Prova Eletrônica Cálculo Integral

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03/05/2021 Prova Eletrônica: avaliação da tentativa
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Iniciado em segunda, 3 mai 2021, 00:49
Estado Finalizada
Concluída em segunda, 3 mai 2021, 01:36
Tempo
empregado
46 minutos 45 segundos
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Questão 1
Completo Atingiu 1,00 de 1,00
Questão 2
Completo Atingiu 1,00 de 1,00
Se você observar os diversos sólidos encontrados na natureza, verá que poucos têm formas regulares e
que di�cilmente será possível encontrar seu volume por meio da geometria euclidiana. Então, como obter
o volume de sólidos sinuosos? Utilizando o cálculo integral, juntamente com o método das frações
parciais, na solução de um volume. Para determinar o volume de um sólido obtido pela rotação da
função f(x) em torno do eixo x, para a ≤ x ≤ b, resolve-se a integral   e determine o volume
do sólido obtido pela rotação da função em torno do eixo x, para 0 ≤ x ≤ 2.
a. π ln3
b. π(4+ln3)
c. ln 3π
d. π(4 - ln3)
e. 4π
Assim como há regras de diferenciação correspondentes a regras de integração, a regra do produto para
derivadas está associada à integração por partes. Como muitas funções de problemas aplicados estão
em forma de produto, essa técnica de integração é importante, pois facilita os cálculos para determinar a
integral. Adotar a combinação ideal para organizar o produto em fatores de forma vantajosa se
caracteriza como uma estratégia de integração válida para resolver um problema aplicado nesse
contexto. A técnica de integração por partes é uma estratégia para calcular integrais que estão em forma
de produto. Dessa forma, qual o valor da integral   utilizando a integração por partes com as
escolhas de u = lny, dv = y 2dy?
a. 2/3y3 (lny – 1/3) + C
b. 1/3y3 (lny +1/3) + C
c. 1/9y3 (lny – 1/3) + C
d. 1/3y3 (lny – 1/3) + C
e. 1/6y3 (lny – 1/3) + C
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Questão 3
Completo Atingiu 1,00 de 1,00
A história do cálculo diferencial e integral foi motivada a partir da necessidade de resolver dois
problemas básicos: (i): O problema básico do cálculo diferencial, que é o problema das tangentes; ou
seja, calcular o coe�ciente angular da reta tangente ao grá�co de uma função num ponto dado P. (ii): O
problema básico do cálculo integral, que é o problema das áreas; ou seja, calcular a área sob o grá�co,
entre os pontos x=a e x=b. Há registros que os egípcios, babilônicos e gregos já utilizavam os conceitos
de cálculo para resolver problemas envolvendo áreas e volumes. Arquimedes foi quem aperfeiçoou o
método de exaustão, o mesmo utilizou o método de exaustão para encontrar a área do círculo, e obteve
as primeiras aproximações do número π (pi). Ainda, concluiu que a área da região limitada por uma
parábola cortada por uma corda qualquer, é igual a 4/3 da área do triângulo que tem a mesma altura e
que tem a corda como base. Uma função indicada no integrando de uma integral pode ser compreendida
como a área sob uma curva. 
 
Dada a integral:  
 
 
Indique qual das alternativas, apresentadas abaixo, representa corretamente o valor numérico da área
a. 1,4
b. 1,7
c. 1,5
d. 1,3
e. 1,6
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Questão 4
Completo Atingiu 0,00 de 1,00
Questão 5
Completo Atingiu 1,00 de 1,00
As fórmulas encontradas em tabelas de integrais inde�nidas auxiliam no desenvolvimento de cálculos
que envolvem processos de integração; porém, nem todas as funções possuem antiderivadas diretas,
porque em sua estrutura há composição de funções. No Cálculo Diferencial, a regra da cadeia, a partir de
uma substituição, combinada a outras regras de diferenciação, é um procedimento para contornar
problemas de derivação de funções compostas. De forma análoga, o método da substituição parte
dessas ideias, de forma inversa, para calcular integrais de funções compostas a partir do resultado do
teorema fundamental do Cálculo. Na construção de plataformas de petróleo, são realizadas diversas
simulações virtuais de possíveis vazamentos em tanques de armazenamento. Esses testes são
realizados para avaliar a qualidade dos dispositivos eletrônicos de segurança, instalados com a
�nalidade de prevenir possíveis acidentes de trabalho relacionados a riscos de explosão por agentes
físicos ou contaminação dos trabalhadores por agentes químicos. Suponha que você está auxiliando em
uma dessas simulações virtuais. Na modelagem matemática desta implementação computacional, o
teste simulado utiliza a taxa de vazamento de óleo em litros por minuto, seguindo a função: r(t) = 100e
 . A experimentação virtual presenta, como intervalo de con�ança, a quantidade de [4500, 4515] litros
de óleo vazados na primeira hora. Tendo como base essas informações, se na simulação ocorrer
vazamento por uma hora, qual será a quantidade de óleo vazada, aproximadamente?
a. 4.215 litros
b. 4. 500 litros
c. 4.512 litros
d. 4.515 litros
e. 5.512 litros
-
0,01t
A técnica de integração por partes parte da regra do produto para diferenciação. A aplicação principal
dessa técnica é a de calcular integrais de�nidas e inde�nidas provenientes de funções compostas em
forma de produto que não podem ser calculadas com o uso de tabelas de integração. Nesse sentido,
essa ferramenta é indispensável no cálculo de integrais de problemas aplicados que, geralmente,
apresentam modelos matemáticos com funções compostas por produtos. 
Os conhecimentos de integral auxiliam na determinação de áreas sobre curvas. Dessa forma, dadas as
curvas w = y 2 ln y, w = 4 ln y, qual a área delimitada por essas curvas?
a. 16/3 ln2 + 29/9
b. 16/9 ln2 – 29/9
c. 16/3 ln2 – 29/3
d. 16/6 ln2 – 29/9
e. 16/3 ln2 – 29/9
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Questão 6
Completo Atingiu 1,00 de 1,00
Questão 7
Completo Atingiu 1,00 de 1,00
Os Cálculos Integral e Diferencial são conectados pelo Teorema Fundamental do Cálculo (TFC). A origem
do Cálculo Integral ocorreu do problema de áreas; já a origem do cálculo diferencial ocorreu do problema
da tangente. Naturalmente, não há ligação entre os problemas. Até que Isaac Barrow (1630-1677)
observou que integração e diferenciação são processos inversos. Dessa forma, o TFC fornece a relação
precisa de inversão entre os processos. O resultado principal dessa descoberta permite calcular integrais
e as áreas quando as representam sem a utilização da soma de limites. Essa funcionalidade facilita
todos os cálculos que envolvem integração. Nas aulas de geometria, aprende-se que área é um número
que representa o tamanho de uma região limitada, e para regiões simples, como retângulos, triângulos,
círculos, a área pode ser determinada por meio de fórmulas geométricas. Mas, no caso da área de
regiões que não formam um padrão, se utiliza a integral de�nida para calcular a área de cada
subintervalo, ou seja, a área da região sob a curva f(x) no intervalo [a, b] é aproximadamente a soma das
áreas dos retângulos. Sabendo-se que a função x = 2y - y no intervalo [o, 2] representa a área, no
intervalo dado, indique qual das alternativas apresenta área descrita por essa função.
a. 4/5
b. 4/7
c. 4/9
d. 4/11
e. 4/3
2
Em cálculo, a regra da cadeia é uma fórmula para a derivada da função composta de duas funções.
Desenvolvida por Gottfried Leibniz, a regra da cadeia teve grande importância para o avanço do cálculo
diferencial.Seu desenvolvimento foi devido à mudança de notação, ou seja, ao invés de usar a notação
de Newton, Leibniz adotou uma notação referente à tangente, onde a derivada é dada pela diferença dos
valores na ordenada dividida pela diferença dos valores na abcissa e onde essa diferença é in�nitamente
pequena. A partir desta observação, a regra da cadeia passou a permitir a diferenciação de funções
diversas cujo argumento é outra função. Na integração, a recíproca da regra da cadeia é a integração por
substituição. Integração por substituição ou integração por mudança de variável é um processo para
encontrar a integral, que consiste na substituição de uma variável (às vezes, da própria função) por uma
função a partir do Teorema Fundamental do Cálculo. O desa�o na utilização do método de substituição é
obter uma substituição adequada para resolver o problema. Se w for contínua e  , qual o
valor da integral ?
a. 4
b. 5
c. 2
d. 6
e. 3
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Questão 8
Completo Atingiu 1,00 de 1,00
Com os conhecimentos sobre o cálculo integral, determinamos o valor de áreas de regiões sobre o
grá�co de funções. Agora, podemos utilizá-los para determinar áreas de regiões entre grá�cos de duas
funções que podem ser descritas como curvas e formam uma região plana entre si. Uma das principais
aplicações da integral é o cálculo entre curvas a partir das regiões delimitadas pelas duas funções. A
ideia por trás desse cálculo é aproximar, por retângulos cada vez menores, sendo a diferença das
funções a base desse retângulo. Diante disso, determine a área da região sombreada a seguir e assinale
a alternativa correta. 
 
 
a. 23/3
b. 32/3
c. 3/32
d. 32/9
e. 32/5
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Questão 9
Completo Atingiu 1,00 de 1,00
O cálculo de integrais trigonométricas pode recair em fórmulas complexas. Em alguns casos, é possível
contornar o problema utilizando substituições e identidades trigonométricas para facilitar a resolução da
integral. As identidades trigonométricas podem ser utilizadas para simpli�car o cálculo integral,
relacionando a identidade com a substituição a ser realizada. 
A trigonometria é a área da matemática que estuda a relação entre a medida dos lados de um triângulo e
seus ângulos. Temos como principais razões trigonométricas o seno, o cosseno e a tangente, estudados
também nos ciclos trigonométricos. 
Há as identidades trigonométricas, que relacionam as razões trigonométricas entre si. O estudo da
trigonometria, quando feito de forma mais aprofundada, ocorre com base nas funções trigonométricas —
função seno e função cosseno. 
A respeito desse assunto, assinale a opção correta para
a. arctg x - C
b. arcsen x + C
c. – cossec x +C
d. arccos x + C
e. arctg x + C
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Questão 10
Completo Atingiu 1,00 de 1,00
O século XVII trouxe grandes avanços para a Matemática, principalmente pelas novas áreas de pesquisa
abertas. Porém a maior realização matemática do período foi a invenção do cálculo diferencial e integral,
ou cálculo in�nitesimal, na segunda metade do século, por Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz, de
maneira independente. O cálculo in�nitesimal é o estudo do movimento e da mudança, e antes da sua
descoberta, os matemáticos �cavam bastante restritos às questões estáticas de contar, medir e
descrever as formas. Com o novo cálculo foi possível que os matemáticos estudassem o movimento dos
planetas, a queda dos corpos na terra, o funcionamento das máquinas, o �uxo dos líquidos, a expansão
dos gases, forças físicas tais como o magnetismo e a eletricidade, o voo, o crescimento das plantas e
animais, a propagação das epidemias e a �utuação dos lucros. A matemática tornou-se o estudo dos
números, da forma, do movimento, da mudança e do espaço. Os matemáticos costumavam utilizar
limites para calcular a área de �guras com contornos curvos. Newton e Leibniz mostraram que é possível
chegar muito mais facilmente ao resultado, usando a integração, pois se uma quantidade pode ser
calculada por exaustão, então também pode ser calculada com o uso de antiderivadas. Esse importante
resultado é denominado Teorema Fundamental do Cálculo (TFC). O resultado do TFC é indispensável em
modelagem matemática que envolve processos de integração, pois minimiza a quantidade de cálculos e
dinamiza a resolução dos problemas de aplicação. A diferenciação e a integração são processos
inversos do Cálculo. O resultado do teorema fundamental do cálculo apresenta detalhadamente esses
aspectos. Dessa forma, utilizando TFC, qual das alternativas apresentadas a seguir representa o
resultado da integralização da função: 
a. 20/3
b. 20/6
c. 20/9
d. 6/20
e. 3/20
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