Aula 02 - Fundamentos de Física

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10/04/2013 
1 
Disciplina: Fundamentos de Física 
 
Prof. Dr. Fábio de Camargo 
Vetores 
São Paulo 
2013 
Plano de Ensino 
Unidade Conteúdo Programático Concluído 
1 Sistema Internacional de Unidades 100% 
2 Medidas Físicas 100% 
3 Forças e Equilíbrio Estático 
4 Leis de Newton do Movimento 
5 Trabalho, Energia e Potência 
6 Impulso 
7 Quantidade de Movimento 
8 Colisões 
Introdução 
 Na física as grandezas que usamos para 
descrever o comportamento dos sistemas 
físicos, podem ser classificadas em: 
 Grandezas Escalares 
 Precisam somente das propriedades numéricas. 
 Exemplo: tempo, distância, densidade, volume, área, massa, 
temperatura e etc. 
 Grandezas Vetoriais 
 Precisam das propriedades numéricas e de direção 
 Exemplo: deslocamento, velocidade, aceleração, força e etc. 
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2 
Vetores 
 Na física precisamos saber a localização dos corpos e a 
direção das grandezas no espaço  vetores 
 Representação gráfica do vetor: 
 Direção: segmento de reta 
 Sentido: seta 
 Módulo (valor): ∝ ao tamanho 
𝑣 
𝐴 𝑥1, 𝑦1 
𝑣 = 𝐴𝐵 
𝑣 = 𝑣 = 𝐴𝐵 
𝐵 𝑥2, 𝑦2 
𝐴 
𝐵 
𝑦 
𝑥 𝑥1 
𝑦1 
𝑥2 
𝑦2 
𝑥2 − 𝑥1 
𝑦2 − 𝑦1 
𝑣 = 𝑥2 − 𝑥1 2 + 𝑦2 − 𝑦1 2 
𝑣 
𝑣 2 = 𝑥2 − 𝑥1
2 + 𝑦2 − 𝑦1
2 
Propriedades dos Vetores 
 Vetores 
 Direção 
 Sentido 
 Módulo  unidade 
 Comprimento é ∝ ao módulo 
𝑦 
𝑥 
 Vetores Iguais 
 paralelos e mesmo 
comprimento 
 Mesma direção 
 Mesmo sentido 
 Mesmo módulo 
 Vetores Opostos 
 paralelos e mesmo 
comprimento 
 Mesma direção 
 Sentido oposto 
 Mesmo módulo 
𝑣 
−𝑣 
Operações com Vetores 
𝐴 
𝐶 
𝐷 
𝐵 
Adição: 𝑅 = 𝐴 + 𝐶 
𝑅 
𝐴 
𝐶 
𝑅 = 𝐵 + 𝐴 + 𝐶 + 𝐷 
𝑅 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐷 
𝑅 
𝐴 
𝐶 
Regra do Paralelogramo 
𝑅 
𝐴 
𝐶 
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Operações de Vetores 
Subtração: 𝑅 = 𝐴 − 𝐶 
𝑅 
𝐴 
−𝐶 
𝑅 = 𝐴 + −𝐶 
Multiplicação por 𝑘: 𝑅 = 𝑘𝐶 
𝐶 
𝑅 
𝑘 = 2 
𝑘 = −2 
𝐶 
𝑅 
𝑘 =
1
2
 
𝐶 
𝑅 
𝑘 = −
1
2
 
𝐶 𝑅 
𝐶 
𝐴 
𝐶 
𝐷 
𝐵 
Componentes de um Vetor 
𝑦 
𝑥 𝑣𝑥 
𝑣 
𝑣𝑦 
𝜃 
𝑣 = 𝑣𝑥 + 𝑣𝑦 𝑣𝑥 = 𝑣𝑥 
𝑣𝑦 = 𝑣𝑦 
𝑣 = 𝑣 
cos 𝜃 =
𝑣𝑥
𝑣
 ∴ 𝑣𝑥 = 𝑣 cos 𝜃 
sen𝜃 =
𝑣𝑦
𝑣
 ∴ 𝑣𝑦 = 𝑣 sen 𝜃 
M
ó
d
u
lo
s
 
tg 𝜃 =
𝑣𝑦
𝑣𝑥
 ∴ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 
𝑣𝑦
𝑣𝑥
= 𝜃 
Calculando o módulo 
𝑣2 = 𝑣𝑥
2 + 𝑣𝑦
2 
𝑣 = 𝑣2𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 𝑣2𝑠𝑒𝑛2𝜃 
𝑣 = 𝑣2 𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 𝑠𝑒𝑛2𝜃 
𝑣 = 𝑣2 
𝑣 = 𝑣 
𝑣 = (𝑣 cos 𝜃)2+(𝑣 sen𝜃)2 
𝑣 = 𝑣𝑥
2 + 𝑣𝑦
2 
1 
C.Q.D. 
Componentes 
Vetor Unitário 
𝑦 
𝑥 
𝐴 
𝐴 = 𝐴𝑥 + 𝐴𝑦 
𝐴𝑥 = 𝐴𝑥 = 2 
𝐴𝑦 = 𝐴𝑦 = 0 M
ó
d
u
lo
s
 
1 3 𝐴𝑥 
𝐴 = 𝐴𝑥
2 + 𝐴𝑦
2 ⇒ 𝐴 = 𝐴𝑥 = 2 
𝑖 =
𝐴 
𝐴 
 
𝑦 
𝑥 
𝐵 
𝐵 = 𝐵𝑥 + 𝐵𝑦 
𝐵𝑥 = 𝐵𝑥 = 0 
𝐵𝑦 = 𝐵𝑦 = 2 M
ó
d
u
lo
s
 
1 
3 
𝐵𝑦 
𝐵 = 𝐵𝑥
2 + 𝐵𝑦
2 ⇒ 𝐵 = 𝐵𝑦 = 2 
𝑗 =
𝐵
𝐵
 ∴ 𝑖 = 1 ∴ 𝑗 = 1 
Definindo um vetor unitário Definindo um vetor unitário 
=
𝐴𝑥
2
 =
𝐵𝑦
2
 
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4 
Base Cartesiana 
𝑦 
𝑖 
𝐴 = 𝐴𝑥 + 𝐴𝑦 
𝐴𝑥 = 𝐴𝑥 
𝐴𝑦 = 𝐴𝑦 M
ó
d
u
lo
s
 
𝐴 = 𝐴 = 𝐴𝑥
2 + 𝐴𝑦
2 
Exemplo no plano 𝑥𝑦: 
𝑗 
𝑘 𝑥 
𝑧 
Versor Direção Sentido Módulo 
𝑖 = 𝑖 𝑥 + 1 
𝑗 = 𝑗 𝑦 + 1 
𝑘 = 𝑘 𝑧 + 1 
 Empregando os vesores escre-
vemos qualquer vetor do espaço 
em função da base cartesiana. 
𝑖 
𝑗 
𝑦 
𝑥 𝐴𝑥 
𝐴 
𝐴𝑦 
𝜃 
𝐴 = 𝐴𝑥 𝑖 + 𝐴𝑦 𝑗 
Base Cartesiana 
𝑦 
𝑖 
𝐴 = 𝐴𝑥 + 𝐴𝑦 + 𝐴𝑧 
𝐴𝑥 = 𝐴𝑥 
𝐴𝑦 = 𝐴𝑦 Módulos 
𝐴 = 𝐴 = 𝐴𝑥
2 + 𝐴𝑦
2 + 𝐴𝑧2 
Exemplo no espaço 𝑥𝑦𝑧 : 
𝑗 
𝑘 𝑥 
𝑧 
𝐴𝑥 
𝐴 
𝐴𝑦 
𝜃 
𝐴 = 𝐴𝑥 𝑖 + 𝐴𝑦 𝑗 + 𝐴𝑧 𝑘 
𝐴𝑧 
𝐴𝑧 = 𝐴𝑧 
Operações com Vetores (Analítico) 
𝑅 = 𝑅 = 𝑅𝑥
2 +𝑅𝑦
2 
Adição de vetores: 
𝑦 
𝑥 𝐴𝑥 
𝐴 𝐴𝑦 
𝐴 = 𝐴𝑥 𝑖 + 𝐴𝑦 𝑗 
𝐵 
𝐵𝑥 
𝐵𝑦 
𝑅 
𝑅𝑥 
𝑅𝑦 
𝐵 = −𝐵𝑥 𝑖 + 𝐵𝑦 𝑗 
𝑅 = 𝑅𝑥 𝑖 + 𝑅𝑦 𝑗 
𝑅 = 𝐴 + 𝐵 
𝑅 = 𝐴𝑥 𝑖 + 𝐴𝑦 𝑗 − 𝐵𝑥 𝑖 + 𝐵𝑦 𝑗 
𝑅 = 𝐴𝑥 − 𝐵𝑥 𝑖 + 𝐴𝑦 + 𝐵𝑦 𝑗 
𝑅 = 𝑅𝑥 𝑖 + 𝑅𝑦 𝑗 
𝑅 = 𝑅 = (𝐴𝑥 − 𝐵𝑥)2+(𝐴𝑦 + 𝐵𝑦)2 
𝐵𝑥 
𝐵𝑦 
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Exemplos 
 Calcule o vetor resultante, escrevendo-o na base cartesiana, 
determine seu respectivo módulo e o ângulo que forma em 
relação a abscissa (x). 
𝐹1 = 10 N 𝐹2 = 6 N 
1) 
𝐹1 = 12 N 𝐹2 = 5 N 
2) 
𝐹1 = 10 N 𝐹2 = 15 N 
3) 
𝐹1 = 16 N 𝐹2 = 10 N 
4) 
𝐹1 𝐹2 
60𝑂 30𝑂 
𝐹2 30
𝑂 
𝐹1 
𝐹1 
𝐹2 
𝐹1 𝐹2 
Respostas dos Exemplos 
𝐹1 𝐹2 
𝐹1 = 10 N 𝐹2 = 6 N 1) 
𝐹1 
𝐹2 
𝐹1 = 12 N 𝐹2 = 5 N 2) 
𝐹1 
𝐹2 
𝐹1 = 10 N 𝐹2 = 15 N 3) 
𝐹1 𝐹2 
𝐹1 = 16 N 𝐹2 = 10 N 4) 
30𝑂 
60𝑂 30𝑂 
𝐹1 = 10 𝑖 
𝐹2 = −6 𝑖 
𝑅 = 4 𝑖 𝑁 
𝑅 = 4 N 
𝐹1 = 12 𝑗 
𝐹2 = 5 𝑖 
𝑅 = 5 𝑖 + 12 𝑗 N 
𝑅 = 13 N 
𝜃 = 67,4𝑜 
𝑅 
𝑅 
𝑅 
𝐹1 = 8,66 𝑖 + 5 𝑗 
𝐹2 = −15 𝑖 
𝑅 = −6,34 𝑖 + 5 𝑗 N 
𝑅 = 8,07 N 
𝑅 
𝐹1 = 8 𝑖 + 13,86 𝑗 
𝐹2 = −8,66 𝑖 + 5 𝑗 
𝑅 = −0,66 𝑖 + 18,86 𝑗 N 
𝜃 
𝑅 = 18,87 N 
𝜃 = 38,3𝑜 
𝜃 
𝜃 
𝜃 = 88,0𝑜 
𝜃 = 0𝑜 
Exemplo 
5) Um empregado do Correio dirige um caminhão de entrega 
e faz o trajeto indicado na figura abaixo. Determine o módulo, 
a direção, o sentido do deslocamento resultante e ache o 
ângulo em relação a abscissa (x). 
Início 
Fim 
45º 
2,6 km 
4,0 km 
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6 
Resposta do Exemplo 
5) Um empregado do Correio dirige um caminhão de entrega 
e faz o trajeto indicado na figura abaixo. Determine o módulo, 
a direção, o sentido do deslocamento resultante e ache o 
ângulo em relação a abscissa (x). 
Início 
Fim 
45º 
𝑎 
𝑏 
𝑐 
𝐷 
𝑎 = 0 𝑖 + 2,60 𝑗 
𝑏 = 4,00 𝑖 + 0 𝑗 
𝑐 = 2,19 𝑖 + 2,19 𝑗 
𝐷 = 6,19 𝑖 + 4,79 𝑗 
𝐷 𝐷𝑦 
𝐷𝑥 
𝜃 
𝑥 
𝑦 
𝐷 = 7,83 𝑘𝑚 
Representação 
Gráfica 
𝜃 = 37,7° 
Exemplo 
6) Um aluno desorientado dirige 3,25 km do sul para o norte, 
depois 4,75 km de leste para oeste e a seguir 1,5 km do norte 
para o sul. Determine o módulo, a direção, o sentido do 
deslocamento resultante e ache o ângulo em relação a 
ordenada (y). 
3,25 km 
4,75 km 
1,5 km 
Início 
Fim 
Resposta do Exemplo 
6) Um aluno desorientado dirige 3,25 km do sul para o norte, 
depois 4,75 km de leste para oeste e a seguir 1,5 km do norte 
para o sul. Determine o módulo, a direção, o sentido do 
deslocamento resultante e ache o ângulo em relação a 
ordenada (y). 
Início 
Fim 
𝐷 
𝑎 = 0 𝑖 + 3,25 𝑗 
𝑏 = −4,75 𝑖 + 0 𝑗 
𝑐 = 0 𝑖 − 1,5 𝑗 
𝐷 = −4,75 𝑖 + 1,75 𝑗 
𝐷 
𝐷𝑦 
𝐷𝑥 
𝜃 
𝑥 
𝑦 
𝜃 = 69,8° 
Representação 
Gráfica 
𝑎 
𝑏 
𝑐 
𝐷 = 5,06 𝑘𝑚 
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7 
Exemplo 
7) Uma velejadora encontra ventos que impelem seu pequeno 
barco a vela. Ela veleja 2,0 km de oeste para leste, a seguir 3,50 km 
para sudeste e depois, a certa distância em direção desconhecida. 
No final do trajeto ela está a 5,80 km diretamente a leste de seu 
ponto de partida (figura anexa). Determine o módulo, direção e 
sentido do terceiro deslocamento e faça a representação gráfica 
deste vetor, informando o ângulo formado com a abscissa (x). 
5,80 km 
2,0 km 
3,5 km 
3º deslocamento 
45º 
Resposta do Exemplo 
7) (...) Determineo módulo, direção e sentido do terceiro 
deslocamento e faça a representação gráfica deste vetor, 
informando o ângulo formado com a abscissa (x). 
45º 
𝐷 
𝐷 = 5,80 𝑖 + 0 𝑗 
−𝑎 = −2 𝑖 + 0 𝑗 
−𝑏 = −2,47 𝑖 + 2,47 𝑗 
𝑐 = 1,33 𝑖 + 2,47 𝑗 
𝜃 = 61,7° 
𝑎 
𝑏 𝑐 
𝑐 = 2,81 𝑘𝑚 
𝑐 
𝑐𝑦 
𝑐𝑥 
𝜃 
𝑥 
𝑦 
Representação 
Gráfica 
Exemplo 
8) Um foguete aciona dois motores simultaneamente. Um 
produz um impulso de 725 N diretamente para frente, 
enquanto o outro fornece um impulso de 513 N a 23,4º acima 
da direção horizontal. Determine o módulo, direção e sentido 
do vetor resultante e faça a representação gráfica deste vetor 
informando o ângulo formado com a ordenada (y). 
725 N 
513 N 
23,4º 
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8 
Resposta do Exemplo 
8) (...) Determine o módulo, direção e sentido do vetor 
resultante e faça a representação gráfica deste vetor 
informando o ângulo formado com a ordenada (y). 
𝐹𝑅 
𝐹1 = 725 𝑖 + 0 𝑗 
𝐹2 = 470,81 𝑖 + 203,74 𝑗 
𝐹𝑅 = 1195,81 𝑖 + 203,74 𝑗 
𝜃 = 80,3° 
𝐹2 
𝐹1 
𝐹𝑅 = 1213,04 𝑁 
𝑭𝑹 
𝐹𝑅𝑦 
𝐹𝑅𝑥 
𝜃 
𝑥 
𝑦 
Representação 
Gráfica 
Exemplo 
9) Uma espeóloga esta pesquisando uma 
caverna. Ela percorre 180 m em linha reta 
de leste para oeste, depois caminha 210 
m em uma direção formando 45º com a 
direção anterior e em sentido do leste 
para o norte; a seguir, percorre 280 m a 
30º no sentido do norte para o oeste. 
Depois de um quarto deslocamento não 
medido, ela retorna ao ponto de partida. 
Determine o módulo, a direção, o sentido 
do quarto deslocamento e calcule o 
ângulo que este vetor forma com a 
abscissa (x). 
45º 
180 m 
30º 
Resposta do Exemplo 
9) (...) Determine o módulo, a direção, o sentido 
do quarto deslocamento e calcule o ângulo que 
este vetor forma com a abscissa (x). 
45º 
30º 
𝐷 
𝑎 
𝑏 
𝑐 
𝑎 = −180 𝑖 + 0 𝑗 
𝑏 = 148,49 𝑖 + 148,49𝑗 
𝑐 = −140 𝑖 + 242,49 𝑗 
𝐷 = −171,41 𝑖 + 390,98 𝑗 
𝐷 
𝐷𝑦 
𝐷𝑥 
𝜃 
𝑥 
𝑦 
𝐷 = 426,90 𝑚 
Representação 
Gráfica 
𝜃 = 66,3° 
10/04/2013 
9 
Exemplo 
10) Uma espeóloga esta pesquisando 
uma caverna. Ela percorre 180 m em 
linha reta de leste para oeste, depois 
caminha 210 m em uma direção formando 
45º com a direção anterior e em sentido 
do sul para o leste; a seguir, percorre 280 
m a 30º no sentido do norte para o oeste. 
Depois de um quarto deslocamento não 
medido, ela retorna ao ponto de partida. 
Determine o módulo, a direção, o sentido 
do quarto deslocamento e calcule o 
ângulo que este vetor forma com a 
ordenada (y). 
45º 
180 m 
30º 
Resposta do Exemplo 
10) (...) Determine o módulo, a direção, o sentido do quarto 
deslocamento e calcule o ângulo que este vetor forma com a 
ordenada (y). 
45º 
30º 
𝑎 = −180 𝑖 + 0 𝑗 
𝑏 = 148,49 𝑖 − 148,49𝑗 
𝑐 = −140 𝑖 + 242,49 𝑗 
𝐷 = −171,41 𝑖 + 94 𝑗 
𝐷 𝐷𝑦 
𝐷𝑥 
𝜃 
𝑥 
𝑦 
𝐷 = 195,49 𝑚 
Representação 
Gráfica 
𝜃 = 61,3° 
𝐷 
𝑎 
𝑏 
𝑐