Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Universidade Anhembi Morumbi Escola de Tecnologia e Engenharia Cálculo Diferencial DERIVADAS Aluno(a): Professor: Izaias Cordeiro Néri São Paulo 2014 CONTEÚDO 1 Derivadas 2 1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Retas Tangentes e Inclinações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Derivada como Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3.1 Notação de derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.2 Derivada de f em um número a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 Técnicas de Derivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4.1 Derivadas de uma constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4.2 Potências de x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4.3 Regras da Soma e da Diferença . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4.4 Funções Exponenciais e Logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5 Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.6 Derivadas de Ordem Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.7 Exercícios - Técnicas de Derivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.8 Taxa de Variação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.9 Exercícios - Taxa de variação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.10 Regra do Produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.11 Regra do Quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.12 Exercícios - Regras Produto e Quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.13 Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.13.1 Decomposição das funções compostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.13.2 Usando a Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.14 Exercícios - Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.15 Regra da Cadeia em Funções Especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.16 Exercícios - Funções Especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2 Aplicações de Derivadas 34 2.1 Máximos e Mínimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.1.1 Problemas de Otimização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2 Exercícios - Máx. e Mín. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.3 Gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.3.1 Teste da primeira derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.3.2 Teste da segunda derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.4 Exercícios - Gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 CAPÍTULO 1 DERIVADAS 1.1 Introdução As derivadas estão presentes em vários contextos e por meio dela é possível medir taxas segundo a qual uma quantidade varia em relação a outra. São muito utilizadas em Engenharia, Ciências Naturais, Economia, Ciência da Computação e demais áreas que utilizam o Cálculo Diferencial. Grandezas como velocidade, inflação de uma moeda, número de bactérias em crescimento ou decrescimento em uma cultura, a intensidade de um terremoto, a voltagem de um sinal elétrico e assim por diante, são alguns exemplos de aplicações das derivadas. Vejamos um exemplo. O gráfico representa a temperatura mensal média ( em graus Fahrenheit) de uma cidade dos EUA. Faça uma estimativa da inclinação desse gráfico no ponto indicado e dê uma in- terpretação física do resultado. Resolução: Observamos no gráfico que no ponto dado ele decresce 28 unidades de temperatura para cada mudança de duas unidades em x. Portanto estimamos a inclinação no ponto dado como: inclinação = −28 2 = −14 graus por mês. Isso significa que as temperaturas médias diárias, em novembro, estão 14 graus mais baixas do que as temperaturas correspondentes em outubro. 2 1.2. RETAS TANGENTES E INCLINAÇÕES CAPÍTULO 1. DERIVADAS 1.2 Retas Tangentes e Inclinações Considere uma curva modelada por uma função y = f(x). Para encontrarmos a reta tangente à curva num ponto P (a, f(a)), pegamos um ponto vizinho Q(x, f(x)), de modo que x 6= a, e calculemos a inclinação da reta secante PQ. mPQ = f(x)− f(a) x− a Figura 1.1: Reta secante ao gráfico Agora faremos o ponto Q aproximar de P com x tendendo a a Figura 1.2: Ponto Q se aproxima de P 3 1.2. RETAS TANGENTES E INCLINAÇÕES CAPÍTULO 1. DERIVADAS Definição 1.2.1 A reta tangente a uma curva y = f(x) em um ponto P (a, f(a)) é a reta que passa por P e tem inclinação dada por: m = lim x→a f(x)− f(a) x− a desde que esse limite exista. A reta tangente ao gráfico de f em P é a reta que passa por P e tem esse coeficiente angular. Sua equação é dada por: y − f(a) = m(x− a) Exemplo 1.2.1 Encontre a inclinação da reta tangente ao gráfico y = x2 no ponto P(1,1). Solução: Inicialmente temos a = 1 e f(x) = x2 e, portanto, a inclinação é dada por m = lim x→a f(x)− f(a) x− a = limx→1 x2 − 1 x− 1 = 2 Exemplo 1.2.2 Encontre uma equação de reta tangente à hipérbole y = 3/x no ponto (3,1). Solução: Inicialmente temos a = 3 e f(x) = 3/x e, portanto, a inclinação é dada por: m = lim x→a f(x)− f(a) x− a = limx→3 3/x− 1 x− 3 = −1/3 Como temos x0 = 3 e y0 = 1 montamos a equação da reta como y − 1 = −1 3 (x − 3) o que equivale a y = −x 3 + 2. Figura 1.3: Reta tangente ao Gráfico no ponto (3,1) 4 1.2. RETAS TANGENTES E INCLINAÇÕES CAPÍTULO 1. DERIVADAS Exemplo 1.2.3 Encontre as inclinações das retas tangentes ao gráfico da função f(x) = √ x nos pontos (1, f(1)) e (4, f(4)). Solução: Para o ponto P (1, f(1)): m = lim x→a f(x)− f(a) x− a = limx→1 √ x− 1 x− 1 = limx→1 √ x− 1 ( √ x− 1)(√x+ 1) = 1 2 Solução: Para o ponto P (4, f(4)): m = lim x→4 f(x)− f(4) x− 4 = limx→4 √ x− 2 x− 4 = limx→4 √ x− 2 ( √ x− 2)(√x+ 2) = 1 4 Exemplo 1.2.4 Encontre a inclinação da reta tangente à curva y = x3 − 4x + 1 no ponto P (p, f(p)). Solução: Para o ponto P (p, f(p)) temos: m = lim x→p f(x)− f(p) x− p = limx→p (x3 − 4x+ 1)− (p3 − 4p+ 1) x− p = = lim x→p (x3 − p3)− 4(x− p) + 1− 1 x− p = limx→p (x− p)(x2 + xp+ p2)− 4(x− p) x− p = = lim x→p (x2 + xp+ p2 − 4) = 3p2 − 4 ∴ m = 3p2 − 4 Desafio Observe o gráfico a seguir e determine a equação da reta tangente à curva no ponto P (p, f(p)). Figura 1.4: Desafio reta tangente 5 1.3. DERIVADA COMO FUNÇÃO CAPÍTULO 1. DERIVADAS Exercícios E - 01 Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado: (a) f(x) = 1 x2 (2, f(2)) (b) f(x) = 3x− x2 (1, f(1)) (c) f(x) = x3 − 3x (−1, f(−1)) E - 02 Encontre a inclinação da reta tangente à curva y = x3 − 4x+ 1 no ponto x = a. E - 03 Considere a parábola y = 1 + x + x2. Encontre a inclinação à essa curva nos pontos cujas coordenadas x são: (a) −1 (b) 1 2 (c) 3 Respostas E - 01 (a) y = 3 4 − x 4 (b) y = x+ 1 (c) y = 2 E - 02 y = (3a2 − 4)x− 2a3 + 1 E - 03 (a) y = −x (b) y = 2x+ 3 4 (c) y = 7x− 8 Desafio y = p 4 x− p 2 8 1.3 Derivada como Função Definição 1.3.1 A derivada de f em relação a x é dada por: f ′(x) = lim h→0 f(x+ h)− f(x) h Desde que o limite exista. 6 1.3. DERIVADA COMO FUNÇÃO CAPÍTULO 1. DERIVADAS 1.3.1 Notação de derivada Considerando a função denotada por y = f(x), algumas notações de derivadas podem ser utilizadas,são elas: f ′(x) = y′ = dy dx = df dx = d dx f(x) 1.3.2 Derivada de f em um número a A derivada de f em um número a, denotada por f ′(a), é dada por: f ′(a) = lim h→0 f(a+ h)− f(a) h Exemplo 1.3.1 Determine a derivada de f(x) = 3x2. Solução: f ′(x) = lim h→0 f(x+ h)− f(x) h = lim h→0 3(x+ h)2 − 3x2 h = lim h→0 3x2 + 6xh+ 3h2 − 3x2 h = lim h→0 6xh+ 3h2 h = lim h→0 (6x+ 3h) = 6x Exemplo 1.3.2 Determine a derivada de f(x) = −5x+ 4. Solução: f ′(x) = lim h→0 −5(x+ h) + 4− (−5x+ 4) h = lim h→0 −5x− 5h+ 4 + 5x− 4 h = lim h→0 −5h h = −5 Exemplo 1.3.3 Determine a derivada de f(x) = 2 x . Solução: f ′(x) = lim h→0 2 x+ h − 2 x h = lim h→0 2x− 2(x+ h) (x+ h)x.h = lim h→0 2x− 2x− 2h (x+ h)x.h = lim h→0 −2h (x+ h)x.h = = lim h→0 −2 (x+ h)x = − 2 x2 Exemplo 1.3.4 Determine f ′(3) em f(x) = x− x2. Solução: f ′(3) = lim h→0 f(3 + h)− f(3) h = lim h→0 (3 + h)− (3 + h)2 − (3− 32) h = = lim h→0 3 + h− 9− 6h− h2 − 3 + 9 h = lim h→0 −5h h = −5 7 1.3. DERIVADA COMO FUNÇÃO CAPÍTULO 1. DERIVADAS Observação: A derivada de uma função f aplicada em um ponto a qualquer representa a inclinação da reta tangente à curva nesse exato ponto. Figura 1.5: Gráfico e Reta Tangente do Exemplo 2.3.4 Exemplo 1.3.5 Determine f ′(−1) para a função f(x) = 2x2 − 1. Solução: f ′(−1) = lim h→0 f(−1 + h)− f(−1) h = lim h→0 2(−1 + h)2 − 1− (2(−1)2 − 1) h = lim h→0 2h2 − 4h h = lim h→0 2h− 4 = −4 Exercícios E - 01) Determine a derivada de f(x) = 2x2 − x. E - 02) Determine a derivada de f(x) = √ x. E - 03) Determine a derivada da função f(x) = x2 − 6x aplicada no ponto (2, f(2)). E - 04) Determine f ′(−2) para as seguintes funções: a) f(x) = 1 x b) f(x) = x3 − 3x c) f(x) = 4x+ 1 8 1.4. TÉCNICAS DE DERIVAÇÃO CAPÍTULO 1. DERIVADAS E - 05) Considere a função f(x) = 1 1 + x . Calcule: a) f ′(2) b)f ′(0) c) f ′(−3) E - 06) Encontre f ′(t) se f(t) = 4t2 + t. Desafio Mostre que a função dada por f(x) = ax2 + bx+ c tem como derivada df dx = 2ax+ b. Respostas E - 01) f ′(x) = 2x− 1 E - 02) f ′(x) = 1 2 √ x E - 03) f ′(2) = −2 E - 04) (a) f ′(−2) = −1 4 (b) f ′(−2) = 9 (c) f ′(−2) = 4 E - 05) (a) f ′(2) = −1 9 (b) f ′(0) = −1 (c) f ′(−3) = −1 4 E - 06) f ′(t) = 8t+ 1 Desafio: Faça a derivada em relação a x. 1.4 Técnicas de Derivação Até agora vimos a maneira de calcular a derivada pela definição usando limites. A partir desse ponto iremos usar alguns teoremas que nos possibilitarão calcular derivadas de forma mais eficaz. 1.4.1 Derivadas de uma constante Toda função no formato f(x) = k, com k ∈ R, é denominada função constante. A regra da Constante é dada por: d dx [k] = 0 Exemplos d dx [−1] = 0; d dx [ √ 3] = 0; d dx [7] = 0 d dx [pi] = 0 9 1.4. TÉCNICAS DE DERIVAÇÃO CAPÍTULO 1. DERIVADAS 1.4.2 Potências de x Seja f uma função polinomial de grau n dada por f(x) = xn. A regra da potência é dada por: d dx [xn] = n.xn−1 Exemplos d dx [−1x3] = −3x2; d dx [x5] = 5x4; d dx [7x3] = 21x2 d dx [pi.x4] = 4pi.x3 Exemplo 1.4.1 Determine a derivada da função f(x) = 1 x2 . Solução: Primeiro, usando propriedade de potênciação, faremos f(x) = 1 x2 virar f(x) = x−2. Em seguida aplicaremos a regra da Potências de x. f ′(x) = −2.x−2−1 = −2x−3 = − 2 x3 Exemplo 1.4.2 Determine a derivada da função f(x) = √ x. Solução: Transformaremos f(x) = √ x em f(x) = x1/2. Agora derivando temos df dx = 1 2 x−1/2 = 1 2 √ x Exemplo 1.4.3 Determine a derivada da função f(x) = √ x x2 . Solução: f(x) = √ x x2 = x1/2 x2 = x1/2−2 = x−3/2 ⇒ f(x) = x−3/2 f ′(x) = −3 2 .x−3/2−1 = −3 2 .x−5/2 = − 3 2 √ x5 Derivada de funções com radicais Ao derivar funções que envolvam radicais, deve-se reescrever a função com exponentes racionais. y = n √ xp = x p n 10 1.4. TÉCNICAS DE DERIVAÇÃO CAPÍTULO 1. DERIVADAS Exemplo 1.4.4 Determine a derivada da função f(x) = 1 2 3 √ x2 . Solução: Reescrever a função f(x) = 1 2 3 √ x2 = 1 2x2/3 = 1 2 x−2/3. Agora derivando: f ′(x) = 1 2 .(−2 3 )x− 2 3 −1 ⇒ f ′(x) = −1 3 x− 5 3 = − 1 3 3 √ x5 1.4.3 Regras da Soma e da Diferença Se tivéssemos a função f(x) = x3 − 3x+ 4 qual seria o procedimento para derivá-la? Definição 1.4.1 A derivada da soma (diferença) de duas ou mais funções deriváveis é a soma (diferença) de suas derivadas. df dx [f(x) + g(x)] = df dx [f(x)] + df dx [g(x)] Exemplo 1.4.5 Determine a inclinação do gráfico de f(x) = x3 − 4x+ 2 no ponto (1,−1) Solução: df dx [x3 − 4x+ 2] = 3x2 − 4 ⇒ df dx [1] = 3(1)2 − 4 = −1 1.4.4 Funções Exponenciais e Logarítmicas A função exponencial é toda função no formato y = ax, sendo a um número real positivo, tal que 0 < a 6= 1. Sua derivada é dada por: dy dx [ax] = ax.ln(a) Toda função definida pela lei de formação f(x) = loga(x) com 0 < a 6= 1 é denominada função logarítmica de base a. Sua derivada é dada por: dy dx [loga(x)] = 1 x.ln(a) 11 1.5. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS CAPÍTULO 1. DERIVADAS Casos especiais Vamos abordar os casos em que a base tanto na função exponencial quanto na logarítmica é o número de Euler e. dy dx [ex] = ex ; dy dx [ln(x)] = 1 x Exemplo 1.4.6 Se f(x) = x2 + 3x − 7ex, encontre f ′(x). Solução: Usando a regra da soma(subtração) teremos: f ′(x) = 2x+ 3x.ln(3)− 7ex Exemplo 1.4.7 Encontre a derivada de f(x) = −5ln(x) + 3ex +√x. Solução: Lembrando que a função y = √ x deve ser transformada em y = x1/2. Temos que f ′(x) = −5.1 x + 3ex + 1 2 √ x Exemplo 1.4.8 Determine a derivada da função f(x) = −1 2 x4 + 2.5x − 2 3 ln(x) Solução: f ′(x) = −1 2 .4x3+2.5x.ln(5)− 2 3 . 1 x . Melhorando os valores e as operações teremos: f ′(x) = −2x3 + 2.ln(5).5x − 2 3x 1.5 Funções Trigonométricas Vamos apresentar a derivada de apenas três funções trigonométricas mais utilizadas. São elas sen(x), cos(x) e tg(x). Sendo suposto que a variável x está medida em radianos. df dx [sen(x)] = cos(x) df dx [cos(x)] = −sen(x) df dx [tg(x)] = sec2(x) Exemplo 1.5.1 Determine a derivada da função f(x) = 3sen(x)− cos(x) Solução: f ′(x) = 3.cos(x)− (−sen(x)) = 3.cos(x) + sen(x) Exemplo 1.5.2 Determine a derivada da função f(x) = 1 3 .tg(x) + 2.cos(x) + 5 x2 Solução: f ′(x) = 1 3 .sec2(x)− 2.sen(x)− 10 x3 12 1.6. DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR CAPÍTULO 1. DERIVADAS 1.6 Derivadas de Ordem Superior A derivada f ′ de uma função f é também uma função que pode ter novamente sua derivada. Podemos representar as derivadas de ordem superior com duas notações: dnf dxn = f (n)(x) Exemplo 1.6.1 Determine a terceira derivada da função f(x) = −x5 + x3 − 8 Solução: Vamos calcular todas as derivadas até chegar na ordem requerida. Primeira Derivada = df dx = f ′(x) = −5.x4 + 3x2 Segunda Derivada = d2f dx2 = f ′′(x) = −20.x3 + 6x Terceira Derivada = d3f dx3 = f (3) = −60.x2 + 6 Exemplo 1.6.2 Determine a terceira derivada da função f(x) = 5.cos(3x) Solução: Primeira Derivada → f ′(x) = −5.sen(3x).3 = −15.sen(3x) Segunda Derivada → f ′′(x) = −15.cos(3x).3 = −45.cos(3x) Terceira Derivada → f ′′′(x) = 45.sen(3x).3 = 135.sen(3x) Exemplo 1.6.3 Determine a segunda derivada da função f(x) = x2 + ln(x) Solução: Primeira Derivada f ′(x) = 2x+ 1 x Segunda Derivada f ′′(x) = 2− 1 x2 13 1.7. EXERCÍCIOS - TÉCNICAS DE DERIVAÇÃO CAPÍTULO 1. DERIVADAS 1.7 Exercícios - Técnicas de Derivação E - 1) Encontre dydx . (a) y = 4x7 (b) y = −3x12 (c) y = 1 2 (x4 + 7x) (d) y = x2 + 1 5 E - 2) Encontre f ′(x). (a) f(x) = 1 x3 + 1 x7 (b) f(x) = 2 √ x− 3 x8 (c) f(x) = √ x+ 1 x (d) f(x) = x2 + 4x+ 3√ x (e) f(x) = 4pi2 (f) f(x) = √ 10 x7 E - 3) Encontre f ′(x). (a) f(x) = 5x2 − 3x+ 1 (b) f(x) = √ x3 + 2 x E - 4) Encontre dy dt . (a) y = t2 − t (b) y = t2 + 1 3t E - 5) Diferencie as funções dadas a seguir: (a) y = x+ 5 √ x2 (b) y = x √ x+ 1 x2. √ x (c) y = 3x+ ex (d) y = x2 + 2ex + 5cos(x) (e) y = x− 3.cos(x) (f) y = sen(x)− cos(x) E - 6) Determine as derivadas de ordem superior indicadas. (a) f(x) = 4x4 + 2x ; f (3)(x) (b) f(x) = 5x2 − 1 x3 ; f (2)(x) (c) f(x) = 1 x ; f (3)(x) (d) f(x) = ln(x) ; f (2)(x) 14 1.7. EXERCÍCIOS - TÉCNICAS DE DERIVAÇÃO CAPÍTULO 1. DERIVADAS E - 7) Seja f(x) = −3x4 + 1 x , determine f”(2). E - 8) Encontre d2y dx2 . (a) y = 7x3 − 5x2 + x (b) y = x− 1 x (c) y = x3 − 3x (d) y = ex − cos(x) E - 9) Seja y = x2 − 3x. Verifique que x.d 2y dx2 − dy dx = 3. E - 10) Seja x = cos(t). Verifique que d2x dt2 + x = 0. E - 11) Seja f(x) = sen(x), calcule f ′(pi). E - 12) Determine a equação de reta tangente ao gráfico da função f(x) = −2x4 + 5x2 − 3 no ponto (1, 0). E - 13) Determine a equação de reta tangente ao gráfico da função y = x3+x no ponto (−1,−2). E - 14) Determine a equação de reta tangente ao gráfico da função y = 3 √ x+ 5 √ x no ponto (1, 2). E - 15) Determine a equação de reta tangente ao gráfico da função f(x) = 1 x no ponto (−1,−1). E - 16) Determine o valor da derivada da função no ponto dado. (a) f(x) = 1 x ponto (1, 1) (b) f(x) = 4− 4 t ponto ( 1 2 , 4 3 ) Desafio A lei da gravidade universal de Isaac Newton afirma que a intensidade de força F exercida por um corpo de massa M sobre um corpo de massa m é F = GMm r2 Onde G é uma constante e r a distância entre os corpos. Determine a derivada de F em relação a r. ( dF dr ) 15 1.7. EXERCÍCIOS - TÉCNICAS DE DERIVAÇÃO CAPÍTULO 1. DERIVADAS Respostas E - 1) (a) dy dx = 28x6 (b) dy dx = −36x11 (c) dy dx = 2x3 + 7 2 (d) dy dx = 2 5 x E - 2) (a) f ′(x) = − 3 x4 − 7 x8 (b) f ′(x) = √ x x + 24 x9 (c) f ′(x) = 1 2 √ x − 1 x2 (d) f ′(x) = 3x2 + 4x− 3 2x3/2 (e) f ′(x) = 0 (f) f ′(x) = −7 √ 10 x8 E - 3) (a) f ′(x) = 10x− 3 (b) f ′(x) = √ x3 − 4 2x2 E - 4) (a) dy dt = 2t (b) dy dt = 1 3 − 1 3x2 E - 5) (a) y′ = 1 + 2 5x3/5 (b) y′ = 3x4 − 5 2x7/2 (c) y′ = 3 + ex (d) y′ = 2x+ 2ex − 5sen(x) (e) y′ = 1 + 3sen(x) (f) y′ = cos(x) + sen(x) E - 6) (a) f (3)(x) = 96x (b) f (2)(x) = 10− 10 x5 (c) f (3)(x) = − 6 x4 (d) f (2)(x) = − 1 x2 E - 7) −143, 75 E - 8) (a) d2y dx2 = 42x− 10 (b) d2y dx2 = − 2 x3 (c) d2y dx2 = 6x (d) d2y dx2 = ex + cos(x) E - 9) Demonstração E - 10) Demonstração E - 11) f ′(pi) = cos(pi) = −1 E - 12) y = 2x− 2 E - 13) y = 4x+ 2 E - 14) y = 8x+ 22 15 E - 15) y = −x− 2 E - 16) (a) −1 (b) 16 Desafio dF dr = −2GMm r3 16 1.8. TAXA DE VARIAÇÃO CAPÍTULO 1. DERIVADAS 1.8 Taxa de Variação Existem diversas aplicações de taxa de variação em nossa vida real. Alguns exemplos são: Velocidade, Aceleração, Crescimentos Populacional, Taxa de Produção dentre outros. Definição 1.8.1 A taxa de variação instantânea ou simplesmente taxa de variação, de y = f(x) em x é o limite da taxa de variação média no intervalo [x, x + ∆x] quando ∆x tende a zero. lim ∆x→0 ∆y ∆x = lim ∆x→0 f(x+ ∆x)− f(x) ∆x Observação Importante: Em problemas da vida real, é importante listar as unidades de medida para uma taxa de variação. As unidades para∆y/∆x são "unidades"y por "unidades"x. Por exemplo, se y é medido em metros e x é medido em segundos, então ∆y/∆x é medido em m/s. Exemplo 1.8.1 No instante t = 0, um mergulhador pula de um trampolim de 32 pés de altura. Como a velocidade inicial do mergulhador é 16 pés por segundo, sua função posição é: h = −16t2 + 16t+ 32 a) Quando o mergulhador atinge a água? b) Qual é a velocidade de impacto do mergulhador? Solução: a) Faremos h = 0. −16t2 + 16t + 32 = 0, o que leva ao resultado t = −1 e t = 2. Como a solução t = −1 não faz sentido ao problema, concluímos que o instante que o mergulhador atinge a água é t = 2s. b) Para a velocidade de impacto faremos h′(2). Primeiro vamos derivar a função h. h′(x) = −32t+ 16. E agora temos: h′(2) = −32.(2) + 16 = −48 pés por segundo. Exemplo 1.8.2 O lucro proviniente da venda de x unidades de um relógio é dado por: P = 0, 0002x2 + 10x Determine o lucro marginal para o nível de produção de 50 unidades. Solução: dP dx = 0, 0002.2x+ 10 → dP dx [50] = 0, 0002.2.50 + 10 = 10, 02 $/unidade 17 1.9. EXERCÍCIOS - TAXA DE VARIAÇÃO CAPÍTULO 1. DERIVADAS 1.9 Exercícios - Taxa de variação 01 - A eficácia E (em uma escala de 0 a 1) de um analgésico t horas após ter entrado na corrente sanguínea é dada por: E = 1 27 (9t+ 3t2 − t3), 0 ≤ t ≤ 4, 5. Determine a taxa de variação de E para t = 2 h. 02 - A 0 o Celsius, a perda de calor H ( em quilocalorias por metro quadrado por hora) do corpo de uma pessoa pode ser modelada por H = 33(10 √ v− v+ 10, 45) em que v é a velocidade do vento (em metros por segundo). Determine dH dv . 03 - A altura s, em pés, no instante t, em segundos, de uma moeda jogada do topo de um prédio é dada por s = −16t2 + 555. Determine as velocidades instantâneas quando t = 2s e quando t = 3 s. 04 - A receita R (em dólares) do aluguel de x apartamentos pode ser modelada por R = 2x(900 + 32x− x2). Determine a receita marginal quando x = 14. 05 - O curso C, em dólares, da produção de x unidades de um produto é dado por C = 3, 6 √ x+ 500. Determine o custo marginal quando x = 9. 06 - O lucro P (em dólares) da venda de x unidades de livros de Cálculo é dado por P = −0, 05x2 + 20x− 1000. Determine o lucro marginal quando x = 150. 07 - A temperatura T (em graus Fahrenheit) de um doente pode ser modelada pela equação T = −0, 0375t2 + 0, 3t+ 100, 4, em que t é o tempo em horas decorrido desde o momento em que a pessoa começou a apresentar sinais de febre. Determine DT/dt. 08 - A posição de uma partícula é dada pela equação s = f(t) = t3 − 6t2 + 9t onde t é medido em segundos e s, em metros. (a) Encontre a velocidade no tempo t. (b) Qual a velocidade após 4 s? (c) Qual a aceleração no tempo t? 18 1.10. REGRA DO PRODUTO CAPÍTULO 1. DERIVADAS Respostas 01 - 1/3 02 - dH dv = 165√ v − 33 03 - v(2) = −64pés/s v(3) = −96 pés/s 04 - dR dx [14] = 2416 $/apto 05 - dC dx [9] = 0, 6 $/produto 06 - dP dx [150] = 5 $/livro 07 - dT dt = −0, 075t+ 0, 3 08 - (a) V = 3t2 − 12t + 9 (b) v = 9m/s (c) γ = 6t− 12 1.10 Regra do Produto Aqui vale chamar a atenção em relação ao produto de funções. Pode ser confuso nesse primeiro momento a derivação do produto de funções se comparado com a derivação da soma, pois a derivada da soma de duas funções é a soma de seus resultados, porém o mesmo não ocorre com o produto. Definição 1.10.1 Se f e g são deriváveis em relação a x, então o produto f.g também é, sendo que: [f(x).g(x)]′ = f ′(x).g(x) + f(x).g′(x) ou seja, a derivada do produto f.g é f derivada multiplicada por g sem derivar somado com f sem derivar multiplicada por g derivada. Exemplo 1.10.1 Encontre a derivada da função f(x) = x.ex. Solução: Usando a regra do produto, temos f ′(x) = [x]′.ex + x.[ex]′ = 1.ex + x.ex = ex.(1 + x) Exemplo 1.10.2 Determine a derivadada função f(x) = √ x.(1− x). Solução: Usando a regra do produto, temos f ′(x) = [ √ x]′.(1− x) +√x.(1− x)′ = 1− 3x 2 √ x 19 1.11. REGRA DO QUOCIENTE CAPÍTULO 1. DERIVADAS Observação. Esse exemplo poderia ser resolvido apenas aplicando propriedades de potências sem precisarmos usar a regra do produto. Vejamos: f(x) = √ x.(1− x) = x 12 (1− x) = x 12 − x 12+1 = x 12 − x 32 Com isso a função ficou com o formato f(x) = x 1 2 − x 32 o que derivando dá: f ′(x) = 1 2 √ x − 3 2 √ x = 1− 3x 2 √ x Vemos que o mesmo resultado foi obtido, porém em algumas funções não podemos fazer essa mesma estratégia e derivar sem usar a regra do produto. Que é o caso do primeiro exemplo. 1.11 Regra do Quociente Definição 1.11.1 Se f e g são deriváveis em relação a x, então o quociente f g também é, sendo que: [ f(x) g(x) ]′ = f ′(x).g(x)− f(x).g′(x) g2(x) Exemplo 1.11.1 Determine a derivada da função f(x) = ex 1 + x . Solução: f ′(x) = [ex]′.(1 + x)− ex.(1 + x)′ (1 + x)2 = ex + x.ex − ex.1 (1 + x)2 = x.ex (1 + x)2 Exemplo 1.11.2 Determine a derivada da função f(x) = x2 + x x . Solução: Recorrendo à regra do quociente, temos: f ′(x) = [x2 + x]′.x− (x2 + x).[x]′ x2 = (2x+ 1).x− (x2 + x).1 x2 = = 2x2 + x− x2 − x x2 = x2 x2 = 1 20 1.12. EXERCÍCIOS - REGRAS PRODUTO E QUOCIENTE CAPÍTULO 1. DERIVADAS Observação: Nem sempre que temos um quociente devemos usar a regra do quociente. Em alguns casos é mais fácil e rápido reescrever primeiro a função e, em seguida, derivar sem fazer uso da regra do quociente. É o caso deste exemplo, que poderia ser feito da seguinte forma reescrevendo a função f . Vejamos: f(x) = x2 + x x = x2 x + x x = x+ 1 ⇒ f ′(x) = 1 Exemplo 1.11.3 Determine f ′(2) em f(x) = x2 − 1 x2 + 1 . Solução: Primeiro vamos derivar a função f usando a regra do quociente. f ′(x) = 2x.(x2 + 1)− (x2 − 1).2x (x2 + 1)2 = 4x (x2 + 1)2 Agora podemos calcular f ′(2). f ′(2) = 4.2 (22 + 1)2 = 8 25 1.12 Exercícios - Regras Produto e Quociente E - 1) Determine as derivadas de: (a) f(x) = (3x2 + 6)(2x− 1 4 ) (b) f(x) = (3− x2)(x3 − x+ 1) (c) f(x) = (x3 − 3x)(2x2 + 3x+ 5) (d) f(x) = 2x+ 5 3x− 2 (e) f(x) = x2 − 4 x+ 0, 5 (f) f(x) = x2 − 1 x2 + x− 2 E - 2) A curva y = 1 1 + x2 é chamada de Bruxa de Agnesi 1 . Encontre uma equação de reta tangente para essa curva no ponto ( − 1, 1 2 ) . E - 3) A curva y = x 1 + x2 é chamada de Serpentina. Encontre uma equação de reta tangente a essa curva no ponto ( 3, 3 10 ) . 1 Em matemática, a curva de Agnesi, atribuída a Maria Gaetana Agnesi, é uma curva estudada por Agnesi em 1748 no seu livro Instituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana. 21 1.12. EXERCÍCIOS - REGRAS PRODUTO E QUOCIENTE CAPÍTULO 1. DERIVADAS E - 4) Encontre uma equação da reta tangente à curva em um ponto dado. (a) y = 2x x+ 1 (1, 1) (b) y = 2.x.ex (0, 0) (c) y = √ x x+ 1 (4; 0, 4) (d) y = ex x (1, e) E - 5) Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto dado. (a) f(x) = (x2−2x+1)(x−2); em (0,−2) (b) f(x) = (x2 − 1)2; em (−2, 9) (c) f(x) = x− 2 x+ 1 ; em ( 1,−1 2 ) (d) f(x) = 2x+ 1 x− 1 ; em (2, 5) (e) f(x) = x+ 3 x+ 2 ; em ( 1, 4 3 ) (f) f(x) = 1 5x− 3; em ( 1, 1 2 ) E - 6) Determinar o valor da derivada da função no ponto dado. (a) f(x) = x.(x2 + 3);−→ f ′(2) (b) f(x) = (x− 4)(x+ 2);−→ f ′(4) (c) f(x) = x2(3x3 − 1);−→ f ′(1) (d) f(x) = x2 x+ 3 ;−→ f ′(−1) (e) f(x) = 2x2 − 3 3x+ 1 ;−→ f ′(3) (f) f(x) = 3x x2 + 4 ;−→ f ′(−1) E - 7) Determine a inclinação da reta tangente ao gráfico f(x) = x x+ 4 no ponto x0 = 1. E - 8) Considere a função f(x) = x2.ex. Calcule f ′(−1). E - 9) Calcule dy dx para: (a) y = cos(x) x2 + 1 (b) y = x+ 1 tg(x) (c) y = ex.cos(x) (d) y = 1 + ex 1− ex (e) y = x+ 1 x.ln(x) (f) y = ex x+ 1 (g) y = √ x cos(x) (h) y = x2.cos(x) E - 10) Encontre f ′(x) (a) f(x) = 4.cos(x) + 2.sen(x) (b) f(x) = −4.x2.cos(x) (c) f(x) = 5− cos(x) 5sen(x) (d) f(x) = 1 cos(x) − √ 2.sen(x) cos(x) (e) f(x) = sen(x) x2 + sen(x) (f) f(x) = (x2 + 1).sen(x) 22 1.12. EXERCÍCIOS - REGRAS PRODUTO E QUOCIENTE CAPÍTULO 1. DERIVADAS E - 11) Encontre d2f dx2 . (a) f(x) = x.cos(x) (b) f(x) = x.sen(x)− 3.cos(x) (c) f(x) = sen(x).cos(x) E - 12) Calcule f ′(3) para função f(x) = x x+ 1 . PROBLEMAS E - 13) À medida que o sangue se move do coração através das artérias principais em dire- ção aos capilares e de volta para as veias, a pressão arterial sistólica cai continua- mente. Considere uma pessoa cuja pressão arterial sistólica P (em mmHg) é dada por P = 25t2 + 125 t2 + 1 , 0 ≤ t ≤ 10, em que t é medido em segundos. A que taxa a pressão arterial varia após 5 segundos do sangue ter saído do coração? E - 14) Considere a população de uma cultura de bactérias. O número de bactérias P pode ser modelado por P = 500 ( 1 + 4t 50 + t2 ) em que t é o tempo (em horas). Determine a taxa de variação da população quando t = 2. E - 15) A porcentagem P de peças defeituosas produzidas por um funcionário novo t dias após ele ter começado a trabalhar pode ser modelada por P = t+ 1750 50(t+ 2) . Determine as taxas de variação de P quando t = 1 e t = 10. E - 16) A temperatura T (em graus Fahrenheit) de alimentos colocados em um refrigerador é modelada por T = 10 ( 4t2 + 16t+ 75 t2 + 4t+ 10 ) em que t é o tempo (em horas). Determine a taxa de variação de T em relação a t quando t = 1. E - 17) O modelo f(t) = t2 − t+ 1 t2 + 1 mede o nível de oxigênio em um lago, em que t é o tempo decorrido (em semanas) após os resíduos orgânicos terem sido despejados no lago. De- termine a taxa de variação de f em relação a t quando t = 2. E - 18) As vendas mensais de planos M de uma academia recém-construída são modeladas por M(t) = 300t t2 + 1 + 8 em que t é o número de meses desde que a academia foi inaugurada. a) Determine M'(t). b) Determine M'(3). 23 1.12. EXERCÍCIOS - REGRAS PRODUTO E QUOCIENTE CAPÍTULO 1. DERIVADAS TESTES E - 19) A derivada da função f(x) = ln(x) x é: (a) f ′(x) = 1− ln(x) x (b) f ′(x) = 1− ln(x) x2 (c) f ′(x) = 1 x2 − ln(x) (d) f ′(x) = ln(x) x2 − 1 E - 20) Considere a função y = x.ex. Avalie as sentenças. I) y” = ex(2 + x) II) y′(−1) = 1 e III) y”(0) = 2e (a) Somente I é verdadeira. (b) Somente II é verdadeira. (c) Somente III é verdadeira. (d) Todas são falsas. E - 21) A reta tangente à curva f(x) = x2.ex no ponto (1, e), é igual a: (a) y = e.(3x+ 4) (b) y = e.(3x− 4) (c) y = e.(3x+ 2) (d) y = e.(3x− 2) E - 22) A derivada da função f(x) = x2.cos(x) equivale a: (a) f ′(x) = −2x.sen(x) (b) f ′(x) = 2x.sen(x) (c) f ′(x) = 2x.cos(x)− x2.sen(x) (d) f ′(x) = 2x.cos(x) + x2.sen(x) E - 23) Considere as afirmações a seguir e avalie. I) Se f(x) = xex, então f ′(x) = ex. II) Se f(x) = x.sen(x), então f ′(0) = 0. III) Se f(x) = x cos(x) , então f ′(x) = − 1 sen(x) (a) Somente III é verdadeira. (b) Somente II é verdadeira. (c) Somente I e II são verdadeiras. (d) Somente II e III são verdadeiras. 24 1.12. EXERCÍCIOS - REGRAS PRODUTO E QUOCIENTE CAPÍTULO 1. DERIVADAS E - 24) O valor de f ′(3), sendo a função f(x) = 2x+ 1 x2 + x . (a) − 5 12 (b) − 25 144 (c) 5 12 (d) 73 144 E - 25) A derivada da função f(x) = 2x+ 1 x− 1 aplicada no ponto (2, 5) equivale a: (a) −3 (b) 5 (c) 11 6 (d) −1 E - 26) Considere a função f(x) = 4x−5 x2 − 1 . Analise as sentenças. I) f ′(x) = −4x2 + 10x− 4 (x2 − 1)2 II) f ′(0) = −4 III) f ′(2) = 3 (a) Somente II é falsa. (b) Somente III é falsa. (c) Todas são corretas. (d) Todas são falsas. Respostas (E - 1) (a) f ′(x) = 8x2 − 1, 5x+ 12 (b) f ′(x) = −5x4 + 12x2 − 2x− 3 (c) f ′(x) = 10x4 + 12x3− 3x2− 18x− 15 (d) f ′(x) = − 19 (3x− 2)2 (e) f ′(x) = x2 + x+ 4 (x+ 0.5)2 (f) f ′(x) = 1 (x+ 2)2 (E - 2) y = x 2 + 1 (E - 3) 27 50 − 2x 25 (E - 4) (a) y = x+ 1 2 (b) y = 2x (c) y = 13 25 − 3x 100 (d) y = e (E - 5) (a) y = 5x− 2 (b) y = −24x− 39 (c) y = 3x− 5 4 (d) y = 11− 3x (e) y = 13− x 9 (f) y = 7− 5x 4 25 1.12. EXERCÍCIOS - REGRAS PRODUTO E QUOCIENTE CAPÍTULO 1. DERIVADAS (E - 6) (a) f ′(2) = 15 (b) f ′(4) = 6 (c) f ′(1) = 13 (d) f ′(−1) = −5 4 (e) f ′(3) = 0, 75 (f) f ′(−1) = 9 25 (E - 7) 4 25 (E - 8) −1 e (E - 9) (a) dy dx = −(x2 + 1)sen(x)− 2x.cos(x) (x2 + 1)2 (b) dy dx = cotg(x)− (x+ 1)cossec2(x) (c) dy dx = ex(cos(x)− sen(x)) (d) dy dx = 2ex (ex − 1)2 (e) dy dx = − ( x+ ln(x) + 1 x2ln2(x) ) (f) dy dx = ex.x (x+ 1)2 (g) dy dx = (2.x.tg(x) + 1).sec(x) 2 √ x (h) dy dx = x(2cos(x)− x.sen(x)) (E - 10) (a) f ′(x) = −4.sen(x) + 2.cos(x) (b) f ′(x) = 4x(x.sen(x)− 2cos(x)) (c) f ′(x) = 1 5 (csc2(x)− 5.ctg(x).csc(x) (d) f ′(x) = (sen(x)− √ 2).sec2(x) (e) f ′(x) = x(x.cos(x)− 2.sen(x)) (x2 + sen(x))2 (f) f ′(x) = (x2 + 1).cos(x) + 2.x.sen(x) (E - 11) (a) d2f dx2 = −2.sen(x)− x.cos(x) (b) d2f dx2 = 5.cos(x)− x.sen(x) (c) d2f dx2 = −4.sen(x).cos(x) (E - 12) 0, 01 Respostas dos Problemas (E - 13) dP dt [5] = −1, 48 mmHg/s (E - 14) dP dt [2] = −31, 55 bactérias/h (E - 15) dP dt [1] = −3, 88 dP dt [10] = −0, 242 (E - 16) dT dt [1] = −9, 33 oF/h (E - 17) df dt [2] = 3 25 oxigênio(m3)/semana (E - 18) a) M ′(t) = − ( 300(t2 − 1) (t2 + 1)2 ) b) −24 vendas/meses 26 1.13. REGRA DA CADEIA CAPÍTULO 1. DERIVADAS Respostas dos Testes (E - 19) b (E - 20) b (E - 21) d (E - 22) c (E - 23) b (E - 24) b (E - 25) a (E - 26) b 1.13 Regra da Cadeia Essa nova regra de derivação trata das funções compostas e agrega versatilidade às regras apresentadas anteriormente. Definição 1.13.1 Se f e g forem diferenciáveis e F = f ◦ g for a função composta definida por F(x) = f(g(x)), então F é diferenciável e F' é dada pelo produto F ′(x) = f ′(g(x)).g′(x) Na notação de Leibniz, se y = f(u) e u = g(x) forem funções diferenciáveis, então dy dx = dy du . du dx 1.13.1 Decomposição das funções compostas Escreva cada função como a composição de duas funções 1. y = √ 3x2 − 4x u = 3x2 − 4x y = √u 2. y = 1 x+ 2 u = x+ 2 y = 1 u 1.13.2 Usando a Regra da Cadeia Exemplo 1.13.1 Determine a derivada de y = (x2 − 5)5. Solução: Para aplicar a regra da cadeia, primeiro vamos identificar a função interna u. y = (x2 − 5)5 u = x2 − 5 y = u5, du dx = 2x dy du = 5u4 agora aplicando a regra, podemos reescrever a derivada da seguinte forma: dy dx = dy du . du dx = 5.u4.(2x) = 5(x2 − 5)4.(2x) = 10x.(x2 − 5)4 27 1.13. REGRA DA CADEIA CAPÍTULO 1. DERIVADAS Exemplo 1.13.2 Determine a derivada de y = (3x− 2x2)3. Solução: y = (3x− 2x2)3 u = 3x− 2x2 y = u3. dy dx = dy du . du dx = 3u2.(3− 4x) = 3(3x− 2x2)2.(3− 4x) = (3x− 2x2).(9− 12x) (3x− 2x2).(9− 12x) = 27x− 54x2 + 24x3 Exemplo 1.13.3 Determine a derivada de y = √ 3x2 − 4x. Solução: Primeiro devemos transformar a raíz em potência. y = √ 3x2 − 4x = (3x2 − 4x)1/2 Agora podemos aplicar a regra da cadeia. y = (3x2 − 4x)1/2 u = 3x2 − 4x y = u1/2 du dx = 6x− 4 dy du = 1 2 u−1/2 dy dx = dy du . du dx = 1 2 .u−1/2.(6x− 4) = 6x− 4 2.u1/2 = 6x− 4 2. √ u = 6x− 4 2. √ 3x2 − 4x = 3x− 2√ 3x2 − 4x Exemplo 1.13.4 Determine a derivada de y = ( x2 + 1 x− 4 )4 . Solução: Note que a função interna à potência é um quociente, portanto será usada a regra da cadeia com a regra do quociente. y = ( x2 + 1 x− 4 )4 u = x2 + 1 x− 4 y = u 4 du dx = 2x(x− 4)− (x2 + 1).1 (x− 4)2 = 2x2 − 8x− x2 − 1 (x− 4)2 = x2 − 8x− 1 (x− 4)2 dy du = 4u3 dy dx = dy du . du dx = 4u3. x2 − 8x− 1 (x− 4)2 = 4 ( x2 + 1 x− 4 )3 . x2 − 8x− 1 (x− 4)2 = (x2 + 1)3(4x2 − 32x− 4) (x− 4)5 28 1.14. EXERCÍCIOS - REGRA DA CADEIA CAPÍTULO 1. DERIVADAS Exemplo 1.13.5 Determine a derivada de y = 3 √ (−2x3 + 6x2 − 4x+ 9)2. Solução: Aqui, novamente, devemos transformar a raíz em potência. y = (−2x3 + 6x2 − 4x+ 9)2/3 u = −2x3 + 6x2 − 4x+ 9 y = u2/3 du dx = −6x2 + 12x− 4 dy du = 2 3 .u−1/3 dy dx = dy du . du dx = 2 3 .u−1/3.(−6x2 + 12x− 4) = 2(−6x 2 + 12x− 4) 3.u1/3 = −12x2 + 24x− 8 3. 3 √−2x3 + 6x2 − 4x+ 9 1.14 Exercícios - Regra da Cadeia E - 1) Determinar as derivadas de: (a) y = √ 2x+ 1 (b) y = (x2 − 1)6 (c) y = (3x− 2x2)3 (d) y = 3 √ (x2 + 4)2 (e) y = (x2 + 3x)4 (f) y = √ 5− 3x (g) y = 3 √ 3x3 + 4x (h) y = (2x3 + 1)2 E - 2) Determine f ′(x) de: (a) f(x) = 3 (x3 − 4)2 (b) f(x) = 1 x2 − 2 (c) f(x) = x2 √ x− 2 (d) f(x) = 1√ x+ 2 E - 3) Um estudo de meio ambiente indica que o nível médio diário P de certo poluente no ar, em partes por milhão, pode ser modelado pela equação P = 0, 25 √ 0, 5n2 + 5n+ 25 em que n é o número de residentes na comunidade, em milhares. Determine a taxa na qual o nível do poluente está aumentando, se a população da comunidade for de 12.000 pessoas. E - 4) Você depositou $1.000,00 em uma aplição com uma taxa de juros anual r ( na forma deci- mal), capitalizada mensalmente. Ao final de cinco anos, o saldo é deA = 1000 ( 1 + r 12 )60 . Determine as taxas de variação de A em relação a r quando: (a) r = 0, 08 (b) r = 0, 10 29 1.15. REGRA DA CADEIA EM FUNÇÕES ESPECIAIS CAPÍTULO 1. DERIVADAS Respostas (E - 1) (a) y′ = 1√ 2x+ 1 (b) y′ = 12x(x2 − 1)5 (c) y′ = (9− 12x)(3x− 2x2)2 (d) y′ = 4x 3 3 √ x2 + 4 (e) y′ = (8x+ 12)(x2 + 3x)3 (f) y′ = − 3 2 √ 5− 3x (g) y′ = 9x2 + 4 3 3 √ (3x3 + 4x)2 (h) y′ = 24x5 + 12x2 (E - 2) (a) f ′(x) = − 18x 2 (x3 − 4)3 (b) f ′(x) = − 2x (x2 − 2)2 (c) f ′(x) = 5x2 − 8x 2 √ x− 2 (d) f ′(x) = − 1√ (x+ 2)3 (E - 3) dP dn ≈ 0, 17 poluente/pessoa. (E - 4) (a) dA dr = 7399, 89 (b) dA dr = 8158, 55 1.15 Regra da Cadeia em Funções Especiais Para algumas funções trigonométricas, logarítmicas e exponenciais, podemos aplicar a regra da cadeia. • y = sen(u)→ y′ = cos(u).u′ • y = cos(u)→ y′ = −sen(u).u′ • y = ln(u)→ y′ = u ′ u • y = eu → y′ = eu.u′ Exemplo 1.15.1 Determine a derivada de y = sen(5x). Solução: Fazendo u = 5x teremos y = sen(u) e, portanto, y′ = cos(5x).5 = 5.cos(5x) Exemplo 1.15.2 Determine a derivada de y = sen(−x2 + 3x). Solução: Fazendo u = −x2 + 3x, teremos y′ = (−2x+ 3).cos(−x2 + 3x) 30 1.15. REGRA DA CADEIA EM FUNÇÕES ESPECIAIS CAPÍTULO 1. DERIVADAS Exemplo 1.15.3 Determine a derivada de y = cos(2x). Solução: Fazendo u = 2x, teremos y′ = −2.sen(2x) Exemplo 1.15.4 Determine a derivada de y = cos(x− x3). Solução: Fazendo u = x−x3, teremos y′ = (1−3x2).[−sen(x−x3)] = (3x2−1).sen(x−x3) Exemplo 1.15.5 Determine a derivada de y = ln(x). Solução: Fazendo u = x, teremos y′ = u′ u = x′ x = 1 x Exemplo 1.15.6 Determine a derivada de y = ln(2x+ x4). Solução: Fazendo u = 2x+ x4, teremos y′ = u′ u =(2x+ x4)′ 2x+ x4 = 2 + 4x3 2x+ x4 Exemplo 1.15.7 Determine a derivada de y = e2x. Solução: Fazendo u = 2x, teremos y′ = eu.u′ = e2x.2 = 2e2x Exemplo 1.15.8 Determine a derivada de y = ex 2−3x . Solução: Fazendo u = x2 − 3x, teremos y′ = ex2−3x.(2x− 3) Exemplo 1.15.9 Determine a derivada de y = ecos(2x). Solução: Fazendo u = cos(2x), teremos y′ = eu.u′ = ecos(2x).[cos(2x)]′ = ecos(2x)[−2.sen(2x)], ajustando a função chegamos em: y′ = −2.sen(2x).ecos(2x) 31 1.16. EXERCÍCIOS - FUNÇÕES ESPECIAIS CAPÍTULO 1. DERIVADAS 1.16 Exercícios - Funções Especiais E - 1) Calcule a derivada. (a) y = e3x (b) y = sen(t2) E - 2) Calcule f ′(x) sendo que: (a) f(x) = (3x2 + 1)3 (b) f(x) = cos(3x) E - 3) Calcule dy dx , sendo y = ln(x2 + 3x). E - 4) Seja f(x) = x2.e3x. Determine f ′(x). E - 5) Seja y = x.e−x. Calcule dy dx . E - 6) Calcule d2y dx2 , sendo y = cos(5x). E - 7) Determine y′: (a) y = ( x+ 1 x2 + 1 )4 (b) y = 3 √ x2 + 3 E - 8) Determine a derivada das funções a seguir: (a) y = sen(4x) (b) y = sen(t3) (c) y = esen(x) (d) y = (sen(x) + cos(x))3 (e) y = ln(x2 + 3x+ 4) (f) y = cos(x2 + 3) (g) y = e−5x (h) y = ln(2t+ 1) (i) y = √ x+ ex E - 9) Derive as funções a seguir: (a) y = x.e3x (b) y = e−x.sen(x) (c) y = e−x 2 .ln(2x+ 1) (d) y = ex.cos(2x) E - 10) Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto (0, 1). (a) y = 2 1 + e−x (b) y = (1 + 2x)10 E - 11) Encontre uma equação da reta tangente à curva y = x2.e−x no ponto ( 1, 1 e ) . 32 1.16. EXERCÍCIOS - FUNÇÕES ESPECIAIS CAPÍTULO 1. DERIVADAS E - 12) Se a equação de movimento de uma partícula for dada por S = A.cos(ωt+ δ), dizemos que a partícula está num MHS (Movimento Harmônico Simples). Encontre a velocidade no instante t. Obs: A, ω e δ são constantes. E - 13) O movimento de uma mola sujeita a uma força de atrito ou uma força de amortecimento ( tal como amortecedor de um carro) é frequentemente modelado pelo produto de uma função exponencial e uma função seno ou cosseno. Suponha que a equação de movimen- tos de um ponto sobre essa mola é S(t) = 2.e−1,5.t.sen(2pi.t) onde S é medido em cm e t, em segundos. Encontre a velocidade após 2 segundos. Respostas (E - 1) (a) y′ = 3.e3x (b) y′ = 2t.cos(t2) (E - 2) (a) y′ = 18x.(3x2 + 1)2 (b) y′ = −3.sen(3x) (E - 3) dy dx = 2x+ 3 x2 + 3x (E - 4) f ′(x) = x.e3x(2 + 3x) (E - 5) dy dx = 1− x ex (E - 6) d2y dx2 = −25.cos(5x) (E - 7) (a) y′ = −4(x+ 1) 3(x2 + 2x− 1) (x2 + 1)5 (b) y′ = 2x 3(x2 + 3)2/3 (E - 8) (a) y′ = 4.cos(4x) (b) y′ = 3t2.cos(t3) (c) y′ = cos(x).esen(x) (d) y′ = 3(sen(x) + cos(x))2.(cos(x) − sen(x)) (e) y′ = 2x+ 3 x2 + 3x+ 4 (f) y′ = −2x.sen(x2 + 3) (g) y′ = −5.e−5x (h) y′ = 2 2t+ 1 (i) y′ = ex + 1 2 √ x+ ex (E - 9) (a) y′ = e3x(3x+ 1) (b) y′ = e−x.(cos(x)− sen(x)) (c) y′ = 2e−x 2 ( −x.ln(2x+ 1) + 1 2x+ 1 ) (d) y′ = ex(cos(2x)− 2sen(2x)) (E - 10) (a) y = x 2 + 1 (b) y = 20x+ 1 (E - 11) y = x e (E - 12) V (t) = −A.ω.sen(ωt+ δ) (E - 13) V (2) ≈ 0, 2 cm/s 33 CAPÍTULO 2 APLICAÇÕES DE DERIVADAS Agora veremos como o Cálculo pode nos ajudar a investigar problemas de Matemática e Física. A partir dessa parte daremos enfâse aos problemas de otimização. 2.1 Máximos e Mínimos Definição 2.1.1 Seja f uma função definida em um intervalo I e c um número em I, Então: • f(c) é máximo de f em I se f(x)≤ f(c) para todo x em I. • f(c) é mínimo de f em I se f(x)≥ f(c) para todo x em I. Figura 2.1: Gráficos - Máximo e Mínimo 34 2.1. MÁXIMOS E MÍNIMOS CAPÍTULO 2. APLICAÇÕES DE DERIVADAS 2.1.1 Problemas de Otimização Exemplo 2.1.1 Um fazendeiro tem 1200 m de cerca e quer cercar um campo retangular que está à margem de um rio reto. Ele não precisa de cerca ao longo do rio. Quais são as dimensões do campo que tem maior área? Solução: Primeiro faremos um esboço da situação descrita no problema. Equacionando temos, 2x+ y = 1200 → y = 1200− 2x Como a área é dada por A = x.y, então A = x.(1200− 2x) = 1200x− 2x2. Fazendo a derivada de A, em relação a x obtemos A′ = 1200 − 4x, e em seguida, fazendo A' = 0, chegamos em 1200− 4x = 0→ x = 300 Substituindo esse valor (x = 300) em y = 1200− 2.300, chegaremos em y = 600. Portanto, as medidas procuradas são x = 300m e y = 600m Exemplo 2.1.2 Deve-se construir uma caixa com base retangular, de retângulo de cartolina com 16 pol de largura e 21 pol de comprimento, cortando-se um quadrado de cada quina. De- termine as dimensões desse quadrado para que a caixa tenha o volume máximo possível. Solução: O volume da caixa será dado por V = x(16−2x)(21−2x) = 2(168x−37x2 +2x3). Fazendo a derivada de V em relação a x, temos V ′ = 2(168 − 74x + 6x2) = 0. Resolvendo a equação obtém-se x1 = 3 e x2 = 28/3, como o segundo valor está fora do domínio da função V (x), a resposta é x = 3. 35 2.1. MÁXIMOS E MÍNIMOS CAPÍTULO 2. APLICAÇÕES DE DERIVADAS Exemplo 2.1.3 Um terreno retangular deve ser cercado de duas formas. Dois lados opostos devem receber uma cerca reforçada que custa R$3,00 o metro, enquanto os dois restantes custam R$2,00 o metro. Quais são as dimensões do terreno de maior área que pode ser cercado com R$6000,00? Solução: Primeiro devemos montar uma equação que representa o custo em relação a x. Fazendo 2x ∗ (R$2, 00) + 2y ∗ (R$3, 00) = R$6000, 00 → 4x + 6y = 6000 → y = 6000− 4x 6 = y = 1000 − 2 3 x. Agora substituímos na fórmula da área A = x.y, ficamos com A(x) = x. ( 1000− 2 3 x ) = 1000x − 2 3 x2 → A′(x) = 1000 − 4 3 x = 0 → x = 750 m. Substituindo esse valor em y = 1000 − 2 3 x obtemos y = 1000 − 2 3 .750 = 500 m. As dimensões procuradas são x = 750 m e y = 500 m. Exemplo 2.1.4 Um dono de uma fazenda de gado leiteiro está planejando fazer um pasto retangular ao lado de um rio. Para que haja capim suficiente para o rebanho, o pasto deve conter 180.000 m2. Não é preciso colocar a cerca ao longo do rio. Quais as dimensões exigirão a menor quantidade de cerca? Solução: Primeiro vamos fazer uma ilustração dos dados do enunciado. A área é dada por A = x.y o que fica 180000 = x.y → y = 180.000 x . A função que minimiza o perímetro será dada por p(x) = x+ 2y e, substituindo o valor de y obtemos p(x) = x+ 2. 180000 x = x+ 360.000 x . Agora faremos p′(x) = 0. 1− 360.000 x2 = 0 → x = 600 m. Para terminar substituimos esse valor na equação da área 180.000 = 600.y → y = 300 m. 36 2.2. EXERCÍCIOS - MÁX. E MÍN. CAPÍTULO 2. APLICAÇÕES DE DERIVADAS 2.2 Exercícios - Máx. e Mín. E - 1 Uma caixa aberta deve ser feita de uma folha de papelão medindo 16 por 30 cm, destacando-se quadrados iguais dos quatro cantos e dobrando-se os lados. Qual é o tamanho dos quadrados para se obter uma caixa com o maior volume possível? E - 2 Um campo retangular está limitado por uma cerca em três de seus lados e por um córrego reto no quarto lado. Encontre as dimensões do campo com área máxima que pode ser cercado com 1000 m de cerca. E - 3 Um campo deve ter o formato de um triângulo retângulo com a hipotenusa ao longo de um rio reto e uma cerca delimitando os dois catetos do campo. Encontre as dimensões do campo de maior área que pode ser cercado com 1000 m lineares de cerca. E - 4 Um retângulo deve ser inscrito em um triângulo retângulo com lados de comprimento 6, 8 e 10 cm. Encontre as dimensões do retângulo com a maior área, supondo que ele está posicionado com seus lados sobre os catetos. E - 5 Uma área com 288 m2 deve ser cercada. Em dois lados opostos será usada uma cerca que custa $1,00 o metro e nos lados restantes, uma cerca que custa $2,00. Encontre as dimensões do retângulo com menor custo. E - 6 Umacaixa de base quadrada é mais alta do que larga. Para poder mandá-la pelo correio, sua altura e o perímetro da base devem somar não mais do que 108 polegadas. Qual é o volume máximo dessa caixa? E - 7 Uma caixa aberta deve ser feita com uma folha de metal de 3 por 8 cm, cortando-se quadrados iguais dos quatro cantos e dobrando-se os lados. Encontre o volume máximo que uma caixa dessas pode ter. E - 8 Um recipiente em forma de paralelepípedo com base quadrada deve ter um volume de 2.250 cm3. O material para a base e a tampa do recipiente custa $2 por cm2 e dos lados, $3 por cm2. Encontre as dimensões do recipiente de menor custo. E - 9 Um recipiente com a forma de um paralelepípedo com base quadrada deve ter um volume de 2.000 cm3. O custo da base da tampa é o dobro do custo dos lados. Encontre as dimensões do recipiente de menor custo. 37 2.3. GRÁFICOS CAPÍTULO 2. APLICAÇÕES DE DERIVADAS E - 10 Um recipiente de base quadrada, lados verticais e aberto em cima deve ser feito de 90 m2 de material. Encontre as dimensões do recipiente com o maior volume. Respostas (E - 1) 10 3 cm (E - 2) 500 m e 250 m (E - 3) 500 m cada lado (E - 4) 3 cm e 4 cm (E - 5) 24 m ($1,00) e 12 m ($2,00) (E - 6) 11664 pol3 (E - 7) 200 27 cm3 (E - 8) 15 cm e 10 cm (E - 9) 10 cm e 20 cm (E - 10) √ 30 √ 30 2 2.3 Gráficos Veremos aqui como as derivadas afetam o formato de um gráfico. Definição 2.3.1 Seja f definida em um intervalo e sejam x1 e x2, pontos do intervalo. (a) f é crescente no intervalo se f(x1) < f(x2), para x1 < x2. (b) f é decrescente no intervalo se f(x1) > f(x2), para x1 < x2. (c) f é constante no intervalo se f(x1) = f(x2), para todos os pontos x1 e x2. Figura 2.2: Função Crescente Figura 2.3: Função Decrescente 38 2.3. GRÁFICOS CAPÍTULO 2. APLICAÇÕES DE DERIVADAS 2.3.1 Teste da primeira derivada Definição 2.3.2 Seja f uma função contínua em um intervalo fechado [a, b] e dife- renciável no intervalo aberto ]a, b[. (a) Se f ′(x) > 0 para todo valor de x em ]a,b[, então f é crescente em [a, b]. (b) Se f ′(x) < 0 para todo valor de x em ]a,b[, então f é decrescente em [a, b]. (c) Se f ′(x) = 0 para todo valor de x em ]a,b[, então f é constante em [a, b]. Exemplo 2.3.1 Encontre os intevalos nos quais f(x) = x2− 4x+ 3 é crescente e os intervalos nos quais é decrescente. Solução: Derivamos f. f ′(x) = 2x − 4, em seguida calcularemos o ponto crítico fazendo f ′(x) = 0→ 2x− 4 = 0→ x = 2, depois faremos a análise gráfica dos sinais. Observamos que: f ′(x) > 0 quando x > 2 e portanto, f(x) é crescente nesse intervalo. f ′(x) < 0 quando x < 2 e portanto, f(x) é decrescente nesse intervalo. Exemplo 2.3.2 Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento para função f(x) = 3x4 + 4x3 − 12x2 + 2. Solução: Diferenciando f obtemos f ′(x) = 12x3 + 12x2 − 24x = 12x(x2 + x − 2) = = 12x(x+ 2).(x− 1). Fazendo a análise dos sinais Crescente em: −2 < x < 0 e x > 1 Decrescente em: x < −2 e 0 < x < 1 Pontos Críticos: Máximo x = 0 e Mínimo x = −2 e x = 1 39 2.3. GRÁFICOS CAPÍTULO 2. APLICAÇÕES DE DERIVADAS 2.3.2 Teste da segunda derivada Definição 2.3.3 O teste (a) Se f ′′ > 0 para todo x em I ,então o gráfico de f é côncavo para cima em I. (b) Se f ′′ < 0 para todo x em I, então o gráfico de f é côncavo para baixo em I. Figura 2.4: Teste da segunda derivada Ponto de Inflexão Definição 2.3.4 Ponto de inflexão: Um ponto P na curva y = f(x) é chamado ponto de inflexão se f é contínua no ponto e a curva mudar de côncava para cima para côncava para baixo ou vice-versa em P. 40 2.3. GRÁFICOS CAPÍTULO 2. APLICAÇÕES DE DERIVADAS Exemplo 2.3.3 Determine os intervalos de concavidade da função f(x) = x4 + x3 − 3x2 + 1. Solução: Faremos as derivadas. f ′(x) = 4x3 + 3x2 − 6x e f ′′(x) = 12x2 + 6x− 6 f ′′(x) = 6(2x− 1)(x+ 1). Agora faremos um estudo do sinal da segunda derivada. Côncava p/ cima em: x < −1 e x > 1/2 Côncava p/ baixo em:−1 < x < 1/2 Obs.: A notação de intervalo por colchetes também pode ser utilizada como resposta. Côncava p/ cima em: ]−∞;−1[ e ]1/2;∞[ Côncava p/ baixo em: ]− 1; 1/2[ Notamos que os pontos de inflexão ocorrem em: x = −1 e x = 1/2 Exemplo 2.3.4 Determine os intervalos de crescimento e decrescimento, concavidade e pontos críticos da função f(x) = x3 − 3x Solução: Faremos o estudo dos sinais da primeira derivada.f ′(x) = 3x2 − 3 Em seguida o estudo dos sinais da segunda derivada. f ′′(x) = 6x Respostas Intervalo de Crescimento: x < −1 ou x > 1 Intervalo de Decrescimento: −1 < x < 1 Côncavo p/ cima: x > 0 Côncavo p/ baixo: x < 0 Pontos Críticos: Máximo x = −1, Mínimo x = 1 e Inflexão x = 0 41 2.4. EXERCÍCIOS - GRÁFICOS CAPÍTULO 2. APLICAÇÕES DE DERIVADAS 2.4 Exercícios - Gráficos E - 1 Para as funções a seguir determine os intervalos de crescimento e decrescimento e os pontos críticos. (a) f(x) = −2x2 + 4x+ 3 (b) f(x) = x2 + 8x+ 10 (c) f(x) = 6x3 − 15x2 + 12 (d) f(x) = x4 − 12x3 E - 2 Determine os intervalos de concavidade e ponto(s) de inflexão das funções a seguir. (a) f(x) = x3 − 6x2 + 15 (b) f(x) = x3 − 12x (c) f(x) = x4 − 32x+ 4 (d) f(x) = x4 − 4x3 + 2 E - 3 Determine os intervalos de crescimento, decrescimento e concavidade e todos os pontos críticos das funções a seguir. (a) f(x) = x4 − 18x2 + 5 (b) f(x) = x3 − 5x2 + 7x (c) f(x) = −x3 + 3x2 − 2 (d) f(x) = 5 + 3x2 − x3 E - 4 Observe os gráficos a seguir e determine os intervalos de crescimento e decrescimento. a) b) 42 2.4. EXERCÍCIOS - GRÁFICOS CAPÍTULO 2. APLICAÇÕES DE DERIVADAS Respostas (E-1) (a) Crescente: x < 1, Decrescente: x > 1 e Máximo: x = 1 (b) Crescente: x > −4, Decrescente: x < −4 e Mínimo: x = −4 (c) Crescente: x < 0 ou x > 5/3, Decrescente: 0 < x < 5/3, Máximo: x = 0 e Mínimo: x = 5/3 (d) Crescente: x > 9, Decrescente: x < 9 e Mínimo: x = 9 (E-2) (a) Côncavo para cima: x > 2, Côncavo para baixo: x < 2 e Ponto de Inflexão: x = 2. (b) Côncavo para cima: x > 0, Côncavo para baixo: x < 0 e Ponto de Inflexão: x = 0. (c) O gráfico é sempre côncavo para cima e não há ponto de inflexão. (d) Côncavo para cima: x < 0 e x > 2, Côncavo para baixo: 0 < x < 2 e Pontos de Inflexão: x = 0 e x = 2. (E-3) (a) Crescente: −3 < x < 0 e x > 3, Decrescente: x < −3 e 0 < x < 3, Côncavo p/ cima: x < − √ 3 e x > √ 3, Côncavo p/ baixo: − √ 3 < x < √ 3, Máximo: x = 0, Mínimo: x = −3 e x = 3 e Inflexão: x = − √ 3 e x = √ 3. (b) Crescente: x < 1 e x > 7/3, Decrescente: 1 < x < 7/3, Côncavo p/ cima: x > 5/3, Côncavo p/ baixo: x < 5/3, Máximo: x = 1, Mínimo: x = 7/3 e Inflexão: x = 5/3. (c) Crescente: 0 < x < 2, Decrescente: x < 0 e x > 2, Côncavo p/ cima: x < 1, Côncavo p/ baixo: x > 1, Máximo: x = 2, Mínimo: x = 0 e Inflexão: x = 1. (d) Crescente: 0 < x < 2, Decrescente: x < 0 e x > 2, Côncavo p/ cima: x < 1, Côncavo p/ baixo: x > 1,Máximo: x = 2,Mínimo: x = 0 e Inflexão: x = 1.. (E-4) a) Crescimento: x < −1 e 0 < x < 1 Decrescimento: −1 < x < 0 e x > 1 b) Crescimento: x < 1 e x > 3 Decrescimento: 1 < x < 3 43 Derivadas Introdução Retas Tangentes e Inclinações Derivada como Função Notação de derivada Derivada de f em um número a Técnicas de Derivação Derivadas de uma constante Potências de x Regras da Soma e da Diferença Funções Exponenciais e Logarítmicas Funções Trigonométricas Derivadas de Ordem Superior Exercícios - Técnicas de Derivação Taxa de Variação Exercícios - Taxa de variação Regra do Produto Regra do Quociente Exercícios - Regras Produto e Quociente Regra da Cadeia Decomposição das funções compostas Usando a Regra da Cadeia Exercícios - Regra da Cadeia Regra da Cadeia em Funções Especiais Exercícios - Funções Especiais Aplicações de Derivadas Máximos e Mínimos Problemas de OtimizaçãoExercícios - Máx. e Mín. Gráficos Teste da primeira derivada Teste da segunda derivada Exercícios - Gráficos
Compartilhar