa a integral indefinida de: 
  ?
3
³
3
3
³
da
aa
a

 
ca
aa
a
aa
aa
a









ln3
2
.3
12
1
33³
3
1
3
³
3
3
³
24
3
 
Resposta Correta: Alternativa (B) 
Desafio B 
Suponha que o processo de perfuração de um poço de petróleo tenha um custo fixo de 
U$ 10.000 e um custo marginal de C’(q) = 1000 + 50q dólares por pé, onde q é a 
profundidade em pés. Sabendo que C (0) = 10.000, a alternativa que expressa C(q), o 
custo total para se perfurar q pés são: 
cqqcqq
dqq
dqqqC



 

22 251000
2
50
1000
.501000
)501000()(
 
Sendo C(0) = 10000, temos a seguinte equação: 
10000251000)( 2  qqqC
 
Resposta Correta: Alternativa (A) 
 
 
 
 7 
Desafio C 
No inicio dos anos 90, a taxa de consumo mundial de petróleo cresceu 
exponencialmente. Seja C(t) a taxa de consumo de petróleo no instante t, onde t é o 
número de anos contados a partir do inicio de 1990. Um modelo aproximado para C(t) é 
dado por: 
  tetC .07,0.1,16
. Qual das alternativas responde corretamente a quantidade 
de petróleo consumida entre 1992 e 1994? 
   
 
    76,39.230.230
:
.230
07,0
.1,16
1,16.1,16
2.07,04.07,0
4
2
.07,0
4
2
07,0
4
2
07,0
4
2
07,0








 
ee
doSubstituin
e
e
dtedte
t
t
tt
 
Resposta Correta: Alternativa (C) 
Desafio D 
A área sob a curva 
2
x
ey 
 de 
3x
 a 
2x
 é dada por: 
99,4446,0436,522
:
2
2
1
2
3
2
2
2
3
2
2
3
22
3
2











































ee
doSubstituin
e
e
e
x
x
x
 
Resposta Correta: Alternativa (A) 
 
 
 
 
 
 
 8 
Passo 3 
Desafio A: O numero 3 foi associado, devido a resposta correta ter sido a alternativa B. 
O Calculo utilizado para chegar nesta conclusão foi a construção da primitiva através da 
ferramenta para integrar a função. 
Desafio B: O número 0 foi associado, devido a resposta correta ter sido a alternativa A. 
O calculo foi apenas a construção da primitiva da derivada, associando assim a função 
completa do problema. Como houve informação de que a C(0) = 10000, foi trocado 
constante C, por 10000. Que é a condição inicial para resolver o problema. 
Desafio C: O número 1 foi associado, devido a resposta correta ter sido a alternativa C. 
O calculo utilizado foi a integração definida da função, nos intervalos de 2 a 4. 
Desafio D: O número 9 foi associado, devido a resposta correta ter sido a alternativa A. 
Como no desafio anterior, o calculo utilizado foi a integração definida da função, nos 
intervalo de -3 a 2. 
Passo 4 
Relatório I 
Nos cálculos desta etapa, foi utilizado a Integração da funções para chegar nas 
primitivas, sendo Integrais indefinidas e Definidas. 
A sequência dos números de cada desafio foi respectivamente: 
3 - 0 - 1 - 9 
ETAPA 2 
Passo 1 
Pierre Fermet (1601 – 1665) desenvolveu uma técnica para encontrar as áreas sob cada 
uma das “parábolas de ordem superior” (y=kxn, onde k>o é constante e n=2, 3, 4,...) 
usando retângulos estreitos inscritos e circunscritos para levar ao método de 
compressão. Então empregou uma serie geométrica para fazer o mesmo para cada uma 
das curvas y=kxn com valores de n negativos. Mas não conseguiu aplicar estes 
processos para “hipérboles de ordem superior”, ym=kxn. 
Issac Newton publicou um livro com uma tabela de integrais de funções algébricas, e 
para curvas as quais não podia desenvolver formulas de integração, inventou técnicas 
geométricas de quadratura. Usando o Teorema Fundamental do Calculo, Newton 
desenvolveu as técnicas básicas para avaliar integrais usadas hoje em dia, incluindo os 
métodos de substituição e integração por partes. 
Os avanços no calculo e uso de integrais foram baseados principalmente no uso dos 
métodos de exaustão e compressão para efetuar cálculos de áreas delimitadas por 
curvas. 
 
 9 
Passo 2 
Considere as seguintes igualdades: 
         




5
0
52
42 67,4
410
6
6.3 dt
t
t
IIC
tt
dttttI
 
 
10
)6(
105
.
2
1
2
1
)3(
2
1
2
62
6
.
 :(I) Resolvendo
5255
4
2
Ctt
C
uu
duu
dttdu
dt
t
du
ttu
duu









 
 
 10 
 
 
 
       
 
 
   
       
    67,467,103630
40
3
4
402.045
3
4
452.5
:
4
3
4
42.
2
3
4
.242.
.4242..4242.
.-u.v
42
2
1
4
4t dv
1dtdu
tu
v.du-u.vu.dv
:(II) Resolvendo
2
3
2
3
5
0
2
3
5
0
2
3
5
0
2
15
0
5
0
2
1
2
1



















































 
doSubstituin
ttt
t
tt
dttttdtttt
duv
t
t
v
dt
 
Resposta Correta: Ambas são verdadeiras portanto Alternativa(A) 
 
Passo 3 
O número 4 foi associado, devido a resposta correta ter sido a alternativa A. As duas 
integrais estão corretas, na primeira o método utilizado foi o da substituição, e na 
segunda o método utilizado foi integração por partes. 
 
 
 
 
 11 
Passo 4 
Relatório II 
Para a realização desta etapa, foi utilizado os métodos de integração de substituição e 
integração por partes. 
Na primeira equação foi designado um valor para U, sendo substituído uma vez, para 
acharmos a integral indefinida da equação. 
Na segunda equação foi designados valores para u e dv, sendo jogados na fórmula do 
método de integração por partes. Como se trata de uma integral definida de 0 a 5, foi 
achado o valor definido para os valores. 
A sequência dos números encontrados desde o passo 2 da Etapa 1 é: 
3 - 0 - 1 - 9 – 4 
 
Etapa 3 
Passo 1 
Os cálculos relacionados a áreas de figuras planas regulares são de certa forma 
realizados facilmente, devido às fórmulas matemáticas existentes. No caso de figuras 
como o triângulo, quadrado, retângulo, trapézios, losangos, paralelogramo entre outras, 
basta relacionarmos as fórmulas à figura e realizar os cálculos necessários. Algumas 
situações exigem ferramentas auxiliares na obtenção de áreas, como exemplo as regiões 
existentes sob uma curva. Para tais situações utilizamos os cálculos envolvendo as 
noções de integrações desenvolvidas por Isaac Newton e Leibniz. 
Podemos representar algebricamente uma curva no plano através de uma lei de 
formação chamada função. A integral de uma função foi criada no intuito de determinar 
áreas sob uma curva no plano cartesiano. Os cálculos envolvendo integrais possuem 
diversas aplicações na Matemática e na Física. 
Passo 2 
Temos 3 funções na figura:. 
4
1
x
y
xy
x
y



 
 
 12 
Para acharmos a área S1, é necessário calcular a área envolvendo o intervalo para x de 0 
a 1, dado pelas funções 
4
x
yexy 
 e o intervalo para x de 1 a 2, dado pelas funções 
4
1 x
ye
x
y 
. 
Depois basta somar os valores, e teremos o valor da área total no intervalo de 0 a 2. 
375,0
8
1
2
1
822
.
4
1
24
1
4
1
22
1
0
22
1
0
221
0
1
0
1
0






 
xxxx
xx
x
x
Equação
 
318,0125,0193,0
8
1
1ln
8
2
2ln
8
ln
2
.
4
1
ln
4
11
4
1
2
22
2
1
2
2
1
22
1
2
1
2
1







  
x
x
x
xdxxdx
x
dx
x
x
Equação
 
Somando as duas equações, forma-se a área S1 desejada. 
S1 = Equação 1 + Equação 2 = 0,375 + 0,318 = 0,693 u.a 
Portanto a afirmação é verdadeira. 
 
Temos duas funções: 
x
y
y
4
4

 
 
 
 
Para obtermos a área S2 desejada, temos que somar a função 
x
y
4

 no intervalo de 1 a 
4 com a função 
4y
 no intervalo de 0 a 1. Depois basta multiplicar por 4 para 
obtermos o valor dos 4 quadrantes, uma vez que a figura é simétrica. 
 
 
 
 13 
545,51ln44ln4ln4
4
1
4
1
4
1
 xdxx
Equação
 
444
2
1
0
1
0
 xdx
Equação
 
Somando as duas equações e multiplicando por 4 encontramos a área S2 desejada. 
S2 = 4( Equação 1 + Equação 2 ) = 4( 5,545 + 4 ) = 38,18 u.a 
Portanto a afirmação é falsa. 
Passo 3 
Por meio de soma de áreas envolvendo diversas funções, o número associado a 
alternativa correta (c) é o número 8. 
 
Passo 4 
Relatório 3 
Na figura 1 através de 3 funções foi subtraído e somado cada espaço desejado dentro da 
figura, de acordo com os intervalos em que as funções se fechavam 
Na figura 2, foi somado 2 funções e multiplicado por 4, uma vez que a área deseja se 
atribui aos quatro quadrantes. 
A sequência dos números encontrados desde o passo 2 da Etapa 1 é: 
3 - 0 - 1 - 9 - 4 - 8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 14 
 
Etapa 4 
Passo 1 
Outras "integrações"foram realizadas por Arquimedes a fim de encontrar o volume da 
esfera e a área da superfície esférica, o volume do cone e a área da superfície cônica, a 
área da região limitada por uma elipse, o volume de um parabolóide de revolução e o 
volume de um hiperbolóide de revolução. Em seus cálculos, Arquimedes encontrava 
somas com um número infinito de parcelas. O argumento utilizado era a dupla reductio 
ad absurdum para "escapar" da situação incômoda. Basicamente, se não podia ser nem 
maior, nem menor, tinha que ser igual. 
A contribuição seguinte para o Cálculo Integral apareceu somente ao final do século 
XVI quando a Mecânica levou vários matemáticos a examinar problemas relacionados 
com o centro de gravidade. Em 1606, em Roma, Luca Valério publicou de quadratura 
parábola e onde utilizou o mesmo método grego para resolver problemas de cálculo de 
áreas desse tipo. 
Kepler, em seu trabalho sobre o movimento dos planetas, teve que encontrar as áreas de 
vários setores de uma região elíptica. O método de Kepler consistia em pensar na 
superfície como a soma de linhas - método este que, na prática, apresentava muita 
imprecisão. Analogamente, para calcular volumes de sólidos, pensava na soma de fatias 
planas. Desse modo, calculou os volumes de muitos sólidos formados pela revolução de 
uma região bidimensional ao redor de um eixo. Para o cálculo de cada um desses 
volumes, Kepler subdividia o sólido em várias fatias, chamadas infinitésimos, e a soma 
desses infinitésimos se aproximava do volume desejado. 
Passo 2 
Desafio A 
Para realizar o cálculo do volume da casca do objeto, foi utilizada a fórmula da Área da 
Superfície, que é dado por: 
 
 15 
   dxxfxf
b
a
2
'1.)(.2  
 
Para 
4
4
1
 xex
, na função 
xy 4
: 
















4
4
1
2
2
1.4.2 dx
x
x
 







4
4
1
4
1.8 dx
x
x
 





 

4
4
1
4
.8 dx
x
x
x
 
  
4
4
1
4.8 dxx
 
 
 



4
4
12
3
2
3
4
4
1
2
1 4
.848
x
dxx  
 
323,232802,146125,379
2
3
4
4
1
.8
2
3
44
.8
2
3
2
3









 
 
A expressão 2π/3 (128√2- 17√17) = 232,32, portanto a afirmação esta CORRETA. 
Desafio B 
Qual é o volume do sólido de revolução obtido pela rotação, em torno da reta y = 2,da 
região R delimitada pelos gráficos das equações: y = senx, y = cosx de x = 0 até x = 
4

? 
 (a) 3,26 u.v. (b) 4,67 u.v. (c) 5,32 u.v. (d) 6,51 u.v. (e) 6,98 u.v. 
y = senx ; y = (sen x)3; de 0 < x < π/2 
∫_0^(π/2)▒π[(sen x)^2-(sen x)^6 ]dx 
 
 16 
Para realização desta integral, foi utilizado o programa Geogebra, tendo como resultado 
a seguinte equação: 
= 1/6 cox(x) 〖sen (x)〗^5 π+ 5/24 cos⁡(x) 〖sen(x)〗^3 π- 3/16 cos⁡(x)sen(x)π+ 
3/16 x π 
Substituindo os valores para 0 < x < π/2: 
Sendo na função em Radianos, cos (π/2) = 0, sobra-se: 
3/16 . π/2 .π=0,9255 
Não há este valor nas opções, portanto não há certeza de acerto do desafio. 
Passo 3 
Para o desafio A, foi associado o número 4, devido a resposta estiver correta. 
Para o desafio B, não foi identificado um valor que se iguala a uma das alternativas, 
portanto não há solução para este desafio. 
Passo 4 
Relatório 4 
Para realização da etapa 4, foi utilizado técnica de integração para achar volume de 
sólidos. No desafio A, foi necessário utilizar a fórmula da área da superfície, dando 
resultado positivo no desafio. No desafio B, foi utilizada a matéria que foi dada em sala 
de aula, da subtração das duas funções elevadas ao quadrado, porém, o valor não se 
igualou a nenhuma das alternativas. 
A seqüência dos números encontrados desde o passo 2 da Etapa 1 é: 
3 - 0 - 1 - 9 - 4 - 8 - 4 - 
 
 
 
 
 
 
 
 17 
 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
http://mesalva.com/aula/calculo/integral/int11-exemplo-1-integral-por-substituicao-udu 
http://mesalva.com/aula/calculo/integral/int26-integracao-por-partes-udv 
 
PLT -178 Cálculo de uma Variável.